2024年高中数学学业水平考试考点归纳与测试

第一章集合与常用逻辑用语1.1集合；1.2常用逻辑用语1.3集合与常用逻辑用语实战1.1集合知识回顾1、元素与集合（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.（2）元素与集合的关系：属于或不属于，数学符号分别记为：和.（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）.（4）常见数集和数学符号数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号或①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中；②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.集合应满足.③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合.④列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.⑤描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.2、集合间的基本关系（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）.（2）真子集（propersubset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于”或“真包含”.（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作.（4）空集的性质：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3、集合的基本运算（1）交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即．（2）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即．（3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即．高频考点高频考点一：集合的含义与表示1．（2022·广西·高二学业考试）已知M是由1，2，3三个元素构成的集合，则集合M可表示为（

）A．{x|x=1} B．{x|x=2} C．{1，2} D．{1，2，3}【答案】D【详解】由于集合是由三个元素构成，所以.故选：D2．（2022·江苏·金陵中学高三学业考试）已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，，,故选：C3．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）集合，用列举法可以表示为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：因为，可得；所以.故选：C高频考点二：集合间的基本关系1．（2021·辽宁大连·高三学业考试）已知集合，则有（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】集合．对于不对．对于对；对于不对；对于不对．故选：．2．（2022·全国·高一学业考试）已知集合，则集合的真子集的个数为（

）A．7 B．8 C．15 D．16【答案】A【详解】解：由题意得：，其真子集有：，，，，，，，共7个．故选：A．3．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）已知集合，若，则（

）A．3 B．4 C． D．【答案】D【详解】解：因为且，所以，且，又，所以和为方程的两个实数根，所以；故选：D高频考点三：集合的基本运算1．（2022·浙江·高三学业考试）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由子集定义，可知.故选：C2．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知全集，设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，所以．故选：A.3．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知全集，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意得全集，若，则，故选:C4．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】.故选：A.5．（2022·贵州·高二学业考试）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由得，.故选：A.6．（2022·福建·上杭一中高二学业考试）设全集，已知集合，则如图所示的阴影部分的集合等于（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，阴影部分表示的集合为，故选：B7．（2022·全国·高一学业考试）已知集合A＝，．(1)当m＝1时，求AB，(A)B；(2)若AB＝A，求实数m的取值范围．试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并完成解答．①函数的定义域为集合B；②不等式的解集为B．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)；(2)（1）选条件①：（1）当时，，选条件②：此时集合与①相同，其余答案与①一致；（2）若，则当时，，解得当时，，即，解得综上，实数m的取值范围为1.2常用逻辑用语知识回顾1、充分条件、必要条件与充要条件的概念（1）若，则是的充分条件，是的必要条件；（2）若且，则是的充分不必要条件；（3）若且，则是的必要不充分条件；（4）若，则是的充要条件；（5）若且，则是的既不充分也不必要条件.2、全称量词与存在量词（1）全称量词短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.（2）存在量词短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.（3）全称量词命题及其否定①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：.②全称量词命题的否定：.（4）存在量词命题及其否定①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：.②存在量词命题的否定：.高频考点高频考点一：充分条件与必要条件1．（2022·福建·上杭一中高二学业考试）下列有关命题的说法正确的是（

）A．命题“存在，”的否命题是：“存在，”B．“”是“”的必要不充分条件C．命题“存在，使得”的否定是：“任意，均有”D．命题“若，则”的为真命题【答案】D【详解】A选项，命题“存在，”的否命题是：“不存在，”，所以A选项错误.B选项，，或，所以“”是“”的充分不必要条件，B选项错误.C选项，命题“存在，使得”的否定是：“任意，均有”，所以C选项错误.D选项，命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”，这是一个真命题，所以原命题也是真命题，所以D选项正确.故选：D2．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）“0<x<2”成立是“”成立的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【详解】解：“0<x<2”成立时，“”一定成立，所以“0<x<2”成立是“”成立的充分条件；“”成立时，“0<x<2”不一定成立，所以“0<x<2”成立是“”成立的非必要条件.所以“0<x<2”成立是“”成立的充分不必要条件.故选：A3．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）设，则“”是“”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【详解】解：因为，故由可得或，由，可得，故“”是“”必要不充分条件.故选：B.4．（2022·全国·高一学业考试）条件p：－2<x<4，条件q：(x＋2)(x＋a)<0；若q是p的必要而不充分条件，则a的取值范围是()A．(4，＋∞) B．(－∞，－4) C．(－∞，－4] D．[4，＋∞)【答案】B【详解】因为q是p的必要而不充分条件所以，所以，即，答案选B．5．（2022·全国·高一学业考试）已知集合，．(1)若a＝1，求；(2)给出以下两个条件：①A∪B＝B；②““是“”的充分不必要条件．在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若_____________，求实数a的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】(1)(2)（1）当时，集合，因为，所以；（2）若选择①，则由A∪B＝B，得．当时，即，解得，此时，符合题意；当时，即，解得，所以，解得：；所以实数的取值范围是．若选择②，则由““是“”的充分不必要条件，得A⫋B．当时，，解得，此时A⫋B，符合题意；当时，，解得，所以且等号不同时取，解得；所以实数的取值范围是．高频考点二：全称量词与存在量词1．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）命题：“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【详解】全称命题的否定是特称命题，命题：“，”的否定是：，．故选：B2．（2022·浙江·太湖高级中学高二学业考试）命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【详解】解：命题“，”为存在量词命题，其否定为：，；故选：C3．（2022·安徽师范大学附属中学高一学业考试）已知命题，，则是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【详解】命题为全称命题，该命题的否定为，，故选：D.4．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知命题，则的否定是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以的否定是：.故选：C5．（2022·浙江·高三学业考试）已知函数，，若对，，使得，则实数的取值范围为______.【答案】【详解】因为若对，，使得，所以，因为的对称轴为，所以，因为，，所以所以，即所以6．（2022·浙江·高三学业考试）已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是_______.【答案】【详解】因为，所以可化为：，整理得：，将代入上式整理得：，令，，则，不等式可化为：，，所以存在实数，使得成立可转化成：存在，使得成立，由函数，可得：，所以，解得：.1.3集合与常用逻辑用语实战一、单选题1．（2022·江苏·海安市曲塘中学高一开学考试）下列各组对象不能构成集合的是（

