（沪教版2020选修一）2022年上海高二数学同步讲义-第３章 空间向量及其应用（压轴题专练）

第3章空间向量及其应用压轴题专练

能力提升

一、单选题

1.(2021•上海奉贤区致远高级中学高二期中)在长方体中，

AB=BC=\,例=6,则异面直线AR与。片所成角的余弦值为

A.-B.—C.—D.—

5652

【答案】C

【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根

据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.

详解：以D为坐标原点，DA,DC,DDjyx,y,z轴建立空间直角坐标系，则

0(0,0,0),4(1,0,0),4(1,1,扬,A(0,0,扬,所以函=(T0,百),函=(1,L6),

因为cos(函，函)=谶赢==,所以异面直线AR与OB,所成角的余弦值为

y,选C.

点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的

空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量

关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.

2.(2021•上海•模拟预测)设向量日=(。力,0),D=(c,4,l),其中a2+6=c2+『=l,则

下列判断错误的是

A.向量。与z轴正方向的夹角为定值(与。、”之值无关)

B.公。的最大值为近

C.分与。夹角的最大值为3?兀

4

D.ad-Ac的最大值为1

【答案】B

【分析】在A中，取z轴的正方向向量，=(0,0,t),求出;;与彳的夹角即可判断命题正确；在B

中，计算五./=℃+〃，利用不等式求出最大值即可判断命题错误；在C中，利用数量积求出

；与3的夹角的最大值，即可判断命题正确；在D中，利用不等式求出最大值即可判断命题正

确.

【详解】解：由向量1=3,40),v=(c,d,l),K^a2+b2=c2+d2=l,知:

在A中，设z轴正方向的方向向量无=（0,。"）/>0,

向量。与z轴正方向的夹角的余弦值：

z-vt&,_o

cosa=————=——.=——,。=45,

|z||v|t.^+d2+\2

向量5与z轴正方向的夹角为定值45°（与c,此值无关），故A正确;

a2+c2b2+d2a2+b2+c2+J21

在B中,u-v=ac+bd<--------------1---------------

22---------2---------二'

且仅当&=c,b=d时取等号，因此7炉的最大值为1,故B错误;

在C中,由B可得：|wv|<l,

__u-vac+bd、1A/2

/.COS<W,V>=--------------=/~.>------------==---------,

\a\-\v\yla2+h2^c2+d2+\lx也2

.•二与。的夹角的最大值为京，故C正确：

在D中，加一y3+―/+/+~

ad-6c的最大值为1.故D正确.

故选：B.

【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算、数量积的性质等基础知识与基本技能方法，考查

运算求解能力，是中档题.

3.（2021•上海市复兴高级中学高三期中）已知£,b，2和［为空间中的4个单位向量，且

a+b+c=6,则|0一4+|万一4+上一目不可能等于

A.3B.2邪）C.4D.3yli

【答案】A

【分析】根据n个向量的和的模不大于n个向量的模的和可推出结论.

【详解】因为忸一2|+忸一2|+忸一《>^a-d+b-d+c-d\=\a+b+c-3d^

而a+b+c=0，

所以1_司+亚_a+忸_4>|-3J|=3

因为a,b,c,3是单位向量，且a+6+e=0,

^\^a-d,b-d,c-d不共线，

所以,一司+忸-2|+归一4>3,故选A.

【点睛】本题主要考查了向量与不等式的关系，涉及向量的共线问题，属于难题.

