专题07【五年中考+一年模拟】一次函数与反比例函数综合题-备战2023年广东中考数学真题模拟题分类汇编(原卷版+解析)

专题07一次函数与反比例函数综合题1．（2022•广东）物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度与所挂物体质量满足函数关系．下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系．025151925（1）求与的函数关系式；（2）当弹簧长度为时，求所挂物体的质量．2．（2021•广东）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，且与反比例函数图象的一个交点为．（1）求的值；（2）若，求的值．3．（2020•广东）如图，点是反比例函数图象上一点，过点分别向坐标轴作垂线，垂足为，．反比例函数的图象经过的中点，与，分别相交于点，．连接并延长交轴于点，点与点关于点对称，连接，．（1）填空：；（2）求的面积；（3）求证：四边形为平行四边形．4．（2019•广东）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为．（1）根据图象，直接写出满足的的取值范围；（2）求这两个函数的表达式；（3）点在线段上，且，求点的坐标．5．（2022•东莞市一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与反比例函数图象交于，，两点，与轴交于点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）当时，直接写出自变量的取值范围；（3）若点是轴上一点，且，求点坐标．6．（2022•东莞市校级一模）如图，一次函数的图象与反比例函数点的图象相交于、两点，点在轴正半轴上，点，连接、、、，四边形为菱形．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据图象，直接写出反比例函数值大于一次函数值时，的取值范围；（3）设点是直线上一动点，且，求点的坐标．7．（2022•东莞市一模）在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数在第一象限内的图象与边交于点，与边交于点．（1）求反比例函数的解析式和值；（2）当时，求直线的解析式．8．（2022•东莞市一模）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．（1）求点的坐标；（2）点是线段上一点（不与点、重合），若，求点的坐标．9．（2022•东莞市校级一模）如图，点为函数与函数图象的交点，点的纵坐标为4，轴，垂足为点．（1）求的值；（2）点是函数图象上一动点，过点作于点，若，求点的坐标．10．（2022•东莞市一模）如图，过点的直线与轴，轴分别交于点，两点，且，过点作轴，垂足为点，交反比例函数的图象于点，连接，的面积为6．（1）求值和点的坐标；（2）如图，连接，，点在直线上，且位于第二象限内，若的面积是面积的2倍，求点的坐标．11．（2022•东莞市校级一模）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数相交于点，两点．（1）求一次函数的解析式．（2）作的角平分线交轴于点，连接，若，求的值．12．（2022•东莞市一模）如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过作轴于点，且．（1）求点的坐标及的值；（2）点在轴上，使是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点坐标；（3）点是反比例函数图象上的点，点是轴上的动点，当的面积为3时，请求出所有满足条件的的值．13．（2022•东莞市一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）点是线段上一点，过点作轴于点，交反比例函数图象于点，连接、，若的面积为2，求点的坐标．14．（2022•中山市一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限，两点，与坐标轴交于、两点，连接，是坐标原点）．（1）求的面积．（2）将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？（3）双曲线上是否存在一点，使得和的面积相等？若存在，给出证明并求出点的坐标；若不存在，请说明理由．15．（2022•中山市二模）如图，过点的双曲线与过点的双曲线关于轴对称，点在轴上，点在轴上，四边形为矩形且．（1）求出的值；（2）求的长．16．（2022•中山市一模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点．（1）求一次函数的解析式及的面积；（2）若点是轴正半轴上一点，连接、，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出点的坐标．17．（2022•中山市三模）已知反比例函数的图象上有一点，点的坐标为，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段．（1）求直线的解析式．（2）点是线段上的一点，连接，若将的面积分成两部分，求点的横坐标．18．（2022•中山市三模）如图，放置在平面直角坐标系中，已知点，，，点在反比例函数的图象上．