2023北师大版高中数学《第四章导数应用综合小结》教案

第四章导数应用

4.1.1函数的单调性与导数(一)

一、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.驾驭利用导数推断函数单调性的方

法.

二、教学重点：利用导数推断一个函数在其定义区间内的单调性.

教学难点：推断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号推断函数的单调性.

三、教学过程

(-)复习引入

1.增函数、减函数的定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I：假如对于属于定义域/内某个区间上的随意两个自

变量汨，肉当%<X2时，都有F(小)那么就说/U)在这个区间上是增函数.

当汨<用时，都有/'(小)>/.(*2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.

2.函数的单调性

假如函数y=F(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y=F(x)在这一区间

具有(严格的)单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间.

在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.

例1探讨函数y=f—4x+3的单调性.

解：取汨<心,小、X2GR,取值

f(xi)~f(x2)=(x4为+3)—(宕一4生+3)作差

-(汨―*2)(苟+及-4)变形

当凶<*2<2时，汨+及一4<0,/'(%)》『(及)，定号

...y=f(x)在(-00,2)单调递减.推断

当2<为<兹时，为+在一4>0,F(xt)<f(刘)，

...y=f(x)在(2,+8)单调递增.综上所述y=f(x)在(-8,2)单调递减，y=F(x)在⑵

+8)单调递增。

能否利用导数的符号来推断函数单调性？

一般地，设函数y=F(x)在某个区间内可导，

假如/Xx)'>。，则f(x)为增函数；假如f(x)'<0,

例2.教材P24面的例1。

例3.确定函数/1/=f-2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.

解：f(x)'=2x—2.令2x—2>0,解得x>l.

因此，当xe(l,+8)时，f(x)是增函数.

令2X一2<0,解得x<l.

因此，当xW(—8,1)时,f(x)是减函数.

例4.确定函数人力=2/—6/+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函

数.

解：f(x)'—6x—l2x.

令6f-12x>0,解得x<0或x>2.

因此，当xG(—8,0)时，函数/■回是增函数，

当xG(2,+8)时，f(x)也是增函数.

令6状—12xV0,解得0VxV2.

因此，当王右(0,2)时，f(x)是减函数.

利用导数确定函数的单调性的步骤：

(1)确定函数f(x)的定义域；

(2)求出函数的导数；

(3)解不等式f，(x)>0,得函数的单调递增区间；解不等式/-COVO,得函数的单调递

减区间.

练习1：教材的例2

利用导数的符号来推断函数单调性：

设函数产=f(x)在某个区间内可导

(1)假如f'(x)>0,则/'(x)为严格增函数；(2)假如f'(x)VO,则/'(x)为严格减函数.

思索：(1)若f'(x)>0是/1(1)在此区间上为增函数的什么条件？

若f'(x)>0是f(x)在此区间上为增函数的充分而非必要条件.

例如f(,x)=X,当A=0,f'(X)=O,时，f'(X)>O,函数/'(x)=f在(-8,

+8)上是增函数.

(2)若f'(x)=0在某个区间内恒成立，F(x)是什么函数？

若某个区间内恒有f'(x)=0,则F(x)为常数函数.

教科书练习(1)

(三)课堂小结

1.推断函数的单调性的方法；2.导数与单调性的关系；3.证明单调性的方法.

(四)《习案》作业七

4.1.1函数的单调性与导数(二)

一、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.驾驭利用导数推断函数单调性的方

法.

二、教学重点：利用导数推断一个函数在其定义区间内的单调性.

教学难点：推断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号推断函数的单调性.

三、教学过程

(-)复习

1.确定下列函数的单调区间：

(1)9*+24X；(2)y=x~x.(4)f(x)=2x"—9f+12x—3

2.探讨二次函数yuaJ+bx+c(a>0)的单调区间.

3.在区间(a,份内f'(x)>0是/*J)在(a,6)内单调递增的(A)

A.充分而不必要条件B.必要但不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

(二)举例

例1.求下列函数的单调区间

(1)f(x)—x—lnx(%>0)；

(2)f(x)=log(3x2+5x-2)

(3)y=#(2x-l)(l-x)2.

