3.1 椭圆-(选择性必修第一册) (教师版)

椭圆1定义平面内与两个定点F1,F这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距.如图：P是椭圆上一点，P注PF1+PF2=2a>FPF1+PF2PF2几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程xy范围−a≤x≤a且−b≤y≤b−b≤x≤b且−a≤y≤a顶点ABAB轴长短轴长2b，长轴长焦点FF焦距Fa、b、c的关系a离心率e=3一些常见结论①通径：过焦点且垂直于长轴的弦，其长度为2b②最大角，P是椭圆上一点，当运动到短轴端点时，∠F③焦点三角形面积S∆P④焦半径PF1=a+e⑤椭圆x2a2

【题型一】椭圆的定义【典题1】设定点F10,－3、F2(0,3)动点P满足条件|PA．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段【解析】由题意得，|PF所以|P当且仅当a=9a时取等号，此时a=3因为定点F1(0,－3)、F当|PF1|+|PF2|=6当|PF1|+|PF2|>6时，点故选：D．【点拨】注意椭圆定义的常数要大于两定点距离.【典题2】如图，点A是平面α外一定点，过A作平面α的斜线l，斜线l与平面α所成角为50°．若点P在平面α内运动，并使直线AP与l所成角为35°，则动点A．圆B．椭圆C．抛物线 D．双曲线的一支【解析】用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线．故可知动点P的轨迹是椭圆的一部分．故选：B．巩固练习1(★)设F1－4,0、F2(4,0)为定点，动点A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段【答案】B【解析】若点M与F1，F2可以构成一个三角形，则∵|F1F2|=8∴点M在线段F1故选：D．2(★★)在棱长为1的正方体ABCD－A'B'C'D'中，若点P是棱上一点，则满足|PA|+|PC'|=2的点P的个数为()A．4 B．6 C．8 D．12【答案】B【解析】∵正方体的棱长为1,∴AC'=∵|PA|+|PC'|=2∴点P是以2c=3为焦距，以a=1为长半轴，以1∵P在正方体的棱上∴P应是椭圆与正方体的棱的交点结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在棱B'C',C'D',CC',AA',AB,AD上各有一点满足条件故选：B．【题型二】椭圆方程【典题1】已知方程4x2+ky2=1的曲线是焦点在y【解析】椭圆方程4x2+k由于椭圆的焦点在y轴上，则1k>故答案为：0<k<4.【点拨】曲线方程C:当m>0,n>0且m≠n时，C为椭圆(若m=n当m>n>0时，C为焦点在x轴上的椭圆且a当n>m>0时，C为焦点在y轴上的椭圆且a简而言之：看分母大小.【典题2】经过两点A(0,2)、B(12,3)【解析】由题意，设椭圆的方程为x2m则4n=11∴椭圆的标准方程为x2【点拨】过两个点的椭圆设为x2m+y2【典题3】已知F(2,0)是椭圆E：x2a2+y2b【解析】方法一已知F(2,0)是椭圆E：x2a2可得a2−(这里求a,b可“猜”，由2a2+1b所以所求椭圆方程为：x2方法二依题意可知，椭圆的两个焦点分别为F1−由椭圆的定义，可知2a=EF又c=2所以所求椭圆方程为：x2【点拨】方法二利用椭圆的定义求解，计算量较小.巩固练习1(★)已知方程x24−k+y2k−1=1表示焦点在x【答案】(1，52)【解析】∵方程x24−k+∴4−k>0k−1>04−k>k−1∴k的取值范围是(1，52)．故答案为：(1，522(★)已知B、C是两个定点，|BC|=6，且△ABC的周长等于16，则顶点A【答案】x225+【解析】∵|BC|=6，且△ABC的周长等于16，∴AB+AC=10>BC，故顶点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，除去与x轴的交点，∴2a=10，c=3，∴b=4，故顶点A的轨迹方程为x225+故答案为：x225+3(★)焦点在x轴上，焦距等于4，且经过点P(3,−26)的椭圆标准方程是【答案】x2【解析】由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为x∵焦距等于4，且椭圆经过点P(3,−26∴c=a2−b因此，椭圆的标准方程为x2故答案为：x【题型三】椭圆的图像及其性质【典题1】(多选题)如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2A．