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§4-2Taylor级数一、Taylor级数展开定理二、基本初等函数的Taylor级数展开式三Δ、典型例题及其说明1.问题的引入高等数学中，我们学习过Taylor公式：同时我们还学习过Taylor级数展开定理：自然提出问题:

任一解析函数能否用幂级数来表达？2.Taylor级数展开定理其中定理1为到的边界上各点的最短距离,设在区域内解析,为

内的一点,时,成立,当.d那么

在定理1中，幂级数称为函数f(z)在点的Taylor展开式。注1幂级数就是它的和函数f(z)在收敛圆中的Taylor展开式，即注2（幂级数展开式的唯一性）在定理1中，幂级数的和函数f(z)在收敛园盘U内不可能有另一幂级数展开式。3.将函数展开成Taylor级数常用方法:

直接法和间接法.直接法:例如，故有仿照上例,2.间接展开法

:

借助于一些已知函数的展开式,结合解析函数的性质,幂级数运算性质(逐项求导,积分等)和其它数学技巧(代换等),求函数的Taylor展开式.间接法的优点:

不需要求各阶导数与收敛半径,因而比直接展开更为简洁,使用范围也更为广泛.如：应用，令，得例如，例1解4.典型例题上式两边逐项求导,即

将展开式两端沿C逐项积分,得解例2-1是它的一个奇点，所以它在内可以展开成z的幂级数.例3

解例4解例5解例6解即微分方程即微分方程对微分方程逐次求导得:思考？怎样找函数展开成泰勒级数（幂级数）的收敛半径？答：先找离展开点最近的奇点，则展开点到此奇点的距离就是收敛半径.小结从幂级数来讨论解析函数．本节讨论解析函数的泰勒级数展开式。理解Taylor级数展开定理熟练地把一些比较简单的初等函数(ez、sinz、cosz、ln(1+z)、(1+z)m)展开成泰勒级数附:常见函数的泰勒展开式B.Taylor简介1685.8.18生于英格兰；

1731.11.29在伦敦去世.1705进入剑桥大学；1709法学学士；1714法学博士；1712英国皇家学会会员；1714~1718英国皇家学会秘书；微积分发明权仲裁委员；1715出版《增量法及其逆

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