（1）直接写出点坐标，并求反比例函数的表达式；（2）将向上平移得到，使点在反比例函数的图象上，与反比例函数图象交于点．连结，求的长及点的坐标．19．（2022•珠海二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，在轴的正半轴上，顶点在直线位于第一象限的图象上，反比例函数的图象经过点，交于点，．（1）如果，求点的坐标；（2）连接，当时，求点的坐标．20．（2022•香洲区校级一模）如图，，，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点恰好在反比例函数的图象上．（1）求值；（2）反比例函数的图象与线段是否存在交点？若存在，请求出交点坐标；若不存在，请说明理由．21．（2022•香洲区校级一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交点的横坐标是4，点在第一象限内，过点作平行于轴的直线，交一次函数图象于点，过点作平行于轴的直线，交反比例函数的图象于点．（1）求的值；（2）当，时，能否为等腰三角形，若能出点坐标，若不能，请说明理由；（3）若，且，结合函数的图象，直接写出的取值范围．22．（2022•珠海一模）已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点（1）求这两个函数的表达式；（2）求的面积；（3）观察图象，①直接写出时自变量的取值范围；②直接写出方程的解．23．（2022•香洲区校级一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和．（1）填空：一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；（2）请直接写出不等式的解集是；（3）点是线段上一点，过点作轴于点，连接，若的面积为，求的最大值和最小值．24．（2022•香洲区一模）如图，点在反比例函数（其中图象上，以点为圆心，长为半径画弧交轴正半轴于点，其中，．（1）求的值；（2）过点作交反比例函数的图象于点，连接交于点，求的值．25．（2022•香洲区校级一模）如图，双曲线与直线交于点、，与两坐标轴分别交于点、，已知点，连接、．（1）；（2）请直接写出当满足什么条件时，；（3）求的面积．26．（2022•香洲区校级一模）如图①，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，．将沿翻折，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上．（1）求反比例函数的表达式；（2）如图②，将沿轴向下平移得到△，设平移的距离为，平移过程中△与重叠部分的面积为．若点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，求的值及此时的值；（3）如图③，连接交于点，已知是反比例函数的图象上一点，在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点，的坐标；若不存在，请说明理由．27．（2022•潮南区模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，，分别在轴、轴上，是矩形的对角线．将绕点逆时针旋转，使点落在轴上，得到，与相交于点，反比例函数的图象经过点，交于点．（1）填空：的值为；（2）连接，求证：；（3）在线段上找一点，使得是等腰三角形，请直接写出此时的长．28．（2022•潮南区模拟）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，交于点，连接．（1）求的值和反比例函数的表达式；（2）观察图象，直接写出当时，不等式的解集；（3）当为何值时，的面积最大？最大值是多少？29．（2022•龙湖区一模）一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．（1）求一次函数的解析式；（2）将直线沿轴向下平移8个单位后得到直线，与两坐标轴分别相交于，，与反比例函数的图象相交于点，，求的值．30．（2022•金平区一模）已知反比例的图象经过，两点．（1）求的值；（2）在轴上取点，使取得最大值，求点的坐标．31．（2022•佛山二模）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，的面积为3．（1）求一次函数和反比例函数的表达式．（2）根据图象直接回答，在第一象限内，当取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？（3）点为轴上一点，若与相似，求的长．32．（2022•南海区二模）已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于一、三象限内的、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为，．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出当自变量取何值时，一次函数值大于反比例函数值；（3）在轴上有一点，使得面积是面积的4倍，求出点的坐标．33．（2022•三水区一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点为的中点．一次函数的图象经过点、，反比例函数，求的值．34．