a1+C．a1c2>【解析】由题图知，对于A，a1对于B，由图可知a1－对于C，∵c对于D，由图知，c∴e1=c1a1对于E，e1=c故选：ABD．【点拨】由于e=ca=1−【典题2】如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－25,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|=|OF|，且【解析】由题意可得c=25，设右焦点为由|OP|=|OF|=|OF'|，易得PF⊥PF'(P在三角形∆PFF'外接圆上)由勾股定理，得|PF'|=FF'由椭圆定义，得|PF|+|PF'|=2a=4+8=12，从而a=6，于是b所以椭圆的方程为x2【点拨】注意焦点三角形△PFF'的运用，常用到椭圆定义|PF【典题3】椭圆的离心率为22，F为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在一点与F关于直线y=x+4【解析】由椭圆的离心率e=ca=2由b2=不妨设椭圆方程为x∴右焦点(－b,0)关于l：y=x+4的对称点设为(x',y')则y'x'+b=−1由点(－4,4－b)在椭圆上，得16+2由椭圆的对称性可知椭圆的焦点坐标也可以在y轴上，(注意焦点的位置)∴椭圆的标准方程为：x218+【点拨】点A(x1,y1⇒AA'的中点(x1+x2【典题4】已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2【解析】如图所示，线段AF1的垂直平分线与椭圆的一个交点为B，则|AB|=|BF∵∴|BF∴点A是椭圆短轴的一个端点，不妨设为上端点．作BC⊥x轴，垂足为点C，则△AO∴|BC|∴yB=−(对AB=3F2代入椭圆方程可得：9c24∴e=c【点拨】处理类似AB=3F【典题5】已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,【解析】在三角形∆F由余弦定理可得cos∠F1B(用二倍角公式求出也cos∠OBF可设a=5t，c=3t设D(m,n)，即有∵B(0,b)∴k(这是由一定理想到的：A,B是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上异于A,B的一点，且kPA,kPB由kBD【点拨】①处理斜率问题常用到斜率公式k=y②本题另一思路：求出直线BF2的方程---联立方程求出点D---求巩固练习1(★)已知椭圆x22m2−n+yA．(12,+∞) B．(4,12) C．(4,6) D．(6,+∞)【答案】A【解析】依题意得2m2－n>n－且n－m2=4则32(n−4)>n>n－4，得到故选：A．2(★)椭圆x2+my2=1【答案】4或14【解析】由x2+my2=1是椭圆，知m>0当椭圆焦点在x轴上时，长轴长为2，短轴长为21由2=41m，得当椭圆焦点在y轴上时，长轴长为21m，短轴长为由21m=4故答案为：4或14．3(★)椭圆x29+y22=1的焦点为F1,【答案】120°【解析】∵|PF∴|PF在△Fcos∠∴∠4(★★)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2【答案】3−1【解析】因为|OM|=|OF所以∠F设MF1=m如图所示，由题意：Rt△MF1F2∽Rt△ON可得MF1MF2=ON可得m=(3−1)a∴3∴4－2化为：ca故选：D．5(★★)设点P为椭圆：x249+y224=1上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点【答案】8【解析】因为G为△PF1F因为PF1⊥PF2所以2c2=x所以c2所以方程整理可得x2－14x+48=0，解得当x1=6时，PF则S△P所以S△PG同理x2=8时，故答案为：8．【题型四】最值问题情况1求离心率范围【典题1】如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c【解析】∵|Q∵PQ是∠F1PF2则|P由|PF1|+|PF由a－c<2a3由0<e<1，∴椭圆离心率的范围是(故答案为：(13【点拨】①角平分线定理：如图，在∆ABC中，AD是∠BAC的角平分线，则AB②求离心率的范围的一般思路：求出a、b、c任意两个量比值的范围得到关于离心率e的不等式，从而求出e的范围，同时也要注意椭圆中0<e<1.