(4)/(x)=ln(3x-Z?)(b>0)

(5)推断/(%)=lg(%—£)的单调性。

分三种方法：(定义法)(复合函数)(导数)

例2.(1)求函数y=gx3-g(a+a2)f+a3x+a2的单调减区间.

(2)探讨函数/(x)=M(-l<x<1,6x0)的单调性.

X-1

(3)设函数f(x)=ax-(a+1)In(*+1),其中a2-1,求/'(x)的单调区间.

(1)解：y'-x-(a+a')x+a'=(x-a)(x-a2)，令y'<0得(x-a)(x

-a)<0.

(1)当a<0时，不等式解集为aVxVa?此时函数的单调减区间为(a,a2)；

(2)当0<aVl时，不等式解集为才<x<a此时函数的单调减区间为(才，a)；

(3)当a>l时，不等式解集为aVx<才此时函数的单调减区间为(冬才)；

(4)a=0,a=1时，y'20此时，无减区间.

综上所述：

当a<0或a>l时的函数丫=3/一3(0+02"2+/》+/的单调减区间为(劣^).

当0<a<l时的函数y=1d一_13+/次2+/欠+42的单调减区间为(&a).

32

当a=0,a=1时，无减区间.

(2)解：/(-x)=~1K==-/(%),(x)在定义域上是奇函数.

(-x)~—1X"-1

在这里，只需探讨f(x)在(0,1)上的单调性即可.

当时⑸'叱矢J/：骁宇=女舞,

若6>0,则有(x)V0,.•.函数/'(x)在(0,1)上是单调递减的;

若6V0,则有f'(x)>0,...函数/■(x)在(0,1)上是单调递增的.

由于奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，从而有如下结论：

当5>0时，函数f(x)在(-1,1)上是单调递减的；

当6V0时，函数/'(x)在(-1,1)上是单调递增的.

(3)解：由已知得函数f(x)的定义域为(7,+8),且广。)=竺二1(,，-1).

X+1

(1)当-IWaWO时，f'(x)vo,函f(x)在(-1,+8)上单调递减.

(2)当a>0时，由/1'(x)=0,解得x=1.

a

f'(X)、/■(X)随X的变更状况如下表:

X(-1,-)(一,+00)

aaa

f'(X)-0+

f(x)微小值/

从上表可知,

当XC(_J)时，f'(x)<0,函数F(x)在(_让)上单调递减.

aa

当Xd(_L,yo)时，f'(x)>0,函数f(X)在(L400)上单调递增.

aa

综上所述，当-IWaWO时，函数/1(1)在(-1,+8)上单调递减；

当a>0时，函数/'(x)在(-12)上单调递减，函数f(x)在d,y)上单调递增.

aa

4.1.3函数的单调性与导数(三)

教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.驾驭利用导数推断函数单调性的方法.

教学重点：利用导数推断一个函数在其定义区间内的单调性.

教学难点：推断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号推断函数的单调性.

教学过程：

一、练习讲解及上一课时的例2。

二、新课：

题型一：求参数的取值范围：

例I.要使函数/(%)=£+3(。+1)%—2在区间(—00,3]上是减函数，求实数a的

取值范围。

例2.若函数一J.Q%2+(〃一])工+1在区间(],4)上是减函数，在区

32^

间(6,+00)上是增函数，求实数a的取值范围

题型二：证明不等式

例1.已知x>l,求证：x>ln(l+x).

例2.已知x>o,求证：i+2x>elx.

例3.已知(0,一),求证：sinx<A:<tanx

练习：已知x>o，证明不等式i+2一日<.

282

小结：

若证明Hx)>g(x),xG(a,⑸可以等价转换为证明/■(x)—g(x)>0,假如(f(x)—g(x))'

>0,说明函数

/1(x)一以x)在(a,6)上是增函数，假如/1(a)—g(a)》0,由增函数的定义可知，当xd(a,6)

时，

f(x)—g(x)>0,即f[x)>g(x).

题型三：有关方程根的问题

例1.求证：方程x-Linx=0只有一个根x=0.

2

小结：

用求导的方法确定根的个数，是一种很有效的方法，它是通过函数的变更状况，运用数

形结合的思想来确定函数的图象与X轴的交点个数，最简洁的一种是只有1个交点（即1

个根）的状况，即函数在某个定义域内是单调函数，再结合某一个特别值来确定f（x）=0.