（2022•南海区校级一模）把矩形放置在如图的平面直角坐标系中，点在边上，把点沿折叠，使点恰好与原点重合，已知，．（1）求点的坐标；（2）已知抛物线经过点、，且与直线仅有一个交点，求该抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，该抛物线上的点使，直接写出点的横坐标．35．（2022•湛江二模）如图所示，直线与反比例函数的图象相交于，两点，已知．（1）求反比例函数的解析式；（2）直线交轴于点，连接，当的面积为6时，求直线的解析式．专题07一次函数与反比例函数综合题1．（2022•广东）物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度与所挂物体质量满足函数关系．下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系．025151925（1）求与的函数关系式；（2）当弹簧长度为时，求所挂物体的质量．【答案】（1）与的函数关系式为；（2）挂物体的质量为【详解】（1）把，代入中，得，解得：，所以与的函数关系式为；（2）把代入中，得，解得：．所挂物体的质量为．2．（2021•广东）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，且与反比例函数图象的一个交点为．（1）求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）或【详解】（1）为反比例函数图象上一点，代入得，；（2）令，即，，，，令，，，，由图象得，可分为以下两种情况：①在轴正半轴时，，，过作轴交轴于点，又，，△△，，，，，，；②在轴负半轴时，，过作轴，，，，△，，，，，，综上，或．3．（2020•广东）如图，点是反比例函数图象上一点，过点分别向坐标轴作垂线，垂足为，．反比例函数的图象经过的中点，与，分别相交于点，．连接并延长交轴于点，点与点关于点对称，连接，．（1）填空：；（2）求的面积；（3）求证：四边形为平行四边形．【答案】（1）2；（2）3；（3）见解析【详解】（1）设点，，则点，，则，故答案为2；（2）连接，则的面积的面积；（3）设点，则点，点与点关于点对称，故点，则点，设直线的表达式为：，将点、的坐标代入上式得并解得：直线的表达式为：，令，则，故点，故，而，又，故四边形为平行四边形．4．（2019•广东）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为．（1）根据图象，直接写出满足的的取值范围；（2）求这两个函数的表达式；（3）点在线段上，且，求点的坐标．【答案】（1）或；（2）一次函数的解析式，反比例函数的解析式为；（3），【详解】（1）点的坐标为，点的坐标为．由图象可得：的的取值范围是或；（2）反比例函数的图象过点，，，，，，一次函数的图象过点，点，，解得：，，一次函数的解析式，反比例函数的解析式为；（3）设直线与轴的交点为，，，，，，，，，，点在线段上，，，．5．（2022•东莞市一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与反比例函数图象交于，，两点，与轴交于点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）当时，直接写出自变量的取值范围；（3）若点是轴上一点，且，求点坐标．【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，；（2）或；（3）或【详解】（1）反比例函数图象交于，两点，，，，反比例函数的解析式为，，把，代入得，解得，一次函数的解析式为；（2）由图象可知，当时，自变量的取值范围是或；（3）由可知，点是轴上一点，且，，，或．6．（2022•东莞市校级一模）如图，一次函数的图象与反比例函数点的图象相交于、两点，点在轴正半轴上，点，连接、、、，四边形为菱形．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据图象，直接写出反比例函数值大于一次函数值时，的取值范围；（3）设点是直线上一动点，且，求点的坐标．【答案】（1）一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为；（2）或；（3）点的坐标为或【详解】（1）如图，连接，交轴于点，四边形是菱形，，，，，，，，，，将代入直线可得，解得，将代入反比例函数可得，解得：；一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为；（2）联立直线与反比例解析式得：，消去得：，解得：或，将代入得：，即，则反比例函数值大于一次函数值时，的取值范围为：或；（3），，，，，设点坐标为，与轴相交于，则，，，当在的左侧时，，，，，当在的右侧时，，，，，综上所述，点的坐标为或．7．（2022•东莞市一模）在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数在第一象限内的图象与边交于点，与边交于点．（1）求反比例函数的解析式和值；（2）当时，求直线的解析式．【答案】（1）反比例函数的解析式为：；；（2）直线的解析式为：【详解】（1）在反比例函数的图象上，，反比例函数的解析式为：；点在反比例函数的图象上，将点代入反比例函数解析式得：；（2）如图，过点作于点，，是直角三角形，，又，，，由（1）知，，，，，设直线的解析式为，将，代入得：，，直线的解析式为：．8．（2022•东莞市一模）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．