专题10一次函数的应用三种考法全攻略(原卷版+解析)

专题10一次函数的应用三种考法全攻略类型一、分配方案问题例．某公司计划组织员工去旅游，参加人数在10至30人之间．甲、乙两家旅行社为了吸引更多的顾客，分别提出了各自的优惠方案．甲旅行社的优惠方案是：买3张全票，其余人按半价收费；乙旅行社的优惠方案是：一律按6折收费．已知甲、乙两家旅行社的原价均为每人80元．(1)分别表示出甲旅行社收费，乙旅行社与旅游人数的函数关系式；(2)当参加的人数为12人时，应该选择哪家旅行社比较合算？(3)若公司计划用1200元作为旅游经费，为了使更多的员工参加，应该选择哪家旅行社？【变式训练1】文德中学为了缓解学生用餐拥挤，计划购进某种餐桌、餐椅，这是某商场给出的报价表：零售价（元/张）成套售价（元/套）餐桌450餐椅已知用720元购进的餐桌数量与用320元购进的餐椅数量相同．(1)求每张餐桌和餐椅的零售价．(2)采购人员计划购进餐椅的数量是餐桌数量的6倍还多10张，且餐桌和餐椅的总数量不少于220张．如果成套购买可享受该商场的成套售价（一张餐桌和四张餐椅配成一套）．采购人员决定先成套购买，其余餐椅以零售价购入．设购进餐桌的数量为（张），总价为（元），求关于的函数关系式，并求出总价最低时的进货方案．【变式训练2】根据以下素材，探索完成任务

如何运输最省?素材一为做到“动态清零”，市卫生防疫部门需运输一批疫苗到某县，现有冷链车A和B型两种运输车，其中型冷链运输车一次可运输200盒疫苗，型冷链运输车一次可运输150盒疫苗．素材二型冷链运输车一次需费用元，型冷链运输车一次需费用元．问题解决任务1若某县需要1500盒疫苗，市卫生防疫部门只安排型冷链运输车，则至少需型冷链运输车多少辆？任务2市卫生防疫部门用上述两种冷冻车共12辆运输这批疫苗若运输疫苗不少于2100盒，且总费用小于元请你列出所有的运输方案．任务3在任务2的条件下，由于A型和B型两种运输车，运输时走不同高速路线，A型需a元过路费，B型元过路费，求如何安排两种车型运输的过路费总和最少？【变式训练3】某市火车货运站现有苹果1530吨，梨1150吨，安排一列货车将这批苹果和梨运往深圳市．这列货车可以挂A、B两种不同规格的货箱50节，已知用一节A型货箱的运费是0.5万元，用一节B型货箱的运费是0.8万元．(1)设运输这批苹果和梨的总运费为y万元，用A型货箱的节数为x节，试写出y与x的函数关系式；(2)已知苹果35吨和梨15吨可装满一节A型车厢，苹果25吨和梨35吨可装满一节B型车厢，按此要求安排A、B两种货箱的节数，有哪几种运输方案，请你设计出来；(3)哪种方案的总运费最小？最少运费是多少？【变式训练4】咸阳是中国农业文明的发祥地，果业作为全市的支柱产业，近些年，咸阳市的果业规模迅速扩大，果品质量逐年提升，果业效益显著提升，已成为陕西第一果业大市．一家果业加工厂承担出口某种水果的加工任务，有一批水果需要装入某一规格的礼盒，而这种礼盒的来源有两种方案可供选择：方案一：从礼盒加工厂订购，购买礼盒所需费用为（元）；方案二：由该果业加工厂租赁机器，自己加工制作这种礼盒，所需费用（包括租赁机器的费用和生产礼盒的费用）为（元）．其中（元）、（元）与礼盒数（个）满足如图所示的函数关系，根据图象解答下列问题：(1)请分别求出、与之间的函数关系式；(2)若该果业加工厂需要这种礼盒2000个，你认为选择哪种方案更省钱？并说明理由；(3)当该果业加工厂需要这种礼盒多少个时，选择两种方案所需的费用相同？类型二、最大利润问题例．为了迎接兔年的到来，广大市民纷纷开始购买兔年装饰物，某网店上架了“玉兔灯笼”和“玉兔摆件”这两款产品，已知10个“玉兔灯笼”和15个“玉兔摆件”的售价为2400元；30个“玉兔灯笼”和20个“玉兔摆件”的售价为5200元．