4.（2021•上海市控江中学高二期中）如图，平面。钻■!平面a,OAcia,OA^AB,

^OAB=120°.平面a内一点月茜足上4，PB,记直线OP与平面OAB所成角为。，则tan0的

【答案】A

【分析】如图建立空间直角坐标系，令O4=AB=1,即可得到A、B的坐标，设P(x,y,0),

根据％门8,则丽•丽=0，即可得到f=停-力&-1),再求出平面04B的法向量，依

题意根据正弦函数、正切函数的单调可知，要求tan。的最大值，即可求sin。的最大值，利

用空间向量法表示出线面角的正弦值，再根据函数的性质求出sin。的最大值，从而根据同角

三角函数的基本关系求出tan。：

【详解】解：如图以平面a为初y平面，平面。钻为Wz平面，建立如图所示空间直角坐标

系，令。4=钻=1,则A(OJO),«0,-,^-,显然平面OAB的法向量可以为〃=(1,0,0),

设P(x,y,0),则加=(x,y,0),而=(x,y—1,0),,因为R4_LPB,所以

AP-PB=-x2+f|-)Jx(y-l)=O,即x2=(1_y)x(y-l),因为直线OP与平面OAB所成角为

TT显然即可词因为〉=在。,］卜匀单调递

0,因为Oe0,-y=sinxVtanx

增，要求tan。的最大值，即可求sin。的最大值,

*六后再二手，所以tan"晦=哈

二、填空题

5.(2021•上海交大附中高二开学考试)如图，棱长为2的正方体ABC。-%8GA中，M

是棱AA的中点，点P在侧面4BBM内，若。/垂直于CM,则"8C的面积的最小值为

【分析】建立空间直角坐标系，由印_L两，求得z=2y-2,得到怛P|=j5y2-12)，+8,进

而求得三角形的面积的最小值，得到答案.

【详解】以。点为空间直角坐标系的原点，以戊所在直线为y轴，以为所在直线为x轴，以

DD,为z轴,建立空间直角坐标系.则点P(2,y,z),口点,0,2),

所以QA=(2,y,z—2).

因为C(0,2,0),M(2,0,1),所以两'=(2,-2,1),

因为A户，所以4-2y+z-2=0,所以z=2y-2,

因为B(2,2,0),所以丽=(0,y—2,z),

所以忸P|=yl(y-2)2+z2=J(y-2f+(2y-2>=J5y12y+8

因为04”2,所以当y=\时，忸PL=|0.

因为BCLBP,所以⑸咏濡=

故答案为：竽.

【点睛】本题主要考查了空间向量的应用，其中解答建立适当的空间直角坐标系，利用向量

的坐标表示，以及向量的数量积的运算，求得忸A的最小值是解答的关键，着重考查了推理

与运算能力，属于中档试题.

6.（2019•上海交大附中高二期中）已知A8C,尸为半径为R的球面上的四点，其中

A8,AC,BC间的球面距离分别为十,三R,^R,若丽=x》+y诙+z祝，其中。为球

心，则x+y+z的最大值是.

【答案】孝

【分析】根据球面距离可求得AABC三边长，利用正弦定理可求得AABC所在小圆的半径；

0尸'=若石，根据平面向量基本定理可知P，AB,C四点共面，从而将所求问题变为西

的最大值；根据|而|最小值为球心到AABC所在平面的距离，可求得|而|最小值，代入可求

得所求的最大值.

【详解】QA5间的球面距离为工R:.ZAOB=^-:.AB=2Rsin^=R

336

同理可得：BC=AC=®R

...AA8C所在小圆的半径：r=>x-="R

2sinC7

xOA+yOB+zOC

.•.P,A,B,C四点共面

x+y+z1+y+zx+y+zx+y+z

x+y+z=审二函

若x+y+z取最大值，则需可取最小值

V|讨|最小值为球心到AA5C所在平面的距离d=在一户=母R

R向

等1

本题正确结果：耳

【点睛】本题考杳球面距离、球的性质的应用、平面向量基本定理的应用、正余弦定理解三

角形等知识；关键是能够构造出符合平面向量基本定理的形式，从而证得四点共面，将问题

转化为半径与球心到小圆面距离的比值的最大值的求解的问题.

7.（2018•上海市张堰中学高二阶段练习）如图，已知正方体ABC。-A8CQ的棱长为4,点

E、粉别是线段48、CQ上的动点，点。是上底面A5CQ内一动点，且满足点修I」点，的距离

等于点厚|平面4BBM的距离,则当点跑动时,发的最小值是.

【答案】2x/5

【分析】通过题意可知当E,F分别是力氏CA上的中点，?为正方形中心时，必取最

小值，利用两点间距离计算即可求出.

【详解】如图建立空间直角坐标系：

设A5=a,DXF=b,0<a<4,0《b44,P(x,y,4),0<%<4,0<y<4,

则F(O,ft,4),£(4,a,O),PF=(-x,b-y,0),

•・•点隹廿的距离等于点段I」平面ABBM的距离，

■.y/x2+(b-y)2=(4-x)2,整理得尸点轨迹方程：x=2

8

所以修I平面ABBM的距离P尸=4,d=4-x=2+(b~y)2,

8

所以"标=2,此时"与快线垂直D£,

又|PE|=yld'+PE1<V4+16=26

二当£/•分别是被CQ上的中点，然正方形AfCQ中心时，必取最小值，

此时尸(2,2,4),E(4,2,0),尸(0,2,4).

