专题07二次函数中的将军饮马(原卷版+解析)

专题07二次函数中的将军饮马1．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为．（1）抛物线的顶点坐标是___________．（2）已知P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，点P的坐标是___________．2．已知抛物线的图象如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为，与y轴的交点坐标为．

(1)求抛物线的解析式及与x轴的另一个交点B的坐标；(2)根据图象回答：当x取何值时，？(3)在抛物线的对称轴上有一动点P，求的值最小时的点P的坐标．3．如图，抛物线与x轴交于，两点．(1)该抛物线的解析式为______．(2)若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的值最小？若存在求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使得的面积最大？若存在，求出点P的坐标及的面积最大值；若不存在，请说明理由．4．已知二次函数的图象经过点和点．(1)求该二次函数的表达式；(2)求该抛物线的对称轴及顶点坐标；(3)点在该函数图象上（其中），求m的值；(4)在（3）的条件下，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点P，使的值最小，若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，两点在坐标轴上，绕点原点顺时针旋转后得到，，抛物线经过点、、．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线对称轴上，是否存在这样的点，使得最小值？若存在，请求出点点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在抛物线上有一点，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标．6．如图，已知抛物线经过B(−3，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为A．(1)求抛物线的解析式；(2)若直线经过B，C两点，则m=_____________；n=_____________；(3)在抛物线对称轴上找一点E，使得的值最小，直接写出点E的坐标；(4)设点P为x轴上的一个动点，是否存在使为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．7．如图，二次函数的图象过点，．(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的对称轴；(3)点P是对称轴上一点，当达到最小值时，求P的坐标．8．如图，抛物线经过点，，与轴正半轴交于点，且，抛物线的顶点为，对称轴交轴于点，直线经过，两点．(1)求抛物线及直线的函数表达式；(2)点是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求出点的坐标及的最小值．9．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（3，0）．C（0，﹣3）三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数解析式；(2)设点M是直线l上的一个动点，当点M到点A，点C的距离之和最短时，求点M的坐标．10．如图，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)点M是抛物线对称轴上的动点，求的最小值；(3)若点P是直线AC下方抛物线上的动点，过点P作于点Q，线段PQ是否存在最大值？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C，点Q为线段上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)求的最小值12．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A（－1，0），C（0，3）．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点M，使得的值最大，求此点M的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△PCD是等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．13．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知点．(1)求直线及抛物线的函数表达式；(2)P为x轴上方抛物线上一点．①若，请直接写出点P的坐标；②如图，轴交于点D，轴交于点E，求的最大值；(3)Q为抛物线上一点，若，求点Q的坐标．专题07二次函数中的将军饮马1．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为．（1）抛物线的顶点坐标是___________．（2）已知P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，点P的坐标是___________．【答案】