(1)每个“玉兔灯笼”和“玉兔摆件”的售价分别为多少元？(2)已知“玉兔灯笼”和“玉兔摆件”的成本分别为80元/个和50元/个．进入2023年一月后，这两款产品持续热销，于是网店再购进了这两款产品共600个，其中“玉兔摆件”的数量不超过“玉兔灯笼”数量的2倍，且购进总价不超过37800元．为回馈新老客户，网店决定对“玉兔灯笼”降价10%后再销售，若一月份购进的这两款产品全部售出，则“玉兔灯笼”购进多少个时该网店当月销售利润最大？最大利润为多少？【变式训练1】6月13日是“文化和自然遗产日”，某商店为了抓住此次活动的商机，决定购买一些纪念品进行销售，若购进A种纪念品20件，B种纪念品10件，需要2000元；若购进A种纪念品8件，B种纪念品6件，需要1100元．(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？(2)若每件A种纪念品的售价为60元，每件B种纪念品的售价为180元．考虑到市场需求，商店决定购进这两种纪念品共300件，要求购进B种纪念品的数量不少于30件，设购进B种纪念品m件，总利润为w元，请写出总利润w（元）与m（件）的函数关系式，并根据函数关系式说明利润最高时的进货方案．【变式训练2】服装店经销甲种品牌的服装，受市场影响，现在每件降价50元销售，如果卖相同件数的服装，原价的销售额为9000元，现价销售额为8000元．(1)销售甲种品牌服装现价每件为多少元？(2)服装店决定增加经销乙种品牌的服装，已知甲种品牌服装每件进价为350元，乙种品牌服装每件进价为300元，服装店用不多于6600元且不少于6400元的资金购进这两种品牌的服装共20件．①问有几种进货方案？②乙种品牌的服装每件售价为370元，服装店决定每售出1件乙种品牌服装，返还顾客元，要使①所有方案获利相同，求的值．【变式训练3】某商店欲购进甲、乙两种商品，已知甲的进价是乙的进价的一半，进3件甲商品和1件乙商品恰好用200元．甲、乙两种商品的售价每件分别为80元、130元，该商店决定用不少于6710且不超过6810元购进这两种商品共100件．(1)甲、乙两种商品的进价各是多少？(2)设其中甲商品的进货件数为件，商店有几种进货方案？(3)设销售两种商品的总利润为元，试写出利润与的函数关系式，并利用函数的性质说明哪一种进货方案可获得最大利润，并求出最大利润是多少？【变式训练4】某商场代销甲、乙两种商品，其中甲种商品进价为120元/件，售价为130元/件，乙种商品进价为100元/件，售价为150元/件．(1)若商场用39000元购进这两种商品若干，销售完后可获利润9500元，则该商场购进甲、乙两种商品各多少件？(2)现商场需购进这两种商品共200件，设购进甲种商品件，两种商品销售完后可获总利润为元，如果购进甲种商品的数量至少100件，求销售完这批商品获得的最大利润．类型三、几何问题例．A、B两地相距260km，甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了h，甲车休息前后速度一样，如图是甲、乙两车行驶的路程与甲车的行驶时间的函数图象．(1)直接写出和的值；(2)甲车从A地到B地共用多少小时？(3)乙车出发后，当两车相距50km时，乙车行驶了多长的时间？【变式训练1】如图中的图像（折线）描述了一汽车在某一直线的行驶过程中，汽车离出发地的距离（千米）和行驶时间（小时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，填空：(1)汽车共行驶了___________千米；(2)汽车在行驶途中停留了___________小时；(3)汽车自出发后4点到小时之间行驶的速度是___________千米/小时；求出此时汽车离出发地的距离（千米）和行驶时间（小时）之间的函数关系式（写出解题过程）【变式训练2】如图1，是一段遥控车直线双车道跑道．