2021初三一模几何综合分类（教师版 学生版）

初三一模几何综合分类整理

参考答案与试题解析

试题范围：一模几综；学习安排：4-6H；命题人

学校:姓名：班级：考号：

①手拉手②K字图③倍长中④角含半⑤截长补⑥猜造构共计

(6)(2)线⑴角⑴短(2)全等（3）15题

一.一.手拉手（共6小题）

1.（2021•朝阳区一模）如图，在等腰三角形ABC中，ZfiAC<60°,AB=AC,D为BC

边的中点，将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AE,连接8E交AZ）于点F.

（1）依题意补全图形

（2）求/AFE的度数；

（3）用等式表示线段AF,BF,EF之间的数量关系，并证明.

【解答】解：（1）图形如图所示:

第1页（共43页）

u

(2)：AB=AC=AEf

・••点A是△BCE的外心，

1

VZCAE=60°,NCBE=・NCAE,

：.ZCBE=3O0,

*：AB=AC,BD=DC,

：.AD±BCf

：.ZBDF=90°,

：./AFE=/BFD=90°-30°=60°.

(3)结论：EF=AF+BF.

理由：如图，连接CREC,在EF上取一点T,使得FT=FC,连接CT.

TA。垂直平分线段BC,

:・FB=FC,

AZBFD=ZCFD=ZAFE=60°,

：.ZCFE=60°,

■:FT=FC,

•••△CFT是等边三角形，

：.CF=CT,ZFCT=60°,

\9AC=AE,ZC4E=60°,

•**/\ACE是等边三角形，

：.CA=CE,ZACE=ZFCT=60°,

：.ZFCA=ZTCEf

AAFCA^ATCE(SAS),

；.AF=ET,

：.EF=FT+ET=BF+AF.

2.(2021•东城区一模)已知NM4N=30°,点3为边AM上一个定点，点P为线段A3上

一个动点(不与点A,3重合)，点尸关于直线AN的对称点为点Q,连接AQ,BQ,点、A

关于直线3Q的对称点为点C,连接PQ,CP.

(1)如图1,若点P为线段A8的中点；

第2页（共43页）

①直接写出NAQB的度数；

②依题意补全图形，并直接写出线段CP与AP的数量关系:

（2）如图2,若线段CP与交于点D

①设NBQP=a,求NCPQ的大小（用含a的式子表示）；

②用等式表示线段QC,DQ,QP之间的数量关系，并证明.

【解答】解：⑴①。关于AN对称,

：.AP=AQ,/%N=NQAN=30°,

••.△APQ是等边三角形，

：.PQ=PA,

：.PB=PA,

：.PQ=PA^PB,

/.ZAQB=90°.

②图形如图所示：结论：PC=V3B4.

图1

理由：VZAQB=90Q,A,C关于8。对称,

：.AQ=QC,

第3页（共43页）

：.PQ=QC=AQf

：.ZCPA=90°，

PC

—=tan60°，

PA

：.PC=V3PA.

图2

VA,C关于3Q对称，

：.BC=BA,CQ=AQ,

♦:BQ=BQ,

：./\BQC^BQA(SSS),

：.ZBCQ=ZBAQ=60°,NBQC=/BQA,

VZAPQ=60°,

：.ZBPQ=\20°,

・・・N5PQ+N3CQ=180°,

AB,P,Q,C四点共圆，

・•・ZCPB=ZCQB=ZAQB,

VZAPC+ZCPB=180°,

・・・N%Q+NPOQ=180°,

：.ZPDQ=\20°,

：.ZDQP+ZDPQ=60Q,

：.ZCPQ=60°-a.

②如图27中，结论：CD=DP+DQ.

第4页（共43页）

理由：连接AD,在AQ上取一点7,使得DT=DP.

图2-1

ZPAQ+ZPDQ=\SOQ,

P,D,。四点共圆，

：.ZPDT=ZPQA=6Qa,

'：DT=DP,

...△POT是等边三角形，

：.PD=PT,/£>PT=/。物=60°,

:.NDPQ=NTPA,

,:PD=PT,PQ=PA,

：.ADPQ^/\TPA(SAS),

：.DQ=TA,

：.AD=DT+AT=PD+DQ,

VA,C关于BQ对称，

：.DC=AD,

：.CD=DP+DQ.

