专题02二次函数(满分突破卷)【满分王】(原卷版+解析)

专题02二次函数（满分突破卷）1．将抛物线y＝3x2向上平移4个单位，再向右平移2个单位，所得抛物线的函数解析式为．2．当m﹣2≤x≤m时，函数y＝x2﹣4x+4的最小值为4，则m的值为．3．已知二次函数y＝﹣（x﹣k）2+h，当x＞2时，y随x的增大而减小，则函数中k的取值范围是（）A．k≥2 B．k≤2 C．k＝2 D．k≤﹣24．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知点A的坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线交于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线交于点A4，…，依此规律进行下去，则点A2020的坐标为．5．（2022•莱芜区一模）将抛物线y＝﹣（x+1）2的图象位于直线y＝﹣4以下的部分向上翻折，得到如图所示的图象，若直线y＝x+m与图象只有四个交点，则m的取值范围是（）A．﹣1＜m＜1 B．1＜m＜ C．﹣1＜m＜ D．﹣1＜m＜6．如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，点P和点Q分别从点B和点C出发，沿射线BC向右运动，且速度相同，过点Q作QH⊥BD，垂足为H，连接PH，设点P运动的距离为x（0＜x≤2），△BPH的面积为S，则能反映S与x之间的函数关系的图象大致为（）A． B． C． D．7．（2022•日照一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b2＜4ac；③2c＜3b；④a+2b＞m（am+b）（m≠1）；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2，其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个8．“燃情冰雪，拼出未来”，北京冬奥会将于2022年2月4日如约而至．某商家已提前开始冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品的销售．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．（1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利2400元；（3）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？9．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝，D为斜边BC上的一点（D与B、C均不重合），连接AD，把△ABD绕点A按逆时针旋转后得到△ACE，连接DE，设BD＝x．（1）求证∠DCE＝90°；（2）当△DCE的面积为1.5时，求x的值；（3）试问：△DCE的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值，并指出此时x的取值；若不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．11．如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+m﹣2的顶点为A，且经过点B（3，﹣3）．（1）求顶点A的坐标；（2）在对称轴左侧的抛物线上存在一点P，使得∠PAB＝45°，求点P坐标；（3）如图（2），将原抛物线沿射线OA方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线OA交于C，D两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段CD的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．12．如图，直线y＝x﹣3与坐标轴交于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，与直线y＝x﹣3交于点E（8，5），且与x轴交于C，D两点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上有一点M，当∠MBE＝75°时，求点M的横坐标；（3）点P在抛物线上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．13．直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）交于点B，如图所示．（1）求该抛物线的解析式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，四边形OAMB的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；（3）若点D在平面内，点C在直线AB上，平面内是否存在点D使得以O，B，C，D为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．专题02二次函数（满分突破卷）1．将抛物线y＝3x2向上平移4个单位，再向右平移2个单位，所得抛物线的函数解析式为．【答案】y＝3（x﹣2）2+4．【解答】解：将抛物线y＝3x2向上平移4个单位，再向右平移2个单位，所得抛物线的函数解析式为y＝3（x﹣2）2+4，故答案是：y＝3（x﹣2）2+4．2．当m﹣2≤x≤m时，函数y＝x2﹣4x+4的最小值为4，则m的值为．【答案】：0或6．【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，∴该函数的对称轴是直线x＝2，∵当m﹣2≤x≤m时，函数y＝x2﹣4x+4的最小值为4，且x＝0和x＝4时，y＝4，①当m≤0，得m＝0时，当m﹣2≤x≤m时，函数y＝x2﹣4x+4的最小值为4；②当m﹣2≥4，得m＝6时，当m﹣2≤x≤m时，函数y＝x2﹣4x+4的最小值为4；由上可得，m的值是0或6，故答案为：0或6．3．