课堂小结

1.题型一：求取值范围；

2.题型二：证明不等式；

3.题型三：有关方程根的问题；

课后作业：

4.1.4函数的单调性与导数（四）

一、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.驾驭利用导数推断函数单调性的方

法.

二、教学重点：利用导数推断一个函数在其定义区间内的单调性.

教学难点：推断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号推断函数的单调性.

三、教学过程：

（-）讲授新课

1.曲线y=+x在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（A）

2.函数/（©uxlnxa〉。）的单调递增区间是.-,+oo

3.己知函数y=/（x）的图象在点M（l,/（I））处的切线方程是y=；x+2,

则/⑴+/⑴=3一

1Y

4.己知函数〃x)=-(I)设a>0,探讨y=/(x)的单调性;

1-X

（II）若对随意xe（O,l）恒有/（力＞1,求a的取值范围。

解：（I）/（“）的定义域为（一8,1）（1,-K0）

=-----7xI（7X2+（2-＜7）I

（1-X）2L'〃

-----T＞°,

因为（l-x）-（其中xwl）恒成立，所以尸（x）＞0=奴2+（2-a）＞0

（1）当0＜a＜2时，在（-oo,o）U（i,-+w）上恒成立，

所以/（X）在（-8,1）I-（1,+8）上为增函数；

⑵当。=2时，尸（x）＞°在（-co,0）（0,1）（1,+8）上恒成立，

所以/（X）在（一8,1）I,（1,+00）上为增函数；

t=CJ

⑶当a＞2时，叱+（2-"）＞0的解为：（_8,T）!（h1）（1,+8）（其中Va）

所以/（X）在各区间内的增减性如下表：

区间(-CO,-t)(T,t)(f,1)(1,+°0)

/（X）的符号+—++

“X）的单调性增函数减函数增函数增函数

（II）明显/（°）=1

⑴当0＜a42时，/（x）在区间10,1）上是增函数，所以对随意xe（o,1）都有了（x）＞〃°）；

⑵当。＞2时，/⑺是〃x）在区间10,1）上的最小值，即〃'）＜/（°）,这与题目要求

冲突；

⑶若a＜。，f（x）在区间10,1）上是增函数，所以对随意xw（0,1）都有了（x）＞〃°）。

综合⑴、⑵、⑶，a的取值范围为（7,2）

5.设aNO,f(x)=x—1—1/x+2aInx(x>0).

令F(x)=xf'Qx),探讨/(x)在(0.+8)内的单调性

解：依据求导法则有尸(x)=1—22+即，X>O,

XX

2x-2

故尸(x)=4'(x)=九-21nx+2ax>0,于是F(x)=l——=-—,x>0,列表如下:

XX

X(0,2)2(Z+8)

尸（幻—0+

F(x)微小值尸（2）

故知尸（幻在（0,2）内是减函数，在（2+8）内是增函数

课堂小结

4.1.2函数的极值与导数（1）

一、教学目标

1学问与技能

〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件

〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与微小值

2过程与方法

结合实例，借助函数图形直观感知，并探究函数的极值与导数的关系.

3情感与价值

感受导数在探讨函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部

性质，增加学生数形结合的思维意识。

二、重点：利用导数求函数的极值

难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件

三、教学基本流程

回忆函数的单调性与导数的关系，与已有学问的联系

提出问题，激发求知欲

组织学生自主探究，获得函数的极值定义

通过例题和练习，深化提高对函数的极值定义的理解

四、教学过程

〈一〉、创设情景，导入新课

1、通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？

（提高学生回答）

2.视察图1.3.8表示高台跳水运动员的高度h

随时间t变更的函数人⑴=-4.9t，6.5t+10的图

〃（a）=0

象，回答以下问题

h个-----单调递增/::、单调递减

/;w\（r）＜o

O

1

（1）当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度

最大，那么函数/z（。在t=a处的导数是多少呢？（2）在点t=a旁边的图象有什么特点？

（3）点t=a旁边的导数符号有什么变更规律?