）A．上课迟到的学生 B．小于π的正整数C．2022年高考数学试卷上的难题 D．所有有理数【答案】C【详解】上课迟到的学生属于确定的互异的对象，所以能构成集合；小于的正整数分别为，所以能够组成集合；2022年高考数学试卷上的难题界定不明确，所以不能构成集合；任意给一个数都能判断是否为有理数，所以能构成集合.故选：C.2．（2022·湖南·永兴县童星学校高一阶段练习）下列结论不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：由表示自然数集，知，故A正确；由表示有理数集，知，故B正确；由表示实数集，知，故C错；由表示整数集，知，故D正确.故选：C3．（2022·全国·高一课时练习）以下五个写法中：①；②；③；④；⑤；正确的个数有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【详解】对于①：是集合与集合的关系，应该是，①不对；对于②：空集是任何集合的子集，，②对；对于③：是一个集合，是集合与集合的关系，，③不对；对于④：根据集合的无序性可知，④对；对于⑤：是空集，表示没有任何元素，应该是，⑤不对；正确的是：②④．故选：B．4．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）命题“，”的否定为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【详解】全称命题的否定为特称命题,“，”的否定为“，”.故选：C.5．（2022·湖南·怀化市辰溪博雅实验学校高二学业考试）设全集，，（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为全集，，所以.故选：C6．（2022·福建·高二学业考试）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：因为集合，所以，故选：A.7．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）设，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】由于不等式的解集为，则可推出，反之不成立，所以“”是“”的充分而不必要条件．故选：A.8．（2022·广西河池·模拟预测（理））设集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，则实数x的值组成的集合为（

）A．{5} B．{1} C．{0，5} D．{0，1}【答案】C【详解】解：因为，所以，解得或，的取值集合为，故选：C9．（2022·全国·高一学业考试）命题“，”的否定为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【详解】根据全量词命题的否定为存在量词命题，可得命题“”的否定为“”.故选:C.10．（2022·全国·高一课时练习）设计如图所示的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是（

）A． B．C． D．【答案】C合C闭合，灯泡B也亮，即“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件；对于B，灯泡B亮当且仅当开关A闭合，即“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件；对于C，开关A闭合，灯泡B不一定亮，而开关A不闭合，灯泡B一定不亮，即“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件；对于D，开关A闭合与否，只要开关C闭合，灯泡B就亮，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件．故选：C二、多选题11．（2022·宁夏·银川二中高一阶段练习）已知集合，，集合A与的关系如图，则集合可能是（

）A． B． C． D．【答案】BD【详解】由图知：，，根据选项可知或．故选：BD.12．（2022·全国·高一单元测试）已知集合，若，则的取值可以是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】AB【详解】解：因为，所以，所以或；故选：AB13．（2022·江苏·高一课时练习）（多选）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是（

）A．， B．所有的正方形都是矩形C．， D．至少有一个实数x，使【答案】AC【详解】A.原命题的否定为：，，是全称量词命题；因为，所以原命题的否定为真命题，所以该选项符合题意；B.原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题.所以该选项不符合题意；C.原命题为存在量词命题，所以其否定为全称量词命题，对于方程，，所以，所以原命题为假命题，即其否定为真命题，所以该选项符合题意；.D.原命题的否定为：对于任意实数x，都有，如时，，所以原命题的否定不是真命题，所以该选项不符合题意.故选：AC14．（2022·江苏·高一单元测试）命题“∀1≤x≤3，－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是（

）A．a≥9 B．a≥11 C．a≥10 D．a≤10【答案】BC【详解】由得，因为命题为真，所以，记为，因为要求命题为真的充分不必要条件，所以所选答案中a的范围应为集合A的真子集.故选：BC三、填空题15．（2022·全国·高一学业考试）若命题p是命题“”的充分不必要条件，则p可以是___________.（写出满足题意的一个即可）【答案】，（答案不唯一）.【详解】因为当时，一定成立，而当时，可能，可能，所以是的充分不必要条件，故答案为：（答案不唯一）16．（2022·江西·修水中等专业学校模拟预测）用列举法表示______．【答案】【详解】解：因为且，所以或或或，解得或或或，所以对应的分别为、、、，即；故答案为：17．（2022·重庆·临江中学高三开学考试）已知集合，，若是假命题，则实数a的取值范围是______．【答案】【详解】若是真命题，则，∴当是假命题时，．故答案为：.18．（2022·全国·高一课时练习）已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是________.【答案】【详解】由题意得，“，”是真命题，则对恒成立，在区间上，的最小值为，所以，即a的取值范围是.故答案为：第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质2.2基本不等式2.3二次函数与一元二次方程、不等式2.4一元二次函数、方程和不等式实战2.1等式性质与不等式性质知识回顾1、不等式的概念在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式.自然语言大于小于大于或等于小于或等于至多至少不少于不多于符号语言2、实数大小的比较1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对.2、作差法比大小：①；②；③3、不等式的性质性质性质内容特别提醒对称性（等价于）传递性（推出）可加性（等价于可乘性注意c的符号（涉及分类讨论的思想）同向可加性同向同正可乘性可乘方性a，b同为正数可开方性高频考点1．（2022·贵州·高二学业考试）已知，则下列不等关系中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：因为，所以，故A正确；对于B：当时，故B错误；对于C：当，，显然满足，但是，故C错误；对于D：当，，显然满足，但是，故D错误；故选：A2．（2022·北京·高三学业考试）已知a，b是实数，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由于，所以，A选项正确.，BD选项错误.，C选项错误.故选：A3．（2022·湖南娄底·高二学业考试）已知，bR，且＜b，则下列不等式一定成立的是（

）A．+3<b+3 B．5>b5 C．2>2b D．【答案】A【详解】因为，bR，且＜b，所以由不等式的性质可得，，，，所以A正确，BCD错误，故选：A4．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）若，则下列关系一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】对A，当，故A错误；对B，当时，，故B错误；对C，同向不等式的可加性，故C正确；对D，若，不等式显然不成立，故D错误；故选：C.5．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知，，则的范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，故，，得故选：B6．（2022·浙江·台州市书生中学高二学业考试）（1）已知,求的取值范围；（2）已知实数满足求的取值范围.【答案】（1）（2）【详解】（1）由题意,,则,因为,所以,又,即,则.故的取值范围是.（2）设,则,解得.所以,则.故的取值范围是.2.2基本不等式知识回顾1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）①如果，，，当且仅当时，等号成立．②其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．2、两个重要的不等式①（）当且仅当时，等号成立．②（）当且仅当时，等号成立．3、利用基本不等式求最值①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值；②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值；高频考点1．（2022·湖南·怀化市辰溪博雅实验学校高二学业考试）已知，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，，当且仅当时等号成立，故选：B2．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）设x，y为正数，则的最小值为（

