新北师大版初中数学九年级上册第1章-特殊平行四边形《第3课-正方形的性质与判定》

北师大版九年级数学(上)

第一章特殊平行四边形

第一课时正方形的性质2002年世界数学大会会标图片欣赏

创设情景☞情景一问题:

从这个图形中你想到了什么？邻边相等的矩形想一想：正方形是怎样的矩形？矩形正方形新知探究图1-17中的四边形都是特殊的平行四边形．观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（square）平行四边形正方形矩形菱形一组邻边相等一组邻边相等一内角是直角一内角是直角平行四边形正方形一组邻边相等一内角是直角给正方形下个定义定义：一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（1）正方形是矩形吗？是菱形吗？（2）你认为正方形具有哪些性质？与同伴交流．正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形的所有性质．定理正方形的四个角都是直角，四条边相等．定理正方形的对角线相等且互相垂直平分．请你完成这两个定理的证明．正方形的性质定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.求证:(1)∠A=∠B=∠C=∠D=90°.(2)AB=BC=CD=DA.证明:∴四边形ABCD是矩形,也是菱形.∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=DA.∵四边形ABCD是正方形,ABCD已知:四边形ABCD是正方形.正方形的性质定理:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角.证明:∴四边形ABCD是平行四边形,也是矩形,也是菱形.∴AO=CO,BO=DO;AC=BD;AC⊥BD;∵四边形ABCD是正方形,AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.已知:四边形ABCD是正方形,AC,BD是它的两条对角线.ABCDO正方形有几条对称轴？图形的对称性：既是轴对称图形,又是中心对称图形.正方形有四条对称轴。中心对称中心在两条对角线的交点处。对角线：相等互相垂直平分每条对角线平分一组对角。边:对边平行四边相等角：四个角都是直角图形的对称性：既是轴对称图形,又是中心对称图形.=菱形性质矩形性质正方形的性质例1.如图1-18，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF．BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由．解：BE=DF，且BE⊥DF．理由如下：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠BCE=90°（正方形的四条边相等，四个角都是直角）．∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°．∴∠BCE=∠DCF．又∵CE=CF，∴△BCE≌△DCF．∴BE=DF．例1.如图1-18，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF．BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由．解：BE=DF，且BE⊥DF．理由如下：（2）延长BE交DF于点M．∵△BCE≌△DCF，∴∠CBE=∠CDF．∵∠DCF=90°，∴∠CDF+∠F=90°．∴∠CBE+∠F=90°．∴∠BMF=90°．∴BE⊥DF．M平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？与同伴交流．菱形矩形平行四边形正形方正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。1．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，图中有多少个等腰三角形？2．如图，在正方形ABCD中，点F为对角线AC上一点，连接BF，DF．你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明．对角线：相等互相垂直平分每条对角线平分一组对角。边:对边平行四边相等角：四个角都是直角图形的对称性：既是轴对称图形,又是中心对称图形.=菱形性质矩形性质正方形的性质1．对角线长为2cm的正方形，边长是多少？2．如图，四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，求∠AEB的度数．3．如图，A，B，C，D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上．仓库P和Q分别位于AD和DC上，且PD=QC．证明两条直路BP=AQ且BP⊥AQ．4、如何设计花坛？在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？（至少说出三种）

请你当设计师北师大版九年级数学(上)

