3.5.2 二次函数在闭区间上的最值问题-(必修第一册) (教师版)

二次函数在闭区间上的最值问题二次函数在闭区间上的最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况．设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，求f(x)分析：将f(x)配方，得顶点为(−b2a,当a>0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m,n]上f(x)的最值：(1)当−bfx的最小值是f−b2a=(2)当−b2a<m时，由f(x)在[m,n]上是增函数，则f(x)的最小值是f(m)(3)当−b2a>n时，由f(x)在[m,n]上是减函数，则f(x)的最大值是f(m)当a<0时，可类比得结论．【题型一】定轴动区间已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0,5)，且f(x)在区间[−2,4]上的最大值是28．(1)求f(x)的解析式；(2)设函数f(x)在x∈[t,t+1]上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式．【解析】(1)∵f(x)是二次函数，且f(x)<0的解集是(0,5)，∴可设f(x)=ax(x－∴f(x)在区间[－2,4]上的最大值是由已知得14a=28，∴a=2，∴fx(2)由(1)得fx=2(讨论对称轴x=2.5与闭区间[t,t+1]的相对位置)①当t+1≤2.5时，即t≤1.5时，f(x)在[t,t+1]上单调递减，(对称轴在区间右侧)此时f(x)的最小值gt②当t≥2.5时，f(x)在[t,t+1]上单调递增，(对称轴在区间左侧)此时f(x)的最小值gt③当1.5<t<2.5时，函数y=f(x)在对称轴处取得最小值(对称轴在区间中间)此时，g(t)=f(2.5)=综上所述，得g(t)的表达式为：g(t)=2t【点拨】①利用待定系数法求函数解析式；②对于二次函数fx=2x−2.5[t,t+1]不确定，则按照对称轴在区间的“左、中、右”分成三种情况进行讨论.【题型二】动轴定区间求fx=x【解析】fx=x①当a<0时，如图①可知，f(x)在[0,2]上递增，∴fxmin=f②当0≤a≤2时，f(x)在[0,a]上递减，在[a,2]上递增，∴f而f0=−1,f2=3−4a，(此时最大值为(i)当0≤a<1时，fxmax=f(ii)当1≤a≤2时，fxmax=f③当a>2时，由图④可知，f(x)在[0,2]上递减，∴fxmin=f综上所述，当a<0时，fxmin=−1当0≤a<1时，fxmin=−1−当1≤a≤2时，fxmin=−1−当a>2时，fxmin=3−4a【点拨】①题目中的函数fx=x2−2ax−1的对称轴x=a是不确定的，定义域[0,2]是确定的，在求最小值时与“定轴动区间”的思考一样分对称轴x=a②在求最大值时，当0≤a≤2，还需要判断x=0和x=2时谁离对称轴更远些，才能确定f(0)、f(2)哪个是最大值，则还有分类0≤a<1,1<a≤2;【题型三】逆向题型已知函数f(x)=ax2+(2a−1)x−3在区间[−32【解析】(1)若a=0则f(x)=−x−3,而f(x)在[−32,2]上的最大值(2)若a≠0,则f(x)=ax2+(2a−1)x−3则y=f(x)的最大值必定是f−(i)若f(−32)=1，解得而a<0,f(x0)ii若f2=1，解得a=而a=34>0,x0=−13(iii)若f(12a−1)=1当a=−3+222<0时，当a=−3−222<0时,x综上所述a=34【点拨】本题没有按照分对称轴在定义域的“左、中、右”分离讨论，否则计算量会很大，还要考虑开口方向呢.思路是最大值必定是f−32巩固练习1(★★)已知函数fx(1)当a=1时，求函数f(x)在区间[−2,3)上的值域；(2)当a=−1时，求函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值；(3)求f(x)在[−5,5]上的最大值与最小值．【答案】(1)[1,17](2)(3)a>5时,最小值为27−10a，最大值为27+10a；0<a≤5时，最小值为2−a2，最大值为27+10a．a<−5时，最大值为27−10a，最小值为【解析】(1)当a=1时，fx函数在[－2,－1)上单调递减，在(－1,3]上单调递增，∴x=－1，fxmin=1，x=3∴函数f(x)在区间[−2,3)上的值域是[1,17](2)当a=−1时，t<12，函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值t≥12，函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值∴函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值(t−1)2+1,t<(3)∵函数fx=x①当−a<−5，即a>5时，函数y在[－5,5]上是增函数，当x=−5时，函数y取得最小值为27−10a；当x=5时，函数y取得最大值为27+10a．②当−5≤a<0，即0<a≤5时，当x=−a时，函数y取得最小值为2−a2；当x=5③当0≤－a≤5，即－5≤a≤0时，x=－a时，函数y取得最小值为2－a2；当x=－5时，函数y取得最大值为④当－a>5，即a<－5时，函数y在[－5,5]上是减函数，故当x=－5时，函数y取得最大值为27－10a；当x=5时，函数y取得最小值为27+10a．2(★★)已知函数f(x)=x2(1)若m=1，求f(x)在[−1,3]上的最大值和最小值；(2)若f(x)在[−2,2]为单调函数，求m的值；(3)在区间[−1,2]上的最大值为4，求实数m的值．【答案】(1)最大值是16，最小值0(2)m≥2或m≤−2(3)m=−1或−【解析】(1)m=1时，f(x)=x∴f(x)在[－1,3]上的最大值是f(3)=16，最小值是f(－1)=0；(2)∵f(x)在[−∴区间[－2,2]在f(x)对称轴x=－m的一边，即－m≤－2，或－m≥2；∴m≥2或m≤－2；－(3)f(－1)，f(2)中必有一个最大值；若f(－1)=2－2m=4,m=－1；∴f(x)=x2－2x+1=若f(2)=5+4m=4，m=−1∴f(x)=x2−∴m=−1或−3(★★)已知函数f(x)=9x2−6ax+a2−10a−6在[−1【答案】b≤−1【解析】∵f若a3≥b时，f(x)在∴ymin=f(b)=9令u=g(Ⅰ)当3b+5≤3时，即b≤−23,则函数g(x)∴umin即9b2−18b−27≥0∵b≤−(Ⅱ)当3b+5>3即b>−若−30b−31≥0解得b≤−31(2)若−13<a解得a≤−3综上述：b≤−1．4(★★★)已知函数fx=−x22+x在区间[【【解析】解法1：讨论对称轴x=1中1与m①若m<n解得m=−4,n=0②若m+n2≤1<n③若m≤1<m+n2，则④若1<m<n，则fx综上，m=−4,n=0解析2：由fx=−12x−1又∵在[m,n]上当x增大时fx也增大所以解得m=−4,n=0挑战学霸设a为实数，记函数fx=a1−(1)设t=1+x+1−x，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)，求m(t)(2)求g(a).【答案】(1)mt=1【解析】(1)∵t=1+x∴要使t有意义，必须1+x≥0且1−x≥0，即−1≤x≤1．∵