3.(2021•通州区一模)已知点P为线段AB上一点，将线段4P绕点4逆时针旋转60°,

得到线段4G再将线段BP绕点B逆时针旋转120。，得到线段B。；连接A。，取4。

中点M,连接8M,CM.

(1)如图1,当点尸在线段CM上时，求证：PM//BD-,

(2)如图2,当点尸不在线段CM上，写出线段BM与CM的数量关系与位置关系，并

证明.

第5页(共43页)

c

图1图2

【解答】解：(1)有题意可得，NCAP=60°,KAP=AC,

...△APC是等边三角形，

AZAPC=60Q,

：.ZBPM=60°,

又；NPBZ)=120°,

：.ZBPM+ZPBD=ISO°,

J.PM//BD.

(2)猜想，CMA.MB,CM=WMB,理由如下：

如图，延长BM至点G,使得连接AG,BC,GC,PC,

"：AM=MD,GM=BM,

四边形AGCB是平行四边形，

：.AG=BD,AG//BD,

AZBAG=180°-ZABD=60c,,

.•./CAG=120°,

「△APC是等边三角形，

：.AC=CP,/CP8=120°,

:PB=DB=AG,

.♦.△CAG/△CP8(SAS),

:.CG=CB,/AFC=/PCB,

第6页（共43页）

AZGCB=60°,

...△C8G是等边三角形，

'：GM=BM,

J.CMVBM,CM=aMB.

4.(2021•北京一模)如图，在正方形ABCQ中，CD=3,P是CZ)边上一动点(不与。点

重合)，连接4P，点Q与点E关于AP所在的直线对称，连接AE,PE,延长CB到点凡

使得8F=OP,连接EF,AF.

(1)依题意补全图1:

(2)若。P=l,求线段EF的长；

(3)当点P在CQ边上运动时，能使△AEF为等腰三角形，直接写出此时的面

积.

图1备用图

图1

(2)连接BP,如图2.

第7页(共43页)

图2

,/点。与点E关于AP所在的直线对称，

：.AE=AD,APAD=APAE,

•・,四边形ABC。是正方形，

：.AD=AB,ND=NABF=9U0,

•:BM=BF,

：./\ADP^/\ABF(SAS),

：.AF=AP,ZFAB=ZPAD,

：.ZFAB=ZPAEf

：.ZFAE=ZPABf

(SAS),

：・EF=BP,

・・•四边形ABC。是正方形，

：.BC=CD=AB=3,

VDP=1,

：.CP=2,

:・BP=7BC2+CP2=V13,

：.EF=V13；

(3)设。P=x(x>0),则CP=3-x,

：.EF=BP=VCP2+BC2=Vx2-6x+18,

u222

\AE=AD=3fAF=Ap=-JCP+AD=Vx+9,

：.AF>AE9

・•・当为等腰三角形时，只能有两种情况：AE=EF^AF=EF9

第8页(共43页)

①当时，WV%2-6x+18=3,

解得工=3,

②当4尸=后尸时，

Vx2—6x+18=y/x24-9,

解得后参

.0139

•・bgAP=axo3x2=4,

99

综上△£»/!2的面积为，或「

24

5.(2021•石景山区一模)在△ABC中，AB=AC,ZBAC=a(0°<a<60°).点E是4

ABC内动点，连接AE,CE,将△AEC绕点A顺时针旋转a,使AC边与A3重合，得到

/\ADB,延长CE与射线8£>交于点M(点M与点。不重合).

(1)依题意补全图1；

(2)探究ZADM与ZAEM的数量关系为；

(3)如图2,若OE平分NAQ8,用等式表示线段MC,AE,BQ之间的数量关系，并证

明.

【解答】解：(1)补全图1如下:

第9页(共43页)

A

(2)・・•将△人日?绕点A顺时针旋转得到△AO8,

'ZAEC=/ADB,

：.ZADM=ZAEMf

故答案为：ZADM=ZAEM.

(3)MC=AE+BD,理由如下：

连接AM,△AMO和△AME1公共边为AM,且NAOM=NAEM,

・・・A、M、D、E共圆，如图：

VA>M、D、E共圆,

/.ZMAD=/MED,

•・・QE平分NAQ8,

・•・/ADE=/EDB,

•・•将△4EC绕点A顺时针旋转得到△AO8,

：.AD=AEfBD=EC,

：.ZADE=ZAED,

:./EDB=/AED,

:.BM〃AE,

：./DME=NAEM,

ZADM=ZAEM.