）A．6 B．9 C．12 D．15【答案】B【详解】，因为x，y为正数，所以（当且仅当时取等号，即当时取等号），因此，故选：B3．（2022·湖北·高二学业考试）已知正实数、满足，则的取值可能为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：因为正实数、满足，所以，，当且仅当，即时，等号成立，故选：D4．（2022·浙江·太湖高级中学高二学业考试）已知且，则的最小值为（

）A．3+ B．4 C．2 D．6【答案】A【详解】解：因为，且，所以，则，当且仅当，时等号成立.故选：A5．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知正实数，且，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为正实数，，故，所以，故，当且仅当时取得等号，故选：C6．（多选）（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知实数，，，则的值可能是（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】BCD【详解】因为，，，所以，当且仅当，即时取等号，所以，可能为8,9,10.故选：BCD7．（多选）（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）已知正实数满足，则（

）A．B．的最小值为C．的最小值为9D．的最小值为【答案】AC【详解】解：因为，则，即，又为正实数，则，所以，，故A项正确；因为，所以，又，所以，故B项错误；因为，且为正实数，即，则，所以，当且仅当，即时等号成立，故C项正确；因为，所以，则，当且仅当时，等号成立，但由可得，当时，，且，故D项错误.故选：AC.8．（2022·天津河东·高二学业考试）若正数a，b满足，则的最小值为___________.【答案】【详解】解：因为、且，所以，当且仅当，即、时取等号；故答案为：9．（2022·天津南开·高二学业考试）若，则的最大值是______．【答案】【详解】，则.当且仅当，即时，等号成立.即的最大值是.故答案为：.10．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）函数的值域为__________．【答案】【详解】因为，可得，当且仅当时，即时，等号成立，所以函数的值域为.故答案为：.2.3二次函数与一元二次方程、不等式知识回顾1、二次函数（1）形式：形如的函数叫做二次函数.（2）特点：①函数的图象与轴交点的横坐标是方程的实根.②当且()时，恒有()；当且()时，恒有().2、一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.3.或型不等式的解集不等式解集4、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式二次函数的图象一元二次方程的根有两相异实数根，()有两相等实数根没有实数根一元二次不等式的解集一元二次不等式的解集高频考点1．（2022·贵州·高二学业考试）不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由得，解得，即解集为.故选：C.2．（2022·湖南·怀化市辰溪博雅实验学校高二学业考试）的解集为（

）A． B．或 C． D．【答案】B【详解】解：因为时，解得或，所以的解集为或.故选：B.3．（2022·广西·高二学业考试）不等式的解集为（

）A．R B． C． D．【答案】B【详解】由，得，得，所以不等式的解集为.故选：B4．（2022·浙江·高三学业考试）不等式的解集为（

）A． B．C． D．或【答案】C【详解】由题意，等价于，解得，所以不等式的解集为.故选：C.5．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）不等式的解集为__________________..【答案】【详解】不等式可化为，即，解得，不等式的解集为.故答案为：.6．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）已知不等式，若不等式的解集为或，求的值.【答案】【详解】∵不等式的解集为{x|x<-3或x>-2}∴k<0且是方程的两根.由韦达定理得所以，即7．（2022·天津红桥·高二学业考试）已知函数，其中，.(1)若，求实数的值；(2)若时，求不等式的解集；(3)求不等式的解集.【答案】(1)(2)(3)当时，解集为；当时，解集为(1)因为，所以；(2)若时，，即，解得，不等式的解集为；(3)因为，所以，即当时，解集为；当时，或，解集为.2.4一元二次函数、方程和不等式实战一、单选题1．若，则下列正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】A.由，两边同时减去c，有，正确；B.，时，不成立，错误；C.当时，由则，错误；D.，时，不成立，错误.故选：A2．下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，，则C．若，则 D．若，则【答案】B【详解】对于A：当时，若，则，故选项A错误；对于B：若，，则，故选项B正确；对于C：当，时，满足，但是，故选出C错误；对于D：若，则，选项D错误.故选：B.3．不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】或，的图象是开口向上的抛物线，所以不等式的解集是．故选：B．4．已知，则的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【详解】根据题意，，则，当且仅当，即时等号成立，即的最小值是4；故选：D.5．已知，那么函数有（

）A．最大值2 B．最小值2 C．最小值4 D．最大值4【答案】B【详解】，等号成立当且仅当，函数的最小值2，故选：B.6．不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，解得，所以不等式的解集为.故选：D7．已知正数，满足，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．6【答案】B【详解】由题得当且仅当时取等.所以的最小值为2.故选：B8．若不等式对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】当时，即，此时恒成立，满足条件；当时，因为对任意实数都成立，所以，解得，综上可知，，故选：D.二、多选题9．若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是（

）A．a+c>b+c B．ac2≥bc2C． D．(a+b)(a-b)>0【答案】AB【详解】对于A，因a，b，c∈R，a>b，则a+c>b+c，A正确；对于B，因c2≥0，a>b，则ac2≥bc2，B正确；对于C，当c=0时，，C不正确；对于D，当a=1，b=-1，满足a>b，但(a+b)(a-b)=0，D不正确．故选：AB10．已知正实数满足，则（

