4.1 指数函数-(必修第一册) (教师版)

指数函数1指数运算(1)n次方根与分数指数幂一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0.注意：(1)(na)n=a(2)当n是奇数时，(2)正数的正分数指数幂的意义①正数的正分数指数幂的意义，规定：am巧记“子内母外”(根号内的m作分子，根号外的n作为分母)Egx=x1②正数的正分数指数幂的意义：a−③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.(3)实数指数幂的运算性质①as∙a②as③(ab)r=2指数函数概念一般地，函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x3图像与性质函数名称指数函数定义函数y=ax(a>0图象a>10<a<1定义域R值域(0,+∞)过定点图象过定点(0,1)，即当x=0时，y=1．奇偶性非奇非偶单调性在R上是增函数在R上是减函数a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低．【题型一】指数幂的化简与求值【典题1】求值(27【解析】原式==5=2=121【点拨】一般可以带分数化假分数、小数化分数、根式化幂、整数化幂.【典题2】已知x12−【解析】由x12−x−所以x+1【点拨】注意x12−x−【典题3】化简11+62【解析】11+6=3+=3+2=6.【点拨】化简形如a+巩固练习1(★)化简3aa【答案】a−【解析】原式=a2(★★)如果45x=3，45y=5，那么【答案】1【解析】由45x=3，得则452x∴452x+y故答案为1．3(★★)已知a+1a=7，则【答案】3【解析】由a+1a=7，可得a>0∴a故选：A．4(★★)(214)【答案】12【解析】(21=35(★★)求值7+43+7−43【答案】4【解析】7+436(★★★)已知实数x,y满足3x+3y=【答案】1,【解析】设3x+3y又3x∴3x+y=∴t2−t2≤∴1<t≤2；由已知，27=t−t∴t=32时，27x+27y3x所以27x+2故答案为：(1,987(★★★)已知2a=3A．a+b=ab B．a+b>4C．a−12【答案】C【解析】∵2a∴2ab=∴2∴6∴ab=a+b，则有ab=a+b≥2ab∵a≠b，∴ab>2ab∴a+b=ab>4，∴a－1∵a2+故选：C．【题型二】指数函数的图象及应用【典题1】函数y=21−x的图象大致是()A． B． C． D．【解析】方法1函数y=2(利用x=∴当x>1时，y=2x−1是增函数，当x≤1时，且x=1时，y=1，即图象过(1,1)点；∴符合条件的图象是A．故选：A．方法2利用函数的图象变换去掉y轴左侧图象作关于y轴右侧对称故选：A．【典题2】设函数f(x)=|2x−1|，c<b<a，且f(c)>f(a)>f(b)，判断2【解析】f(x)=|2x−1|的图象可看成fx由图可知，要使c<b<a且f(c)>f(a)>f(b)成立，则有c<0且a>0，故必有2c<1且又fc−f(a)>0，即为∴2【点拨】涉及指数函数型的函数y=f(x)，往往需要得到其图象，方法有：①利用要相应指数函数的图象通过平移、对称、翻转变换得其图象；②利用去掉绝对值得到分段函数得其图象.巩固练习1(★)二次函数y=−x2−4x(x>−2)A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【答案】C【解析】因为二次函数y=－x且x=－1时，y=－x2－4x=3则在坐标系中画出y=－x2－4x(x>－2)由图可得，两个函数图象的交点个数是1个，故选C．2(★★)若函数y=ax+m−1(0<a<1)的图象和xA．[1,+∞) B．(0,1) C．(－∞,1) D．[0,1)【答案】D【解析】0<a<1时，0<∴m－1<a由函数y的图象和x轴有交点，∴m(m－1)≤0，0≤m≤1，综上，实数m的取值范围是[0,1)．故选：D．3(★★)如图所示，函数y=|2A． B． C． D．【答案】B【解析】∵y=|2x－2|=&2x−2,x≥1&2−4(★★)已知实数a,b满足等式2a=3b，下列五个关系式：①0<b<a③0<a<b；④b<a<0；⑤a=b．