2021年九年级中考数学复习专题 四边形综合 专项巩固复习(四)

2021年九年级中考数学复习专题-【四边形综合】

专项巩固复习（四）

一.选择题

1.下列叙述错误的是（）

A.平行四边形的对角线互相平分

B.矩形的对角线互相平分

C.菱形的对角线相等

D.正方形的对角线互相垂直

2.如图，矩形438中，对角线力。、8。交于点。，如果。8=4,/月。8=60°,那

么矩形力夕8的面积等于（）

A.8B.16C.8MD.1673

3.已知点。与点/（8,0）,B（2,8）,C（a,-a+2）是一平行四边形的四个顶点，

则8长的最小值是（）

A.10B.8&C,7&D.9

4.如图，AC.8。是四边形力88的对角线，若E、F、G、//分别是B。、BC、AC.

力。的中点，顺次连接区F、G、〃四点，得到四边形与尸GH,则下列结论不正确的是

()

A.四边形防'GH一定是平行四边形

B.当48=8时，四边形屏'GH是菱形

C.当月时，四边形E尸GH是矩形

D.四边形EAG"可能是正方形

5.如图：正方形458边长为1,尸是/。边中点，点B与点E关于直线CP对称，连

接CE,射线ED与。尸交于点F,则EF的值为（）

D.智

C.喑

6.如图，已知矩形488的对角线/。、8。相交于点O,过。点作。后1/。，交力3于

E,若BC=4,△力OE的面积是5,则下列说法错误的是（）

B.ZBOE=ZBCEC.CE]_OBD.sin/_BOE=^

7.如图，矩形的顶点/在木轴上，点3的坐标为（1,2）.固定边OA,向左“推”

矩形。48。，使点B落在y轴的点E的位置，则点C的对应点。的坐标为（）

（M，-1）C.(-1,2)D.(2,-1)

8.如图，在菱形中，点旦夕分别在/B,CD±„KAE=CF,连接EF交BD

于点。，连接若"BC=25°,则NO4。的度数为（）

D

C.65°D.75°

9.如图，在正方形4bs中，对角线4G相交于点。，点石在。。边上，且CE=

2DE,连接交3。于点G,过点。作。尸1/H,连接。户并延长，交。。于点尸，

过点。作。。1。尸分别交5不AD于点N、H,交A4的延长线于点Q,现给出下列

结论：①N4TO=45°;②OG=DG・,③D/=NH9H;④sin//QO=匹；其中正

5

确的结论有()

A.①②③B.②③④C.①②④D.①②③④

二.填空题

10.如图，蚂蚁点”出发，沿直线行走4米后左转36°,再沿直线行走4米，又左转

36°,……；照此走下去，他第一次回到出发点"，一共行走的路程是.

11.已知平面直角坐标系上有三个点，点/(2,0),B(5,2),C(3,4),以点力,

点B,点。为顶点画平行四边形，则第四个顶点。的坐标为一.

12.在平行四边形中，NC=/B+N。，则/力=度.

13.如图，在Rta/BC中，ZC=90°,BC=4,AB=8,点。是B。上一个动点，以

A。、DB为邻边的所有平行四边形ADBE中，对角线。后的最小值是.

14.如图，四边形ADUBC,ABLBC,AD=\,AB=2,BC=3,P为AB边

上的一动点，以PD,PC为边作平行四边形PCQD、则对角线PQ的长的最小值

是•

15.如图，在矩形中，对角线与BZ?相交于点。，尸为。力上一点，连接班

三.解答

16.如图，在正方形458中，点尸为力。延长线上一点，连接CP,尸为月3边上

一点，满足。尸1CP,过点3作BM1。式，分别交/。、C尸于点题N.

(1)若月。=%尸，力。=3点,求△月。尸的面积；

0

(2)若BC=MC,证明：CP=BM+2FN.

17.将正方形/BCD的边绕点/逆时针旋转至/m,记旋转角为a,连接88',

过点。作。E垂直于直线63',垂足为点E,连接，CE.

(1)如图1,当a=60°时，4DEB'的形状为______,连接BD,可求出里一的

CE

值为;

(2)当0°<a<360°且a#=90°时，

①(1)中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成

立，请说明理由；

②当以点,E,C,。为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出华京的值.

18.(1)如图1,锐角中，分别以力A力。为边向外作等边△力夕E和等边

连接加，CE,试猜想8。与的大小关系，并说明理由.