故答案为：2石

【点睛】本题主要考查了利用空间向量求两点间的距离，及结合图形研究最值问题，属于难

题.

8.(2022•上海•高三专题练习)在空间直角坐标系中，点尸Q,y,z)满足：

x2+y2+z2=\6,平面a过点M(L2,3),且平面a的一个法向量3=(1,1,1),则点/在平面a上

所围成的封闭图形的面积等于.

【答案】4〃

【分析】由题意，点尸在球面上，所以点胞平面a上所围成的封闭图形即为平面a截球面

所得的截面圆，根据球的截面性质求出截面圆的半径,即可求解.

【详解】解：由题意，点P在以(0,0,0)为球心，半径为4的球面上，

所以点/在平面a上所围成的封闭图形即为平面a截球面所得的截面圆，

因为平面a的方程为lx(x-l)+lx(y-2)+lx(z-3)=0,即x+y+z-6=0,

所以球心(0,0,0)到平面a的距离为d=..J),，=2也,

vr+r+r

所以截面圆的半径r="-(2可=2,截面圆的面积为S=万尸=4万，

所以点/祢平面a上所围成的封闭图形的面积等于4万.

故答案为：44.

9.(2021・上海中学高二期中)已知I石是空间单位向量，=若空间向量B满足

b-et=2,反02且对任意x、丫€/?,|5-(谒+丫£)以5-(%)1+%4)|=1(%,％6尺),则

%+%+忖=______

【答案】3+2&

【分析】根据最值的定义，结合空间向量数量积的定义和运算性质进行求解即可.

【详解】由+1M+%£)|=1(%,%eR)可知：

当x=%,y=%时，15-(xq+ye2)|有最小值1,

22

\b+(xq+ye2)|=片-2xb-et-2yb-e2+x-ey+ye^+2xye2-e2

因为J,］是空间单位向量，e,-e2=p空间向量B满足分，勺=2,反02=g,

所以M+(XG+岫)|=b'-4x-5y+x2+y2=fx+—~+^(y-2)2-7+&2,

X+I=O2

显然当J2时，B+（荷+y可有最小值，最小值为1,所以1=-7+户，

》一2=0

==

x1XQ1

解得：7=2,即当飞=2时成立，因此%+%+忖=3+2虚，

亍=8|同=2及

故答案为：3+2及

【点睛】关键点睛：根据最值的定义利用配方法是解题的关键.

三、解答题

10.（2021•上海•华师大二附中高二期中）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧

棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖席•.

如图，在阳马P-45CD中，侧棱底面ABC。，且PD=CD,过棱PC的中点E,作

EF工PB交PB于点F,连接DE,DF,BD,BE.

（I）证明：依，平面DEF.试判断四面体是否为鳖席，若是，写出其每个面的直角

（只需写

出结论）；若不是，说明理由；

（II）若面尸与面A8CZ）所成二面角的大小为求贵的值.

【答案】（I）详见解析；（II）虫.

【分析】（解法1）（I）因为PZU底面ABCD,所以PC3C,

由底面A8CD为长方形，有8CLCD,而POcCD=O,

所以欧JL平面盛题.而£>Eu平面PC。，所以BC1DE.

又因为PD=8,点E是PC的中点，所以DELPC.

而尸Cc8C=C,所以£>E_L平面P8C.而PBu平面尸8C,所以P8_LDE.

又PB工EF,DECEF=E,所以尸81.平面DEF.

由DEL平面PBC,P8L平面DEF,可知四面体8£>£尸的四个面都是直角三角形，

即四面体8DEF是一个鳖膈，其四个面的直角分别为NDEB,NDEF,NEFB,ZDFB.

(II)如图1,在面P8C内，延长BC与FE交于点G,则OG是平面Z)E尸与平面ABC。

的交线.由(I)知，PBL平面DEF,所以PBLDG.

又因为P£)_L底面ABCD,所以PZUOG.而PD^PB=P,所以£>G_L平面P8。.