第10页(共43页)

：・/DME=ZADMf

在△AM。和中，

Z.MAD=Z.MED

乙40M=NOME,

、DM=DM

：.(A4S),

：.AD=MEf

：.AE=ME,

*：MC=ME+EC,

：.MC=AE+BD.

6.(2021•大兴区一模)如图1,等边△ABC中，点P是BC边上一点，作点C关于直线AP

的对称点。，连接CO,BD,作AEJ_BD于点E；

(1)若/以C=10°,依题意补全图1,并直接写出NBCD的度数；

(2)如图2,若/B4C=a(0°<a<30°),

①求证：NBCD=NBAE；

②用等式表示线段8£>,CD,AE之间的数量关系并加以证明.

AZACB=60°,

VC关于直线AP的对称是D,

：.APA.CD,AC^AD,

N4CD=90-N%C=90°-10°=80°,

NBCD=ZACD-N4CB=20°；

(2)①证明：如图，连接A£>,

根据题意得，AO±CD

'：ZPAC=a,

第11页(共43页)

BC

E

-0=90°-a,

,/△ABC是等边三角形，

AZACB=60°,

，NBCD=ZACD-NAC8=900-a-60°=30°-a,

・・・C关于直线4尸的对称是O,

：.AP±CD,AC=AD,

：.ZPAD=ZPAC=a,

t：AB=AC=AD,AELBD,

11I

AZBAE=ZDAE=^ZBAD=CZBAC-ZCAD）=.（60°-2a）=30°-a,

：.ZBCD=ZBAE；

②解：用等式表示线段8D,CD,AE之间的数量关系是AE=C£>+争犯

证明：在AE上截取AF=C£>,连接BF,

：△ABC是等边三角形，

，A8=AC,

♦：/BCD=/BAE,

:.△BAF♦XBCD（SAS）,

；・NABF=NCBD,BF=BD,

；・NFBE=NABC=60°,

.*.EF=BF«sin60o=^BF=?BD,

:*AE=AE+EF=CD+9BD.

二.二.K字图（共2小题）

7.（2021•延庆区模拟）在正方形ABC。中，点E在射线8C上（不与点B、C重合），连接

DB,DE,将。E绕点E逆时针旋转90°得到EF,连接BF.

第12页（共43页）

（1）如图1,点E在8c边上.

①依题意补全图1:

②若A8=6,£C=2,求8尸的长；

（2）如图2,点E在BC边的延长线上，用等式表示线段BD,BE,BF之间的数量关

【解答】解（1）图形如图所示.

过点尸作FHLCB,交CB的延长线于H,

•.•四边形A8C。是正方形，

：.CD=AB=6,ZC=90°,

；NDEF=/C=90°,

:.NDEC+NFEH=9Q°,NDEC+NEDC=90°,

：.ZFEH=ZEDC,

在△OEC和△£1";中，

2H=NC=90°

乙FEH=4EDC,

.EF=DE

：./\DEC^^EFH(AAS),

：.EC=FH=2,CD=BC=EH=6,

：.HB=EC=2,

：.Rt^FHB中，BF=>JFH2+BH2=V22+22=2&.

第13页（共43页）

(2)结论：BF+BD=y[2BE.

理由：过点、F作FHLCB,交CB于H,

•.•四边形ABC。是正方形，

：.CD=AB=6,NACB=90°,

；/£>EF=NACB=90°,

:.NDEC+NFEH=90°,NDEC+NEDC=90°,

：.ZFEH=ZEDC,

在△£>£：€■和△EF”中，

NFHE=乙DCE=90°

乙FEH=4EDC,

.EF=DE

:.△DEgAEFH(A4S),

：.EC=FH,CD=BC=EH,

:.HB=EC=HF,

:ADCB和△BH/都是等腰直角三角形，

：.BD=y/2BC=y[2HE,BF=yj2BH,

■:HE+BH=BE,

：.BF+BD=>/2BE.

8.（2021•房山区一模）已知：在△4BC中，ZA=45",ZABC=a,以BC为斜边作等腰

RtZ\B£>C,使得A,。两点在直线BC的同侧，过点。作。于点E.

