辽宁省葫芦岛市长江卫生中等职业技术学校2024-2025学年高三上学期九月期初考试数学试题（普高班）

葫芦岛市长江卫生中等职业技术学校2024—2025学年度（上）高三九月期初考试数学试题考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“R，”的否定是（）A.R， B.R，C.R， D.R，2.已知集合则（）A．B．C．D．3.设等差数列的前项和为，若则（）A．150B．120C．75D．604.足球被誉为“世界第一运动”，它是全球体育界最具影响力的单项体育运动，足球的表面可看成是由正二十面体用平面截角的方法形成的．即用如图1所示的正二十面体，从每个顶点的棱边的处将其顶角截去，截去个顶角后剩下的如图2所示的结构就是足球的表面结构．已知正二十面体是由个边长为的正三角形围成的封闭几何体，则如图2所示的几何体中所有棱的边数为（）．A. B.C. D.5.已知，，，则（）A. B.C.D.6.若则（）A．B．C．D．7.已知平面向量，，，，且，则向量与向量的夹角为A. B. C. D.8.若则（）A. B.C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题6分，计24分．在每小题给出的选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，有选错的得零分，部分选对得部分分.9.已知无穷数列满足：当为奇数时，；当为偶数时，，则下列结论正确的为（）A.和均为数列中的项B.数列为等差数列C.仅有有限个整数使得成立D.记数列的前项和为，则恒成立10.已知，关于该函数有下面四个说法，正确的是（）A．的最小正周期为B．在上单调递增C．当时，的取值范围为D．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到11.已知函数（a为常数），则下列结论正确的有（）A.时，恒成立B.时，在零点，C.时，是的极值点D.若有3个零点，则a的范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，计15分.12.已知，则13.圆的过点的切线方程为_____________.14.已知圆台上底面的半径为3，下底面的半径为4，高为7，圆台上、下底面的圆周都在同一个球面上，则该球的体积是____.四、解答题：本题共6小题，计77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本题满分13分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现V与log3成正比，且当Q＝900时，V＝1.（1）求出V关于Q的函数解析式；（2）计算一条鲑鱼的游速是1.5m/s时耗氧量的单位数．16．（本题满分15分）在①，②，请在这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并完成解答.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设为的面积，满足______________(填写序号即可)．（1）求角C的大小;（2）若，求周长的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.17．（本题满分15分）如图，在四棱锥中，，，是等边三角形，平面平面，是的中点，.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.18．（本题满分17分）随着我国国民消费水平的不断提升，进口水果也受到了人们的喜爱，世界各地鲜果纷纷从空中、海上汇聚中国：泰国的榴莲、山竹、椰青，厄瓜多尔的香蕉，智利的车厘子，新西兰的金果猕猴桃等水果走进了千家万户，某种水果按照果径大小可分为五个等级：特等、一等、二等、三等和等外，某水果进口商从采购的一批水果中随机抽取500个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：等级特等一等二等三等等外个数501002506040（1）若将样本频率视为概率，从这批水果中随机抽取6个，求恰好有3个水果是二等级别的概率．（2）若水果进口商进口时将特等级别与一等级别的水果标注为优级水果，则用分层抽样的方法从这500个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，表示抽取的优级水果的数量，求的分布列及数学期望．19．（本题满分17分）已知椭圆的两个焦点为点在上，直线交于两点，直线的斜率之和为0.(1)求椭圆的方程；(2)求直线的斜率.

数学参考答案一．单选：CADBCCBD二．多选：9.BD10.ABC11.BD三．填空：12.2013.14.四．解答：15.【答案】（1）；（2）2700个单位．【解析】【分析】（1）根据成正比的性质，结合代入法进行求解即可；（2）利用代入法，结合对数与指数式互化公式进行求解即可.【详解】解：（1）设V＝k·log3，∵当Q＝900时，V＝1，∴1＝k·log3，∴k＝，∴V关于Q的函数解析式为;（2）令V＝1.5，则，∴Q＝2700，即一条鲑鱼的游速是1.5m/s时耗氧量为2700个单位．16.(1)解：若选①，由题意可知，，………2分所以……….3分因为所以，……….5分若选②，由正弦定理，得…2分所以，，即………4分………5分（2）解法一：由正弦定理，得因此，……….7分的周长，……….10分当时，因此，的周长的最大值为9.……….12分解法二：由余弦定理，得，……….7分因此，当且仅当时等号成立.……….11分的周长因此的周长的最大值为9.……….12分17.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）由，结合面面垂直的性质中点平面，进而证得；（2）取的中点，连接，可得，以为原点建立的空间直角坐标系，分别求得平面和的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：因为是等边三角形，且是的中点，所以，又因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又由平面，所以.【小问2详解】解：取的中点，连接，、分别为、的中点，则，，则，又因为平面，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，因为且等边三角形，可得,可得，则，设平面的法向量，则，令，可得，即，设平面的法向量，则，令，可得，即，所以，由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.18.【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望为．【解析】【分析】（1）先求出抽到二等级别水果的频率，从而可得抽到二等级别水果的概率为，所以随机抽取6个，若设抽到二等级别水果的个数为，则，然后利用二项分布的概率公式求解即可，（2）利用分层抽样可得抽取的10个中其中优级水果有3个，非优级水果有7个，则可得优级水果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为0，1，2，3，利用超几何分布的概率公式求各自对应的概率，从而可求得的分布列及数学期望【详解】解：（1）设从500个水果中随机抽取一个，抽到二等级别水果的事件为，则，随机抽取6个，设抽到二等级别水果的个数为，则，所以恰好抽到3个二等级别水果的概率为．（2）用分层抽样的方法从500个水果中抽取10个，则其中优级水果有3个，非优级水果有7个．现从中抽取3个，则优级水果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为0，1，2，3．则，，，．所以的分布列如下：0123所以．19.(1)解法一：椭圆的焦点在轴上，设的方程为由已知，又因为所以因为点在上，所以从而有，……….2分解得或（舍去）.……….3分因此，从而椭圆的方程为.……….4分解法二：设则根据椭圆的定义，，所以，……….2分又由已知，所以……….3分从而椭圆的方程为.……….4分（2）解法一：设直线的方程为：代入，得……….6分设，因为点在椭圆上，所以………7分因为直线的斜率之和为0，所以在上式中以代，可得……….8分所以直线的斜率为……….12分解法二：设，，直线的方程为联立得，……