【深入探究】

(2)如图2,△月3。中，/月BC=45°,AB=5cm,BC=3cm,分别以45、AC为

边向外作正方形月B7VE和正方形力。昭?，连接BZ?,求BZ?的长.

(3)如图3,在(2)的条件下，以力。为直角边在线段/。的左侧作等腰直角

求的长.

19.勾股定理是数学史上非常重要的一个定理.早在2000多年以前，人们就开始对它进

行研究，至今已有几百种证明方法.在欧几里得编的《原本〉〉中证明勾股定理的方法如

下，请同学们仔细阅读并解答相关问题：

如图，分别以Rta/B。的三边为边长，向外作正方形ZBDE、BCFG、ACHI.

(1)连接跳CE,求证：XABIQXAEC、

(2)过点B作/。的垂线，交“。于点/，交出于点N.

①试说明四边形力M7V7与正方形ABDE的面积相等；

②请直接写出图中与正方形BCFG的面积相等的四边形.

(3)由第(2)题可得：

正方形ABDE的面积+正方形BCFG的面积=的面积，即在中，

20.在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点。(0,0),点/(6,0),点8

(0,8).以点力为中心，顺时针旋转矩形力03G得到矩形力。后尸，点。，B,。的

对应点分别为。，E,F,记旋转角为a(0°<a<90°).

(I)如图①，当a=30°时，求点。的坐标；

(D)如图②，当点后落在/。的延长线上时，求点。的坐标；

(DI)当点。落在线段。C上时，求点反的坐标(直接写出结果即可).

图①图②

参考答案

一.选择题

1.解：4平行四边形的对角线互相平分，这是平行四边形的性质，此选项正确；

B.矩形的对角线互相平分且相等，此选项正确；

C.菱形的对角线互相垂直平分，不一定相等，此选项错误；

D.正方形的对角线互相垂直平分且相等，此选项正确；

故选：C

2.解：•.・四边形力88是矩形

；.NBAD=90。,AO=CO=^AC,BO=DO=^BD,AC=BD=2OB=8,

OA=BO9

AAOB=60°,

.・・△406是等边三角形，

:・AB=OB=4,

AD=VBD2-AB2=VS2-42=4收,

矩形ABCD的面积AD=4X4«=16«;

故选：D.

3.解：有两种情况:

y

如图1,8是平行四边形的一条边,

A(8,0),B(2,8),

由勾股定理得，

X52=82+(8-2)2

=100,

那么有40=8=10;

如图2,8是平行四边形的一条对角线，

过C作CAUAO于〃，过。作。于居交工。于0,过B作尸于2V,

则N4ND=NZ7月4=/CM4=NQ日4=90°,

NC4阴/尸Q力=90°,2BDN+乙DBN=90°,

•.・四边形ACBD是平行四边形，

：.BD=AC,/_BCD=/.ADB,BD\\AC,

ZBDF=ZFQA,

ZDBN=ZCAM,

•.•在△A3/V和△C4”中，

rZBND=ZAMC

<ZDBN=ZCAM,

BD=AC

A^TV^ACAM(AAS),

：.DN=CM=a-2,BN=AM=8-a,

D(10—5,a+6),

由勾股定理得：3=(10-a-a)2+(a+6+a-2)^Sa2-24a+l16=8(a--1)

2+98,

当4=/寸，8有最小值，是屈=7祀，

••,V98<10,

•・.。。的最小值是772.

故选：C.

4.解：•.阿、户分别是6。、BC的中点，

：.EFIICD,EF*CD,

•••H、G分别是4。的中点，

HGIICD,HG=*D,

：.HGIIEF,HG=EF,

四边形EFGH是平行四边形，力说法正确，不符合题意；

■■F.G分别是BG的中点，

：.FG=^AB,

■：AB=CD,

：.FG=EF,

.♦.当44=8时，四边形跳'GH是菱形，3说法正确，不符合题意；

当时，£77与后尸不一定垂直，

四边形后尸GH不一定是矩形，。说法错误，符合题意；

当43=8,力时，四边形E尸GH是正方形，说法正确，不符合题意；

故选：C.

