山东省淄博第十一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷（解析版）

高57级10月阶段性考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将化简为：，利用四点共面定理可得，即可求解.因为，所以，可化简为：，即，由于，，，四点共面，则，解得：；故选：C2.向量，，，则（）A.9 B.3 C.1 D.【答案】A【解析】【分析】根据先求解出的值，然后表示出的坐标，结合坐标下的模长计算公式求解出结果.因为，所以，解得，则，所以.故选：A.3.已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数m的值为（）．A. B.0 C.5 D.【答案】C【解析】【分析】根据题意得到存在使得，从而得到方程组，得到答案.因为不能构成空间的一个基底，所以共面，故存在使得，即，故，解得.故选：C4.若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用互斥事件的加法公式及概率的基本性质列式即可作答.因随机事件，互斥，则，依题意及概率的性质得，即，解得，所以实数的取值范围是.故选：C5.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设{两弹都击中飞机}，{两弹都没击中飞机}，{恰有一弹击中飞机}，{至少有一弹击中飞机}，下列说法不正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据样本空间、事件的运算和含义即可解答.由于至少有一弹击中飞机包括两种情况：两弹都击中飞机，只有一弹击中飞机，对于A，有，故A正确；对于B，事件B、D不可能同时发生，两事件互斥，所以，故B正确；对于C，成立，故C正确；对于D，{至少有一弹击中飞机}，不是必然事件，而为必然事件，故D不正确．故选:D．6.如图，某系统由A，B，C，D四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A，B，C，D正常工作的概率都为，则该系统正常工作的概率为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】要使系统正常工作，则A、B要都正常或者C正常，D必须正常，然后利用独立事件，对立事件概率公式计算.记零件或系统能正常工作的概率为，该系统正常工作的概率为:,故选：C.7.如图，分别是二面角的两个半平面内两点，，，，，若，则异面直线的夹角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理可求得，根据，利用向量数量积的定义和运算律可求得，由向量夹角公式可求得所求余弦值.连接，在中，由余弦定理得：，；在中，由余弦定理得：；，，即异面直线夹角的余弦值为.故选：C.8.已知正方体中，M，N分别为，的中点，则（）A.直线MN与所成角的余弦值为 B.平面与平面夹角的余弦值为C.在上存在点Q，使得 D.在上存在点P，使得平面【答案】C【解析】【分析】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1，由空间向量计算异面直线所成角，二面角和线线垂直可判断ABC；由四点共面，而平面可判断D.以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1，所以，，，对于A，，，直线MN与所成角的余弦值为，故A错误；对于B，，，设平面的法向量为n=x,y,z，则，取，可得，所以，，，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，平面与平面夹角的余弦值为：，故B错误；对于C，因为Q在上，设，所以，，则，所以，所以，，所以，解得：.故上存在点，使得，故C正确；对于D，因为，所以四点共面，而平面，所以上不存在点P，使得平面，故D错误.故选：C..二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.同时抛出两枚质地均匀的骰子甲、乙，记事件A：甲骰子点数为奇数，事件B：乙骰子点数为偶数，事件C：甲、乙骰子点数相同．下列说法正确的有（）A.事件A与事件B对立 B.事件A与事件B相互独立C.事件A与事件C相互独立 D.【答案】BC【解析】【分析】对于A，甲骰子点数为奇数，乙骰子点数为偶数，事件可以同时发生，由对立事件的概念可判断；对于B，计算出，根据可以判定两个事件是否相互独立；对于C，计算出，根据可以判定两个事件是否相互独立；对于D，由前面可知，即可判断是否相等.由题意，得，，，对于A，当甲为奇数点，且乙为偶数点时，事件可以同时发生，所以事件A与事件B不互斥，故事件A与事件B不对立，故A错误；对于B，由题意知，又，故事件A与事件B相互独立，故B正确；对于C，，又，故事件A与事件C相互独立，故C正确；对于D，由上知，，故D错误．故选：BC．10.已知空间向量，则（）A.B.在上的投影向量为C.若向量，则点在平面内D.向量是与平行的一个单位向量【答案】ABD【解析】【分析】由空间向量垂直和平行坐标运算判断AD,由空间向量基本定理判断C,由投影向量判断B.由已知可得，A正确；由于，所以在上的投影向量即为，B正确；若在平面ABC内，则存在实数x，y，使得，而,所以，上述方程组无解，故点E不在平面ABC内，C错误;由，故，且，所以正确．故选：ABD．11.如图，在棱长为2的正方体中，为侧面上一点，为的中点，则下列说法正确的有（）A.若点为的中点，则过P、Q、三点的截面为四边形B.若点为的中点，则与平面所成角的正弦值为C.不存在点，使D.与平面所成角的正切值最小为【答案】AB【解析】【分析】全程采用建系法可验证ABCD选项的正确性，由向量平行可验证A；由线面角的正弦公式验证B，由向量垂直的坐标运算验证C，由线面角的正弦公式可求最小值，进而求出正切值.如图，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，对于A项，连接P、、Q、四点，当为的中点时，，，，，，，，所以为平行四边形，A正确；对B，当点为的中点，，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，，则与平面所成角的正弦值为，故B正确；对C，可设，，，，，，令，即，显然能取到，故C错误；对D，当与平面所成角的正切值最小时，与平面所成角的正弦值也最小，，设的法向量为，则与平面所成角的正弦值为，当或2，时，，由三角函数可得与平面所成角的正切值最小为，故D错误.故选：AB三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知点，，，若直线，则______．【答案】2【解析】【分析】先求向量的坐标，然后根据向量共线定理即可求解；因为，，所以，又，所以，又，所以，解得，故．