共同归纳：函数h(t)在a点处h'(a)=O,在

t=a的旁边，当tVa时，函数人。)单调递增，

〃'(f)>0；当t>a时，函数力。)单调递减，

<0,即当t在a的旁边从小到大经过a时，

〃'(f)先正后负，且力«)连续变更，于是

h(a)=0.

3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是

不是也有这种性质呢？

(二〉、探究研讨

1、视察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题:

(1)函数y=f(x)在a.b点的函数值与这些点旁边的函数值有什么关系？

(2)函数y=f(x)在a.b.点的导数

值是多少？

(3)在a.b点旁边，y=f(x)的导数

的符号分别是什么，并且有什么关系

呢？

2、极值的定义：

我们把点a叫做函数y=f(x)的微小

值点，f(a)叫做函数y=f(x)的微小

值；

点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极大值。

极大值点与微小值点称为极值点，极大值与微小值称为极值.

3、通过以上探究，你能归纳出可导函数在某点X。取得极值的充要条件吗？

充要条件：f(Xo)=O且点X。的左右旁边的导数值符号要相反

4、引导学生视察图1.3.11,回答以下问题：

(1)找出图中的极点，并说明哪些点为极大值点，哪些点为微小值点？

(2)极大值肯定大于微小值吗？

5、随堂练习：

1如图是函数y=f(x)的函数，试找出函数y=f(x)的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些

是微小值点.假如把函数图象改为导函数y=/(x)的图象?

<三>、讲解例题

例4求函数/(x)=gd—4x+4的极值

老师分析:①求f'(x),解出f(x)=0,找函数极点；②由函数单调性确定在极点X。旁边f(x)

的符号,从而确定哪一点是极大值点,哪一点为微小值点,从而求出函数的极值.

学生动手做，老师引导

解：；/(耳=$3一4%+4.，./'(同=*2-4=6-2)32)令/'(x)=0,解得x=2,或

x=-2.

下面分两种状况探讨：

(1)当/(X)>0,即x>2,或x<-2时;

(2)当/'(x)<0,即-2<x<2时.

当x变更时，f(x),f(x)的变更状况如下表:

X(-00,-2)-2(-2,2)2(2,+8)

/w+0-0+

f(x)单调递增28单调递减_4单调递增

T~3

因此，当x=-2因f(x)有极大值,且极大值为f(-2)=—;当x=2时,f(x)有极

3y个

小值，且微小值为f(2)=f(x)=Px3-4x+4

函数/(x)=gx3—4x+4的图象如：I

归纳：求函数y=f(x)极值的方法是：/\I

1求f(x),解方程f(x)=0,当/0=0时：L/

X

⑴假如在x。旁边的左边/(x)>0,右边f(x)<0,那么f(x。)是极大值.10|\J

(2)假如在x。旁边的左边/(x)<0,右边f(x)>0,那么f(x。)是微小值

(四〉、课堂练习

1、求函数f(x)=3x-x，的极值

2、思索:已知函数f(x)=ax3+bx2-2xSx=-2,x=l处取得极值，

求函数f(X)的解析式及单调区间。

〈五〉、课后思索题：

1、若函数f(x)=x~3bx+3b在(0,1)内有微小值，求实数b的范围。

2、已知f(x)=x3+ax?+(a+b)x+l有极大值和微小值，求实数a的范围。

(六＞、课堂小结：

1、函数极值的定义

2、函数极值求解步骤

3、一个点为函数的极值点的充要条件。

＜七＞、作业Psi3。4

教学反思：

本节的教学内容是导数的极值,有了上节课导数的单调性作铺垫，借助函数图形的直观性探

究归纳出导数的极值定义,利用定义求函数的极值.教学反馈中主要是书写格式存在着问题.

为了统一要求主见用列表的方式表示，刚起先学生都不愿接受这种格式，但随着几道例题与

练习题的展示,学生体会到列表方式的简便，同时为能够快速推断导数的正负,我要求学生尽

量把导数因式分解.本节课的难点是函数在某点取得极值的必要条件与充分条件，为了说明

这一点多举几个例题是很有必要的.在解答过程中学生还暴露出对困难函数的求导的精确率

比较底，以及求函数的极值的过程板书仍不规范,看样子这些方面还要不断加强训练.