（1）如图1,当a=20°时,

①求/CQE的度数；

②判断线段AE与BE的数量关系；

（2）若45°<a<90°,线段AE与BE的数量关系是否保持不变？依题意补全图2,并

证明.

第14页（共43页）

c

图1

【解答】解：（1）①•；/。8=90°,CD=DB,

：.ZDBC=ZDCB=45°,

:.NDBE=NDBC-NABC=25°,

；DELAB,

：.ZDEB=90°=/CDB,

:.NCDE+NEDB=NEDB+NABD=90°,

:.NCDE=NDBE=25°；

②AE=BE,理由如下：

如图1,延长BD至〃，使BD=DH,连接CH,

'：BD=DH,CDLBD,

：.CH=BC,

：.NCHB=NCBH=45°,

AZA=ZCWB=45°,ZWCB=90°,

.•.点A,点C,点B,点”四点共圆，

,：ZHCB=90Q,

.•.8〃是直径，。是圆心,

第15页（共43页）

VD£±AB,

：.AE=BE-,

（2）不变，理由如下：

如图2,延长8。至H,使BD=DH,连接C”,

:.CH=BC,

；.NCHB=NCBH=45°,

：.ZA=ZCHB=45°,NHCB=9Q°,

...点A,点B,点C,点H四点共圆，

:NHCB=90°,

.♦.BH是直径，。是圆心，

'：DE±AB,

：.AE=BE.

三.三.倍长中线（共1小题）

9.（2021•平谷区一模）在△河（；中，NACB=90°,AC=BC,。是直线A8上一点（点。

不与点A、B重合），连接。C并延长到E,使得CE=CQ,过点E作直线BC,交

直线BC于点F.

（1）如图1,当点。为线段AB的上任意一点时，用等式表示线段ERCF、AC的数量

关系，并证明；

（2）如图2,当点。为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2,猜想线段EF、CF、

AC的数量关系是否发生改变，并证明.

第16页（共43页）

【解答】解：（1）结论：AC=EF+FC,

理由如下：过。作。〃_LCB于”，

VEF1CF,

:・/EFC=/DHC=9N,

在△尸EC和△”OC中，

(£.EFC=乙DHC=90°

ZFCF=Z.DCH,

\EC=CD

:ZEgAHDC(A4S),

:・CH=FC,DH=EF,

VZDHB=90°,ZB=45°,

:.DH=HB=EF,

：.AC=BC=CH+BH=FC+EF；

(2)依题意补全图形，结论：EF=FC+AC,

理由如下：

第”页（共43页）

过。作DH1CB交CB的延长线于H,

'：EFLCF,

:.NEFC=NDHC=90°,

在△PEC和△HOC中，

NFCE=乙DCH

乙EFC=Z.DHC=90°,

EC=DC

：./\FEC^/\HDC(AAS),

:.CH=FC,DH=EF,

VZD//B=90°,/B=45°,

：.DH=HB=EF,

：.EF=CH+BC=FC+AC.

四.四.角含半角(共1小题)

10.(2021•丰台区一模)如图，在△ABC中，NACB=90°,CA=CB,点P在线段4B上,

作射线CP(0°<ZACP<45°),将射线CP绕点C逆时针旋转45°,得到射线C。,

过点4作A£)J_CP于点。，交CQ于点E,连接BE.

(1)依题意补全图形；

(2)用等式表示线段AC,DE,2E之间的数量关系，并证明.

第18页(共43页)

c

【解答】解：（1）如图所示:

Q

(2)结论：AD+BE=DE.

理由：延长D4至R使。尸连接。凡

•••AD1.CP,DF=DE,

:.CE=CF,

：.ZDCF=ZDCE=45°,

VZACB=90°,

・・.NACD+N£C8=45°,

VZDCA+ZACF=ZDCF=45°,

:./FCA=/ECB,

在△ACF和△BCE中，

CA=CB

Z.ACF=乙BCE,

CF=CE

:•△ACFQXBCE(SAS),

:・AF=BE,

：.AD+BE=DE.

五.五.截长补短(共2小题)

11.（2021•门头沟区一模）在正方形ABC。中，将边A。绕点A逆时针旋转a（0°<a<90°）

第19页（共43页）

得到线段AE,AE与CQ延长线相交于点F,过B作BG〃AF交Cf于点G,连接BE.

