第六章实数提优测试卷(原卷版+解析)

第六章实数提优测试卷（原卷版）一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列各数：3.141592，3，0.16，﹣π，2.010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1），5，13，8A．5 B．6 C．3 D．42．48的算术平方根在（）A．5与6之间 B．6与7之间 C．4与5之间 D．7与8之间3．81的平方根是（）A．9 B．±9 C．3 D．±34．已知x是整数，当|x﹣52|取最小值时，x的值是（）A．6 B．7 C．8 D．95．将一组数2，2，6，8，10，…，2，2，6，8，10，12，14，4，18，若2的位置记为（1，2），23的位置记为（2，1），则38这个数的位置记为（）A．（5，4） B．（4，4） C．（4，5） D．（3，5）6．若33y−1和31−2x互为相反数，求x：A．2：3 B．3：2 C．2：5 D．5：27．如图，数轴上A、B两点表示的数分别2和5.3，则A、B两点之间表示的整数的点共有（）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个8．若a=37，b=5，c＝2，则a，bA．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c9．若m2＝16，则3m−4A．0 B．﹣2 C．0或﹣2 D．0或210．已知min{x，x2，x}表示取三个数中最小的那个数，例如：当x＝9，min{x，x2，x}＝min{9，92，9}＝3．当min{x，x2，x}=116时，则A．116 B．18 C．14二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．）11．若两个连续整数x、y满足x＜5+1＜y，则x+y的值是12．如果y=x2−4+4−x213．比较大小：3−1314．数轴上从左到右依次有A、B、C三点表示的数分别为a、b、10，其中b为整数，且满足a+3+|b−2|=b−2，则b﹣a＝15．用“*”定义新运算：对于任意实数a、b，都有a*b＝2a2+b，如3*4＝2×32+4＝22，那么3*2＝．16．已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为2，f的算术平方根是8，求12ab+c+d5+e217．请你写出两个无理数，使其和为5，这两个无理数可以是．18．已知一个x平方根是a+3和3a﹣15，则这个正数x＝．三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．计算：（15分）（1）−12×3−820．计算．（10分）（1）已知（x﹣2）2＝16，求x的值．（2）已知3（x+1）3＝81，求x的值．21．（8分）设3−2的整数部分为a，3+2小数部分为b，求﹣16ab﹣8b

22．（12分）（1）一个数y的平方根是2x+1和2x﹣9，求x+y的立方根．（2）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简b223．（8分）已知a、b满足2a+8+|b−3|＝0，解关于x的方程（a+2）x+b2＝24．（12分）定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫作虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫作复数，其中a叫作这个复数的实部，b叫作这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如：（2﹣i）+（5+3i）＝（2+5）+（﹣1+3）i＝7+2i；（1+i）×（2﹣i）＝1×2﹣i+2×i﹣i2＝2+（﹣1+2）i+1＝3+i．根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：i3＝，i4＝；（2）计算：（1+i）×（3﹣4i）；（3）计算：i+i2+i3+…+i2022．

