工程力学- 材料力学之压杆稳定

材料力学刘鸿文主编(第5版)高等教育出版社目录1夏学期作业9：9.12、9.15、9.19、9.21.23第九章

压杆稳定

知识要点回顾

扭转弯曲组合变形适用范围：相当应力C1

拉压、弯曲和扭转的任意组合相当应力适用范围：弯曲扭转组合的圆截面杆4知识要点回顾

压杆稳定的概念压杆强度问题和稳定问题的区别两端绞支细长杆

弹性压杆稳定的三种状态稳定平衡状态

临界平衡状态

不稳定平衡状态

平衡状态应力平衡方程极限承载能力压杆失稳临界压力的确定56§9-2

两端绞支细长压杆的临界压力mmFmxmwBxylM(x)=-FwFxyB7该截面的弯矩杆的挠曲线近似微分方程压杆任一x截面沿y

方向的位移（a)令

(b)式的通解为（A、B为积分常数）(b)得

mmxyBFM(x)=-Fw§9-2

两端绞支细长压杆的临界压力mmxyBFM(x)=-Fw边界条件：若则（与假设矛盾）所以§9-2

两端绞支细长压杆的临界压力得89mxmwBxylF

这就是两端铰支等截面细长受压直杆临界力的计算公式（欧拉公式）.挠曲线方程为挠曲线为半波正弦曲线.§9-2

两端绞支细长压杆的临界压力当n=1时，即临界压力：§9-3

其它支座条件下细长压杆的临界压力1011§9-3

其它支座条件下细长压杆的临界压力1.细长压杆的形式两端铰支一端自由一端固定一端固定一端铰支两端固定2.其它支座条件下的欧拉公式lFcr2lFcrl0.3l0.7lFcrllFcrl/4l/4l/2l§9-3

其它支座条件下细长压杆的临界压力1213两端铰支一端固定，另一端铰支两端固定一端固定，另一端自由表9-1各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式

支承情况临界力的欧拉公式长度因数

=1

=0.7

=0.5

=2欧拉公式的统一形式（

为压杆的长度因数）§9-3

其它支座条件下细长压杆的临界压力145.讨论

为长度因数

l

为相当长度（1）相当长度

l

的物理意义

压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当长度

l.

l是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于半波正弦曲线的一段长度.§9-3

其它支座条件下细长压杆的临界压力15zyx取Iy，Iz中小的一个计算临界力.

若杆端在各个方向的约束情况不同（如柱形铰），应分别计算杆在不同方向失稳时的临界压力.I为其相应中性轴的惯性矩.

即分别用Iy，Iz

计算出两个临界压力.然后取小的一个作为压杆的临界压力.（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩I

若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则I应取最小的形心主惯性矩.§9-3

其它支座条件下细长压杆的临界压力16例题1已知一内燃机、空气压缩机的连杆为细长压杆.截面形状为工字钢形，惯性矩Iz=6.5×10

4

mm4,Iy=3.8×10

4

mm4，弹性模量E=2.1×10

5MPa.试计算临界力Fcr.x8801000yzyxz880§9-3

其它支座条件下细长压杆的临界压力17FFlxz880（1）杆件在两个方向的约束情况不同；x8801000yzy（2）计算出两个临界压力.最后取小的一个作为压杆的临界压力.分析思路：§9-3

其它支座条件下细长压杆的临界压力18解：x8801000yzy所以连杆的临界压力为134.6kN.xOy面：约束情况为两端铰支m=1，I=Iz，l=1mxOz面：约束情况为两端固定m=0.5，I=Iy，l=0.88mFFlxz880§9-3

其它支座条件下细长压杆的临界压力19

§9-4

欧拉公式的应用范围经验公式20

压杆受临界力Fcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定平衡时，横截面上的压应力可按

=F/A

计算.

§9-4

欧拉公式的应用范围经验公式一、临界应力欧拉公式临界应力

按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面上的应力为21i

为压杆横截面对中性轴的惯性半径.

称为压杆的柔度（长细比），集中地反映了压杆的长度l和杆端约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界应力的影响.

越大，相应的

cr

越小，压杆越容易失稳。令令则则

若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别计算在各平面内失稳时的柔度

，并按较大者计算压杆的临界应力

cr。

§9-4

欧拉公式的应用范围经验公式22二、欧拉公式的应用范围

只有在

cr≤

p的范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的临界压力Fcr（临界应力

cr）.或令

§9-4

欧拉公式的应用范围经验公式23

即l

≥

1（大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用范围.

当

＜

1但大于某一数值

2时，压杆不能应用欧拉公式，此时需用经验公式.

1的大小取决于压杆材料的力学性能.例如，对于Q235钢，可取E=206GPa，

p=200MPa，得

§9-4

欧拉公式的应用范围经验公式24三.常用的经验公式式中：a

和

b是与材料有关的常数，可查表得出.

2是对应直线公式的最低线.直线公式

的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式.

或令

§9-4

欧拉公式的应用范围经验公式25四、压杆的分类及临界应力总图1.压杆的分类（1）大柔度杆（2）中柔度杆（3）小柔度杆

§9-4

欧拉公式的应用范围经验公式262.临界应力总图l1l2

§9-4

欧拉公式的应用范围经验公式27例题2图示各杆均为圆形截面细长压杆.已知各杆的材料及直径相等.问哪个杆先失稳?dF1.3a

BF1.6aCaFA

§9-4

欧拉公式的应用范围经验公式28解：A杆先失稳.杆A杆B杆CdF1.3a

BF1.6aCaFA

§9-4

欧拉公式的应用范围经验公式29

§9-5

压杆的稳定校核301.稳定性条件

2.计算步骤（1）计算最大的柔度系数

max；

（2）根据

max选择公式计算临界应力；（3）根据稳定性条件，判断压杆的稳定性或确定许可载荷.

§9-5

压杆的稳定校核31

例题3活塞杆由45号钢制成，

s=350MPa，

p=280MPaE=210GPa.长度l=703mm，直径d=45mm.最大压力

Fmax=41.6kN.规定稳定安全系数为nst=8-10.试校核其稳定性.活塞杆两端简化成铰支解：

=1截面为圆形不能用欧拉公式计算临界压力.

§9-5

压杆的稳定校核32如用直线公式，需查表得：a=461MPab=2.568MPa可由直线公式计算临界应力.

2<

<

1临界压力是活塞的工作安全因数所以满足稳定性要求.

§9-5

压杆的稳定校核33例题4AB的直径d=40mm，长l=800mm，两端可视为铰支.材料为Q235钢，弹性模量E=200GPa.比例极限

p=200MPa，屈服极限

s=240MPa，由AB杆的稳定条件求[F].（若用直线式a=304MPa，b=1.12MPa）ABCF0.60.30.8

§9-5

压杆的稳定校核34解：取BC

研究ABCF0.60.30.8FN

§9-5

压杆的稳定校核35用直线公式[F]=118kN不能用欧拉公式ABCF0.60.