(1)如图1,求证：NBGC=2NAEB；

(2)当(45°<a<90°)时,依题意补全图2,用等式表示线段AH,EF,OG之间的

数量关系，并证明.

【解答】解：(1)证明：•.•边A。绕点A逆时针旋转a(0°<a<90°)得到线段

：.AD=AE,

正方形ABCD,

：.AB=AD=AE,

NAEB=NABE,

'CBG//AF,

NAEB=NGBE,

：.NABE=NAEB=NGBE,

：.NABG=2NAEB,

正方形ABCD,

：.AB//CD,

：.NBGC=ZABG,

:.NBGC=2/AEB；

(2)补全图2如下：

线段AH,EF,OG之间的数量关系为：EF=AH+DG,理由如下:

在DC上取DN=AH,连接AN交BG于交BE于P,连接EM,如图:

第20页(共43页)

：.AB=AD,/ADN=NBAH=90°,

又DN=AH,

.♦.△AON丝(SAS),

：.ZDNA=ZAHB,NDAN=/ABH,

VZDNA+ZDAN^90°,

AZDAN+ZAHB=90°,

AZAPH=90°,

：.ZBPM=ZBPA^90Q,

由(1)知NA8E=NGBE,

且BP=BP,

:.XABP4l\MBP(ASA),

：.AB=MB,

ffijNABE=NGBE,

.二△ABH丝△MBH(.SAS),

：.ZHAB=ZHMB=90°,

；.A、H、M、8共圆，

/.NAHB=NGMN,

：.ZDNA=ZGMN,

：.GN=GM,

'：CF//AB,BG//AF,

四边形ABGF是平行四边形，

：.BG=AF,

'：AF^AD=AB=MB,

：.EF=GM,

第21页（共43页）

：.EF=GN,

,：GN=DG+DN,

：.EF=DG+AH.

12.（2021春•海淀区校级月考）如图，AB=AC,ZBAC=9Q°,过点C作直线点

D,E是直线/上的动点（。在E的右侧），且满足连接B。，NABQ的平分线

与射线AE交于点F,与射线AC交于点G.

（1）如图1,当点C在线段OE上，且NCAE=30°时，若A8=3,求线段EF的长；

（2）如图2,当点。在点C的左侧时，

①依题意补全图形；

②用等式表示线段AG,CD,EF的数量关系，并证明.

【解答】解：⑴V/1AC,NC4B=90°,

：.l//AB,ZACE=90°,

'：AB=AC=3=DE,ZCAE=30°,

：.cosZCAE==cos30°=ZAEC=6O0,

：.AE=2y[3,

\"DE=AB,DE//AB,

...四边形4E£»B是平行四边形，

.•./ABO=NAEC=60°,

平分NAB。，

1

：・NABF=*/ABD=30。,

VZBAF=ZBAC+ZCAE=120°,

AZAFB=180°-120°-30°=30°=NABF,

第22页（共43页）

：.AB=AF=3f

：.EF=AE-AF=2^3-3,

(2)①根据题意画出图形为:

®EF=DC+AG,理由如下：

过A作/于"，交.BD于M,交/于N,

:・/BHM=/BHA=9U°,

・.・8尸平分NA8Q,

4ABH=/MBH,

：・NBAH=NBMH,

：.BA=BMf

由(1)得，四边形A8DE是平行四边形，

：.AF//BM,

,NAFB=NMBF=NABF,

：.AF=AB,

：.AF=BM,

・・・四边形48Mb是菱形，

：、FM〃AB,FM=ABt

：.FM//DE,FM=DE,

，四边形EFMD是平行四边形，

1・EF=DM,

*：DE//AB,

:・/DNM=NBAM,

■:/BMA=/DMN,/BMA=NBAM,

第23页（共43页）

/DNM=4DMN,

:・DM=DN,

VZACN=ZCAB=90°,

：.ZCAN+ZCNA=90°=/CAN+/HAB,

:・/CAN=/GBA,

'：AC=AB,

：.AAC^ABAG（ASA）,

:・CN=AG,

：.DN=DC+CN=DC+AG,

：.EF=DC+AG.