4.1.2函数的极值与导数(2)

一、教学目标：理解函数的极大值、微小值、极值点的意义.驾驭函数极值的判别方法.进一

步体验导数的作用.

二、教学重点：求函数的极值.

教学难点：严格套用求极值的步骤.

三、教学过程：

(-)函数的极值与导数的关系

1、视察下图中的曲线

a点的函数值F(a)比它接近点的函数值都大.6点的函数值/■(力比它接近点的函数值都小.

2、视察函数/1(x)=2f—6丁+7的图象，

思索：函数y=f(x)在点x=0,x=2处的函数值，与它们旁边全部各点

处的函数值，比较有什么特点？

(1)函数在x=0的函数值比它旁边全部各点的函数值都大，

我们说A0)是函数的一个极大值；

(2)函数在x=2的函数值比它旁边全部各点的函数值都小，

则/"(2)是函数的一个微小值.

函数Z=2f—6x2+7的一个极大值：f(0)；一个微小值：f(2).

函数尸2/-6f+7的一个极大值点：(0,/(0))；一个微小值点：(2,r(2)).

3、极值的概念:

一般地，设函数f(x)在点照旁边有定义，假如对A0旁边的全部的点，都有F(x)＜『(加

我们就说f(m)是函数f(x)的一个极大值，记作/极大值=fU；

假如对新旁边的全部的点，都有/"(MAA照)

我们就说f(x。)是函数f(x)的一个微小值，记作y微小值=丹及).

极大值与微小值统称为极值.

4、视察下图中的曲线

考察上图中，曲线在极值点处旁边切线的斜率状况.

上图中，曲线在极值点处切线的斜率为0,

极大值点左侧导数为正，右侧为负；微小值点左侧导数为负，右侧为正.

函数的极值点Xi是区间［a,⑸内部的点，区间的端点不能成为极值点.

函数的极大(小)值可能不止一个，并且函数的极大值不肯定大于微小值，微小值不肯定

小于极大值.

函数在［a,6］上有极值，其极值点的分布是有规律的，像相邻两个极大值间必有一个微

小值点.

5、利用导数判别函数的极大(小)值：

一般地，当函数Mx)在点仞处连续时，判别是极大(小)值的方法是:

(1)假如在施旁边的左侧/•'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么，人照)是极大值；

⑵假如在题旁边的左侧/1'(x)V0,右侧F'(x)>0,那么，/■(就是微小值；

思索：导数为0的点是否肯定是极值点？

导数为。的点不肯定是极值点.

如函数/•(x)=f,x=0点处的导数是0,但它不是极值点.

函婀(X)的定义域为开区间，b),导函蠹(X)在(a,5炳的函数

图像如图，则函数(外在开区间a,㈤内存在极小值点个.

例1求函数y=-4x+4的极值.

解：_/=f—4=(x+2)(x—2).令/=0,解得为=-2,xz=2.

33

求可导函数f(x)的极值的步骤：

⑴求导函数f'(X)；

⑵求方程F，(x)=0的根；

⑶检查在方程根左右的值的符号，假如左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大

值；

假如左负右正，那么f(x)在这个根处取得微小值.

例2.求函数y=/er的极值

例3求函数了=(/一1/+1的极值.

解：定义域为R,_/=6x(*2—1)2.由_/=0可得汨=—1,X2—O,xa—l

当x变更时，/,y的变更状况如下表：

X(f—1)-1(-i.0)0

■0■0

y、口J、

X(0t1)1(1.■

■0

y//

当x=0时，y有微小值，并且y微小值=0.

X3-2

例4.y=———的极值

2(%-I)2

例5.y=(x—l)正的极值

思索：导数值为。的点肯定为极值点吗？极值点肯定导数值为0吗？

练习：求函数y=/er的极值

(三)课堂小结

1.考察函数的单调性的方法；2.导数与单调性的关系；3.用导数求单调区间的步骤.

(四)课后作业

4.1.3函数的极值与导数(3)

运用导数及函数的极值推断方程解的个数、函数图象与X轴交点个数

例1、设a为实数，函数F(x)=f-f_X+a.

(1)求f(x)的极值；

(2)当a在什么范围内取值时，曲线y=/"(x)与x轴仅有一个交点.

例2.已知函数/(x)=V—x.