故ZB£>尸是面DEF与面43cZ)所成:面角的平面角，

设尸£>=£>C=1,BC=A,有80=7^，

在RtZ\PDB中，^]DFYPB,得NDPF=NFDB《

则tan|=tanZDPF=^=Vl+22=V3,解得2=0.

所以三=1=也

BCA2

故当面OEF与面A8C3所成：面角的大小为J时，段=坐.

3BC2

(解法2)

(I)如图2,以力为原点，射线分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标

系.

设尸£>=ZX7=1,BC=A,则£>(0,0,0),P(O,O,1),B(/M,O),C(O,1,O),方=,点E是PC

的中点，

11---11

所以旦。,5,]),。七=(0,„),

于是丽•诙=0,即PBYDE.

又已知EF_LP8,而DE[}EF=E,所以尸8JL平面。EF.

因定=(0,1,-1),DEPC=0,则£>E_LPC,所以整J_平面；繇*

由£>匠_1_平面PBC,PB_L平面DEF,可知四面体应把F的四个面都是直角三角形，

即四面体或陀F是一个鳖膈，其四个面的直角分别为NDEB,ZDEF,ZEFB,ZDFB.

图2

(II)由灯)，平面ABC。，所以加=(0,0,1)是平面ABC。的一个法向量;

由(1)知，尸8_L平面DEF,所以界=(-4-1,1)是平面£>EF的一个法向量.

若面OEF与面ASCO所成二面角的大小为中,

BPDP1_

则cos-二

研研?F72=2

解得2=应.所以,=；=字

故当面与面ABCD所成二面角的大小为封，臆=亭

考点：四棱锥的性质，线、面垂直的性质与判定，二面角.

11.(2022•上海•高三专题练习)如图，在直棱柱A8C-ABG中，AA,=AB=AC=2,

ABYAC,。,瓦尸分别是4片,《'”8(?的中点.

(1)求证：AE±DF；

(2)求AE与平面尸所成角的大小及点A到平面£>E尸的距离.

【答案】⑴见解析⑵-^-714

14

【详解】试题分析：直三棱柱底面为AABC,AB，AC,建立空间直角坐标系，写出相关点的

坐标，利用向量数量积为0,易证尸；再借助求平面的法向量，利用线面角公式及点到

平面的距离公式求出对应的值.

试题解析：(1)以力为坐标原点、9为x轴、AC为蹄力、AA为z轴建立如图的空间直角坐标

系.

I)

由题意可知A(0,0,0),r>(0,l,2),E(-2,0,l),F(T,l,0),

故荏=(-2,0,1),而=(-1,0,-2),

由^E-DF=-2x(-l)+lx(-2)=0,

可知质_L成，即AE_LDF.

(2)设”=(x,y,1)是平面DEF的一个法向量，

又而=(-1,0,-2),乔=(1,1,-1),

n-DF=-x-2=0,x="2,

故由｛解得｛一,故”(-2,3,1).

h-EF=x+y—1=0,

\n-AE\5770

设AE与平面DE尸所成角为。，则$访0=卜昌=_^_^=等，

\n\-\AE\V14.V514

所以AE与平面DEF所成角为arcsin—,

14

点A到平面DEF的距离为A£-sin。=^-714.

14

【点睛】根据几何体的特征建立适合的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，证明线线垂

直，只需说明数量积为零，求点到平面的距离，只需求出平面的法向量，利用点到平面距离

公式计算出结果.证明线面、面面的平行或垂直问题，要把握平行与垂直的判定定理和性质

定理，严格根据定理进行逻辑推理，有关角和距离的计算大多使用空间向量，借助法向量进

行计算.

12.（2020•上海•高三专题练习）如图，在直四棱柱ABCO-ABCQ,中，底面是边长为1

的菱形，侧棱长为2.

D

(1)4。与A。能否垂直？说明理由；

(2)当幺在［§,万］上变化时，求异面直线AC；与所成角的取值范围.

【答案】(1)不能.见解析；(2)arccos乎,arccos坐

610

【分析】(1)以分别为龙，九Z轴建立空间直角坐标系，设

B,(a,0,0),C,(0,^,0),进而得到而；丽，结合向量的数量积的运算，即可求解;

b2

(2)求得■=((),约-2),即；=(〃,ao)求得cos(%G,A8)=根据/+从=1设

Jl+〃

”=cosa,b=sina,化简得到cos(近，丽)=/1----=,再由题设条件和二次函数的性

vcsca+csc~a

质，即可求解.