六.猜造构全等共3题（标记的重要性）（共3小题）

Q

13.（2021•西城区一模）如图，在△ABC中，AB=ACfZBAC>90,。是△ABC内一点,

ZADC=ZBAC.过点B作8/〃CD交4。的延长线于点£

(1)依题意补全图形；

(2)求证：NCAD=NABE：

(3)在(1)补全的图形中，不添加其他新的线段,在图中找出与CD相等的线段并加

以证明.

B4---------------------------------

【解答】(1)解：图形如图所示.

T

(2)证明：9：CD//BE,

AZCDE=NAEB,

第24页(共43页)

,?ZADC=ZBAC,

：.ZABC+ZACB=NDAC+NACD=NCDE=NAEB,

VZBAE+ZABE+ZAEB=180°,ZBAE+ZDAC+2ZABC=\80°,

・・・N8AE+/A8E+2NA8C=180°，

：.ZCAD=ZABE.

(3)解：结论：CD=AE.

理由：在力E的延长线上取一点丁，使得CO=CT,

•：CD=CT,

；・NT=NCDT,

'：CD//BEf

：./AEB=/T,

9

：AB=AC,ZABE=ZCATf

：./\ABE^/\CAT(A45),

:・AE=CT,

：.CD=AE.

14.（2021•顺义区一模）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC,CD_LA8于点O,ZA=a.

（1）求出NDC3的大小（用含a的式子表示）；

（2）延长CQ至点E,使CE=AC,连接AE并延长交C3的延长线于点F.

①依题意补全图形；

②用等式表示线段E/与5c之间的数量关系，并证明.

【解答】解：（1）•・•等腰三角形A8C中，AB=AC,ZA=a,

180°-aa

JZACB=ZB=-2~=90°2

*：CD.LABf

：.ZACD=90°-ZA=90°-a,

第25页（共43页）

CfCY

；.NDCB=NACB-NACD=90°-J-90°+a=~

（2）①如图即为补全的图形；

证明：VZACE=ZACB-ZDCB=90°-1-=90°-a,

,:CE=AC,

：.ZCAE=ZCEA=-养-。）=45°+参

NAEC=NF+NECF,

.•.45。+|=ZF4-J,

：.ZF=45°,

过点E作EHJLFC于点H,过点A作AGLFC于点G,

：.ZBAG=ZCAG=^,

在aAGC和△（；”£；中，

2AGC="HE=90°

ACAG=LECH,

AC=EC

：./\AGC^/\CHE（A4S）,

：.CG=EH,

VZF=45°,

：.FH=EH,

设EH=FH=x,则

，BC=2CG=2x,

.EFV2xV2

"BC~2x-2-

15.（2021•海淀区一模）如图，在△4BC中，AB=AC,NBAC=40°,作射线CM,ZACM

=80°.。在射线CM上，连接A。，E是A。的中点，C关于点E的对称点为F,连接

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DF.

(1)依题意补全图形；

(2)判断AB与。尸的数量关系并证明；

(3)平面内一点G,使得OG=DC,FG=FB,求NCDG的值.

备用图

图1

(2)AB=DF,理由如下：

是AO的中点，

：.AE=DE,

；C关于点E的对称点为F,

：.CE=EF,

又；ZAEC=ZFED,

：.AAEC^ADEF(SAS),

：.AC=DF,

'：AB=AC,

：.AB=DF；

(3)如图2,连接4尸,

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■:AE=DE,CE=EF,

・・・四边形ACDF是平行四边形，

AZACM+ZCAF=180°,AF=CD,DF=AC=AB,

：.ZCAF=l00°=4CDF,

：.ZBAF=140°,

•；DG=DC,

・••点G在以点。为圆心，QC为半径的圆上，

•:FG=FB,

・••点G在以点尸为圆心，所为半径的圆上，

・・・两圆的交点为G,

・；AB=DF,AF=DG,FB=FG,

:.XABFUXDFG(5S5),

AZBAF=ZFDG=140°,

：.ZCDG=40°,

同理可证

AZBAF=ZG'DF=140°,

・・・NCOG=360°-100°-140°=120°,

综上所述：NCQG=40°或120°.