5.解：如图，连接EE交CF于H,交8于“连接班;

・・・正方形4G8边长为1,尸是？1。边中点，

：.BC=CD=1,PD=/,/_PDC=/_BCD=9G°,

•・•点3与点E关于直线。尸对称，

•••。尸垂直平分BE,

:,BC=CE,BF=EF,CF\_BE.BH=EH,

又，：CF=CF,

:.△CFB^XCFE〈SSS),

/.ZFBC=ZFEC,ZBFC=ZEFC,

•・,CD=CE,

ZCED=ZCDE,

・•.ZCDE=ZFBC,

「・点C,点，点与，点B四点共圆，

：.ABFD+/_BCD=\SO0,

：,"FD=9。。,

；.ZBFC=ZEFC=45°,

••,CP1BE,

.\ACBH+^HCB=90°,

又♦：/_BCH+/_DCP=90°,

・•・ZHBC=ZDCP,

又♦:BC=CD,^ADC=BCD=90°,

:・XBCN9XCDP〈AAS),

：.CN=PD=—,

2

•'•3N=正2/2=

BH_BC

cos/A®C=BC"BN

:.EH=BH=^^

5

■：CF]_BE,/CFE=45°,

EF=品HE=2"^.,

故选：D.

6.解：4过。作OFLAD^F,作0G14B于G,

••.四边形是矩形，

：.AC=BD,OA=^AC,OD*BD,

OA=OD,

AF=FD=—AD=—BC=2,

22

•••ZAGO=ZBAD=ZAFO=90°,

.•・四边形力GOP是矩形,

：.OG=AF=2,

S&AEO=£AE・OG=5,

“■吟=5,

所以此选项的说法正确;

B、'：OE\_AC,

.♦./石。C=90°

•."ABC=90°,

：.^ABC+Z.EOC=180°,

・・・区B、a。四点共圆，

・♦.ZBCE=ZBOE,

所以此选项的说法正确;

。、\'AO=OC,AClOE,

.\AE=CE=5,

在Rt^BEC中，由勾股定理得：&=而二”=3,

「.45=3+5=8,

•••，C=7AB2+BC2=V82+42=4代,

:.AO=^AC=2yfs>

22=

EO=VAE-AOd52-（2泥）2=代,

OE*BE,

,:E、B、a。四点共圆，

•・•NEOC=90°,

，£。是直径，

:.EC与。夕不垂直；

此选项的说法不正确；

BF2

D、sinZsinZBCE=—=—

EC5

所以此选项的说法正确，

因为本题选择说法错误的，

7.解：•.•四边形O4BC是矩形，点e的坐标为（1,2）,

0/1=1,AB=2,

由题意得：AB=AB=2,四边形。43。是平行四边形，

■-OB=J®2_0庆2=如2_]2=M，SC=OA=1,

.・•点C的对应点。的坐标为（-1,A/3）；

故选：A.

8.解：如图，连接EC,OC,AF.

在菱形A58中，/.EBC=LADF,乙ADB=LDBC=25°,AB=CD,BC=DA.

■：AE=CF,

：.AB-AE=CD-CF,即BE=DF.

在△E'BC与△血4中，

'BE=DF

<ZEBC=ZFDA.

,BC=DA

：4EBUXFDA(SAS)

：.EC=AF.

又AE=CF,

四边形力反B是平行四边形，

反尸与/C平分，

在菱形468中，AOVBD,

：.ZOAD=900-Z.ADB=90°-25°=65°.

9.解：••・四边形力是正方形，

：.AO=DO=CO=BO,AC1BD,

•：AAOD=ANOF=90°,

ZAON=ZDOF,

■：Z.OAEH-AADO=9QQ=/OAF+ZDAF+ZADO,

■：DF]_AE,

：.ZDAF+ZADF=90°=ZDAF+ZADCh-/QDF,

：./OAF=ZODF,

：.4AN8XDFO(ASA),

ON=OF,

・•.NZFO=45°,故①正确；

如图，过点。作月石于K,

,:CE=2DE,

,\AD=3DE,

...+tan/_/D7-)/A1rEr—-DE_=DF=—],

ADAF3

・・.AF=3DF,

,：AANgXDFO,

:,AN=DF,

:.NF=2DF,

•：ON=OF,Z.NOF=90°,

・•.OK=KN=KF=—FN,

2

:.DF=OK,

又•：£OGK="GF,£OKG=ZDFG=9U。,

：.i\OKG^l\DFG(AAS),

:,GO=DG,故②正确；

③,OA=OD,/_AOH=/_DOP,

.\^AOH^^DOP(ASA),

:.AH=DP,

,:乙ANH=7.FNO=4S=2HAO,/_AHN=/_AHO,

：.4AHNS»OHA,

,AH_HN

'"HO'AH，

：,A"=H6HN,

:,D»=NH・OH,故③正确；

•・・N7V/4GN4CW=N4VQ=45°,ZAQCH-/_AON=ZBAO=45°,

：,/_NAO=/_AQO,

­/OG=GD,

.\AO=2OG9

A：=22=::

-'-GVAOOG标。G，

：.sin/_NAO=sinZAQO=—=故④正确，

AG5

故选：D.