甲、乙两遥控车分别从A，B两处同时出发，沿轨道向C匀速行驶，7秒后甲车先到达C点．设两车行驶时间为（秒），两车之间的距离为（米），则与的关系如图2所示，根据图象解决下列问题：(1)甲车经过______秒追上乙车，______．(2)设相遇前两车之间的距离为，直接写出与的函数关系式：______；设相遇后两车之间的距离为，直接写出与的函数关系式：______．(3)两遥控车出发后多长时间，它们之间的距离为4米?【变式训练3】共享电动车是一种新理念下的交通工具：主要面向的出行市场，现有A、B两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中A品牌收费方式对应，B品牌的收费方式对应．(1)B品牌10分钟后，每分钟收费元；(2)写出B品牌的函数关系式；(3)如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢？(4)直接写出两种收费相差2元时x的值是．专题10一次函数的应用三种考法全攻略类型一、分配方案问题例．某公司计划组织员工去旅游，参加人数在10至30人之间．甲、乙两家旅行社为了吸引更多的顾客，分别提出了各自的优惠方案．甲旅行社的优惠方案是：买3张全票，其余人按半价收费；乙旅行社的优惠方案是：一律按6折收费．已知甲、乙两家旅行社的原价均为每人80元．(1)分别表示出甲旅行社收费，乙旅行社与旅游人数的函数关系式；(2)当参加的人数为12人时，应该选择哪家旅行社比较合算？(3)若公司计划用1200元作为旅游经费，为了使更多的员工参加，应该选择哪家旅行社？【答案】(1)，(2)选择乙旅行社比较合算(3)为了使更多的员工参加，应该选择甲旅行社【详解】（1）解：由题意，得：；；（2）解：当时，，，∴；故选择乙旅行社比较合算．（3）解：当时：，解得：；当时：，解得：；∵，∴为了使更多的员工参加，应该选择甲旅行社．【变式训练1】文德中学为了缓解学生用餐拥挤，计划购进某种餐桌、餐椅，这是某商场给出的报价表：零售价（元/张）成套售价（元/套）餐桌450餐椅已知用720元购进的餐桌数量与用320元购进的餐椅数量相同．(1)求每张餐桌和餐椅的零售价．(2)采购人员计划购进餐椅的数量是餐桌数量的6倍还多10张，且餐桌和餐椅的总数量不少于220张．如果成套购买可享受该商场的成套售价（一张餐桌和四张餐椅配成一套）．采购人员决定先成套购买，其余餐椅以零售价购入．设购进餐桌的数量为（张），总价为（元），求关于的函数关系式，并求出总价最低时的进货方案．【答案】(1)每张餐桌和餐椅的零售价分别为180元、80元(2)当进货餐桌30张，桌椅190张时，总价最低【详解】（1）解：由题意得，解得，经检验，是原方程的解，∴，∴每张餐桌和餐椅的零售价分别为180元、80元；（2）解：由题意得，∵餐桌和餐椅的总数量不少于220张，∴，∴，∵，∴当时，W最小，最小为19100元，∴，，符合题意，∴当进货餐桌30张，桌椅190张时，总价最低．【变式训练2】根据以下素材，探索完成任务

如何运输最省?素材一为做到“动态清零”，市卫生防疫部门需运输一批疫苗到某县，现有冷链车A和B型两种运输车，其中型冷链运输车一次可运输200盒疫苗，型冷链运输车一次可运输150盒疫苗．素材二型冷链运输车一次需费用元，型冷链运输车一次需费用元．问题解决任务1若某县需要1500盒疫苗，市卫生防疫部门只安排型冷链运输车，则至少需型冷链运输车多少辆？任务2市卫生防疫部门用上述两种冷冻车共12辆运输这批疫苗若运输疫苗不少于2100盒，且总费用小于元请你列出所有的运输方案．