【详解】由题意，菱形A4GA中，JO,,设AcnBC=。，

以OM，OC，。。分别为x,)'，z轴建立空间直角坐标系，

设5(〃,0,0),G(0,瓦0),(“2+〃=I),则D\(-a,0,0),A(0,-A0),D(-a,0,2),

(1)因为丽'=(%,(),0),而=(-a,b,2),

可得瓦瓦•丽=一加2工0,所以4R与AQ不能垂直.

(2)因为所以正士1,

L.32」3a

由A(0,一42),所以福=(0,",-2)，4瓦=(a,瓦0),则近•隔=»2,

又由|延卜2病引阿=yla2+b2=1,

所以8S(房，福•"南筒=志，

因为设4=85。/=5由1,

因为无所以走wtanaWl,所以Jwawf,

3a364

22

所以cos(宿，M=hsina1

Jl+万

因为24esc2a<4

所以异面直线AG与所成角的取值范围

【点睛】本题主要考查了空间向量在线面位置关系中的应用，以及异面直线所成角的求解，

着重考查推理与运算能力，属于中档试题.

13.(2021•上海交大附中高二开学考试)如图，在用ASOA中，ZOSA=-,斜边S4=4,

0

半圆H的圆心H在边QS上，且与SA相切，现将用ASQ4绕SO旋转一周得到一个几何体，点

5为圆锥底面圆周上一点，且ZAO8=90。.

(1)求球”的半径；

(2)求点。到平面SA8的距离；

(3)设P是圆锥的侧面与球的交线上一点，求尸0与平面SA3所成角正弦值的范围.

【答案】(1)至；⑵坦；(3)，,冬：向.

3714

【分析】(1)在直角三角形中，由特殊角及边长即可得出答案；

(2)利用等体积转化即可；

(3)建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与向量所用向量法.

【详解】由NOSA=£,斜边SA=4,SO=26,。4=2

o

-rrTT

设切点为M,连接=又NOSA="，

2o

.-.HO=HM=-SH,HO=-SO=—,

233

所以圆锥中球的半径就是半圆门的半径，即为名叵.

3

(2)在三棱锥中S-OAB,设。到平面SA8的距离为d

用

在AAOB中，OA=OB=2,SMAI）=~OAOB=2

在等腰二角形SAB中，SA=SB=4,A8=2应，取A8中点N,连SN,所以

所以SNJ.AB

S$AB=]sN,AB=gx2必至=2不，由（1）知SO=26，

由于=Vs..，所以/S.M=；•S.屋SO

即；24=：5。。屋50

2币.d=4拒

,2>/21

a=----.

7

如图建立空间直接坐标系，则A(0,2,0),8(2,0,0),S(0,0,273),设PO在面COB上的射影

与x的正方向的夹角为。，所以「(cos&sin&G),,

SA=(0,2,-2x/3),SB=(2,0,-2^),而=(-cos9,-sin，,-G),

设平面SAB的法向量G=(x,y,z),

SA-n=0

由，一=><

SBn=0♦I：'=

设PO与平面SAB所成角为a,

石sin(®+()+G

屈+百

则疝”詈W0,——r=--

\PO[\4n\2772V7

【点睛】本题主要考查空间几何体体积的求法、用空间向量解决线面角的问题.

14.(2018•上海交大附中高二期末)设全体空间向量组成的集合为V,反=(4，出,%)为丫中

的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“应变量”也是向量的“向量函数”

/(X):/(x)=-x+2(x-a)«(xGV).

(1)设比=(1,0,0),v=(0,0,1),若/但)=歹,求向量£；

(2)对于V中的任意两个向量1，y,证明：f(x)-f(y)=x-yi

(3)对于丫中的任意单位向量上求|，(元)-目的最大值.

【答案】(1)a=或"=-日,Q-等')(2)见解析；(3)最大值为2.