(1)求曲线y=/(x)在点M(f,/(f))处的切线方程；

(2)设。＞0,假如过点(。，。)可作曲线y=/(x)的三条切线，证明：一。＜匕＜/(。).

例3.已知/(%)+bx2+cx在区间［0,1］上是增函数,在区间(一8,0),(1,+8)上是减函

13

数，又尸耳)=了

(I)求/(幻的解析式；(II)若在区间［0,〃“(加＞0)上恒有/(幻Wx成立,求勿的取值范

围.

例4.设函数/(x)=以2+blnx,其中出?。0.

证明：当成＞0时，函数/(x)没有极值点；当"＜0时，函数/(x)有且只有一个极

值点，并求出极值.

例5.设函数/(x)=%2+blnCr+l),其中Z?wO.

(I)当。〉1•时，推断函数/(X)在定义域上的单调性；

(II)求函数/(X)的极值点;

(III)证明对随意的正整数〃，不等式InH+l］〉］—4都成立.

\n)nn

4.2.1：导数在实际生活中的应用(1)

教学目的：

1.进一步娴熟函数的最大值与最小值的求法；

2.初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题

教学重点：解有关函数最大值、最小值的实际问题.

教学难点：解有关函数最大值、最小值的实际问题.

授课类型：新授课

课时支配：1课时

教具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1.极大值：一般地，设函数f(x)在点X。旁边有定义，假如对X。旁边的全部的点，都有f(x)

<f(xo),就说f(Xo)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(xo),Xo是极大值点

2.微小值：一般地，设函数f(x)在X。旁边有定义，假如对X。旁边的全部的点，都有f(x)

>f(x。).就说f(x。)是函数f(x)的一个微小值，记作y做小行f(x。),x。是微小值点

3.极大值与微小值统称为极值

4.判别f(x。)是极大、微小值的方法：

若与满意/'(%)=0,且在/的两侧/(x)的导数异号，则/是/(x)的极值点，

/(%)是极值，并且假如/'(X)在X。两侧满意“左正右负”，则/是/(x)的极大值点，

/(%)是极大值；假如尸(x)在/两侧满意“左负右正”，则/是/(x)的微小值点,f(x0)

是微小值

5.求可导函数/1(㈤的极值的步骤：

(1)确定函数的定义区间，求导数f(x)

(2)求方程F(x)=0的根

(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.

检查(X)在方程根左右的值的符号，假如左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；

假如左负右正，那么/Xx)在这个根处取得微小值；假如左右不变更符号即都为正或都为负,

那么f(x)在这个根处无极值

6.函数的最大值和最小值:在闭区间［。,同上连续的函数/(x)在口,“上必有最大值与最小

值.⑴在开区间（。力）内连续的函数/（X）不肯定有最大值与最小值.⑵函数的最值是比较

整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点旁边函数值得出的.⑶函数/（X）

在闭区间除“上连续，是/（x）在闭区间［a,U上有最大值与最小值的充分条件而非必要条

件.（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个,

也可能没有一个

7.利用导数求函数的最值步骤:⑴求/（x）在（。/）内的极值：⑵将/（处的各极值与/（a）、

/（。）比较得出函数/（幻在可上的最值

二、讲解范例：

例1在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如

图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？

解法一：设箱底边长为xcm,则箱

(0<x<60)

3x2

令Vr(x)==0,解得x=0（舍去），x=40,

并求得V(40)=16000

由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16000

是最大值

答:当x二答cm时,箱子容积最大，最大容积是16OOOcnf

解法二：设箱高为疣m,则箱底长为（60-2x）cm,则得箱子容积

V（x）=（60—2x）2x（0<x<30）.（后面同解法一，略）

由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大

值出现在极值点处.

r2-x

事实上，可导函数V（x）^x2h=-......

V(x)=(60-2x)2x在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波

峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值

例2圆柱形金属饮料罐的容积肯定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最

省？

解：设圆柱的高为h,底半径为R,则表面积

S=2nRh+2nR2

V

由V=orR2h,得〃=—7，则

7TR-

V2V

S(R)2nR----+2兀R"=---+2nR-

7lR2R

2V

令s'(R)...-+4nR=0

R2

即h=2R

因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值

答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省

变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时;它的高与底面半径应怎样选取，才能使所

用材料最省？

提示：S=2^Rh+27rR2—

2兀R

=>，(/=S-2成乃川=(S_2欣2)R=LSR_成3

2成22

V'(7?))=0=>S—6成'=>6成2=2成/?+2成2=>/z=2R.