已知二次函数y＝﹣（x﹣k）2+h，当x＞2时，y随x的增大而减小，则函数中k的取值范围是（）A．k≥2 B．k≤2 C．k＝2 D．k≤﹣2【答案】B【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝k，因为a＝﹣1＜0，所以抛物线开口向下，所以当x＞k时，y的值随x值的增大而减小，而x＞2时，y的值随x值的增大而减小，所以k≤2．故选：B．4．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知点A的坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线交于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线交于点A4，…，依此规律进行下去，则点A2020的坐标为．【解答】解：∵A点坐标为（1，1），∴直线OA为y＝x，A1（﹣1，1），∵A1A2∥OA，∴直线A1A2为y＝x+2，解得或，∴A2（2，4），∴A3（﹣2，4），∵A3A4∥OA，∴直线A3A4为y＝x+6，解得或，∴A4（3，9），∴A5（﹣3，9）…，∴A2020（1011，10112），故答案为（1011，10112）．5．（2022•莱芜区一模）将抛物线y＝﹣（x+1）2的图象位于直线y＝﹣4以下的部分向上翻折，得到如图所示的图象，若直线y＝x+m与图象只有四个交点，则m的取值范围是（）A．﹣1＜m＜1 B．1＜m＜ C．﹣1＜m＜ D．﹣1＜m＜【答案】C【解答】解：令y＝﹣4，则﹣4＝﹣（x+1）2，解得x＝﹣3或1，∴A（﹣3，﹣4），平移直线y＝x+m知：直线位于l1和l2时，它与新图象有三个不同的公共点．①当直线位于l1时，此时l1过点A（﹣3，﹣4），∴﹣4＝﹣3+m，即m＝﹣1．②当直线位于l2时，此时l2与函数y＝﹣（x+1）2的图象有一个公共点，∴方程x+m＝﹣x2﹣2x﹣1，即x2+3x+1+m＝0有两个相等实根，∴△＝9﹣4（1+m）＝0，即m＝．由①②知若直线y＝﹣x+m与新图象只有四个交点，m的取值范围为﹣1＜m＜．故选：C．6．如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，点P和点Q分别从点B和点C出发，沿射线BC向右运动，且速度相同，过点Q作QH⊥BD，垂足为H，连接PH，设点P运动的距离为x（0＜x≤2），△BPH的面积为S，则能反映S与x之间的函数关系的图象大致为（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，∴∠DBC＝60°，∵BQ＝2+x，QH⊥BD，∴BH＝BQ＝1+x，过H作HG⊥BC，∴HG＝BH＝+x，∴S＝PB•GH＝x2+x，（0＜x≤2），故选：A．7．（2022•日照一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b2＜4ac；③2c＜3b；④a+2b＞m（am+b）（m≠1）；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2，其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，①错误．∵抛物线与x轴有2个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，②错误．∵x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∵b＝﹣2a，∴a＝﹣，∴﹣b+c＜0，∴2c＜3b，③正确．∵x＝1时，y＝a+b+c为函数最大值，∴a+b+c＞m（am+b）+c（m≠1），∴a+b＞m（am+b）（m≠1），∵b＞0，∴a+2b＞a+b＞m（am+b）（m≠1），④正确．方程|ax2+bx+c|＝1的四个根分别为ax2+bx+c＝1和ax2+bx+c＝﹣1的根，∵抛物线y＝ax2+bx+c关于直线x＝1对称，∴抛物线与直线y＝1的交点的横坐标为之和为2，抛物线与直线y＝﹣1的交点横坐标为之和为2，∴方程|ax2+bx+c|＝1的四个根的和为4，⑤错误．故选：A8．“燃情冰雪，拼出未来”，北京冬奥会将于2022年2月4日如约而至．某商家已提前开始冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品的销售．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．（1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利2400元；（3）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？【解答】解：（1）根据题意得：y＝300﹣10（x﹣44）＝﹣10x+740，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+740（44≤x≤52）；（2）根据题意得：（﹣10x+740）（x﹣40）＝2400，整理得：x2﹣114x+3200＝0，解得：x1＝50，x2＝64，∵44≤x≤52，∴x＝50，∴当每个纪念品的销售单价是50元时，商家每天获利2400元；（3）根据题意得：w＝（﹣10x+740）（x﹣40）＝﹣10x2+1140x﹣29600＝﹣10（x﹣57）2+2890，∵﹣10＜0，∴当x＜57时，w随x的增大而增大，∵44≤x≤52，∴当x＝52时，w有最大值，最大值为2640，∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2640元．9．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝，D为斜边BC上的一点（D与B、C均不重合），连接AD，把△ABD绕点A按逆时针旋转后得到△ACE，连接DE，设BD＝x．