2x2-l=0

【详解】分析：(1)f(u)=-u+2(u-a)a=v,设2=(x,y,z),代入运算得：■2xy=0,从

2xz=1

而可得结果；（2）设了=（。/,c）,y=（m,n,t）,a=（a],a2,a^,则利用“向量函数"的解析

式化简/。）/（了）,从而可得结果;（3）设1与小的夹角为a,则Ba=W.|acosa=cosa,

则]/（》）-目=|2X-2（R&）a=J（2F-2cosa。）-=j4-4cos%42,即最大值为2.

详解：（1）依题意得：f（u）=-u+2（a-d）a=v,设G=（x,y,z）,代入运算得：

2/7=。（方而（r

《2刈=0na=—,0,—或6=,0,-

-22r2

2xz=1'）'

（2）设兄=（a,Ac）,y=（，",""）,a=（ax,a2,ai）,则

/（,>/（9）=[-工+2（万0）万][-9+2（升4）万]

=%"y-4（y-a）（x-a）+4（y-a）（x-a）（a）2=x-y-4（y-a）（jf-a）+4（y-a）（x-a）=x-y

从而得证；

（3）设元与々的夹角为a,I0ijx-a=|x|-|a|cosa=cosa,

则|/（元）T=伍”2（与⑷a]=J（2以一2cosa"="-4cos2a42,故最大值为2.

点睛：新定义问题一般先考察对定义的理解，这时只需--验证定义中各个条件即可.二是

考查满足新定义的函数的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的函数有某些新的性质，

这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需结合新函数的新性质，探究“旧”性质.三是考

查综合分析能力，主要将新性质有机应用在“旧”性质，创造性证明更新的性质.

15.（2021•上海市洋泾中学高二阶段练习）如图，A43C是边长为4的正三角形，点。是

△A5C所在平面外一点，4£>=3且4。_1平面48（7,E为AB的中点.

（1）求证：CE_L平面4?£）；

（2）求直线AO和平面CCE所成角的大小；

（3）求点力到平面BCD的距离.

【答案】（1）证明见解析；⑵arcsin3叵；（3）也.

137

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，证明CEL平面9；

（2）建系，利用坐标法求解；

（3）利用（2）中的坐标系，套用点到平面的距离公式求解.

【详解】（1）证明：因为ADL平面ABC,CEu平面ABC,所以ADLCE.

因为是正三角形，E为A8的中点，所以CEJ_AB,

又AB，AO都在平面43。内，且相交于点A,所以CE_L平面板）.

（2）过越E作EF//AD交BD与点、F,

因为陋，平面A8C,所以EF_L平面ABC,

又CE_LAB,所以以E为坐标原点，£»为*轴，EC为，轴，E尸为z轴建系如图,

A(-2,0,0),8(2,0,0),C(0,2^,0),0(-2,0,3),E(0,0,0)

而=(0,0,3),EC=(0,2V3,0),ED=(-2,0,3)

设平面CDE的法向量为n=(x,y,z),

[n-EC=0,]2岛=0,

由<一得，•

n-ED-0-2x+3z=0

解得>=0,取x=3,z=2,n=(3,0,2)

记直线和平面COE所成角为9,0<^<90°

贝第simlg2—Tin”

\AD\\n\3xV131313

(3)BC=(-2,2x/3,0),BD=(^,0,3)

设平面BCD的法向量为tn=（x,y,z）

,m-BC=0,;2x+2目…

由《一

fn-BD=0-4x+3z=0

取x=3,贝ljy=百，z=4,"2=（3,百,4）

点力至『平面BCD的距离为方」=^=7,

16.（2021•上海师范大学附属外国语中学高二阶段练习）如图，在四棱锥P-ABCD中,

底面ABC。是菱形，PAJ_平面ABC。，AB=1,PAAC^X,ZABC=9（0。＜"90。）.

(1)若6=90。，£为打7的中点，求异面直线P4与8E所成角的大小；

(2)若6=90。，求二面角A—PC-B的大小；

(3)试求四棱锥P-ABCD的体积V的取值范围.

【答案】(1)arccos乎；(2)arccos-^-;(3)

【分析】(1)由题意可得：PA=J=q,建立空同也用坐标系，根据向量夹角来求异面直

AC2

线R4与BE所成角的大小：

(2)分别求出两个平面的法向量，然后利用空间向量的有关运算求出两个向量的夹角，进

而转化为二面角的平面角；

(3)由已知可得，平行四边形ABCD的面积为：S=sin。，再由余弦定理可求得

AC=­s。,即可得到尸A=*而，进而表示出棱锥的体积，再结合三角函数的性质

求出体积V的取值范围.