二.填空题（共6小题）

10.解：•.•每次小明都是沿直线前进4米后向左转36°,

...它走过的图形是正多边形，

边数z?=360°+36°=10,

，它第一次回到出发点/时，一共走了4X10=40米.

故答案为：40米.

11.解：以/C为对角线，将向上平移2个单位，再向左平移2个单位，力点对应的

位置为（0,2）就是第四个顶点。；

以45为对角线，将向下平移4个单位，再向左平移1个单位，B点对应的位置为

（4,-2）就是第四个顶点。’；

以为对角线，将44向上平移4个单位，再向右平移1个单位，夕点对应的位置为

（6,6）就是第四个顶点〃’；

，第四个顶点。的坐标为：（0,2）或（6,6）或（4,-2）,

故答案为：（0,2）或（6,6）或（4,-2）.

12.解：•.•四边形548是平行四边形，

：.ADIIBC,乙B=(D,N/=/C,

.♦./ZC+ZZ?=180°,

.•.//=/。=120°,

故答案为：120.

•.•在RtZ\A5C中，ZC=90°,

：.BC\_AC.

•.•四边形力88是平行四边形，

OD=OE,OA=OB.

.♦.当取得最小值时，对角线最小，此时3G

：.ODHAC.

又•.•点。是/g的中点，

是△/BC的中位线，

OD=—AC.

2

在Rt^ABC中，ZC=90°,BC=4,AB=8,

22=

，由勾股定理得：AC=VAB-BCV82-42=4\/3-

:.DE=2OD=AM.

故答案为：4愿.

14.解：过点。作0H1B。，交的延长线于点如图:

D

O

P\/：

BC""H"

-.'ADIIBC,

：./_ADC=ZDCH,即ZADP^ZPDC=ZDCQ+ZQCH,

■：PDHCQ,

：.ZPDC=ZDCQ,

：./_ADP=LQCH,

又*:PD=CQ,2A=£CHQ=90°,

:AAD蜂XHCQ(AAS),

：.AD=HC,

-：AD=1,BC=3,

：.BH=4,

当尸时，PQ的长最小，即为4.

故答案为：4.

15.解：•.•四边形538是矩形，

:.AB=CD=6,/可。=90°,OB=OD,

10

.AB_6_

一丽而

^=VBD2-AB2=7(6^)2-62=18,

•；E为BF中效,

.'.AE=BE=EF,

•.•△/W的周长为18,

：.AE+EF+AF=BE+EF+AF=BF+AF=18,

设4F=a,贝ij3尸=18-a,

在RtZiAB尸中，AB2+AF2=BJ^,

：.62+SP=(18-a)2,

解得：a=8,

户=18-8=10.

YE为BF中氤,。为3。的中点,

：.OE\\DF,OE=^DF,

：.XBOESXBDF,

.S/kBOEJ

2ABDF4

S&BDF=基力力口得X6X10=30,

5

•1,学

ABO^=JSABDF=x30=

故答案为：冬

三.解答题（共5小题）

16.解：（1）1.四边形力是正方形，AC=%P,力。=3&,

6

AP=y-AC=^-X3-x/2=>AD=CD=3,

1

：.S^ACP=—AP-CZ?=—X•见葭3=27返.

△A。。2277

••・△/CP的面积为包返；

7

（2）证明：如图，在。尸上截取NG=RV,连接BG,

••・四边形力8。。是正方形，

：.AB=CB=CD,ZCBF=ZCDP=ZBCD=ZBCF+ZFCZ?=90°.

又•：CF上CP,

：.NDCRNFCD=9G°.

：.ZBCF=ZDCP,

:,XBCF^XDCP〈ASA).

・•.CF=CP.

,：BC=MC,BMICF,

AZBCF=ZACF=^A^01=22.5°,

/.ZC^B=67.5°.

-BMLCF,NG=FN,

:・BF=BG,

・・・ZFBG=45°,/_FBN=22.3。.