其中可能成立的关系式有()A．①②③ B．①②⑤ C．①③⑤ D．③④⑤【答案】B【解析】令f(x)=2x和g(x)=3x，由图象可知①②⑤正确，故选B．5(★★★)若2xA．x+y≥0 B．x+y≤0 C．x−y≤0 D．x−y≥0【答案】B【解析】构造函数f(x)=2x－由2x－∴x≤－y⇒x+y≤0，故选：B．【题型三】指数函数的性质及应用角度1比较指数式的大小【典题1】设y1A．y3>y1>【解析】利用幂的运算性质可得，y1=40.9=再由y=2x是增函数，知故选：D．【典题2】已知a=0.72.1，b=0.7A．b<a<c B．a<b<c C．c<a<bD．c<b<a【解析】根据指数函数的性质可得：函数y=0.7∵2.1<2.5，∴0.72.1>又∵c=2.10.7>∴c<a，∴b<a<c，故选：A．【点拨】比较指数式的大小，主要是利用指数函数的单调性，具体方法有①把指数幂化为同底，再利用指数函数的单调性比较大小；②若不能化为同底，可对指数幂进行估值，一般可以与0，1比较大小；③利用第三个数作为两个数字大小比较的过渡.角度2求解指数型不等式和方程【典题1】方程4x+1−3×2x+2－16=0【解析】4x+1−3×令t=2则有4t2−12t−16=0所以2x=4故答案为x=2．【点拨】利用换元法，要注意幂的底数之间的关系，同时换元后t=2【典题2】解不等式：a【解析】∵令t=原不等式变形得t2即(t−a(1)当a2<1a2，即0<a<1时，则(2)当a2>1a2，即a>1时，则(3)当a2=1综上，当a≠1时，−2<x<2；当a=1时无解．【点拨】①求解指数型不等式，特别要注意底数大于1还是小于1再利用对应指数函数的单调性求解；本题还要注意a=1；②本题利用了换元法，题目不等式为含涉及含参的一元二次不等式的求解，对a2，1角度3指数型函数综合问题【典题1】已知定义在R上的函数y=f(x)满足：①对于任意的x∈R，都有f(x+1)=1②函数y=f(x)是偶函数；③当x∈(0,1]时，fx=x+ex，则f(−32)【解析】由题意f(x+1)=1fx=f(x−1)，故函数f(−32)=f(12(把自变量数值向(0,1]靠拢)∵当x∈(0,1]时，fx故f(12)<f(【典题2】若eaA．a+b≤0 B．a−b≥0 C．a−b≤0 D．a+b≥0【解析】解法一：取特殊值排除法取a=0，b=1得1+π≥1e+1取a=1，b=0得e+1≥1+1π，满足题意，排除故选：D．法二：构造函数利用单调性令f(x)=ex−∵e∴f(a)≥f(−b)，即a+b≥0．故选：D．【点拨】①做选择题，利用“取特殊值排除法”是较快的一种方法，一般取数都是利于计算的；②遇到类似这样的题目，不等式ea+πb≥e−b③判断函数的单调性，可以采取“性质法”：增+增=增，减+减=减.【典题3】已知函数f(x)=ax，g(x)=a2x+m，其中m>0，a>0且a≠1．当x∈[−1,1](1)求a的值；(2)若a>1，记函数ℎx=gx−2mf(x)，求当x∈[0,1]时，【解析】(1)∵f(x)在[－1,1]上为单调函数，f(x)的最大值与最小值之和为a+a∴a=2或12(2)∵a>1∴a=2则ℎx令t=2∵x∈[0,1]时，∴t∈[1,2]，ℎx=t当0<m<1时，Hm当1≤m≤2时，Hm当m>2时，Hm综上所述，H(m)=−m+1,(0<m<1)【点拨】本题第二问最后把问题转化为“二次函数在闭区间上的最值问题”中的“动轴定区间”，对对称轴t=m在区间[1,2]“左、中、右”进行分类讨论.【典题4】已知函数fx=9(1)若当x∈[0,1]时，恒有f(x)<0成立，求实数c的取值范围；(2)若存在x0∈[0,1]，使f(x(3)若方程f(x)=c∙3x在[0,1]上有唯一实数解，求实数思路痕迹(1)恒成立问题可转化为求函数y=f(x)的最大值，见到9x，3(2)该问是存在性问题，可转化为求函数y=f(x)的最小值.(3)该问转化为方程t2－(3+c)t+c=0在【解析】(1)fx令3x=t，当x∈[0,1]时，问题转化为当t∈[1,3]时，gt于是只需g(t)在[1,3]上的最大值g(3)<0，即9−9+c<0，解得c<0．