任务3在任务2的条件下，由于A型和B型两种运输车，运输时走不同高速路线，A型需a元过路费，B型元过路费，求如何安排两种车型运输的过路费总和最少？【答案】任务1：至少需要A型冷链运输车8辆；任务2：方案一：A型冷链运输车6辆，B型冷链运输车6辆；方案二：A型冷链运输车7辆，B型冷链运输车5辆；方案三：A型冷链运输车8辆，B型冷链运输车4辆；任务3：当a=50时三种方案一样；当时，方案三最少；当时，方案一最少【详解】任务1：设需A型冷链运输车m辆，根据题意得，解得，∵m是整数，∴至少需A型冷链运输车8辆；任务2：设用A型冷链运输车x辆，则B型冷链运输车辆，根据题意得：，解得，∵x是整数，∴x可取6，7，8，∴运输方案有3种：方案一：用A型冷链运输车6辆，B型冷链运输车6辆，方案二：用A型冷链运输车7辆，B型冷链运输车5辆，方案三：用A型冷链运输车8辆，B型冷链运输车4辆；任务3：设过路费总和为y元，，当时,，三种方案一样；当，即时，y随x的增大而增大，∴时，y取最小值，最小值为（元），即安排A型冷链运输车6辆，B型冷链运输车6辆，过路费总和最少；当，即时，y随x的增大而减小，∴时，y取最小值，最小值为元，即安排A型冷链运输车8辆，B型冷链运输车4辆，过路费总和最少；答：当a=50时三种方案一样；当时，方案三最少；当时，方案一最少．【变式训练3】某市火车货运站现有苹果1530吨，梨1150吨，安排一列货车将这批苹果和梨运往深圳市．这列货车可以挂A、B两种不同规格的货箱50节，已知用一节A型货箱的运费是0.5万元，用一节B型货箱的运费是0.8万元．(1)设运输这批苹果和梨的总运费为y万元，用A型货箱的节数为x节，试写出y与x的函数关系式；(2)已知苹果35吨和梨15吨可装满一节A型车厢，苹果25吨和梨35吨可装满一节B型车厢，按此要求安排A、B两种货箱的节数，有哪几种运输方案，请你设计出来；(3)哪种方案的总运费最小？最少运费是多少？【答案】(1)(2)有三种方案，详见解析(3)方案三的总运费最少，最少运费为万元【详解】（1）解：设用型货箱节，则用型货箱节，根据题意，可得：，即；（2）解：根据题意，可得，解得：，∵为整数，∴的取值为，，，∴运送方案有三种：方案一：型货厢节，型货厢节；方案二：型货厢节，型货厢节；方案三：型货厢节，型货厢节；（3）解：在中，∵，∴随的增大而减小，∴

当时，总运费最少，即方案三的总运费最少，此时总运费（万元）．【变式训练4】咸阳是中国农业文明的发祥地，果业作为全市的支柱产业，近些年，咸阳市的果业规模迅速扩大，果品质量逐年提升，果业效益显著提升，已成为陕西第一果业大市．一家果业加工厂承担出口某种水果的加工任务，有一批水果需要装入某一规格的礼盒，而这种礼盒的来源有两种方案可供选择：方案一：从礼盒加工厂订购，购买礼盒所需费用为（元）；方案二：由该果业加工厂租赁机器，自己加工制作这种礼盒，所需费用（包括租赁机器的费用和生产礼盒的费用）为（元）．其中（元）、（元）与礼盒数（个）满足如图所示的函数关系，根据图象解答下列问题：(1)请分别求出、与之间的函数关系式；(2)若该果业加工厂需要这种礼盒2000个，你认为选择哪种方案更省钱？并说明理由；(3)当该果业加工厂需要这种礼盒多少个时，选择两种方案所需的费用相同？【答案】(1)；(2)该果业加工厂需要这种礼盒2000个，选择方案二更省钱，理由见解析(3)当该果业加工厂需要这种礼盒1250个时，选择两种方案所需的费用相同【详解】（1）解：设．将点代入，得解得，所以；

设．因为图象经过点，所以，即．由图象知函数经过点，将点代入，得，解得，所以．（2）当时，，

，