故答案为：213.设、为两个随机事件，给出以下命题：（1）若、为互斥事件，且，，则；（2）若，，，则、为相互独立事件；（3）若，，，则、为相互独立事件；（4）若，，，则、为互斥事件；其中正确命题的个数为______.【答案】3【解析】【分析】根据互斥事件的加法公式，易判断（1）的正误；根据相互对立事件的概率和为1，结合相互独立事件，的概率满足，可判断（2）、（3）的正误；根据独立事件与互斥事件的性质，可判断（4）的正误.．若，为互斥事件，且，，则，故（1）错误；若，，，则，则由相互独立事件乘法公式知，为相互独立事件，故（2）正确；若，，所以，又，则，由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知，为相互独立事件，故（3）正确；若，，又，所以，则事件，不能同时发生，故事件，为互斥事件，故（4）正确；综上，正确命题的个数为3 .故答案为：3.14.长方体中，，点是线段上异于的动点，记．当为钝角时，实数的取值范围是______；当点到直线的距离为时，的值为______．【答案】①.②.##0.25【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量共线表示出点的坐标，由为钝角建立不等式求解的范围；由空间点到直线距离公式计算的值.在长方体中，建立如图所示的空间直线坐标系，则，令，则有，，，由为钝角，得，解得，，因此；显然，点到直线的距离，整理得，解得，所以.故答案为：；【点睛】思路点睛：求空间点的坐标，可以借助向量共线，结合向量的坐标运算求解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间[40，50）､[50，60）､…､[80，90）､[90，100].（1）求频率分布直方图中a的值，并估计该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率；（2）从评分在[40，60）的受访学生中，随机抽取2人，求此2人评分都在[50，60）的概率；【答案】（1）a=0.006，概率为0.68（2）【解析】【分析】（1）由所有小矩形的面积之和为1可求得.根据面积可求得概率.（2）列举出所有情况求概率即可.【小问1】由频率分布直方图的性质可知：（0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018）×10=1，解得：a=0.006；不低于70分频率为：，故该中学的学生对个性化作业评分不低于70的概率为0.68；【小问2】[40，50）组共有人，[50，60）组共有人，把[40，50）的2人记为1､2，把[50，60）组的3人记为3､4､5，则总可能有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10种情况，设2人评分都在[50，60）为事件A，则满足事件A的有：（3，4），（3，5），（4，5）共3种，故.16.如图，在空间四边形中，，点为的中点，设.（1）试用向量表示向量；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先把表示出来，然后由点E为的中点得，化简即得结果；（2）把、用表示，然后利用数量积的运算律结合已知条件即可求出结果.【小问1】因，所以，所以，因为点E为的中点，所以.【小问2】因为，，所以=17.第22届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行．为庆祝这场体育盛会的胜利召开，某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市A社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A社区参加市亚运知识竞赛．已知A社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为，a，b，通过初赛后，甲、乙、丙3位选手通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响．其中，甲乙两人都能代表A社区参加市亚运知识竞赛的概率为，乙丙都不能代表A社区参加市亚运知识竞赛的概率为.（1）求a，b的值；（2）求这3人至少一人参加市知识竞赛的概率；（3）某品牌商赞助了A社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了奖励方案：只参加了初赛的选手奖励200元，通过了初赛并参加了决赛的选手奖励500元．求三人奖金总额为1200元的概率．【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）先计算出这三人各自能参加市亚运知识竞赛的概率，再利用相互独立事件的概率乘法公式计算即可；（2）结合（1）问，利用对立事件的概率公式计算即可；（3）计算出三人中有两人通过初赛的概率，再利用概率的加法公式计算即可.【小问1】甲能代表A社区参加市亚运知识竞赛的概率为；乙能代表A社区参加市亚运知识竞赛的概率为；丙能代表A社区参加市亚运知识竞赛的概率为；由于他们之间通过与否互不影响,所以甲乙两人都能代表A社区参加市亚运知识竞赛的概率，解得：，乙丙都不能代表A社区参加市亚运知识竞赛的概率为，解得：，【小问2】结合（1）问可知：这3人都不能代表A社区参加市知识竞赛的概率:，所以这3人至少一人参加市知识竞赛的概率为：.【小问3】由题意可得：要使奖金之和为1200元，则只有两人参加决赛，记“甲，乙，丙三人获得的奖金之和为1200元”为事件B,则.18.如图，在三棱柱中，，为的中点，平面.（1）求证：；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，借助余弦定理及勾股定理的逆定理证得，再利用线面垂直的判定、性质推理即得.（2）由（1）的信息以为原点建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法求解即可.小问1】在三棱柱中，，则，由，得，在中，，由余弦定理，得，OA2+于是，由平面平面，得A1O⊥OD，而平面，因此平面，又平面，所以，【小问2】由（1）知，两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，由，得A1O=3，则于是，设为平面的一个法向量，则32x-32y+3z=0332x-3因此，显然二面角的大小为锐角，所以二面角的余弦值为.19.如图1，直角梯形中，，以为轴将梯形旋转后得到几何体W，如图2，其中分别为上下底面直径，点分别在圆弧上，直线平面.（1）证明：平面平面；（2）若直线与平面所成角的正切值等于，求到平面的距离；（3）若平面与平面夹角的余弦值为，求．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）设平