2020-2021学年新教材高中数学 8.6 空间直线、平面的垂直 教案新人教A版必修第二册

2020_2021学年新教材高中数学8.6空间直线、平面的垂直教案新人教A版必修第二册学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容2020-2021学年新教材高中数学8.6空间直线、平面的垂直教案新人教A版必修第二册

本节课主要围绕空间几何中的直线与平面的垂直关系展开。内容包括：

1.空间直线与平面的垂直的定义和性质。

2.空间直线与平面垂直的判定定理及其应用。

3.空间直线与平面垂直的证明方法。

4.空间直线与平面垂直的相关例题和习题。核心素养目标1.通过探究空间直线与平面的垂直关系，培养学生的空间观念和几何直观能力。

2.通过对判定定理的运用和证明方法的探讨，提升学生的逻辑推理和数学思维能力。

3.通过解决实际问题，锻炼学生运用数学知识解决实际问题的能力和创新意识。重点难点及解决办法重点：

1.空间直线与平面垂直的定义和性质的理解。

2.空间直线与平面垂直的判定定理的应用。

难点：

1.空间直线与平面垂直证明过程中的逻辑推理。

2.将空间几何问题转化为平面几何问题的能力。

解决办法：

1.通过实物模型和动态软件演示，帮助学生直观理解空间直线与平面垂直的概念。

2.通过例题讲解，强调判定定理的使用条件和步骤，让学生逐步掌握应用方法。

3.通过小组讨论和问题驱动的教学方法，引导学生自主探索证明过程，培养其逻辑推理能力。

4.结合实际图形和问题情境，训练学生将空间问题转化为平面问题的能力，提高空间想象力和解题技巧。教学方法与策略1.采用讲授法结合讨论法，讲解空间直线与平面垂直的概念和判定定理，同时引导学生通过小组讨论深入理解。

2.设计实验活动，如构建空间模型，让学生在操作中发现直线与平面垂直的规律。

3.使用多媒体教学，如动画演示和三维模型，帮助学生直观感受空间几何关系，增强空间想象力。

4.引入案例研究和问题解决活动，鼓励学生将理论知识应用于解决具体问题，促进知识的内化和能力的提升。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标为理解空间直线与平面垂直的定义和性质。

-设计预习问题：设计问题如“如何判断一条直线与一个平面是否垂直？”引导学生思考。

-监控预习进度：通过在线平台的预习测试或学生的预习笔记，监控学生的预习效果。

学生活动：

-自主阅读预习资料：学生阅读资料，理解空间直线与平面垂直的基本概念。

-思考预习问题：学生思考问题，尝试用自己的语言描述直线与平面垂直的判定方法。

-提交预习成果：学生将预习笔记和问题提交至平台。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：培养学生的自主学习能力。

-信息技术手段：利用在线平台，提高预习效率。

作用与目的：

-为课堂学习打下基础，帮助学生理解重点概念。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过实际生活中的例子，如建筑物中的直线与平面关系，引出课题。

-讲解知识点：详细讲解空间直线与平面垂直的判定定理，并通过例题演示。

-组织课堂活动：设计小组讨论，让学生探讨如何证明一条直线与一个平面垂直。

-解答疑问：对学生的疑问进行解答，帮助学生理解难点。

学生活动：

-听讲并思考：学生听讲并思考老师提出的问题。

-参与课堂活动：学生参与小组讨论，共同探讨证明方法。

-提问与讨论：学生提出自己的疑问，并参与课堂讨论。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：讲解判定定理。

-实践活动法：通过小组讨论，实践证明过程。

-合作学习法：促进学生之间的交流与合作。

作用与目的：

-帮助学生掌握判定定理的应用，突破难点。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：布置与空间直线与平面垂直相关的练习题，巩固知识点。

-提供拓展资源：提供相关的数学网站和视频，帮助学生进一步学习。

-反馈作业情况：及时批改作业，给予反馈。

学生活动：

-完成作业：独立完成作业，巩固所学知识。

-拓展学习：利用提供的资源进行拓展学习。

-反思总结：总结学习过程中的收获和不足。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：鼓励学生自主学习。

