数学北师大版（2019）必修第二册 5.22复数的乘法与除法523复数乘法几何意义初探 课件

5.2.2

复数的乘法与除法

*5.2.3

复数乘法几何意义初探课标阐释

1.掌握复数的乘法与除法,能够进行复数的乘、除运算.(数学运算)2.掌握虚数单位i幂值的周期性,能进行有关的运算.(数学运算)3.能在复数范围内解有关方程问题.(数学运算)思维脉络

激趣诱思知识点拨我们知道,两个实数的乘法对加法来说满足分配律,即a,b,c∈R时,有(a+b)c=ac+bc,而且,实数的正整数次幂满足am·an=am+n,(am)n=amn,(ab)n=an·bn,其中m,n均为正整数,那么,复数的乘法应该如何规定,才能使得类似的运算法则仍成立呢?激趣诱思知识点拨激趣诱思知识点拨名师点析1.对复数乘法的三点说明(1)类比多项式运算:复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似,可仿多项式乘法进行,但结果要将实部、虚部分开(i2换成-1).(2)运算律:多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立,乘法公式也适用.(3)常用结论:①(a±bi)2=a2±2abi-b2(a,b∈R);②(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R);③(1±i)2=±2i.激趣诱思知识点拨微练习1复数i(2-i)=(

)A.1+2i

B.1-2iC.-1+2i D.-1-2i解析i(2-i)=1+2i.答案A微练习2如果复数(m2+i)(1+mi)是实数,则实数m等于(

)A.1 B.-1解析因为(m2+i)(1+mi)=(m2-m)+(m3+1)i是实数,m∈R,所以得m3+1=0,即m=-1.答案B激趣诱思知识点拨激趣诱思知识点拨二、复数范围内一元二次方程的解法

一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R,且a≠0)在复数范围内的根名师点析复数集内一元二次方程的解法类型实系数一元二次方程复系数一元二次方程Δ的作用可以用来判断根的情况不能用来判断根的情况求根公式适用适用韦达定理适用适用激趣诱思知识点拨答案B激趣诱思知识点拨微练习2已知1+i是关于x的方程x2+bx+c=0的一个根(b,c为实数),则b,c的值分别为(

)A.-2,2 B.2,-2C.-1,1 D.1,-1解析因为1+i是关于x的方程x2+bx+c=0的一个根,所以(1+i)2+b(1+i)+c=0,即(b+c)+(2+b)i=0.答案A激趣诱思知识点拨三、复数的除法

激趣诱思知识点拨激趣诱思知识点拨答案B激趣诱思知识点拨答案D激趣诱思知识点拨四、in的周期性激趣诱思知识点拨微练习1i2020=

.

解析i2

020=i4×505=1.答案1激趣诱思知识点拨*五、复数乘法几何意义初探

探究一探究二探究三探究四当堂检测复数的乘法与除法运算例1计算下列各题:探究一探究二探究三探究四当堂检测探究一探究二探究三探究四当堂检测2.复数除法运算的技巧(1)根据复数的除法,通过分子、分母都乘分母的共轭复数,使“分母实数化”,这个过程与“分母有理化”类似.(2)复数除法运算的结果要进行化简,通常要写成复数的代数形式,即实部与虚部要完全分开的形式.探究一探究二探究三探究四当堂检测探究一探究二探究三探究四当堂检测i的乘方的周期性及应用例2(1)i为虚数单位,i607的共轭复数为(

)A.i B.-i C.1 D.-1(2)计算i1+i2+i3+…+i2019+i2020=

.

解析(1)因为i607=i4×151+3=i3=-i,所以其共轭复数为i.故选A.(2)因为i1+i2+i3+i4=0,所以i1+i2+i3+…+i2

019+i2

020=(i1+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2

013+i2

014+i2

015+i2

016)+(i2

017+i2

018+i2

019+i2

020)=0.答案(1)A

(2)0反思感悟

虚数单位i的周期性(1)i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1(n∈N+),n也可以推广到整数集.(2)in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N+).探究一探究二探究三探究四当堂检测探究一探究二探究三探究四当堂检测与复数有关的方程问题例3设关于x的一元二次方程x2-(tanθ+i)x-(2+i)=0有实数根,则锐角θ以及实数根分别为(

)探究一探究二探究三探究四当堂检测答案C反思感悟

与复数有关的方程问题,一般是利用复数相等的充要条件,把复数问题实数化进行求解,此时根与系数的关系仍适用,但判别式“Δ”不再适用.探究一探究二探究三探究四当堂检测变式训练2已知关于x的一元二次方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实根b,求实数a,b的值.探究一探究二探究三探究四当堂检测复数乘法几何意义初探

反思感悟

求解此类题目关键是要理解所求复数表示的向量是如何由已知复数所表示的向量旋转得到的,可利用数形结合的方法,将已知或所求复数所表示的向量在