【分析】（1）利用待定系数法求得解析式中m的值，继而求得抛物线的顶点坐标；（2）首先连接BC交抛物线的对称轴l于P点，此时的值最小时，然后利用待定系数法求得直线BC的解析式，继而求得答案．【详解】（1）把点代入抛物线，解得，∴该抛物线的表达式为，∴抛物线的顶点坐标为；（2）连接BC，交抛物线的对称轴l于一点，由抛物线的对称性可知，该点即为所求的点P，∵抛物线与y轴交于点C，∴点C的坐标为，设直线BC的函数表达式为，把和代入，得：解得：，∴直线BC的函数表达式为．∵抛物线的对称轴为直线，∴当时，，即当的值最小时，点P的坐标为．故答案为：，．【点睛】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式以及距离最短问题，注意找到P点的位置是解题的关键．2．已知抛物线的图象如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为，与y轴的交点坐标为．

(1)求抛物线的解析式及与x轴的另一个交点B的坐标；(2)根据图象回答：当x取何值时，？(3)在抛物线的对称轴上有一动点P，求的值最小时的点P的坐标．【答案】(1)，点B的坐标为(2)(3)【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；（2）观察图象得：当时，，即可；（3）作抛物线的对称轴与直线交于点P，则交点就是所求的点，求出直线的解析式，即可求解．【详解】（1）解∶把点，代入抛物线可得方程组，解得：，所以函数表达式为，

当时，，解得；另一个交点B的坐标为；（2）解∶观察图象得：当时，；（3）解∶如图，作抛物线的对称轴与直线交于点P，则交点就是所求的点．设直线的解析式为，把，代入得：，解得：，∴直线的函数式为，∵抛物线对称轴为直线，当时，，即点．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用待定系数法求得抛物线的解析式，利用轴对称的性质求解两条线段和的最小值，利用抛物线的图象解一元二次不等式，掌握以上知识是解题的关键．3．如图，抛物线与x轴交于，两点．(1)该抛物线的解析式为______．(2)若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的值最小？若存在求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使得的面积最大？若存在，求出点P的坐标及的面积最大值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，(3)存在，点P的坐标为，面积最大值为8【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；（2）根据题意得：点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，则直线与抛物线对称轴的交点为Q，此时最小．求出直线的解析式，即可求解；（3）过点P作轴于点E，交BC于点D．设P点，则D点，可得，再根据结合二次函的性质，即可求解．【详解】（1）解：把，代入得：，解得：，∴该抛物线的解析式为：；（2）解：如图1，根据题意得：点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，则直线与抛物线对称轴的交点为Q，此时最小．设直线BC的解析式为：，将点，代入得：，解得：．∴直线解析式为：，解方程组得：，∴点即为所求；（3）解：如图2，过点P作轴于点E，交于点D．设P点，则D点，∴，∴，当时，最大值，当时，，∴点P的坐标为．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，要注意距离最短问题的求解关键是点的确定，特别是要注意数形结合思想的应用．4．已知二次函数的图象经过点和点．(1)求该二次函数的表达式；(2)求该抛物线的对称轴及顶点坐标；(3)点在该函数图象上（其中），求m的值；(4)在（3）的条件下，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点P，使的值最小，若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)对称轴：直线，顶点坐标：(3)6(4)存在，当点P坐标为时，最小【分析】（1）利用待定系数法解答解答，即可求解；（2）把二次函数的解析式化为顶点式，即可求解；（3）把代入二次函数的解析式，即可求解；（4）作点B关于对称轴的对称点，连接与对称轴的交点即为所求的点P．求出直线的解析式，即可求解．【详解】（1）解：将点和点代入，得∶，解得：，∴该二次函数的表达式为；（2）解：∵∴对称轴为直线，顶点坐标：；（3）解：∵点在函数图象上，∴，∴或6．∵，∴m的值为6；（4）解：存在．如图，由（2）可知，作点B关于对称轴的对称点，连接与对称轴的交点即为所求的点P．设直线的解析式为，把点、代入得：，解得，∴直线的解析式为，当时，∴．∴当点P坐标为时，最小．【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质是解题的关键．5．如图，在平面直角坐标系中，两点在坐标轴上，绕点原点顺时针旋转后得到，，抛物线经过点、、．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线对称轴上，是否存在这样的点，使得最小值？若存在，请求出点点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在抛物线上有一点，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标．【答案】(1)(2)存在，(3)或或【分析】（1）根据旋转的性质得到，，然后求出点B和点C的坐标，然后代入求解即可；（2）首先根据二次函数的性质得到点A和点B关于直线对称，然后根据题意得到，求出点D的坐标，求出直线BD的解析式，代入即可求出点P的坐标；（3）设，根据题意表示出，，，分情况讨论分别列出方程求解即可．