）A．B．的最小值为C．的最小值为9D．的最小值为【答案】AC【详解】解：因为，则，即，又为正实数，则，所以，，故A项正确；因为，所以，又，所以，故B项错误；因为，且为正实数，即，则，所以，当且仅当，即时等号成立，故C项正确；因为，所以，则，当且仅当时，等号成立，但由可得，当时，，且，故D项错误.故选：AC.三、填空题11．不等式的解集是______.【答案】【详解】原不等式可化为，．故答案为：．12．已知，，，则的最小值为__________．【答案】【详解】解：由，得，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故答案为：13．已知函数，在区间上不单调，则实数的取值范围是___________．【答案】【详解】函数对称轴为，因为函数在区间上不单调，所以，解得，所以实数的取值范围是，故答案为：14．已知△ABC三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，D是线段BC上任意一点，ADBC，且AD＝BC，则的取值范围是_________.【答案】【详解】因为ADBC，且，D是线段BC上任意一点，所以当点D与B重合时，c最小，b最大，取最大值，当点D与C重合时，c最大，b最小，取最小值，所以，由对勾函数的性质可得.故答案为：.四、解答题15．已知函数，其中.（1）若，求实数的值；（2）若时，求不等式的解集；（3）求不等式的解集.【答案】（1）；（2）；（3）当时，解集为；当时，解集为.【详解】解：（1）因为，所以，解得.（2）若时，，即，解得，不等式的解集为；（3）因为，所以，所以当时，解集为当时，解集为综上，当时，解集为；当时，解集为.16．近年来，某西部乡村农产品加工合作社每年消耗电费24万元.为了节能环保，决定修建一个可使用16年的沼气发电池，并入该合作社的电网.修建沼气发电池的费用（单位：万元）与沼气发电池的容积（单位：米3）成正比，比例系数为0.12.为了保证正常用电，修建后采用沼气能和电能互补的供电模式用电.设在此模式下，修建后该合作社每年消耗的电费（单位：万元）与修建的沼气发电池的容积（单位：米3）之间的函数关系为（，k为常数）.记该合作社修建此沼气发电池的费用与16年所消耗的电费之和为（单位：万元）.（1）解释的实际意义，并写出关于的函数关系；（2）该合作社应修建多大容积的沼气发电池，可使最小，并求出最小值.（3）要使不超过140万元，求的取值范围.【答案】（1）的实际意义是未修建沼气发电池时，该合作社每年消耗的电费；，；（2）该合作社应修建容积为立方米的沼气发电池时，可使最小，且最小值为万元；（3）.【详解】（1）的实际意义是修建这种沼气发电池的面积为时的用电费用，即未修建沼气发电池时，该合作社每年消耗的电费；由题意可得，，则；所以该合作社修建此沼气发电池的费用与16年所消耗的电费之和为，；（2）由（1），当且仅当，即时，等号成立,即该合作社应修建容积为立方米的沼气发电池时，可使最小，且最小值为万元；（3）为使不超过140万元，只需，整理得，则，解得，即的取值范围是第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.2函数的基本性质3.3幂函数3.4函数的应用（一）3.5函数的概念与性质实战3.1函数的概念及其表示知识回顾1、函数的概念设、是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合到集合的一个函数，记作，.其中：叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．2、同一（相等）函数函数的三要素：定义域、值域和对应关系．同一（相等）函数：如果两个函数的定义和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．3、函数的表示函数的三种表示法解析法（最常用）图象法（解题助手）列表法就是把变量，之间的关系用一个关系式来表示，通过关系式可以由的值求出的值.就是把，之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量，的值.就是将变量，的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系.高频考点1．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）如图，可以表示函数的图象的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】根据函数的定义，对于一个，只能有唯一的与之对应，只有D满足要求故选：D2．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以要使式子有意义，则，解得，即.所以函数的定义域是.故A，C，D错误.故选：B.3．（2022·浙江·高二学业考试）下列函数中表示同一函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】B【详解】选项A：函数的定义域为R，函数的定义域为，故不是同一函数，选项B：函数与的关系式相同，定义域相同，故是同一函数，选项C：因为，则，函数，则，故不是同一函数，选项D：因为，而，故不是同一函数，故选：B．4．（2022·湖北·高二学业考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：因为函数的定义域为，即，所以，令，解得，所以函数的定义域为；故选：A5．（2022·四川·高三学业考试）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】函数的图象，是将函数先向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到；又由于函数图象关于原点中心对称，所以图象关于中心对称，所以C正确.故选：C.6．（多选）（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）矩形的面积为，如果矩形的长为，宽为，对角线为，周长为，下列正确的（

）A．（） B．（）C．（） D．（）【答案】ABD【详解】对于A，因为矩形的面积为，矩形的长为，宽为，所以，得，所以矩形的周长为（），所以A正确，对于B，由选项A，可知（），所以B正确，对于C，因为矩形的面积为，对角线为，长为，宽为，所以，当且仅当时等号成立，所以，，因为，所以，所以矩形的周长为（），所以C错误，对于D，由选项C可知，，所以，因为，所以（），所以D正确，故选：ABD7．（2022·甘肃·天水市第一中学高二学业考试）已知函数，则___________.【答案】【详解】，.故答案为：.8．（2022·北京·高三学业考试）对于温度的计量，世界上大部分国家使用摄氏温标（），少数国家使用华氏温标（），两种温标间有如下对应关系：摄氏温标（）…01020304050…华氏温标（）…32506886104122…根据表格中数值间呈现的规律，给出下列三个推断：①对应；②对应；③存在某个温度，其摄氏温标的数值等于其华氏温标的数值．其中所有正确推断的序号是_____________．【答案】①②③【详解】设摄氏温标为x，对应的华氏温标为y,根据表格数据可知∴，即，∴时，，时，，故①②正确；由，可得，即摄氏温标对应的华氏温标为，故③正确.故答案为：①②③.9．（2022·全国·高一专题练习）已知函数是一次函数，且，求的表达式．【答案】．【详解】由题意，设一次函数的解析式为，因为，可得，整理得，即，解得，所以函数的表达式为.10．（2022·北京·高三学业考试）已知函数则________；方程的解为________．【答案】

－2

1【详解】2×(－1)＝－2；x＜0时，f(x)＜0，故f(x)＝1＞0时，x≥0，则，解得x＝1.故答案为：－2；1.3.2函数的基本性质知识回顾1、函数的单调性（1）单调性的定义一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，；①当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数②当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数（2）单调性简图：（3）单调区间（注意先求定义域）若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间．2、函数的最值（1）设函数的定义域为，如果存在实数满足①对于任意的，都有；②存在，使得则为最大值（2）设函数的定义域为，如果存在实数满足①对于任意的，都有；②存在，使得则为最小值3、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数图象关于轴对称奇函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数图象关于原点对称4、函数对称性（1）轴对称：若函数关于直线对称，则①；②；③（2）点对称：若函数关于直线对称，则①②③（2）点对称：若函数关于直线对称，则①②③高频考点1．（2022·贵州·高二学业考试）已知函数为偶函数，且，则（