例3在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x),出售x单位产品的

收益称为收益函数，记为R(x),R(x)—C(x)称为利润函数，记为P(x)。

(1)、假如，&)=10-6%3-0003，+5%+1000,那么生产多少单位产品时，边际

C'(x)最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)

(2)、假如C(x)=50x+10000,产品的单价P=100—0.Olx,那么怎样定价，可使利润

最大？

变式：已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为小100+4q,价格p与产量0的函数

关系式为p=25-1q.求产量g为何值时.，利润/最大？

分析：利润£等于收入《减去成本C,而收入〃等于产量乘价格.由此可得出利润Z与产量

q的函数关系式，再用导数求最大利润.

解:收入R=q.p=q[25-；14]=25q-；q2,

8

利润——————(0<^<100)

U=—5+21

令L'=O,即一；q+21=0,求得唯一的极值点q=84

答：产量为84时，利润L最大

三、课堂练习：

1.函数片2f—3f—12户5在［0,3］上的最小值是.

2.函数f(x)=sin2x-x在［一TT些7，T工］上的最大值为；最小值为

22

3.将正数a分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成和

22

4.使内接椭圆［+==1的矩形面积最大，矩形的长为,宽为.

a'b

5.在半径为"的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为—时，它的面积最大

答案：1.—152.———-3.——4,-\/2a-\/2b5.—/?

22222

四、小结：

⑴解有关函数最大值、最小值的实际问题，须要分析问题中各个变量之间的关系，找出适

当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义.

⑵依据问题的实际意义来推断函数最值时，假如函数在此区间上只有一个极值点，那么这

个极值就是所求最值，不必再与端点值比较.

⑶相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简洁

五、课后作业：

1.有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个

无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形的边长应为多少？

解：(1)正方形边长为％则V=(8—2x),(5—2x)JJ=2(2/-13x+20x)(0<X—)

2

V=4(3/一13卢10)(0<水2),/=0得产1依据实际状况，小盒容积最大是存在的，

2

...当尸1时，容积，取最大值为18.

2.一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，

h

希望在断面力及力的面积为定值S时，使得湿周/=/加册⑺最,

小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高力和下底边长B二7b二C

b.

1也

解：由梯形面积公式，得伞一(AIRBOh,其中AA2DE+BC,DB-——/?,BOb

23

AD^—h+b,/.5=—{—h+2b)h=(—^-h+b)h①

h22

---------=-r=h,A+CD.••1-―尸hX2+b②

cos30°V3V3

由①得吟一去'代入②'"竽"+A¥人同+：

r=6-3=o,:.护泪,当乐卓时，rco,力>里时，r>o.

h2V3V3V3

.•加当时,/取最小值，此时少递jy

V33

4.2.1导数在探讨函数中的应用（2）

目标认知

学习目标：

1.会从几何直观了解函数单调性和导数的关系；能利用导数探讨函数的单调性，会求

函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次.

2.了解函数在某点与取得极值的必要条件（导数在极值点两端异号）和充分条件

（/'（/）=°）；会用导数求函数的极大值、微小值，对多项式函数一般不超过三次.

3.会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次.

重点：利用导数推断函数单调性；函数极值与最值的区分与联系.会求一些函数的（极）最

大值与（极）最小值

难点：利用导数在解决函数问题时有关字母探讨的问题.

学问要点梳理

学问点一：函数的单调性

（-）导数的符号与函数的单调性：

一般地，设函数，=/（X）在某个区间内有导数，则在这个区间上，若/'（x）＞0,则/（x）

在这个区间上为增函数；若/'（x）＜0,则/。）在这个区间上为减函数；若恒有/*）=0,

则在这一区间上为常函数.反之，若」（＞）在某区间上单调递增，则在该区间上有

/'（X）2°恒成立（但不恒等于0）；若」（x）在某区间上单调递减，则在该区间上有了'（X）三°

恒成立（但不恒等于0）.

