初中数学人教版九年级上册 21.3 实际问题与一元二次方程(3)面积问题教学设计

初中数学人教版九年级上册21.3实际问题与一元二次方程(3)面积问题教学设计科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）初中数学人教版九年级上册21.3实际问题与一元二次方程(3)面积问题教学设计教学内容分析1.本节课的主要教学内容是初中数学人教版九年级上册21.3节“实际问题与一元二次方程(3)面积问题”，主要围绕利用一元二次方程解决实际生活中的面积问题，包括矩形、正方形等图形的面积计算。

2.教学内容与学生已有知识的联系：本节课涉及的知识点与之前学习的平面几何知识、一元二次方程的解法密切相关。学生需要运用已掌握的矩形、正方形等图形的面积公式，以及一元二次方程的求解方法，将实际问题转化为数学模型，进而求解问题。核心素养目标分析本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学建模等核心素养。通过解决实际问题，学生将学会将现实问题抽象为一元二次方程模型，提升数学抽象能力；在分析问题和解决问题的过程中，锻炼逻辑推理能力；同时，通过将数学知识应用于实际情境，培养学生的数学建模素养，提高解决实际问题的能力。教学难点与重点1.教学重点：

①理解并掌握如何将实际面积问题抽象为一元二次方程。

②学会解一元二次方程，并能够将解回代到实际问题中，得到具体的面积数值。

2.教学难点：

①学生在将实际问题转化为数学模型时，可能难以准确识别和应用面积公式。

②在解决一元二次方程时，学生可能会混淆根的判别式的应用，以及在方程有实数解的情况下如何正确地选择合适的解。

③学生可能不熟悉如何将方程的解与实际问题的背景相结合，从而得出正确的面积结果。教学方法与策略1.选择讲授与案例研究相结合的教学方法，通过讲解基本概念和步骤，然后呈现具体案例，引导学生理解和应用。

2.设计小组讨论活动，让学生在小组内共同探讨如何将面积问题转化为方程，促进学生的互动和合作学习。

3.利用多媒体工具展示实际面积问题的图形和方程建立过程，增强直观性，帮助学生更好地理解问题和解题思路。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对面积问题的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“你们在生活中遇到过需要计算图形面积的问题吗？这些问题通常是如何解决的？”

展示一些关于不同图形面积问题的实际应用场景，如房间装修、土地测量等，让学生初步感受面积问题与生活的密切联系。

简短介绍本节课将要学习的一元二次方程在解决面积问题中的应用，为接下来的学习打下基础。

2.一元二次方程基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解一元二次方程的基本概念、解法及其在解决面积问题中的应用。

过程：

讲解一元二次方程的定义，包括其标准形式、根的判别式等。

详细介绍一元二次方程的解法，如配方法、公式法等。

3.面积问题案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解一元二次方程在解决面积问题中的实际应用。

过程：

选择几个典型的面积问题案例进行分析，如矩形场地设计、正方形花园规划等。

详细介绍每个案例的背景、问题转化过程和解决方法，让学生全面了解一元二次方程在面积问题中的应用。

引导学生思考这些案例中一元二次方程的建立和解法，以及如何将解回代到实际问题中。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个面积问题案例进行深入讨论。

小组内讨论该案例的解决过程，包括方程的建立、解法选择和解的验证。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对面积问题解决的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括案例的解决过程和最终结果。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调一元二次方程在解决面积问题中的重要性。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括一元二次方程的基本概念、解法以及其在面积问题中的应用。