因为，所以若该果业加工厂需要这种礼盒2000个，选择方案二更省钱．（3）令，则解得．即当该果业加工厂需要这种礼盒1250个时，选择两种方案所需的费用相同．类型二、最大利润问题例．为了迎接兔年的到来，广大市民纷纷开始购买兔年装饰物，某网店上架了“玉兔灯笼”和“玉兔摆件”这两款产品，已知10个“玉兔灯笼”和15个“玉兔摆件”的售价为2400元；30个“玉兔灯笼”和20个“玉兔摆件”的售价为5200元．(1)每个“玉兔灯笼”和“玉兔摆件”的售价分别为多少元？(2)已知“玉兔灯笼”和“玉兔摆件”的成本分别为80元/个和50元/个．进入2023年一月后，这两款产品持续热销，于是网店再购进了这两款产品共600个，其中“玉兔摆件”的数量不超过“玉兔灯笼”数量的2倍，且购进总价不超过37800元．为回馈新老客户，网店决定对“玉兔灯笼”降价10%后再销售，若一月份购进的这两款产品全部售出，则“玉兔灯笼”购进多少个时该网店当月销售利润最大？最大利润为多少？【答案】(1)每个“玉兔灯笼”的售价为元，每个“玉兔摆件”的售价为元．(2)“玉兔灯笼”购进个，所获得的利润最大，最大利润为元．【详解】（1）解：设每个“玉兔灯笼”的售价为元，每个“玉兔摆件”的售价为元，则，解得：，答：每个“玉兔灯笼”的售价为元，每个“玉兔摆件”的售价为元．（2）设当月销售利润为元，“玉兔灯笼”购进个，则“玉兔摆件”购进个，∴，又∵，解得：，∵，∴随的增大而减小，∴当时，取得最大值，此时；∴“玉兔灯笼”购进个，所获得的利润最大，最大利润为元．【变式训练1】6月13日是“文化和自然遗产日”，某商店为了抓住此次活动的商机，决定购买一些纪念品进行销售，若购进A种纪念品20件，B种纪念品10件，需要2000元；若购进A种纪念品8件，B种纪念品6件，需要1100元．(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？(2)若每件A种纪念品的售价为60元，每件B种纪念品的售价为180元．考虑到市场需求，商店决定购进这两种纪念品共300件，要求购进B种纪念品的数量不少于30件，设购进B种纪念品m件，总利润为w元，请写出总利润w（元）与m（件）的函数关系式，并根据函数关系式说明利润最高时的进货方案．【答案】(1)A种纪念品每件价格为25元，B种纪念币每件价格为150元(2)购进A种纪念品270件，购进B种纪念品30件时利润最高，利润最高为10350元【详解】（1）解：设购进A种纪念品每件价格为x元，B种纪念币每件价格为y元，根据题意，得，解得，答：A种纪念品每件价格为25元，B种纪念币每件价格为150元；（2）解：根据题意，得，解得，，∵，∴w随m的增大而减小，∴当时，w有最大值：，（件），故购进A种纪念品270件，购进B种纪念品30件时利润最高，利润最高为10350元．【变式训练2】服装店经销甲种品牌的服装，受市场影响，现在每件降价50元销售，如果卖相同件数的服装，原价的销售额为9000元，现价销售额为8000元．(1)销售甲种品牌服装现价每件为多少元？(2)服装店决定增加经销乙种品牌的服装，已知甲种品牌服装每件进价为350元，乙种品牌服装每件进价为300元，服装店用不多于6600元且不少于6400元的资金购进这两种品牌的服装共20件．①问有几种进货方案？②乙种品牌的服装每件售价为370元，服装店决定每售出1件乙种品牌服装，返还顾客元，要使①所有方案获利相同，求的值．【答案】(1)400元；(2)①5种；②20【详解】（1）设销售甲种品牌服装现价每件为元，依题意得解得：检验：当时，，所以，原分式方程的解为答：销售甲种品牌服装现价每件为400元；（2）①设购甲种品牌服装件，则乙种品种服装件解得：，∵为正整数，∴8，9，10，11，12，共有5种进货方案，答：共有5种进货方案．②设总获利为元，∵要使①中所有方案获利相同，∴的结果与无关，∴，∴．答：的值为20．【变式训练3】某商店欲购进甲、乙两种商品，已知甲的进价是乙的进价的一半，进3件甲商品和1件乙商品恰好用200元．