）A．1 B．3 C．4 D．7【答案】C【详解】由偶函数的性质得.故选：C.2．（2022·贵州·高二学业考试）函数的单调递增区间是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由知，函数为开口向上，对称轴为的二次函数，则单调递增区间是.故选：B.3．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）下列函数中，既是偶函数，又在区间内单调递增的有（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】当时，函数，其在区间内单调递减，故A不正确；函数的定义域为，且，所以是奇函数，故B不正确；函数的定义域为，且，所以是偶函数，由二次函数的性质可知函数在区间内单调递增，故C正确；函数的定义域为，且，所以是奇函数，故D不正确；故选：C.4．（2022·浙江·台州市书生中学高二学业考试）已知函数的图像关于点对称，则（

）A． B． C．1 D．3【答案】C【详解】图象关于点对称，，又，，，解得：，.故选：C.5．（2022·浙江·高三学业考试）已知函数在区间（-∞，1]是减函数，则实数a的取值范围是（

）A．[1，+∞） B．（-∞，1] C．[-1，+∞） D．（-∞，-1]【答案】A【详解】对称轴为，开口向上，要想在区间（-∞，1]是减函数，所以.故选：A6．（2022·福建·高二学业考试）若函数为奇函数，且在内是增函数，又，则的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】解：因为函数为奇函数，且在内是增函数，，所以或时，；或时，；，即，可知或.故选：A.7．（2022·福建·上杭一中高二学业考试）以下函数图象中不为奇函数的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【详解】奇函数的图象关于原点对称，所以A选项的图象是奇函数的图象，BCD选项的不是奇函数的图象.故选：BCD8．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知，函数，存在，使得对任意的，都有，则的取值范围是___________．【答案】【详解】根据对勾函数的性质，函数在上单调递减，在上单调递增.且.又在上恒为正，且存在，使得对任意的，都有，故，因为，故只需即可.（1）当时，不成立；（2）当时，，故，即，，解得.综上有.故答案为：.9．（2022·贵州·高二学业考试）已知定义在R上的函数f（x）同时满足以下两个条件：①对任意，把有；②对任意，都有．则不等式的解集为___．【答案】【详解】由，可得：，令，则，即函数为偶函数，因为对任意，都有，所以函数在上单调递增，即函数在上单调递增，由，得，即，因为函数为偶函数，所以则，，，解得或，故答案为：.10．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）设函数.(1)当a=8时，求f(x)在区间[3，5]上的值域；(2)若，使f(xi)=g(t)，求实数a的取值范围.【答案】(1)(2)（1）当时，，所以函数在上递减，在上递增，又，，，所以函数在上的值域是，（2），因为，所以在上递增，在上递减，在上递增，所以符合题意的必须满足或，即或，（ⅰ）当时，函数在上递减，在上递增，在上递增，由题意得，关于的方程在至少有两个不同的解，等价于，即，解得：所以（ⅱ）当时，，而当时，，所以方程无解，综上，实数的取值范围是，另解：，，因为，所以在上递增，在上递减，在上递增，（ⅰ）当时，在上递增，因为，所以在上递增，，当在上递增，所以不存在，使得，（ⅱ）当时，在上递增，，①若，在上递增，所以不存在，使得，②若，在上递减，在上递增，由题意，关于的方程在至少有两个不同的解所以，解得：所以；③若，而当时，，所以不存在，使得，综上，实数的取值范围是11．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）已知函数.(1)若函数为偶函数，求的值；(2)设函数，已知当时，存在最大值，记为.（i）求的表达式；（ii）求的最大值.【答案】(1)(2)（i）；（ii）(1)解：因为为偶函数，所以，即，即，所以，即，所以；(2)解：（i）因为，所以，因为，所以，①当时，因为在上单调递减，在上单调递增，所以当即时，，当即时，，②当时，又在上单调递增，所以，因为，所以当时，又，所以当时，当时，综上可得：，（ii）因为函数，与，均在定义域上单调递增，又，，所以；12．（2022·天津南开·高二学业考试）已知函数．(1)若为偶函数，求a的值；(2)若在上有最小值9，求a的值．【答案】(1)(2)或(1)解：由题意，函数，可得其对称轴方程为，因为函数为偶函数，所以二次函数的对称轴为，所以，解得.(2)解：由（1）知，函数，对称轴方程为，①当，即时，函数在上为增函数，所以函数的最小值为，解得；②当，即时，函数在单调递减，在单调递增，所以函数的最小值为，此时方程无解；③当，即时，函数在上为减函数，所以函数的最小值为，解得或（舍去），综上所述，满足条件的的值为或.13．（2022·甘肃·天水市第一中学高二学业考试）已知函数.(1)若函数在是增函数，求的取值范围；(2)若对于任意的，恒成立，求的取值范围.【答案】(1)(2)（1）因为函数，所以对称轴为，因为在是增函数，所以，解得（2）因为对于任意的，恒成立，即在时恒成立，所以在时恒成立，设，则对称轴为，即在时恒成立，当，即时，，解得；当，即时，，解得（舍去），故.3.3幂函数知识回顾1、幂函数定义一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数．2、五种常见幂函数函数图象性质定义域值域奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在上单调递增在上单调递减；在上单调递增在上单调递增在上单调递增在和上单调递减公共点高频考点1．（2022·贵州·高二学业考试）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：因为，即，定义域为，且，即为奇函数，又由幂函数的性质可知在上单调递减，所以在上单调递减，故符合题意的只有C；故选：C2．（2022·浙江·台州市书生中学高二学业考试）已知幂函数上单调递增，则（