【详解】解：(1)因为以，平面A8O并且0=90。，

所以A为坐标原点，分别以43、A。、为X、＞、z轴建立空间直角坐标系.

因为AB=1,PAAC=\,所以PA=」-=立，

AC2

所以40,0,0)((1,1,0),尸(0,0,芋),8(1,0,0),

因为E是尸C的中点,所以灵,上马，

224

所以再［=(0,0,-=),丽=(-杲当，

2224

工

,——,\PABE\4卡

所以COS〈zPA,BE）="=r=—y=—=——

\PA\\BE\也笆5

TV8

所以异面直线24与淡:所成角的大小为arccos好.

5

(2)设平面PBC的法向量为：1=(x,y,z),

因为BC=(0,1,0),PB=(1,0,-^-)

c_____fy=0

所以噌2”即6.

[PB^=0x-^-z=0

取平面PBC的法向量为或=(#,()」)，

因为姑_LBE>,AC±BD,所以BOJ.平面P4C,又丽=(1,-1,0),

取平面PAC的法向量％=(1,-1,0),

所以二面角A-PC-B的平面角4=2«««等M=arccos恪.

所以所求二面角4-PC-8的大小为arccos逅.

6

(3)由已知可得，平行四边形ABCD的面积为：S=sin6,

在A"C中，由余弦定理可求得4C=j2-2cos。,

"PA~>/2-2cos0'

..yJ/一°=:叵亘=叵标丽,

3j2-2cos。6VI-cos<96

v0°<6^,90°,「.Q,cosOcl,/.2^y<1

63

所以四棱锥P-ABC。的体积V的取值范围是[9二)•

17.(2021•上海市西南位育中学高二期中)如图，在四棱锥P-ABC。中，以，底面

ABCD,四边形A8CZ)中，AB±AD,AB+AD=4,CD=42,ZCDA=45°.

（1）求证：平面平面E4。；

（2）设==若直线尸8与平面尸8所成角大小为30°,求线段4B的长.

4

【答案】（1）证明见解析；（2）y.

【分析】（1）利用线面垂直的性质定理得PALAD,再利用线面垂直及面面垂直的判定定

理可证得结果；

（2）以A为原点，建立空间坐标系A-孙z,求出平面尸8的法向量，利用空间向量求出线

面夹角，得到关于力的方程，求解即可.

【详解】（1）证明：底面/WC£）,4）匚平面488,,/<4_1_4）

XAB±AD,HE4AAB=A,:.ADL^^\PAB,

又45u平面PAD,所以平面PAB_L平面PAD；

（2）如图以A为原点，以4B,AD,小所在直线为x,y，z轴建立空间坐标系A-移z,

在底面A8CO内，作CE//AB交AO于反WJCE1AZ）,

在直角△CDE中，DE=CE=\

设AB=AP=f,则B（f,0,0）,P（0,0j）,

由"+/W=4,则A£>=4T,则E（0,3T,0）,C（l,3-r,0）,D（0,4-z,0）,

UUtl_____uu

所以尸O=（0,4T,T）,CZ）=（-1,1,0）,PB=（t,0,T）

___,,,,日、,r/、[n-PD=（4-t）y-tz=0

设vrt平面PC。的法向z量为〃=（x,y,z）,得｛1人，

、'[n-CD=-x+y=0

取*=乙则w=（54-f）

iruiT|

Iuir>i\n-PB\

故由直线PB与平面PCD所成角大小为30°,则有sin30。=卜0$（/”r,。8）|=岛世*,

1、71\n\-\PB\

即「2t2-4t

化简得：5产-24f+16=0,

月J产+产+(4_4

44

解得：，=《或f=4（舍去，因为AD=4T>0）,即=

【点睛】方法点睛：本题考查面面垂直，及线面角的求法，利用空间向量求立体儿何常考查

的夹角：

设直线/，机的方向向量分别为一出，平面户的法向量分别为£,入则

①两直线/,"?所成的角为。(0<"9，cos。=备耕

②直线/与平面a所成的角为。(04，V^),sin。=品；

③二面角a-/-£的大小为。(04”万)，|如田=黯.