甲、乙两种商品的售价每件分别为80元、130元，该商店决定用不少于6710且不超过6810元购进这两种商品共100件．(1)甲、乙两种商品的进价各是多少？(2)设其中甲商品的进货件数为件，商店有几种进货方案？(3)设销售两种商品的总利润为元，试写出利润与的函数关系式，并利用函数的性质说明哪一种进货方案可获得最大利润，并求出最大利润是多少？【答案】(1)进价为40元，乙商品的进价为80元(2)有三种进货方案：方案1，甲种商品30件，乙商品70件；方案2，甲种商品31件，乙商品69件；方案3，甲种商品32件，乙商品68件(3)时，最大，此时【详解】（1）解：设甲商品的进价为元，乙商品的进价为元，由题意得，，解得，答：商品的进价为40元，乙商品的进价为80元；（2）解：设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，由题意得，，解得：，为整数，，有三种进货方案：方案1，甲种商品30件，乙商品70件；方案2，甲种商品31件，乙商品69件；方案3，甲种商品32件，乙商品68件；（3）解：设利润为元，由题意得，，，随的增大而减小，时，最大，此时．【变式训练4】某商场代销甲、乙两种商品，其中甲种商品进价为120元/件，售价为130元/件，乙种商品进价为100元/件，售价为150元/件．(1)若商场用39000元购进这两种商品若干，销售完后可获利润9500元，则该商场购进甲、乙两种商品各多少件？(2)现商场需购进这两种商品共200件，设购进甲种商品件，两种商品销售完后可获总利润为元，如果购进甲种商品的数量至少100件，求销售完这批商品获得的最大利润．【答案】(1)甲种商品200件，乙种商品150件(2)6000元【详解】（1）解：设购进甲种商品件，乙种商品件，由题意，得，解得：，答：该商场购进甲种商品200件，乙种商品150件．（2）已知购进甲种商品件，则购进乙种商品件，根据题意，得，，随的增大而减小．当购进甲种商品的件数为100件时利润最大，最大利润元．类型三、几何问题例．A、B两地相距260km，甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了h，甲车休息前后速度一样，如图是甲、乙两车行驶的路程与甲车的行驶时间的函数图象．(1)直接写出和的值；(2)甲车从A地到B地共用多少小时？(3)乙车出发后，当两车相距50km时，乙车行驶了多长的时间？【答案】(1)，(2)7小时(3)小时或小时【详解】（1）解：由题意，得．，．∴，；（2）当时，设与之间的函数关系式为，由题意，得，解得：，，当时，甲车与之间的函数关系式为，当时，，解得：，甲车共行驶时间是7小时；（3）设乙车行驶的路程与时间之间的解析式为，由题意，得，解得：，．当时，解得：．当时，解得：，，，答：乙车行驶小时或小时，两车恰好相距．【变式训练1】如图中的图像（折线）描述了一汽车在某一直线的行驶过程中，汽车离出发地的距离（千米）和行驶时间（小时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，填空：(1)汽车共行驶了___________千米；(2)汽车在行驶途中停留了___________小时；(3)汽车自出发后4点到小时之间行驶的速度是___________千米/小时；求出此时汽车离出发地的距离（千米）和行驶时间（小时）之间的函数关系式（写出解题过程）【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）解：由，可得：汽车共行驶了（千米）；（2）由，可得：汽车在行驶途中停留了（小时）；（3）由，可得：行驶速度为每小时：（