强调一元二次方程在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用。

布置课后作业：让学生选择一个面积问题，尝试建立一元二次方程模型并求解，撰写解题报告。

7.课后作业布置（5分钟）

目标：巩固学生对一元二次方程解决面积问题的理解。

过程：

布置具有挑战性的课后作业，要求学生在生活中寻找面积问题，并用一元二次方程解决。

鼓励学生尝试不同的解题方法，并分享解题过程中的心得体会。

提醒学生按时提交作业，并预告下一节课的学习内容。教学资源拓展1.拓展资源：

（1）历史背景：介绍一元二次方程的发展历史，包括古代数学家如何解决类似问题，以及一元二次方程在数学发展中的重要地位。

（2）实际应用：收集和分析更多实际生活中的面积问题案例，如建筑设计、工程预算、农业生产等领域中的应用。

（3）数学文化：介绍一元二次方程在数学文化中的地位，包括它在数学竞赛、数学游戏中的应用，以及与一元二次方程相关的数学趣闻。

（4）数学工具：介绍一些用于解决一元二次方程的数学工具，如计算器、图形计算器、数学软件等，以及它们的使用方法和技巧。

（5）数学思维：探讨一元二次方程解决过程中的数学思维方法，如逻辑推理、模型构建、抽象思维等。

2.拓展建议：

（1）自主探究：鼓励学生自主寻找生活中的面积问题，尝试建立一元二次方程模型，并独立求解。

（2）小组合作：组织学生进行小组合作学习，共同探讨一元二次方程在不同领域的应用，以及如何将理论知识转化为实际问题解决方案。

（3）实践操作：利用教具或软件，让学生动手操作，直观感受一元二次方程的求解过程，加深对解法的理解。

（4）学术阅读：推荐学生阅读一些与一元二次方程相关的数学书籍、文章，以拓展知识面，提高数学素养。

（5）数学竞赛：鼓励学生参加数学竞赛，通过解决竞赛中的面积问题，锻炼学生的数学思维和解题能力。

（6）跨学科学习：引导学生将一元二次方程与物理、化学、生物等学科知识相结合，探讨其在跨学科领域中的应用。

（7）社会调查：组织学生进行社会调查，收集实际生活中的面积问题案例，分析问题的解决过程，了解一元二次方程在实际生活中的重要作用。

（8）学术讲座：邀请数学专家或教师举办关于一元二次方程的学术讲座，让学生更深入地了解一元二次方程的理论和应用。

（9）科技制作：鼓励学生利用科技手段，如编程、3D建模等，制作一元二次方程的动画或模型，直观展示方程的求解过程。

（10）持续关注：提醒学生关注一元二次方程在未来的学术发展和实际应用中的动态，激发学生的学习兴趣和探究欲望。教学反思与总结这节课我们从实际生活中的面积问题出发，学习了如何将这些问题抽象为一元二次方程，并通过解方程找到了解决问题的方法。在整个教学过程中，我深感教学方法的灵活运用和学生的积极参与对于课堂效果的重要性。

在教学方法的运用上，我尝试了讲授与案例研究相结合的方式。通过讲解一元二次方程的基本概念和求解方法，然后呈现具体的面积问题案例，让学生在实际情境中学习和应用。我发现这样的教学方法能够帮助学生更好地理解和掌握知识，但我也发现自己在案例选择上还可以更加贴近学生的生活实际，以提高他们的兴趣和参与度。

在策略方面，我设计了小组讨论环节，希望通过学生的合作和互动来促进他们的思考和理解。这个环节总的来说是成功的，学生们在小组内积极讨论，能够有效地分享和交流解题思路。但也有学生在这个环节中表现出不够积极，可能是因为他们对一元二次方程的理解还不够深入，或者是缺乏自信。我应该在今后的教学中更多地关注这些学生，给予他们更多的支持和鼓励。

在教学管理方面，我发现课堂纪律整体良好，但仍有少数学生在讨论环节分心。我应该在课堂管理上更加细致，确保每个学生都能参与到课堂活动中来。此外，我也注意到在课堂展示环节，一些学生的表达能力和自信心还有待提高。我计划在未来的课程中加强对学生表达能力的培养，通过更多的练习和反馈来提升他们的自信。

关于本节课的教学效果，我认为学生在知识和技能方面有明显的收获。他们不仅掌握了一元二次方程的解法，而且能够将其应用于解决实际问题。在情感态度方面，学生们对数学学习的兴趣有所提升，他们能够感受到数学在生活中的应用价值。