（1）∵绕点原点O顺时针旋转90°后得到，，∴，，∴，，把，代入得，∴，∴；（2）存在．点A与点B为抛物线上的对称点，则与对称轴的交点为P，如图1，∴，∴此时的值最小，当时，，∴，，则，∴，设直线的解析式为，把，代入得，∴，∴直线的解析式为，当时，，∴满足条件的P点坐标为；（3）如图2，设，，，，当时，，即，整理得，∴，，此时Q的坐标为或；当时，，即，整理得，∴，，此时Q的坐标为或；综上所述，满足条件的Q点坐标为或或；【点睛】此题考查了旋转的性质，二次函数综合问题，数形结合思想，直角三角形存在性问题等知识，解题关键是根据题意求出二次函数表达式，熟练掌握二次函数的性质．6．如图，已知抛物线经过B(−3，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为A．(1)求抛物线的解析式；(2)若直线经过B，C两点，则m=_____________；n=_____________；(3)在抛物线对称轴上找一点E，使得的值最小，直接写出点E的坐标；(4)设点P为x轴上的一个动点，是否存在使为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)抛物线的解析式为；(2)1，3(3)点E（1，2）；(4)点P的坐标为(0，0)或(3，0)或(，0)或(，0)．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）由待定系数法即可求解；（3）点A、B关于对称轴l对称，则BC与对称轴l的交点即为所求的点E，进而求解；（4）求得BC的长，分B为顶点、C为顶点、BC底边三种情况讨论，进而求解．（1）解：将点B(−3，0)，C(0，3)的坐标代入抛物线解析式得，解得，故抛物线的解析式为；（2）解：∵直线经过B(−3，0)，C(0，3)两点，∴，解得，∴直线BC的解析式为y=x+3；故答案为：1，3；（3）解：∵，∴抛物线的对称轴为直线，∵点A、B关于直线l对称，∴BC与对称轴l的交点即为点E，如下图，则此时AE+CE=BE+CE=BC为最小，当时，y=x+3=2，∴点E（1，2）；（4）解：∵B(−3，0)，C(0，3)，∴OB=OC=3，∴BC=，当B为顶角的顶点时，则PB=，∴点P的坐标为(，0)或(，0)；当C为顶角的顶点时，则PC=BC，∴点P与点B关于y轴对称，∴点P的坐标为(3，0)；当BC为底边时，则PC=PB，即点P在线段BC的垂直平分线上，∴点P的坐标为(0，0)；综上，点P的坐标为(0，0)或(3，0)或(，0)或(，0)．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．7．如图，二次函数的图象过点，．(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的对称轴；(3)点P是对称轴上一点，当达到最小值时，求P的坐标．【答案】(1)(2)直线x＝1(3)点P（1，2）【分析】（1）把点，代入抛物线解析式求出b,c即可．（2）由顶点式可得对称轴直线x＝1，（3）当A、P、B在同一直线上时，达到最小值,求直线BA解析式，把x＝1代入即求得点P纵坐标．（1）∵抛物线过点，∴把点A（0，3）代入得：c＝3∴c＝3∴把点代入得：-9+3b+3＝0∴b＝2∴抛物线解析式为（2）∵抛物线解析式为∴∴对称轴为直线x＝1（3）当A、P、B在同一直线上时，PA+PB＝AB最小设直线BA解析式为y＝kx+3把点B代入得：3k+3＝0，解得：k＝﹣1∴直线BA：y＝﹣x+3∵点P在对称轴上∴＝﹣1+3＝2∴当点P（1，2）时，最小．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，轴对称的最短路径问题，解题的关键要准确求出二次函数的解析式．8．如图，抛物线经过点，，与轴正半轴交于点，且，抛物线的顶点为，对称轴交轴于点，直线经过，两点．(1)求抛物线及直线的函数表达式；(2)点是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求出点的坐标及的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据，求出点坐标，利用待定系数法求出解析式即可；（2）点、关于抛物线的对称轴对称，设抛物线的对称轴交于点，则点为所求点，此时的值最小，根据的横坐标，代入直线的函数表达式即可求出的坐标，利用勾股定理求出的长度即可．（1）由点的坐标知，，∵，故点的坐标为，将点、、的坐标代入抛物线表达式得：，解得.故抛物线的表达式为；将点、的坐标代入一次函数表达式得：，解得，故直线的表达式为；（2）∵点、关于抛物线的对称轴对称，设抛物线的对称轴交于点，则点为所求点，此时的值最小，理由：由函数的对称性知，，则为最小，当时，，故点，由点、的坐标知，，则，即点的坐标为、的最小值为．【点睛】本题考查二次函数的综合应用：线段周长问题．解题的关键是：利用待定系数法正确的求出函数解析式，根据二次函数的性质进行解题．本题考查将军饮马问题，找到定点的对称点，与另一定点形成的线段即为线段和的最小值．9．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（3，0）．C（0，﹣3）三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数解析式；(2)设点M是直线l上的一个动点，当点M到点A，点C的距离之和最短时，求点M的坐标．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用两点式和待定系数法求函数解析式即可；（2）连接BC，BC与直线l的交点即为M．【详解】（1）解：设二次函数的解析式为：，将点C（0，﹣3）代入得：，解得：，∴；∴函数的解析式为：．