留意：

1.若在某区间上有有限个点使/'(x)=0,在其余点恒有,'(x)>0,则仍为增

函数(减函数的情形完全类似).即在区间(a,b)内，/1«1>0(或是/(力在

(a,b)内单调递增(或减)的充分不必要条件！例如：

/(x)=X3=/*(x)=39N0./'(0)=0Jfx)>0(x/0)，而f(x)在R上递增.

2.学生易误认为只要有点使/'(X)=0,则f(x)在(a,b)上是常函数，要指出个别导

数为零不影响函数的单调性，同时要强调只有在这个区间内恒有(口)=°,这个函数

y=f(X)在这个区间上才为常数函数.

3.要关注导函数图象与原函数图象间关系.

(~)利用导数求函数单调性的基本步骤：

1.确定函数/(X)的定义域；2.求导数/{X)；

3.在定义域内解不等式/‘(乃>0或解出相应的X的范围；

当/'(D>o时，/(X)在相应区间上为增函数；当广(。<°时/(X)在相应区

间上为减函数.

4.写出了(入)的单调区间.

学问点二：函数的极值

(一)函数的极值的定义一般地，设函数/(")在点'二%及其旁边有定义，

(1)若对于%旁边的全部点，都有则/(%)是函数/(X)的一个极大值，记

作Wr-"%)；

(2)若对X。旁边的全部点，都有则/(“)是函数/(力的一个微小值，

记作Ms147'%).

极大值与微小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量

的值，极值指的是函数值.

留意：由函数的极值定义可知：

(1)在函数的极值定义中，肯定要明确函数y=f(x)在X=X。及其旁边有定义，否则无

从比较.

(2)函数的极值是就函数在某一点旁边的小区回而言的，是一个局部概念；在函数的

整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它旁边

点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的完全的定义域内最大或最小.

(3)极大值与微小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于微小值.微

小值不肯定是整个定义区间上的最小值.

（4）函数的极值点肯定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得

最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.

（5）可导函数在某点取得极值，则该点的导数肯定为零，反之不成立.即°是

可导函数/（X）在点”取得极值的必要非充分条件.在函数取得极值处，假如曲线有切线的

话，则切线是水平的，从而有/'（X）=°.但反过来不肯定.如函数y=x?,在x=0处，曲线

的切线是水平的，但这点不是函数的极值点.

（二）求函数极值的的基本步骤：

①确定函数的定义域；②求导数/口）；③求方程尸a"°的根；

④检查了'（X）在方程根左右的值的符号，假如左正右负，则f（x）在这个根处取得极大

值；假如左负右正，则f（x）在这个根处取得微小值.（最好通过列表法）

学问点三：函数的最大值与最小值

（-）函数的最大值与最小值定理

若函数y二/5）在闭区间［③切上连续，则/（"）在【40上必有最大值和最小值；在开

区间g与内连续的函数/a）不肯定有最大值与最小值.如"""彳'"

（二）求函数最值的的基本步骤：

若函数在闭区间也必有定义，在开区间（4协内有导数，则求函数＞=/（］）

在【叫上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数/（X）在①力）内的导数（2）求

/（X）在g6）内的极值；

（3）求/（X）在闭区间端点处的函数值/9），/©）；

（4）将/（力的各极值与了似），/©）比较，其中最大者为所求最大值，最小者为所求

最小值.

（三）最值理论的应用

解决有关函数最值的实际问题，导数的理论是有力的工具，基本解题思路为：

（1）认知、立式：分析、认知实际问题中各个变量之间的联系，引入变量，建立适当

的函数关系；

（2）探求最值：立足函数的定义域，探求函数的最值；

（3）检验、作答：利用实际意义检查（2）的结果，并回答所提出的问题，特别地，假

如所得函数在区间内只有一个点“满意广（%）=°,并且一（X）在点“处有极大（小）值，

而所给实际问题又必有最大（小）值，那么上述极大（小）值便是最大（小）值.

规律方法指导

（1）利用导数探讨函数的单调区间，首先要确定函数的定义域D,并且解决问题的过

程中始终立足于定义域D.若由不等式/'（X）>°确定的x的取值集合为A,由确定

的X的取值范围为B,则应有如：/⑸58klS

（