-反思总结法：帮助学生形成自我反思的习惯。

作用与目的：

-巩固课堂所学，拓展知识视野，提高学生的空间想象力。拓展与延伸1.拓展阅读材料：

-《空间几何学导论》中关于空间直线与平面关系的深入探讨。

-《高等几何》中空间直线与平面垂直的证明方法及其应用。

-《数学杂志》上的相关论文，探讨空间几何在实际工程中的应用。

2.课后自主学习和探究：

-探究空间直线与平面垂直在建筑、工程和物理学中的应用实例，分析其重要性。

-研究空间直线与平面垂直的判定定理在不同维度几何中的表现形式和证明方法。

-分析空间直线与平面垂直的性质在解决实际几何问题中的作用，如体积计算、角度测量等。

-利用数学软件（如GeoGebra）构建空间模型，直观观察直线与平面垂直的关系，并尝试不同的证明方法。

-深入学习空间向量在解决直线与平面垂直问题中的应用，如向量积的概念和计算方法。

-探索空间几何中的其他垂直关系，如直线与直线、平面与平面的垂直关系，并比较它们的性质和判定方法。

-阅读数学历史资料，了解空间几何学的发展历程，以及空间直线与平面垂直理论在数学史上的重要地位。

-参与数学论坛和讨论组，与其他学习者交流空间直线与平面垂直的学习心得和解题技巧。

-尝试编写关于空间直线与平面垂直的数学小论文，总结学习过程中的发现和思考。

-定期复习和巩固所学知识，通过解决复杂的几何问题来提高空间想象力和逻辑推理能力。内容逻辑关系1.空间直线与平面垂直的定义和性质

①空间直线与平面垂直的定义：一条直线与一个平面垂直，当且仅当该直线与平面内的任意直线都垂直。

②空间直线与平面垂直的性质：如果一条直线与一个平面垂直，则该直线与平面内的任意平面都垂直。

③空间直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与这个平面垂直。

2.空间直线与平面垂直的判定定理及其应用

①空间直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与这个平面垂直。

②空间直线与平面垂直的应用：利用判定定理解决实际几何问题，如求点到平面的距离、判断几何体中直线与平面的位置关系等。

3.空间直线与平面垂直的证明方法

①向量法：通过向量积和向量的模长来证明直线与平面垂直。

②综合法：结合空间几何的基本性质和定理，通过逻辑推理来证明直线与平面垂直。

③构造法：通过构造辅助线、面或体，利用已知条件来证明直线与平面垂直。课后作业1.作业题目：

-已知直线AB和平面α，若直线AB与平面α内的两条相交直线AC和AD都垂直，证明直线AB与平面α垂直。

-在正方体ABCD-A1B1C1D1中，证明直线BC1与平面B1CDA1垂直。

-若平面α垂直于平面β，直线l垂直于平面β，证明直线l垂直于平面α。

-已知直线AB与平面α垂直，点C在平面α内，且BC不垂直于平面α，求证：直线AC不垂直于平面α。

-在空间四边形ABCD中，若AB垂直于CD，AD垂直于BC，证明：AC垂直于BD。

2.补充和说明举例题型：

题型一：证明题

题目：已知直线AB和平面α，若直线AB与平面α内的两条相交直线AC和AD都垂直，证明直线AB与平面α垂直。

答案：根据空间直线与平面垂直的判定定理，由于直线AB与平面α内的两条相交直线AC和AD都垂直，因此直线AB与平面α垂直。

题型二：应用题

题目：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，证明直线BC1与平面B1CDA1垂直。

答案：在正方体中，BC1是侧棱，B1CDA1是底面，侧棱垂直于底面，因此直线BC1与平面B1CDA1垂直。

题型三：推理题

题目：若平面α垂直于平面β，直线l垂直于平面β，证明直线l垂直于平面α。

答案：由于平面α垂直于平面β，直线l垂直于平面β，根据垂直的传递性，直线l垂直于平面α。

题型四：反证题

题目：已知直线AB与平面α垂直，点C在平面α内，且BC不垂直于平面α，求证：直线AC不垂直于平面α。

答案：假设直线AC垂直于平面α，则根据垂直的传递性，BC也垂直于平面α，与题设矛盾，因此直线AC不垂直于平面α。

题型五：综合题

题目：在空间四边形ABCD中，若AB垂直于CD，AD垂直于BC，证明：AC垂直于BD。

答案：取AC的中点E，连接BE和DE，由于AB垂直于CD，AD垂直于BC，根据垂直的判定定理，BE垂直于CD，DE垂直于BC。又因为BE和DE相交于E，所以CD垂直于平面BDE，因此BD垂直于AC。作业布置与反馈作业布置：

1.练习题：根据教材8.6节的内容，完成以下练习题：

-练习题1：证明直线l与平面α垂直，给出证明过程。

-练习题2：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，证明直线B1C与平面ACD1垂直。

-练习题3：已知平面α垂直于平面β，直线l垂直于平面β，求证：直线l垂直于平面α。

-练习题4：在空间四边形ABCD中，若AB垂直于CD，AD垂直于BC，求证：AC垂直于BD。

2.拓展题：选择以下拓展题目之一进行解答，以提高空间想象力和解决问题的能力。

-拓展题1：研究空间直线与平面垂直在现实生活中的应用，如建筑设计、工程结构等，并撰写一篇短文。

-拓展题2：利用数学软件（如GeoGebra）构建空间模型，探究直线与平面垂直的几何性质。

作业反馈：

1.练习题反馈：

-对学生的练习题进行逐一批改，重点关注学生对空间直线与平面垂直判定定理的理解和应用