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初三一模几何综合分类整理

试题范围：一模几综；学习安排：4-6H；命题人：

学校:姓名：班级：考号：

①手拉手②K字图③倍长中④角含半⑤截长补⑥猜造构共计

(6)(2)线⑴角⑴短(2)全等（3）15题

一.手拉手共6小题（典型2、倍长、标记猜、截长补短、无度数自己构造）

1.（2021•朝阳区一模）如图，在等腰三角形ABC中，ZBAC<60°,AB=AC,D为BC

边的中点，将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AE,连接8E交AZ）于点F.

（1）依题意补全图形

（2）求NAFE的度数；

（3）用等式表示线段AF,BF,EF之间的数量关系，并证明.

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2.（2021•东城区一模）已知/M4N=30°,点B为边AM上一个定点，点P为线段AB上

一个动点（不与点A,B重合），点尸关于直线AN的对称点为点。，连接A。，80,点A

关于直线8Q的对称点为点C,连接尸。，CP.

（1）如图1,若点P为线段AB的中点；

①直接写出NAQB的度数；

②依题意补全图形，并直接写出线段CP与4P的数量关系；

（2）如图2,若线段CP与BQ交于点£>.

①设NBQP=a,求NCP。的大小（用含a的式子表示）；

②用等式表示线段OC,DQ,OP之间的数量关系，并证明.

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3.(2021•通州区一模)已知点尸为线段AB上一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°,

得到线段4C；再将线段BP绕点8逆时针旋转120°,得到线段8。；连接AD,取AD

中点M,连接BM,CM.

(1)如图1,当点尸在线段CM上时，求证：PM//BD；

(2)如图2,当点尸不在线段CM上，写出线段与CM的数量关系与位置关系，并

证明.

图1图2

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4.(2021•燕山区一模)如图，在正方形48co中，C£>=3,尸是CD边上一动点(不与。

点重合)，连接AP,点。与点E关于AP所在的直线对称，连接AE,PE,延长CB到点

F,使得BF=OP,连接EF,AF.

(1)依题意补全图1;

(2)若。P=l,求线段EF的长；

(3)当点P在C。边上运动时，能使AAE尸为等腰三角形，直接写出此时△D4P的面

积.

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5.(2021•石景山区一模)在△ABC中，AB=AC,ZBAC^a(0°<a<60°).点E是4

ABC内动点，连接AE,CE,将△/!£：(：绕点4顺时针旋转a,使AC边与48重合，得到

△ADB,延长CE与射线8。交于点M(点M与点。不重合).

(1)依题意补全图1；

(2)探究NAOM与NAEM的数量关系为；

(3)如图2,若。E平分N4O8,用等式表示线段MC,AE,8。之间的数量关系，并证

明.

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6.(2021•大兴区一模)如图1,等边4ABC中，点尸是BC边上一点，作点C关于直线AP

的对称点。，连接C。，8。，作AEJ_B£>于点E；

(1)若/B4C=10°,依题意补全图1,并直接写出/BC。的度数;

(2)如图2,若/B4C=a(0°<a<30°),

①求证：NBCD=NBAE；

②用等式表示线段8D,CD,AE之间的数量关系并加以证明.

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二.K字图（共2小题）

7.（2021•延庆区一模）在正方形ABCD中，点E在射线BC上（不与点8、C重合），连接

DB,DE,将DE绕点E逆时针旋转90°得到EF,连接8尸.

（1）如图1,点E在8c边上.

①依题意补全图1:

②若A8=6,EC=2,求8尸的长；

（2）如图2,点E在BC边的延长线上，用等式表示线段BQ,BE,BF之间的数量关系.

图1图2

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8.（2021•房山区一模）已知：在△ABC中，ZA=45Q,ZABC=a,以BC为斜边作等腰

RtABDC,使得A,。两点在直线BC的同侧，过点。作。EJ_AB于点E.

（1）如图1,当a=20°时,

①求/CQE的度数；

②判断线段AE与BE的数量关系；

（2）若45°<a<90°,线段AE与BE的数量关系是否保持不变？依题意补全图2,并

证明.

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三.倍长中线（共1小题）

9.（2021•平谷区一模）在△ABC中，/ACB=90°,AC^BC,。是直线AB上一点（点。

不与点A、8重合），连接。C并延长到E,使得CE=CD,过点E作EF上直线BC,交

直线BC于点F.

（1）如图1,当点。为线段A8的上任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量

关系，并证明；

（2）如图2,当点D为线段BA的延长线上一点时、依题意补全图2,猜想线段E