∴实数c的取值范围是(−∞,0)；(2)若存在x0∈[0,1]，使则存在t∈[1,3]，使gt于是只需g(t)在[1,3]上的最小值g32=∴实数c的取值范围是(−∞，94(3)若方程f(x)=c∙3x在则方程t2−(3+c)t+c=0在因△=3+c故t2−(3+c)t+c=0在令ℎt则ℎ1ℎ3≤0，所以∴实数c的取值范围是(−∞,0]．【点拨】利用换元法把问题转化为二次函数问题；恒成立、能成立问题最终转化为最值问题，注意函数单调性.【典题5】已知定义在(−1,1)上的奇函数f(x)．在x∈(−1,0)时，fx=(1)试求f(x)的表达式；(2)若对于x∈(0,1)上的每一个值，不等式t·2x·f【解析】(1)∵f(x)是定义在(−1,1)上的奇函数，∴f0设x∈(0,1)，则−x∈(−1,0)，则fx故fx(2)由题意，t·2x·f化简可得t>−(此处恒成立问题用到“分离参数法”转化为最值问题)令gx易得gx在(0,1)∴gx故t≥0．(t可取到0)【点拨】①恒成立问题可转化为最值问题，其中手段常见分离参数法、直接构造函数法、数形结合法、变换主元法等；②判断形如y=a∙fx+bm∙fx+n函数的单调性，可用分离常数法；比如巩固练习1(★)设a=0.60.4,b=A．a<b<c B．b<c<a C．c<a<b D．c<b<a【答案】B【解析】∵a=0.60.4，c=0.40.4b=0.40.6，c=0.40.4，由指数函数∴b<c<a．故选：B．2(★★)已知实数a，b满足12A．b<2b−a B．b>2b−a C．a<b−a【答案】B【解析】由12>1由12a>2由(22)b>14，得(由2a<b，得b>2a>2，a<b∴1<a<2，2<b<4．取a=32,b=72，得b−a=b>2b−a取a=1110,b=3910得，b−a故选：B．3(★★)设a>0,b>0，下列命题中正确的是()A．若2a+2a=2b+3b，则aC．若2a−2a=2b−3b，则a>b【答案】A【解析】∵a≤b时，2∴若2a+2a=2b+3b，则a>b对于2a﹣2a=2b﹣3b，若a≥b成立，则必有2a≥2b，故必有2a≥3b，即有a≥故选：A．4(★★)方程4x+1−3×2x+2−16=0【答案】x=2【解析】4x+1令2x=t则有4t所以2故答案为x=2．5(★★)若方程14x+12x−1【答案】(−3,0)【解析】设t=12x原方程有正数解x>0，则0<t=1即关于t的方程t2+2t+a=0在又因为a=－t+1所以当0<t<1时有1<t+1<2，即1<t+1即－4<－t+1即－3<－t+1即得：－3<a<0，故选：B．6(★★★)已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[−2,1]上的值域为[m,4]，且函数g(x)=3m−1x在【答案】1【解析】当a>1时，函数f(x)=ax在[－2,1]上的值域为∴a=4，m=1函数g(x)=3m−1x=当0<a<1时，函数f(x)=ax在[－2,1]上的值域为∴a－2=4，a=函数g(x)=3m−1x=综上知m+a=1．故答案为：1．7(★★★)设不等式4x−m(4x+2x【答案】(−∞,1【解析】由4x－m(4即m≤4∵x∈[0,1]，∴1则(1∴11+12x+8(★★★)已知fx(1)证明f(x)是R上的增函数；(2)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数？若存在，请求出a的值，若不存在，说明理由．【答案】(1)略，提示：定义法(2)a=1【解析】(1)证明：对任意x∈R都有3x+1≠0,∴f(x)的定义域是设x1，x2∈R且∵y=3x在R∴3x∴f(x)是R上的增函数．(2)解：若存在实数a使函数f(x)为R上的奇函数，则f(0)=0⇒a=1下面证明a=1时f(x)=1−2∵f(−x)=1−2∴f(x)为R上的奇函数∴存在实数a=1，使函数f(x)为R上的奇函数．9(★★★)设函数fx=a(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若f(1)<0，试判断函数f(x)的单调性．并求使不等式f(x2+tx)+f(4−x)<0对一切x∈R(3)若f(1)=32，gx=a2x+a−2x【答