18.(2021•上海•华东师范大学松江实验高级中学高二阶段练习)正四面体是由四个全等

正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等.它有4个面，6条棱，4个顶点.正四面体

ABCD^,E,徵别是棱49、比中点.求：

(1)力厂与心所成角的余弦值；

(2)遇底面8(力所成角的正弦值.

【答案】(1)(2)也.

33

【分析】(1)设丽=£,诙=反瓦=2,2石工两两成60。角，利用空间向量的夹角公式结合

向量基本定理进行计算即可；

(2)利用几何法，如图先确定线面角为sinNECH,利用正四面体的性质进行计算即可得

解.

【详解】(1)不妨设正四面体的边长为2,

CB=a,CD=b,CA=cfa,反c两两成60角,

则/=恁+#=_£+；£,

CE=-(CA+CD)=-c+-b,

222

设AF,CE所成角为。，

1-21r-1--1--

AFCE——c——bc-^—ac+—ab-2_2

所以cos®=2244

1-]_-3

-c+-b△忑

22

(2)

连接Ob,由产为8C中点，则

所以BC_L平面"D,所以平面AFD_L平面BCD,

作AO_LOF于。，则AO_L平面3CO,

由对称性。为△BCO的中心，

由棱长为2,所以。b=6，OD=—,

3

虫…手

作FH_LO尸于H,由E为中点，EH=—,

3

逅

连接C"，sinNEC”=>=也，

省3

“与底面附所成角的正弦值为".

3

19.(2021•上海市奉贤区奉城高级中学高二阶段练习)长方体048c-。48'C'中,

AB=BC=a,BB'=b,瓦尸分别为棱AB,BC上的动点，且AE=BF=x(OWxWa),

O-O'

第⑴问圉帚(2)问圉

(1)当a=b时，求证：直线。'8,平面B'AC；

(2)当a=b=2,且ABEF的面积取得是大值时，求点底IJ平面B'EF的距离；

(3)当。=28=1时，求从£点经此长方体表面到达O,点最短距离.

2

【答案】(1)证明见解析；(2)(3)当OVx<l时，E点经此长方体表面到达O'点最

短距离为有；当14x42时，E点经此长方体表面到达O'点最短距离为布

【分析】(1)以。为原点，建立空间直角坐标系，证得丁;•前=0,'o~^.B~A=0'

利用线面垂直的判定定理可证得；

(2)利用基本不等式可求得A8E尸的面积取得是大值时，E,F分别为棱AB,8c的中点，再利

用等体积法可求得距离.

(3)分类讨论沿OV将长方体展开，=(04x42)：沿。。将长方体展开，

OE=6+4x+5(04x42),进而求得距离最小值.

【详解】(1)如图，以。为原点，直线0Aoe分别为％y，z轴建立空间直角坐标系，

则。(0,0,0),0,(0,0,fe)TB(a,a,0),B'(a,a,b),A(a,0,0),C(0,a,0)

则0，B=(a,a,—b)，/=(一%”,。)，BA=(O,-CZ,-/J)'A=B

0BAC=-a2+Q2=o，・•・0B1前

9•0B-BA=-a2+匕2=o，0BLBA

又3NIAC=A,所以直线OBJL平面区4C

x+a—x]a2

(2)由=3/二],知EB=ci—x,则心防=-1x[/a-x、)<-1

222JT

当且仅当x="x,即时等号成立，此时民尸分别为棱A8,8C的中点，

在AB'E尸中，B'E=B'F=45,=S\"产;可一*=|

利用等体积法知匕用“=匕人“，设点医I」平面B'EF的距离为人，

则卜钎/=?*叱解得一

Bp|x|./I=lxlxlxlx2,

2

所以点集IJ平面B'EF的距离为：

(3)沿。C将长方体展开，如图，=导=J？3(04X42)

沿。'0将长方体展开，如图，O'E=7(X+2)2+12=ylx2+4x+5(0<x<2)

当04x<l时，6+4x+54jf+9，此时。或M=1+2『+F"而=后

当14x42时，&+4X+52&+9，此时0'/=短nh，=W

综上，当04x<l时，从E点经此长方体表面到达O'点最短距离为石

当1WXW2时，从E