（1）求点的坐标；（2）点是线段上一点（不与点、重合），若，求点的坐标．【答案】（1）；（2）【详解】（1）一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．，解得，，，；（2）如图，过点，分别作，垂直轴于点，，，，，，，，，，由（1）得：，，点是线段上一点（不与点、重合），点的横坐标为，将其代入直线得：，．9．（2022•东莞市校级一模）如图，点为函数与函数图象的交点，点的纵坐标为4，轴，垂足为点．（1）求的值；（2）点是函数图象上一动点，过点作于点，若，求点的坐标．【答案】（1）；（2）点的坐标为【详解】点为函数图象的点，点的纵坐标为4，，解得：，点，点为函数与函数图象的交点，，；（2）设点的坐标，，，①点在点右侧，如图，点，，，，，，，解得：或8，点在点右侧，，，点的坐标为；②点在点左侧，点，，，，，，，解得：或8，点在点左侧，此种情况不存在；点的坐标为．10．（2022•东莞市一模）如图，过点的直线与轴，轴分别交于点，两点，且，过点作轴，垂足为点，交反比例函数的图象于点，连接，的面积为6．（1）求值和点的坐标；（2）如图，连接，，点在直线上，且位于第二象限内，若的面积是面积的2倍，求点的坐标．【答案】（1），点坐标为；（2）点的坐标为【详解】（1）设点坐标为，由题意得，，点在的图象上，，直线的图象与轴交于点，点的坐标为，轴，轴，，，点的横坐标为4．点在反比例函数的图象上点坐标为；（2）由（1）知轴，，，，过点作，垂足为点，交轴于点，，，，．，点的横坐标为点在直线上，点的坐标为．11．（2022•东莞市校级一模）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数相交于点，两点．（1）求一次函数的解析式．（2）作的角平分线交轴于点，连接，若，求的值．【答案】（1）一次函数的解析式为；（2）【详解】（1）将，代入得：，，一次函数的解析式为；（2）平分，，，，，在中，，设，，，，，，，，，，，，．12．（2022•东莞市一模）如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过作轴于点，且．（1）求点的坐标及的值；（2）点在轴上，使是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点坐标；（3）点是反比例函数图象上的点，点是轴上的动点，当的面积为3时，请求出所有满足条件的的值．【答案】（1），；（2）点的坐标为或，或；（3）7或3【详解】（1）由可知，即，，，，轴，点的横坐标为1，点在直线上，点的纵坐标为4，即，点在上，；（2）①当时，，，，则，此时点的坐标为或；②若时，设，则，，解得（舍或，此时点的坐标为，综上所述，点的坐标为或，或；（3）点在反比例函数图象上，，点，延长交轴于点，设直线的解析式为，则有，解得，直线的解析式为．点是直线与轴的交点，点的坐标为，，，，，，，，或3，故答案为：7或3．13．（2022•东莞市一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）点是线段上一点，过点作轴于点，交反比例函数图象于点，连接、，若的面积为2，求点的坐标．【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为：；（2）【详解】（1）反比例函数的图象经过点，，解得，反比例函数解析式为，把代入，得，点坐标为，一次函数解析式经过，，，解得：，一次函数解析式为：；（2）设且，则；，，解得，．14．（2022•中山市一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限，两点，与坐标轴交于、两点，连接，是坐标原点）．（1）求的面积．（2）将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？（3）双曲线上是否存在一点，使得和的面积相等？若存在，给出证明并求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）7.5；（2）将直线向下平移1或9个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点；（3）见解析【详解】（1）把代入，得，把代入，得；反比例函数的解析式为，．．把，代入得：，解得，．一次函数的解析式为，把代入，得，．；（2）设直线向下平移个单位长度，则直线，根据题意列出方程：，整理，得．由于直线与反比例函数图象只有一个交点，所以△．解得，．所以将直线向下平移1或9个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点；（3）双曲线上存在点，使得，理由如下：点坐标为：，点坐标为：，，当点在的平分线上时，，又，，．点坐标为：，点坐标为：，可得，又这个点是的平分线与双曲线的交点，，点横纵坐标坐标相等，即，，，，，，故点坐标为，使得和的面积相等．利用点、关于直线对称，或．15．（2022•中山市二模）如图，过点的双曲线与过点的双曲线关于轴对称，点在轴上，点在轴上，四边形为矩形且．（1）求出的值；（2）求的长．【答案】（1）；（2）【详解】（1）双曲线过点，且与过点的双曲线关于轴对称，点关于轴的对称点在双曲线上，；（2）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，，，四边形是矩形，，即，，，，设点坐标为，，则，，，点的坐标为，点在上，，解得或（舍去），，，．