••.NCBG=45。.

•・,在aBCG和△ABM中，ZBCG=£ABM,BC=AB,/_CBG=/_BAM,

：,/\BCG^/^ABM(ASA).

：.EM=CG,

••.CP-BM=CF-CG=FG=2FN,

:・CP=BM+2FN.

17.解：⑴如图1,

______D

B

图1

.•・44绕点月逆时针旋转至月6',

：.AB=AB,NBAB=60°,

△力B笈是等边三角形，

：.ABBA=60°,

:DAB=乙BAD-乙BAB=9G°-60°=30°,

•：AB=AB=AD,

:，乙ABD=LADB,

：.£ABD=^-30°=75°,

・・・NZ?3E=180°-60°-75°=45°,

-DEY.BE,

.\Z.BDE=90°-45°=45°,

・•.△OHE是等腰直角三角形.

•・•四边形力58是正方形，

・・.NBZ?C=45°,

•''DC^

同理需次

.BD_ByD

"DC=DE*

:/BDB+ZBDC=45°,£EDC+£BDC=45°,

:.乙BDB=Z.EDC,

：.△BDBsXCDE,

.BB、BD一二

CE=DC

故答案为：等腰直角三角形，空丁力手

Ct

(2)①两结论仍然成立.

AB=AB,ZBAB=a,

；.NABB=9。。--y,

■：ABAD=a-90Q,AD=AB,

.♦./430=135°--y-,

；.£EBD=£ABD-LABB=\35°--^--(900--1-)=45°,

,:DE工BB,

:ZEDB="BD=45°,

△。庭l是等腰直角三角形,

,DBy

，-DE如，

••・四边形力88是正方形,

噜心/皿=45。,

,BD_DBy

"CD=DE1

■：/_EDB=/_BDC,

••・zEDB+2EDB=zBDC+ZEDB,

即/£O3=NEZ;G

/.MBDBsXEDC,

Z

.BB_BD_r

CE'CD^2,

②枭=3或1.

如图3,若。。为平行四边形的对角线，

点B在以月为圆心，为半径的圆上，取8的中点.连接BO交。工于点4,

过点。作DELBB交核的延长线于点E,

由（1）可知△em是等腰直角三角形，

BD=\E,

由（2）①可知4EDBs4CDE,且B3=&CE.

••・言又普^=胃］=篝+】=等冲=&'扬I.

若C。为平行四边形的一边，如图4,

图4

点E与点力重合，

•BE7

"BzE-'

综合以上可得小7=3或1.

Dt

18.解：(1)BD=CE,

理由是：•・・△ZBE和△力8是等边三角形，

：.AE=AB,AC=AD,/BAE=£CAD=60°,

：./_BAE+/_BAC=/_CAD^/_BAC,即/瓦4C=/A4。,

在△区4c和△以"中，

<AE=AB

•ZEAC=ZBAD,

,AC=AD

：.^EAC^^BAD(S4S)

BD=CE;

(2)如图2,连接反8、EC,

•••四边形力。MZ?和四边形/EVE是正方形，

：.AE=AB,AD=AC,2EAB=乙DAC=9G°

：./_BAE+/_BAC=/_CAI>/.BAC,即/及4C=/8>W,

在△及4C和△84。中，

，AE=AB

<ZEAC=ZBAD,

,AC=AD

:.AEA8ABAD,

BD=CE,

,・"EA4=N43C=45°

.•./EBC=90°

\'AE=AB=59/孙B=90°,

：.BE=5近,

'：BC=3

22=

•'-EC=VEB+BC7（5V2）2+32=标，

BD=EC=59；

（3）如图3,在线段力。的右侧过点/作力EL45于点4交的延长线于点E,

连接39

■：AE]_AB,

：.^BAE=90a,

又•.•/43。=45°,

：.AE=AABC=45°,

.'.AE=AB=5,BE=5-\/2>

又•.•/A4E=/R4C=9O°,

ZBAE-ZBAC=ZDAC-ZBAC,即/区4。=/可。，

在△历IC和△84。中，

rAE=AB

-ZEAC=ZBAD,

,AC=AD

:.XEA8XBAD、

BD=CE,

,・BC=3,

BD=CE=（5，^-3）cm.

D

19.(1)证明：•四边形/BOE、四边形力。印是正方形，

：.AB=AE,AC=A1,4BAE=乙CAI=9G°,

ZEAC=Z