）A．0 B． C． D．【答案】A【详解】因为幂函数上单调递增，所以且，解得，故选：A3．（2022·浙江·杭州市余杭高级中学高二学业考试）函数的大致图象是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】的定义域为，且，为偶函数，图象关于轴对称，可排除；，由幂函数性质知：在上单调递增，但增长速度越来越慢，可排除AC.故选：B.4．（2022·浙江·台州市书生中学高二学业考试）设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=A． B．C． D．【答案】D【详解】是奇函数，时，．当时，，，得．故选D．5．（2022·辽宁·大连二十四中高三阶段练习）当时，幂函数为减函数，则_________．【答案】2【详解】函数为幂函数，则，解得或，又因为函数在上单调递减，可得，可得，故答案为：26．（2022·浙江·余姚市实验高中高一开学考试）已知幂函数y=f（x）的图象经过点（4，2），那么这个幂函数的解析式为___________．【答案】【详解】设幂函数，∵幂函数的图象经过点，∴，∴，∴这个幂函数的解析式为．故答案为：．7．（2022·四川省绵阳南山中学高二期末（文））幂函数y＝（m∈Z）的图象如图所示，则实数m的值为________.【答案】1【详解】有图象可知：该幂函数在单调递减，所以，解得，,故可取，又因为该函数为偶函数，所以为偶数，故故答案为：8．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）已知幂函数的图象过点.(1)求出此函数的解析式；(2)判断函数的奇偶性,并给予证明.【答案】(1)；(2)奇函数，证明见解析.(1)设幂函数，因为的图象过点，所以有，因此；(2)函数是奇函数，理由如下：因为，所以函数是奇函数.9．（2022·全国·高一）已知幂函数为偶函数．（1）求的解析式；（2）若函数在区间上的最大值为，求实数的值．【答案】（1）的解析式为；（2）实数的值为2.【详解】解：（1）由幂函数可知，解得或当时，，函数为偶函数，符合题意；当时，，不符合题意；故求的解析式为（2）由（1）得：函数的对称轴为：，开口朝上，由题意得在区间上，解得所以实数的值为2.10．（2022·全国·高一学业考试）已知幂函数的图象经过点，则______，若，则实数的取值范围是______．【答案】

##0.5

【详解】由题意可得，，所以，所以幂函数．可知函数在上单调递增，由，得，解得：．故答案为：；.3.4函数的应用（一）知识回顾常见几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型(，为常数，)二次函数模型(，，为常数，)分段函数模型幂函数模型(，，为常数，)高频考点1．（2022·湖南娄底·高二学业考试）一个矩形的周长是20，矩形的长y关于宽x的函数解析式为（）（默认y>x）A．y＝10－x(0<x<5)B．y＝10－2x(0<x<10)C．y＝20－x(0<x<5)D．y＝20－2x(0<x<10)【答案】A【详解】由题意可知2y＋2x＝20，即y＝10－x，又10－x>x，所以0<x<5.所以函数解析式为.故选：A2．（2022·全国·高一课时练习）某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（

）A．310元 B．300元C．390元 D．280元【答案】B【详解】依题意，解得.故选：B3．（2022·全国·高一课时练习）下列四个图象中，与所给三个事件吻合最好的顺序为（

）①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；②我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；③我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.其中y表示离开家的距离，t表示所用时间.A．④①② B．③①② C．②①④ D．③②①【答案】A【详解】对于事件①，中途返回家，离家距离为0，故图像④符合；对于事件②，堵车中途耽搁了一些时间，中间有段时间离家距离不变，故图像①符合；对于事件③，前面速度慢，后面赶时间加快速度，故图像②符合；故选：A.4．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，若，则的取值范围是（

）A．， B．，C．，， D．，，【答案】D【详解】因为在每段定义域对应的解析式上都有可能使得成立，所以将原不等式转化为：或，从而得或．故选：D．5．（2022·河南·郑州十九中高三阶段练习（文））函数的零点所在的区间为A． B． C． D．【答案】C【详解】，易知函数单调递增，，，,故函数在上有唯一零点.故选：C.6．（2022·全国·高一课时练习）夏季山上气温从山脚起每升高100米，降低0.7℃，已知山顶气温是14.1℃，山脚下气温是26℃，那么山顶相对山脚的高度是

A．1500米 B．1600米 C．1700米 D．1800米【答案】C【详解】由（米）,知应选C.7．（多选）（2022·全国·高一课时练习）某商品A以每件2元的价格出售时，销售量为10万件.经过调查，单价每提高0.2元，销售量减少5000件，要使商品A销售总收入不少于22.4万元，该商品A的单价可定为（

）A．2.6元 B．2.8元 C．3元 D．3.2元【答案】BCD【详解】设商品A的单价为元，则销量为万件，此时商品A销售总收入为万元，根据题意有，解得，故BCD符合题意.故选:BCD8．（多选）（2022·全国·高一课时练习）已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示：型号小包装大包装质量100克300克包装费0.5元0.7元销售价格3.00元8.4元则下列说法正确的是（

）A．买小包装实惠B．买大包装实惠C．卖3小包比卖1大包盈利多D．卖1大包比卖3小包盈利多【答案】BD【详解】大包装300克8.4元，则等价为100克2.8元，小包装100克3元，则买大包装实惠，故B正确，卖1大包的盈利8.4-0.7-1.8×3=2.3(元)，卖1小包盈利3-0.5-1.8=0.7(元)，则卖3小包盈利0.7×3=2.1(元)，则卖1大包比卖3小包盈利多，故D正确.故选：BD9．（2022·全国·高一课时练习）已测得的两组值为，，现有两个拟合模型，甲：，乙：.若又测得的一组对应值为，则选用________作为拟合模型较好．【答案】甲【详解】对于甲：时，，对于乙：时，，因此用甲作为拟合模型较好．故答案为：甲10．（2022·全国·高一课时练习）某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算．可以享受折扣优惠金额折扣优惠率不超过500元的部分5%超过500元的部分10%某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为__________元．【答案】1120【详解】设顾客选购物品的总金额为元,获得的折扣优惠金额为元,则当时,,当时,,令,得,解得,所以应舍去;当时,,令,所以,解得,符合题意,所以他实际所付金额为1150-30=1120元.故答案为:1120.11．（2022·全国·高一课时练习）吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产万盒，需投入成本万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式；(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？【答案】(1)(2)70万盒（1）当产量小于或等于50万盒时，，当产量大于50万盒时，，故销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式为（2）当时，；当时，，当时，取到最大值，为1200．