16．（2022•中山市一模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点．（1）求一次函数的解析式及的面积；（2）若点是轴正半轴上一点，连接、，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出点的坐标．【答案】（1）一次函数的解析式为，；（2）点坐标为或【详解】（1）反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点，，，，，，，则，解得，所求一次函数的解析式为，令，解得，令，解得，直线与轴、轴的交点坐标为、，；（2）设，，，，当时，，，（舍去），当时，，，（舍去），点坐标为或.17．（2022•中山市三模）已知反比例函数的图象上有一点，点的坐标为，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段．（1）求直线的解析式．（2）点是线段上的一点，连接，若将的面积分成两部分，求点的横坐标．【答案】（1）直线为；（2）的横坐标为或【详解】（1）作轴于，轴于，反比例函数的图象上有一点，，，的坐标为，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，，，，，设直线的解析式为，，解得，直线为；（2）点是线段上的一点，将的面积分成两部分，或，的横坐标为或．18．（2022•中山市三模）如图，放置在平面直角坐标系中，已知点，，，点在反比例函数的图象上．（1）直接写出点坐标，并求反比例函数的表达式；（2）将向上平移得到，使点在反比例函数的图象上，与反比例函数图象交于点．连结，求的长及点的坐标．【答案】（1）点坐标为，反比例函数的表达式为：；（2）点的坐标为，【详解】（1）点，，，，，四边形是平行四边形，，点坐标为，点在反比例函数的图象上．反比例函数的表达式为：；（2）向上平移得到，点的横坐标与点的横坐标相等，都是，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，，，，点的纵坐标，点的横坐标为，点的坐标为，．19．（2022•珠海二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，在轴的正半轴上，顶点在直线位于第一象限的图象上，反比例函数的图象经过点，交于点，．（1）如果，求点的坐标；（2）连接，当时，求点的坐标．【答案】（1）点；（2）点，【详解】（1），则，当时，，解得：，故点，将点的坐标代入反比例函数表达式得：，故反比例函数表达式为：，，即点的横坐标为8，则，故点；（2）设点，，四边形为矩形，故，，，又，，，即，解得：，故点，点、都在反比例函数图象上，，解得：，故点，．20．（2022•香洲区校级一模）如图，，，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点恰好在反比例函数的图象上．（1）求值；（2）反比例函数的图象与线段是否存在交点？若存在，请求出交点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）反比例函数的图象与线段有且只有一个交点，该交点坐标为，【详解】（1）如图，过点作轴于点，则，，，，将线段绕点逆时针旋转得线段，，，，△，，，，，，；（2）设直线的解析式为，，，，解得：，直线的解析式为，将代入，得：，，解得：，，反比例函数的图象与线段有且只有一个交点，该交点坐标为，．21．（2022•香洲区校级一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交点的横坐标是4，点在第一象限内，过点作平行于轴的直线，交一次函数图象于点，过点作平行于轴的直线，交反比例函数的图象于点．（1）求的值；（2）当，时，能否为等腰三角形，若能出点坐标，若不能，请说明理由；（3）若，且，结合函数的图象，直接写出的取值范围．【答案】（1）；（2）见解析；（3）当或时，【详解】（1）一次函数与反比例函数的图象交点的横坐标是4，，，；（2）能为等腰三角形，理由如下：由（1）知反比例函数的解析式为：，，，点与点重合，轴，，由题意知，为等腰三角形，，，即，解得或2，经检验，或2都是原方程的解，当不符合，故舍去，；（3）如图，由题意，，，，当时，，解得或或或4，经检验，或4或或都是原方程的解，，或4，观察图象可知：当或时，．22．（2022•珠海一模）已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点（1）求这两个函数的表达式；（2）求的面积；（3）观察图象，①直接写出时自变量的取值范围；②直接写出方程的解．【答案】（1），；（2）3；（3）①或；②，【详解】（1）把点代入，得到，，把点代入得到，，把和点代入得到，解得，．（2）直线与轴交于点，．（3）①由图象可知成立时自变量的取值范围：或．②方程的解是，．23．（2022•香洲区校级一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和．（1）填空：一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；（2）请直接写出不等式的解集是；（3）点是线段上一点，过点作轴于点，连接，若的面积为，求的最大值和最小值．