第一章特殊平行四边形

第二课时正方形的判定对角线：相等互相垂直平分每条对角线平分一组对角。边:对边平行四边相等角：四个角都是直角图形的对称性：既是轴对称图形,又是中心对称图形.=菱形性质矩形性质正方形的性质如图1-20，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开．怎样剪才能剪出一个正方形？满足什么条件的平行四边形是正方形？满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？请证明你的结论，并与同伴交流．定理:有一个角是直角的菱形是正方形.定理:有一组邻边相等的矩形是正方形.定理:有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形是正方形.正方形的判定（随堂练习1）定理:有一个角是直角的菱形是正方形.求证:四边形ABCD是正方形.证明:∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900.∴∠A=∠B=∠C=900.∴四边形ABCD是矩形.∵四边形ABCD是菱形,∠A=900,∵AB=BC,∴四边形ABCD是正方形.已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900.ABCD定理对角线相等的菱形是正方形．从对角线的角度考虑：满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？请证明你的结论，并与同伴交流．定理对角线垂直的矩形是正方形．正方形的判定（随堂练习2）定理:对角线互相垂直的矩形是正方形.求证:四边形ABCD是正方形.证明:∴∠ABC=90°,四边形ABCD是平行四边形.∵AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱形.∵∠ABC=90°.∵四边形ABCD是矩形,∴四边形ABCD是正方形.已知:四边形ABCD是矩形,且AC⊥BD.ABCDO正方形的判定（知识技能1）定理:对角线相等的菱形是正方形.求证:四边形ABCD是正方形.证明:∴AB=BC,四边形ABCD是平行四边形.∵AC=BD,∴四边形ABCD是矩形.∵AB=BC,∵四边形ABCD是菱形,∴四边形ABCD是正方形.已知:四边形ABCD是菱形,且对角线AC=BD.ABCDO平行四边形正方形

一组邻边相等且一内角是直角1、正方形菱形2、一内角是直角或对角线相等矩形3、一组邻边相等或对角线垂直正方形正方形的判定方法：（可从平行四边形、矩形、菱形为基础）定义法菱形法矩形法①四条边相等，四个角都是直角②对角线互相垂直、平分且相等四边形正方形以四边形为基础：既是菱形又是矩形的四边形是正方形。例2：如图1-21，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形BECF是正方形．12我们知道，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点可以组成一个平行四边形．任意画一个正方形（如图1-22），以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的图形呢？先猜一猜，再证明．123模型依次连接任意四边形各边中点所成的四边形是平行四边形.ABCHDEFG证明：连接AC∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点∴EF∥AC，EF=AC，

HG∥AC，HG=AC∴EF∥HG，EF=HG∴四边形EFGH是平行四边形已知：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形依次连接正方形各边中点所成的四边形是一个怎样的图形呢？先猜一猜,再证明.已知：E、F、G、H分别是正方形ABCD四边AB、BC、CD、AD的中点求证：四边形EFGH是正方形证明：∵四边形ABCD是正方形∴AB=BC=CD=DA∠A=∠B=∠C=∠D∵AE=BE=AB，BF=CF=BC，CG=DG=CD，DH=AH=AC∴AE=BE=BF=CF=CG=DG=HG=AH∴△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG∴EF=FG=GH=HE∴四边形EFGH是菱形∵∠1=∠2=45°∴∠3=90°∴四边形EFGH是正方形123ABCHDEFG（1）以菱形或矩形各边的中点为顶点可以组成一个什么图形？先猜一猜，再证明．如果以平行四边形各边的中点为顶点呢？DBCADEFGABCHDEFGABCHDEFG（2）以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与哪些线段有关系？有怎样的关系？依次连接菱形各边中点所成的四边形是一个怎样的图形呢？先猜一猜,再证明.DBCAEHGF已知：在菱形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点。求证：四边形EFGH是矩形证明：连接AC、BD交于点O∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点∴HE∥BD，HE=BD，

GF∥BD，GF=BD∴HE∥GF，HE=GF∴四边形EFGH是平行四边形∵AC⊥BDBD∥HE∴∠1=∠2=90°∵G、H是CD、AD的中点∴HG∥AC∴∠1+∠3=180°∴∠3=90°∴四边形EFGH是矩形O123图形之间的内在联系依次连接对角线相等的四边形各边中点所成的四边形是一个怎样的图形呢？先猜一猜,再证明.ABCHDEFG依次连接对角线垂直的四边形各边中点所成的四边形是一个怎样的图形呢？先猜一猜,再证明.ABCHDEFG图形之间的内在联系依次连接对角线相等且垂直的四边形各边中点所成的四边形是一个怎样的图形呢？