（1）求证∠DCE＝90°；（2）当△DCE的面积为1.5时，求x的值；（3）试问：△DCE的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值，并指出此时x的取值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵△ABD绕点A按逆时针旋转后得到△ACE，∴△ACE≌△ABD，∴∠ABD＝∠ACE，（2分）又∵△ABC是等腰直角三角形，且BC为斜边，∴∠ABD+∠ACD＝90°，（3分）∴∠ACE+∠ACD＝90°，即：∠DCE＝90°；（5分）（2）∵AC＝AB＝，∴BC2＝AC2+AB2＝，∴BC＝4．（6分）∵△ACE≌△ABD，∠DCE＝90°，∴CE＝BD＝x，而BC＝4，∴DC＝4﹣x，∴Rt△DCE的面积为：DC•CE＝（4﹣x）x．∴（4﹣x）x＝1.5，（8分）即x2﹣4x+3＝0．解得x＝1或x＝3．（10分）（3）△DCE存在最大值．（11分）理由如下：设△DCE的面积为y，于是得y与x的函数关系式为：y＝（4﹣x）x（0＜x＜4），（12分）＝﹣（x﹣2）2+2，∵a＝﹣＜0，∴当x＝2时，函数y有最大值2．（13分）又∵x满足关系式0＜x＜4，故当x＝2时，△DCE的最大面积为2．（14分）10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，把A、B、C三点坐标代入可得，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣4；（2）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，∴PO＝PC，此时P点即为满足条件的点，∵C（0，﹣4），∴D（0，﹣2），∴P点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可得x2﹣3x﹣4＝﹣2，解得x＝（小于0，舍去）或x＝，∴存在满足条件的P点，其坐标为（，﹣2）；（3）∵点P在抛物线上，∴可设P（t，t2﹣3t﹣4），过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图2，∵B（4，0），C（0，﹣4），∴直线BC解析式为y＝x﹣4，∴F（t，t﹣4），∴PF＝（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）＝﹣t2+4t，∴S△PBC＝S△PFC+S△PFB＝PF•OE+PF•BE＝PF•（OE+BE）＝PF•OB＝（﹣t2+4t）×4＝﹣2（t﹣2）2+8，∴当t＝2时，S△PBC最大值为8，此时t2﹣3t﹣4＝﹣6，∴当P点坐标为（2，﹣6）时，△PBC的最大面积为8．11．如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+m﹣2的顶点为A，且经过点B（3，﹣3）．（1）求顶点A的坐标；（2）在对称轴左侧的抛物线上存在一点P，使得∠PAB＝45°，求点P坐标；（3）如图（2），将原抛物线沿射线OA方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线OA交于C，D两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段CD的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）依题意﹣32+3m+m﹣2＝﹣3∴m＝2，∴y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1∴顶点A（1，1）；（2）过B作BQ⊥BA交AP于Q，过B作GH∥y轴分别过A，Q作AG⊥GH于G，QH⊥GH于H，∠AGB＝∠ABQ＝∠BHQ＝90°，∴∠ABG＝∠BQH．∵∠PAB＝45°，∴BA＝BQ．在△ABG和△BQH中，，∴△ABG≌△BQH（AAS），∴AG＝BH＝3﹣1＝2，BG＝QH＝1﹣（﹣3）＝4∴Q（﹣1，﹣5）∴直线AP的解析式为y＝3x﹣2联立抛物线与AP，得∴﹣x2+2x＝3x﹣2∴x1＝1（不符合题意的解要舍去），x2＝﹣2∴P（﹣2，﹣8）；（3）在抛物线平移的过程中，线段CD的长度是为定值，∵直线OA的解析式为y＝x，∴可设新抛物线解析式为y＝﹣（x﹣a）2+a联立抛物线与OA，，∴﹣（x﹣a）2+a＝x，∴x1＝a，x2＝a﹣1，x1﹣x2＝1；y1＝x1＝a，y2＝x2＝a﹣1，y1﹣y2＝1；即C，D两点横坐标的差是常数1，C，D两点纵坐标的差是常数1，∴CD＝＝＝＝，∴在抛物线平移的过程中，线段CD的长度是定值．12．如图，直线y＝x﹣3与坐标轴交于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，与直线y＝x﹣3交于点E（8，5），且与x轴交于C，D两点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上有一点M，当∠MBE＝75°时，求点M的横坐标；（3）点P在抛物线上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）直线y＝x﹣3与坐标轴交于A、B两点，则A（3，0）B（0，﹣3），把B、E点坐标代入二次函数方程，解得：抛物线的解析式y＝x2﹣x﹣3…①，则：C（6，0）；（2）符合条件的有M和M′，如下图所示，当∠MBE＝75°时，∵OA＝OB，∴∠MBO＝30°，此时符合条件的M只有如图所示的一个点，MB直线的k为﹣，所在的直线方程为：y＝﹣x﹣3…②，联立方程①、②可求得：x＝4﹣4，即：点M的横坐标4﹣4；当∠M′BE＝75°时，∠OBM′＝120°，直线M′B的k值为﹣，其方程为y＝﹣x﹣3，将M′B所在的方程与抛物线表达式联立，解得：x＝，故：即：点M的横坐标4﹣4或．（3）存在．①当BC为矩形对角线时，矩形BP′CQ′所在的位置如图所示，设：P′（m，n），n＝m2﹣m﹣3…③，P′C所在直线的k1＝，P′B所在的直线k2＝，则：k1•k2＝﹣1…④，③、④联立得：＝0，解得：m＝0或6，这两个点分别和点B、C重合，与题意不符，故：这种情况不存在，舍去．②当BC为矩形一边时，情况一：矩形BCQP所在的位置如图所示，直线BC所在的方程为：y＝x﹣3，则：直线BP的k为﹣2，所在的方程为y＝﹣2x﹣3…⑤，联立①⑤解得点P（﹣4，5），则Q（2，8），情况二：矩形BCP″Q″所在的位置如