【典题2】已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，【解析】设P(m,n)又F∵|F1∴xM∴F又OP∴2m−4c3由P在椭圆上，可得：n可得m(2c－m)=化为c2a2m2由a2c−a<a，又0<e<1，【点拨】①设P(m,n)，由|F1M|=2|MP|怎么得到点M的坐标？解答中用向量坐标法；还可以用相似三角形的方法，过点M作MA⊥F1F2，过点P②题中出现垂直AB⊥CD一般怎么处理呢？(1)若要求线段长度，想到勾股定理或直角三角形其他性质；(2)想到直线斜率关系，得到kAB(3)想到向量的关系，得到AB∙本题中处理垂直关系OP⊥F情况2几何法求范围【典题1】在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆y2B(0,－1)，则|PA|+|PB|的最大值为【解析】∵椭圆方程为y2∴焦点坐标为B0,－1和B'根据椭圆的定义，得|PB|+|PB'|=2a=4可得|PB|=4－|PB'|因此|PA|+|PB|=|PA|+(4－|PB'|)=4+(|PA|－|PB'|)∵|PA|－|PB'|≤|AB'|∴|PA|+|PB|≤4+|AB'|=4+1=5．当且仅当点P在AB'延长线上时，等号成立．综上所述，可得|PA|+|PB|的最大值为5．故答案为：5．【点拨】①本题主要是通过椭圆的定义得到|PB|+|PB'|=4，把“求|PA|+|PB|的最大值”转化为“求|PA|－|PB'|的最大值”，当P、B②三点共线时就是取到最值，这常用于“求AB+AC的最小值”与“AB−AC的最大值”，本题若求PA+PB的最小值，则是AB=5③本题用函数法求解，设P(x0,情况3函数法求范围【典题1】已知椭圆C：x2a2+y2b2=1的短轴长为2，焦距为23【解析】根据条件可得b=1,c=3，则根据椭圆定义可知|P方法一

∴当PF1=∴1|PF方法二设PF1∴令f∵a−c≤∵2−∴1≤－t－2∴1≤4∴1|P【点拨】方法一是利用基本不等式a+b≥2ab(a>0,b>0)，【典题2】已知F1,F2分别是椭圆C：x28+【解析】∵椭圆方程x∴椭圆的焦点F由P在圆x2+∴|PF1∴|PF【点拨】①P在圆(x−a)2+②求最值时，线段可用两点距离公式AB=x③本题也可设Px0,y0，则P【典题3】已知椭圆C：x2a2+y216=1(a>4)与圆O：x2+yA．(－10，−394) B．(－16，−394]【解析】：∵椭圆C与圆∴圆O过C的长轴的两个端点，即a=5故C的方程为x2设P(m,n)(0<m<5)，则m225所以OP=−9∵0<m<5所以OP→⋅PF故选：B．【点拨】①在圆锥曲线中处理向量可用坐标表示，转化为变量之间的关系，求OP→⋅PF→②求OP→⋅PF→=3m−m2−n③求−925m2+3m−16巩固练习1(★★)设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，FA．(0,32] B．(12,1) 【答案】C【解析】如图，当点M在上顶点A时，∠F1要使在x轴上方的C上存在两个不同的点M,N满足∠F1只需∠F1AF∴tan∠AF⇒3b⇒3a2<4则椭圆C离心率的取值范围是：(3故选：C．2(★★)点P为椭圆x225+y216=1上一点，M、N分别是圆x+3【答案】7,13【解析】依题意，椭圆x225+x－32所以PM+PNmax则|PM|+|PN|的取值范围是[7,13]故答案为：[7,13]．3(★★)已知F是椭圆x22+y2=1的右焦点P是椭圆上一动点【答案】5+2【解析】∵△APF的周长为|AP|+|PF|+|AF|，而|PF|=2a－|PF'|，∴△APF的周长为|AP|+2a－|PF'|+|AF|，当|AP|－|PF'|=|AF'|最大时，A、P、F'三点共线，如图所示，由题意得a=2，c=1，F点坐标为(1,0)，F'坐标为(－1,0)则△APF的周长最大为|AF'|+|AF|+2a=(故答案为：5+224(★★★)已知椭圆C：x216+3y216=1，M为椭圆C上的一个动点，以M为圆心，2为半径作圆【答案】[π【解析】由椭圆方程可得a2=16,b设锐角∠POM=α，在Rt△POM中，sinα=PM因为OM∈[433，4]，即故α∈[π所以∠POQ=2α∈[π故选：D．5(★★★)已知椭圆Γ:x24+y23=1的右焦点为F，过原点O的直线与椭圆Γ交于【答案】[1,【解析】取椭圆左焦点F'，连接AF，BF，AF'，BF'，易知四边形AFBF'为平行四边形，即有|AF|+|BF|=|AF|+|AF'|=2a=4，设|AF|=x∈[1,3]，则|BF|=4－x，故1|AF|令