（2）解：抛物线的对称轴为：；点A关于直线l的对称点为点B，连接BC，则BC是点M到点A，点C的距离之和的最小值，设直线BC的解析式为：，则：，解得：，∴，设，代入得：，∴．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，准确求出函数的解析式，利用二次函数的性质进行解题是解题的关键．本题的动点问题是将军饮马问题，找到定点的对称点，与另一个定点形成的线段即为最短距离．10．如图，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)点M是抛物线对称轴上的动点，求的最小值；(3)若点P是直线AC下方抛物线上的动点，过点P作于点Q，线段PQ是否存在最大值？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)线段PQ存在最大值，此时点P坐标为【分析】（1）根据点A和点B坐标使用待定系数法求解即可．（2）连接MA，设直线AC与二次函数的对称轴交于N．根据轴对称的性质，两点之间，线段最短确定当点M与点N重合时，MB+MC取得最小值为AC，根据二次函数解析式求出点C坐标，再根据勾股定理即可求解．（3）过点P作PD⊥x轴于D，交直线AC于E，设，其中，设直线AC解析式为y=kx+d．根据等边对等角，三角形内角和定理，等角对等边确定QE=PQ，根据勾股定理确定，进而确定当EP取得最大值时，PQ取得最大值，根据点A和点C坐标使用待定系数法求出直线AC解析式，进而用p表示EP的长度，再根据二次函数的最值求出p的值，最后代入计算即可．（1）解：把点A和点B坐标代入抛物线解析式得解得所以抛物线的解析式为．（2）解：如下图所示，连接MA，设直线AC与二次函数的对称轴交于N．∵、，∴点A和点B关于二次函数的对称轴对称，OA=2．∴MA=MB．∴MB+MC=MA+MC．∴当点M与点N重合时MA+MC取得最小值，即MB+MC取得最小值为AC．∵抛物线与y轴交于点C，∴．∴OC=2．∴．∴MB+MC的最小值为．（3）解：如下图所示，过点P作PD⊥x轴于D，交直线AC于E，设，其中，设直线AC解析式为y=kx+d．∵OA=2，OC=2，∴OA=OC．∴．∵PD⊥x轴，∴∠ADE=90°．∴∠DEA=180°-∠ADE-∠OAC=45°．∴∠QEP=∠DEA=45°．∵PQ⊥AC，∴∠PQE=90°，．∴∠QPE=180°-∠PQE-∠QEP=45°．∴∠QPE=∠QEP．∴QE=PQ．∴．∴．∴当EP取得最大值时，PQ取得最大值．把点A和点C坐标代入直线AC解析式得解得∴直线AC解析式为．∴．∴．∴当时，EP取得最大值．∴．∴线段PQ存在最大值，此时点P坐标为．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，轴对称的性质，两点之间，线段最短，勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理，等角对等边，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值，综合应用这些知识点是解题关键．11．如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C，点Q为线段上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)求的最小值【答案】(1)(2)10【分析】（1）设，将代入求解即可；（2）作点O关于直线BC的对称点，连接，利用勾股定理及轴对称的性质求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于两点，∴设，将代入，得：，解得：，∴，∴抛物线的解析式为；（2）如图1，作点O关于直线BC的对称点，连接，∵，，∴，∵O、关于直线对称，∴垂直平分，∴垂直平分，∴四边形BOCO′是正方形，∴，在中，，∵，∴，即点Q位于直线与直线交点时，有最小值10．【点睛】题目主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，线段最短及轴对称的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．12．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A（－1，0），C（0，3）．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点M，使得的值最大，求此点M的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△PCD是等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】(1)该抛物线的解析式为；(2)点M（1，6）；(3)点P的坐标为（1，6）或或或．【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解；（2）根据抛物线的对称性得，点B关于抛物线对称轴的对称点是点A，从而可得当A，C，M三点共线时，最小，连接AC，并延长AC交抛物线的对称轴于点M，求出直线AC的解析式，即可求解；（3）分三种情况讨论，即可求解．（1）解：∵抛物线经过A（-1，0），C（0，3）两点，∴，解得：，∴该抛物线的解析式为；（2）解：由抛物线的对称性得，点B关于抛物线对称轴的对称点是点A，∴BM=AM，∴，∴当A，C，M三点共线时，最小，如图，连接AC，并延长AC交抛物线的对称轴于点M，设直线AC的解析式为y＝kx＋d，把A（-1，0），C（0，3）代入得：，解得：，∴直线AC的解析式为y＝3x＋3，∵抛物线的对称轴为直线，当x＝1时，y＝3＋3＝6，∴点M（1，6）；（3）解：根据题意得：点D（1，0），∴，设