【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；（2）；（3）当或时，有最小值，且最小值是【详解】（1）将代入得：，解得，一次函数的解析式为，将代入得：，解得，反比例函数的解析式为；（2）将代入得：，解得，，由图可得，得解集为：；（3）点是线段上一点，设，，，，且，当时，有最大值，且最大值是2，当或时，有最小值，且最小值是．24．（2022•香洲区一模）如图，点在反比例函数（其中图象上，以点为圆心，长为半径画弧交轴正半轴于点，其中，．（1）求的值；（2）过点作交反比例函数的图象于点，连接交于点，求的值．【答案】（1）；（2）【详解】（1）作轴于，交于，，，，，；（2）点，在反比例函数（其中图象上，，，，，，，，，，又，，，，．25．（2022•香洲区校级一模）如图，双曲线与直线交于点、，与两坐标轴分别交于点、，已知点，连接、．（1）；（2）请直接写出当满足什么条件时，；（3）求的面积．【答案】（1）；（2）当或时，；（3）【详解】（1）双曲线过点，；故答案为：；（2）观察图象，当或时，；（3）双曲线过，，，，当时，，解得，即，，由点可得，，．26．（2022•香洲区校级一模）如图①，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，．将沿翻折，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上．（1）求反比例函数的表达式；（2）如图②，将沿轴向下平移得到△，设平移的距离为，平移过程中△与重叠部分的面积为．若点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，求的值及此时的值；（3）如图③，连接交于点，已知是反比例函数的图象上一点，在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点，的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）反比例函数表达式为；（2），；（3）见解析【详解】（1）四边形是菱形，，且点坐标，，点．点恰好落在反比例函数的图象上，，反比例函数表达式为；（2）将沿轴向下平移得到△，点的横坐标为，，，连接，并延长交于点，，，，，且将沿轴向下平移得到△，，，△，，；（3）四边形是菱形，，，点，点，若为边，则点在纵坐标为2或，或，点或，如图3，当时，四边形是平行四边形，，点，如图4，当时，四边形是平行四边形，与互相平分，点，点，若为对角线，四边形是平行四边形，与互相平分，中点坐标，，点纵坐标为2，点坐标为．点坐标为．综上所述：当点，点为或时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，当点，点时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．27．（2022•潮南区模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，，分别在轴、轴上，是矩形的对角线．将绕点逆时针旋转，使点落在轴上，得到，与相交于点，反比例函数的图象经过点，交于点．（1）填空：的值为；（2）连接，求证：；（3）在线段上找一点，使得是等腰三角形，请直接写出此时的长．【答案】（1）2；（2）见解析；（3）或或【详解】（1）解：四边形为矩形，点的坐标为，，，，是旋转得到的，即：，，，，，，点的坐标为，的图象经过点，，故答案为：2；（2）证明：点在上，点的横坐标为4，对于，当，得，点的坐标为，，，，，，，，，，，．（3）解：设点，而点，点，则，，，当时，，解得，或（舍去负值），当时，同理可得：；当时，同理可得：或（舍去）；综上，的长为或或．28．（2022•潮南区模拟）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，交于点，连接．（1）求的值和反比例函数的表达式；（2）观察图象，直接写出当时，不等式的解集；（3）当为何值时，的面积最大？最大值是多少？【答案】（1），反比例函数的解析式为；（2）；（3）时，的面积最大，最大值为【详解】（1）直线经过点，，，反比例函数经过点，，反比例函数的解析式为；（2）不等式的解集为；（3）由题意，点，的坐标为，，，，，，，时，的面积最大，最大值为．29．（2022•龙湖区一模）一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．（1）求一次函数的解析式；（2）将直线沿轴向下平移8个单位后得到直线，与两坐标轴分别相交于，，与反比例函数的图象相交于点，，求的值．【答案】（1）一次函数的解析式为：；（2）【详解】（1）反比例函数的图象过点，点，，，，，一次函数的图象过点，点，，解得：，一次函数的解析式为：；（2）直线沿轴向下平移8个单位后得到直线，直线的解析式为：，当时，，当时，，，，，，，联立，得：，解得：，，将，代入得：，，经检验：和都是原方程组的解，，，如图，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两条平行线交于点，则，，，，，．30．（2022•金平区一模）已知反比例的图象经过，两点．（1）求的值；（2）在轴上取点，使取得最大值，求点的坐标．【答案】（1）；（2）点的坐标为【详解】（1）反比例的图象经过，两点，，解得，．（2）如图，作点关于轴的对称点，作直线，交轴于点，连接，则，最大．设直线的解析式为，将，两点的坐标代入，得，解得，直线的解析式为，当时，，点的坐标为．31．（2022•佛山二模）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，的面积为3