因为，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．12．（2022·全国·高一课时练习）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图2.(1)分别写出两种产品的年收益和的函数关系式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？【答案】(1)，(2)投资债券类产品万元，股票类投资为万元，收益最大为万元（1）依题意：可设，，∵，，∴，.（2）设投资债券类产品万元，则股票类投资为万元，年收益为万元，依题意得：，即，令，则，，则，，所以当，即万元时，收益最大，万元.3.5函数的概念与性质实战一、单选题1．已知幂函数的图象经过点，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【详解】由题意，幂函数的图象经过点，则，故选：D2．定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题图知：在上的单调递减，在上的单调递增，所以的单调递减区间为.故选：B3．函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由解析式有意义可得，故，故函数的定义域为故选：D.4．下列函数中，与函数相同的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：对于A，，与函数的对应关系不相同，故不是相同函数；对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域不相同，故两函数不是相同函数；对于C，两函数的定义域都是，且对应关系相同，故两函数为相同函数；对于D，，与函数的对应关系不相同，故不是相同函数.故选：C.5．已知函数则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】因为函数，所以.故选：B6．已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为该函数为增函数，所以，故选：A7．若函数是奇函数，且在上是增函数，又，则解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为函数是奇函数，所以有，因为奇函数在上是增函数，所以该函数在上也是增函数，当时，由，当时，由，所以不等式的解集为故选：C8．已知函数，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】解：，当时，，所以或；当时，，所以，所以不等式的解集是，，，故选：A．9．已知函数，若对任意恒成立，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为在单调递增，在单调递增，所以在单调递增.所以.因为对任意恒成立，所以.故选：D10．已知函数，，则的图象不可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】定义域为R.因为，所以为偶函数.，其图像关于y轴对称，对照四个选项的图像，只能选D.故选:D二、多选题11．函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的有（

）．A．；B．若在上有最小值，则在上有最大值3；C．若在上为减函数，则在上是增函数.D．【答案】AB【详解】选项A：函数是定义在R上的奇函数，则，则.判断正确；选项B：奇函数的图像关于原点中心对称，故若在上有最小值，则在上有最大值3.判断正确；选项C：奇函数在上为减函数，但在上依旧是减函数.判断错误；选项D：函数是定义在R上的奇函数，则.判断错误.故选：AB12．已知函数，关于函数的结论正确的是（

）A．的最大值为B．C．若，则D．的解集为【答案】BD【详解】函数，在上单调递增，在上单调递减，故函数在时取最大值为，A选项错误；，B选项正确；当时，，解得，当时，，解得，C选项错误；当时，，解得，当时，，解得，D选项正确；故选：BD.13．已知函数是偶函数，在区间上单调，若，则有（

）A． B． C． D．【答案】AD【详解】函数是偶函数，在区间上单调，，，函数在区间上单调递增，区间上单调递减，，，，.故选：AD14．若函数的定义域为，值域为，则实数m的值可能为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】ABC【详解】函数的图象如图所示：因为函数在上的值域为，结合图象可得，故选：ABC.三、填空题15．函数，则__________．【答案】1【详解】∵，∴，即，∵，∴，即．故答案为：1．16．是定义在R上的奇函数，当时，，当x＜0时，=______.【答案】【详解】当时，，所以因为是定义在R上的奇函数，所以，所以故答案为：四、解答题17．已知函数．(1)当时，求值；(2)若是偶函数，求的最大值．【答案】(1)4(2)2(1)解：当时，，所以；(2)因为是偶函数，所以成立，即成立，所以，则，所以的最大值为2．18．已知函数，（1）判断并用定义证明的单调性；（2）求的值域.【答案】（1）增函数，证明见解析；（2）.【详解】（1）为增函数，证明如下：，，因为，可得：所以在上为增函数.（2）由第一问可知该函数在上为增函数，则当，有最小值，当，有最大值.因为，，所以函数值域为.19．设，已知函数.（1）若是奇函数，求的值；（2）当时，证明：；（3）设，若实数满足，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【详解】解：（1）由题意，对任意，都有，即，亦即，因此；（2）证明：因为，，.所以，.（3）设，则，当时，；当时，；，，所以.由得，即.①当时，，，所以；②当时，由（2）知，，等号不能同时成立.综上可知.20．已知函数.（1）若，求函数的单调区间；（2）求函数在区间的最小值；（3）关于的方程有解，求实数a的取值范围．【答案】（1）在区间上单调递减，在区间上单调递增；（2）答案见解析；（3）【详解】（1）当时，，∴关于直线对称，∴在区间上单调递减，在区间上单调递增.（2）由题意，，对称轴为，当时，在区间上单调递增，则；当时，在区间上单调递减，在上单调递增，则；当时，在区间上单调递减，则.（3）方程有解，即方程有解，∴，解得或.∴a的取值范围是．第四章指数函数与对数函数4.1指数与指数函数；4.2对数与对数函数4.3函数的应用（二）4.4指数函数与对数函数实战4.1指数与指数函数知识回顾1、根式的概念及性质（1）概念：式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数．（2）性质：①(且)；②当为奇数时，；当为偶数时，2、分数指数幂①正数的正分数指数幂的意义是(，，且)；②正数的负分数指数幂的意义是(，，且)；③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．3、指数幂的运算性质①；②；③.4、指数函数及其性质（1）指数函数的概念函数(，且)叫做指数函数，其中指数是自变量，函数的定义域是．（2）指数函数的图象和性质底数图象性质定义域为，值域为图象过定点当时，恒有；当时，恒有当时，恒有；当时，恒有在定义域上为增函数在定义域上为减函数注意指数函数(，且)的图象和性质与的取值有关，应分与来研究高频考点1．（2022·浙江·台州市书生中学高二学业考试）下列运算不正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】对于A，，故A正确；对于B，，成立，故B正确；对于C，，成立，故C正确；对于D，当且时，和无意义，故D错误，故选：D．2．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知，则下列不等式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】取，则，A错误；，C错误；，D错误；由可得，则，B正确.故选：B.3．（2022·广西·高二学业考试）函数的图象与y轴的交点坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】令，则，故函数的图象与y轴的交点坐标是.故选：B.4．（2022·天津河东·高二学业考试）已知三个数，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：因为，所以，故选：D5．（2022·浙江·台州市书生中学高二学业考试）已知函数,则（