然而，我也注意到教学中存在的一些问题。例如，在教学过程中，我可能过于注重知识的传授，而忽视了学生个体差异。有些学生在理解一元二次方程方面有困难，我应该在课堂上给予他们更多的个别指导。另外，我应该在布置作业时更加注意难度和量的把握，确保作业既能巩固知识，又不会给学生带来过大的负担。

为了改进今后的教学，我计划采取以下措施：

-更细致地了解学生的学习背景和需求，以便更好地调整教学方法和内容。

-在课堂上更多地鼓励学生提问和表达，营造一个更加开放和互动的学习环境。

-加强对学生的个别辅导，特别是对那些在数学学习上有困难的学生。

-在布置作业时，更加注重作业的质量和针对性，确保作业能够真正帮助学生巩固知识。

-继续探索和实践更多的教学方法，以提高学生的学习兴趣和参与度。板书设计1.教学重点知识点：

①一元二次方程的定义与标准形式。

②面积问题的常见类型及其对应的面积公式。

③一元二次方程的求解步骤和应用。

2.关键词：

①一元二次方程、面积、矩形、正方形。

②配方法、公式法、判别式。

③实际问题、模型构建、解方程。

3.重点句子：

①“将实际面积问题转化为数学模型是解决问题的关键。”

②“一元二次方程的求解需要掌握配方法和公式法。”

③“通过解一元二次方程，我们可以得到图形的边长，进而计算出面积。”重点题型整理题型一：建立一元二次方程解决面积问题

题目：一个矩形的长比宽多3米，如果宽是x米，那么矩形的面积S是多少平方米？请建立一元二次方程并求解。

答案：矩形的面积S=长×宽=(x+3)×x=x^2+3x。假设矩形面积为36平方米，则方程变为x^2+3x=36。通过移项得到x^2+3x-36=0，解这个一元二次方程，得到x=4或x=-9。因为宽度不能为负数，所以宽x=4米。

题型二：利用一元二次方程求解正方形问题

题目：一个正方形的面积是81平方厘米，求正方形的边长。

答案：设正方形的边长为a厘米，根据面积公式得到a^2=81。解这个一元二次方程，得到a=9或a=-9。因为边长不能为负数，所以边长a=9厘米。

题型三：结合实际情境建立方程

题目：一个农民想要用30米的围栏材料围成一个矩形花园，其中一边的长度是y米，求矩形的最大面积。

答案：矩形的周长是30米，所以长加宽的和是15米，即长=15-y米。矩形的面积S=长×宽=y×(15-y)=15y-y^2。将面积公式写成标准的一元二次方程形式，得到-y^2+15y=0。解这个方程，得到y=0或y=15。因为长度不能为0，所以y=15米，此时宽也是15米，面积最大，为15×15=225平方米。

题型四：一元二次方程的判别式应用

题目：一个矩形的长是宽的两倍，如果矩形的宽是w米，求矩形的面积S是多少平方米？并讨论面积S的取值范围。

答案：矩形的长是2w米，面积S=长×宽=2w×w=2w^2。假设面积S为某个特定值，如18平方米，则方程变为2w^2=18。通过移项得到2w^2-18=0，即w^2-9=0。判别式Δ=b^2-4ac=(-18)^2-4×2×(-18)=36。因为判别式Δ>0，所以方程有两个实数解，w=3或w=-3。因为宽度不能为负数，所以宽w=3米。面积S的取值范围是w^2的最大值，当w无限大时，S也无限大。

题型五：一元二次方程在实际问题中的逆向应用

题目：一个正方形的边长是x米，如果将边长增加a米，那么新的正方形的面积比原来的面积增加了63平方米。求原正方形的边长x。

答案：原正方形的面积是x^2平方米，新的正方形边长是x+a米，面积是(x+a)^2平方米。根据题意，(x+a)^2-x^2=63。展开方程得到x^2+2ax+a^2-x^2=63，简化得到2ax+a^2=63。因为增加的面积是由增加的边长a产生的，所以这个方程可以看作是关于a的一元二次方程。解这个方程，得到a=3或a=-21。因为增加