）A．2 B．9 C．65 D．513【答案】A【详解】,故选：A6．（2022·福建·高二学业考试）若存在，使不等式成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】作出函数和函数的示意图，其中的图象是过点的直线，是直线的斜率，的图象与轴交于点，，题意说明在轴右侧，的图象上存在点在图象下方，由图象可知只要，即可满足题意．故选：B．7．（2022·安徽师范大学附属中学高一学业考试）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】当时，，则在上单调递增，又函数是上的偶函数，且，因此，，解得，所以不等式的解集为.故选：A8．（2022·四川·高三学业考试）已知函数为上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】函数为上的偶函数，当时，，可得，在单调递增函数，在单调递减函数．所以不等式等价为或，解得或，即不等式的解集为.故选：D．9．（2022·浙江·高三学业考试）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：根据题意，，其定义域为，有，即函数为奇函数，排除，又由，，所以，有，函数在不会是减函数，排除，故选：．10．（多选）（2022·全国·高一学业考试）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．函数的图象关于原点对称B．函数在R上不具有单调性C．函数的图象关于y轴对称D．当a＞1时，函数的最大值是0【答案】AC【详解】∵，∴为奇函数，的图象关于原点对称，A正确；当a＞1时，在R上为增函数，当0＜a＜1时，在R上为减函数，B错误;是偶函数，其图象关于y轴对称，C正确；当a＞1时，,故在上为减函数，在上为增函数，∴当时，取得最小值0，D错误．故选：AC．11．（2022·湖南·怀化市辰溪博雅实验学校高二学业考试）___________.【答案】2【详解】解：.故答案为：2.12．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）若函数的图像恒过定点，则该定点坐标为________．【答案】【详解】解：因为函数函数的图像恒过定点，函数图像向上平移一个单位即可得到的图像，所以函数的图像恒过定点.故答案为：13．（2022·全国·高一学业考试）计算：________.【答案】【详解】原式.故答案为：.14．（2022·天津红桥·高二学业考试）函数，当时，则的值为______.【答案】【详解】当时，，得；当时，，得，综上，，故答案为：.15．（2022·贵州·高二学业考试）已知函数(1)求的值；(2)若，求x的值．【答案】(1)5(2)或(1).(2)当时，，解得：，满足题意.当时，，解得：，满足题意.所以或.16．（2022·湖北·高二学业考试）已知函数．(1)用定义法证明：函数在区间上单调递增；(2)判断函数在上的零点个数（不需要证明）．【答案】(1)证明见解析(2)1个(1)证明：设，且，则因为，所以，，所以，，所以，所以，所以，，所以，即，所以函数在区间上单调递增；(2)解：因为，，令，，因为与在上单调递增，所以在上单调递增，又，，所以当时，当时，所以当时，当时，，所以在上有且仅有个零点；4.2对数与对数函数知识回顾1、对数的概念（1）对数：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数.（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数.（3）对数式与指数式的互化：.2、对数的性质、运算性质与换底公式（1）对数的性质根据对数的概念，知对数具有以下性质：①负数和零没有对数，即；②1的对数等于0，即；③底数的对数等于1，即；④对数恒等式.（2）对数的运算性质如果，那么：①；②；③.（3）对数的换底公式对数的换底公式：.换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以为底的自然对数.换底公式的变形及推广：①；②；3、对数函数及其性质（1）对数函数的定义形如(，且)的函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是．（2）对数函数的图象与性质图象性质定义域：值域：过点，即当时，在上是单调增函数在上是单调减函数高频考点1．（2022·贵州·高二学业考试）（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【详解】解：.故选：D2．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）计算：（

）A．10 B．1 C．2 D．【答案】B【详解】.故选：B3．（2022·浙江·高三学业考试）下列等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】对于A：，故A不正确；对于B：，故B不正确；对于C：∵,∴，故C正确，对于D：，故D不正确，故选：C.4．（2022·全国·高一学业考试）已知函数，则的值为（

）A． B． C． D．9【答案】B【详解】因为函数，所以，所以，故选：B5．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意知，，解得，则函数的定义域为.故选：C.6．（2022·湖南·怀化市辰溪博雅实验学校高二学业考试）函数曲线恒过定点（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为对数函数恒过点，所以函数曲线恒过点.故选：C7．（2022·天津河东·高二学业考试）下列函数与是同一个函数的是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】的定义域为R，A.，且定义域为R，故正确；B.，故错误；C.，故错误；D.，故错误；故选：A8．（2022·天津红桥·高二学业考试）设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：因为，，，所以.故选：D.9．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）关于函数的单调性的说法正确的是（

）A．在上是增函数 B．在上是减函数C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数【答案】C【详解】由函数的解析式知定义域为，设，显然在上是增函数，在上是增函数，由复合函数的单调性可知在上是增函数，故选：C10．（2022·浙江·高三学业考试）若对任意恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由，可得，所以，因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，令，则在上恒成立，令，则，当且仅当，即时，取等号，所以.故选：A11．（多选）（2022·福建·上杭一中高二学业考试）下列函数是奇函数且在上单调递减的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【详解】,,是奇函数，非奇非偶函数，在单调递减，在单调递增，在上单调递减，在单调递减，故既是奇函数，又在单调递减的函数有和，故选：AD12．（2022·天津河东·高二学业考试）已知函数，则__________.【答案】3【详解】解：，故答案为：3.13．（2022·浙江·太湖高级中学高二学业考试）计算：________.【答案】4【详解】，故答案为：14．（2022·浙江·台州市书生中学高二学业考试）已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，则_________．【答案】【详解】由题设，，又，所以.故答案为：.15．（2022·浙江·杭州市余杭高级中学高二学业考试）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则__________．【答案】【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，解得.所以.故答案为：16．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知定义在上的函数满足：，当时，，则等于___________.【答案】【详解】，，可得是最小正周期为2的周期函数，，，即，因此，，而，所以，故答案为：.17．（2022·湖南娄底·高二学业考试）已知f(x)＝ln是奇函数.(1)求m；(2)判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明.【答案】(1)－1；(2)在(1，＋∞)上单调递减，证明见解析.(1).是奇函数,,即,得,；(2)在上单调递减.证明:由(1)知.任取满足,,由知,,,即,又为增函数,,即在上是减函数.18．（2022·全国·高一学业考试）已知函数（且）的图象过点．(1)求a的值；(2)若，求的定义域并判断其奇偶性和单调递增区间．【答案】(1)(2)定义域为，在上单调递增，单调递增区间为（1）解：（1）由条件知，即，又且，∴．（2）（2）．①由，得，∴的定义域为．∵，∴是偶函数；②，∵函数单调递增，函数在上单调递增，故的单调递增区间为．19．（2022·全国·高一学业考试）已知函数.（1）若函数的值域为，求实数的取值范围；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）因为函数的值域为所以.当时，符合要求；当时，的最大值是，不符合要求；当时，由可得，此时.综上所述，实数的取