25．（11分）（1）一个长方形纸片的长减少3cm，宽增加2cm，就成为一个正方形纸片，并且长方形纸片周长的3倍比正方形纸片周长的2倍多30cm．这个长方形纸片的长、宽各是多少？（2）小明同学想用（1）中得到的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为30cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2．请问小明能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由．26．（14分）如图1，教材P41页有这样一个探究：把两个边长为1dm的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为2dm2的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题：（1）所得到的面积为2dm2的大正方形的边就是原先边长为1dm的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为；（2）由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图2中A，B两点表示的数为，；（3）通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成如图3所示的一个正方形．请用（2）中相同的方法在数轴上找到表示5−第六章实数提优测试卷（解析版）一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题要求的）1．下列各数：3.141592，3，0.16，﹣π，2.010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1），5，13，8A．5 B．6 C．3 D．4思路引领：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．解：3.141592，0.16，13无理数有：3，﹣π，2.010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1），5，8，共5个．故选：A．总结提升：此题主要考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2．48的算术平方根在（）A．5与6之间 B．6与7之间 C．4与5之间 D．7与8之间思路引领：根据被开方数越大对应的算术平方根也越大求解即可．解：∵36＜48＜49，∴6＜48故48的算术平方根在6与7之间．故选：B．总结提升：本题主要考查的是估算无理数的大小，明确被开方数越大对应的算术平方根也越大是解题的关键．3．81的平方根是（）A．9 B．±9 C．3 D．±3思路引领：求出81=解：∵81=∴81的平方根是±3，故选：D．总结提升：本题考查了对算术平方根，平方根的定义的应用，主要考查学生的计算能力．4．已知x是整数，当|x﹣52|取最小值时，x的值是（）A．6 B．7 C．8 D．9思路引领：根据绝对值的意义，由与52最接近的整数是7，可得结论．解：∵49＜52∴7＜52＜且与52最接近的整数是7，∴当|x﹣52|取最小值时，x的值是7，故选：B．总结提升：本题考查了算术平方根的估算和绝对值的意义，熟练掌握平方数是关键．5．将一组数2，2，6，8，10，…，2，2，6，8，12，14，4，18，20，…若2的位置记为（1，2），23的位置记为（2，1），则38这个数的位置记为（）A．（5，4） B．（4，4） C．（4，5） D．（3，5）思路引领：先找出被开方数的规律，然后再求38的位置即可．解：这组数据可表示为：2，∴被开方数均为连续的偶数，且每5个数为一组，19×2＝38，∵19÷5＝3……4，∴38为第4行，第4数字．∴38这个数的位置记为（4，4）．故选：B．总结提升：本题主要考查的是数字的变化规律，找出其中的规律是解题的关键．6．若33y−1和31−2x互为相反数，求x：A．2：3 B．3：2 C．2：5 D．5：2思路引领：利用相反数的定义得出关于x，y的等式，进而求出答案．解：∵33y−1和3∴3y﹣1+1﹣2x＝0，则2x＝3y，∴x：y＝3：2．故选：B．总结提升：此题主要考查了实数的性质，立方根的定义，得出x，y之间的关系是解题关键．7．如图，数轴上A、B两点表示的数分别2和5.3，则A、B两点之间表示的整数的点共有（）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个思路引领：根据：1＜2＜2，判断出A、解：∵1＜2∴A、B两点之间表示的整数的点共有4个：2、3、4、5．故选：C．总结提升：此题主要考查了实数与数轴的特征和应用，以及算术平方根的含义和求法，要熟练掌握．8．若a=37，b=5，c＝2，则a，bA．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c思路引领：根据算术平方根、立方根的意义估算出a、b的近似值，再进行比较即可．解：∵31∴1＜3即1＜a＜2，又∵2＜5∴2＜b＜3，∴a＜c＜b，故选：C．总结提升：本题考查实数的大小比较，算术平方根、立方根，理解算术平方根、立方根的意义是正确判断的前提．9．若m2＝16，则3m−4A．0 B．﹣2 C．0或﹣2 D．0或2思路引领：根据平方根的定义，求得m＝±4．再运用分类讨论的思想以及立方根的定义解决此题．解：∵m2＝16，∴m＝±4．∴当m＝4，3m−4当m＝﹣4时，3m−4综上：3m−4故选：C．总结提升：本题主要考查立方根、平方根，熟练掌握立方根、平方根的定义是解决本题的关键．10．已知min{x，x2，x}表示取三个数中最小的那个数，例如：当x＝9，min{x，x2，x}＝min{9，92，9}＝3．当min{x，x2，x}=116时，则A．116 B．18 C．14思路引领：本题分别计算x=116，x2=116，x=首先从x的值代入来求，由x≥0，则x＝0，1，2，3，4，5，则可知最小值是0，最大值是6．解：当x=116时，x=1当x2=116时，x＝±14，当x=−14时，x＜x2，不合题意；当x=14时，x当x=116时，x2=1256，x故选：C．总结提升：本题主要考查实数大小比较，算术平方根及其最值问题，解决此题时，注意分类思想的运用．二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．）11．若两个连续整数x、y满足x＜5+1＜y，则x+y的值是思路引领：先估算5的范围，再估算5+解：∵2＜5∴3＜5∵x＜5+1＜∴x＝3，y＝4，∴x+y＝3+4＝7．故答案为：7．总结提升：本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是估算5的范围．12．如果y=x2−4+4−x2思路引领：根据被开方数大于等于0列式求出x的值，再求出y，然后代入代数式进行计算即可得解．解：由题意得，x2﹣4≥0，4﹣x2≥0，∴x2＝4，解得x＝±2，y＝1，∴2x+y＝2×2+1＝4+1＝5，或2x+y＝2×（﹣2）+1＝﹣4+1＝﹣3，综上所述，2x+y的值是5或﹣3．故答案为：5或﹣3．总结提升：本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．13．比较大小：3−13＜思路引领：根据算术平方根的概念得到3＜解：∵3＜∴3−∴3−1故答案为：＜．总结提升：本题考查的是实数的大小比较，掌握无理数的估算方法是解题的关键．14．数轴上从左到右依次有A、B、C三点表示的数分别为a、b、10，其中b为整数，且满足a+3+|b−2|=b−2，则b﹣a＝5或6思路引领：根据算术平方根和绝对值的偶次幂确定a的值和b的取值范围，从而结合b为整数确定b的值，代入求值即可．解：∵a+3+|b−2|=b−2∴a+3＝0，b﹣2≥0，解得：a＝﹣3，b≥2，又∵数轴上从左到右依次有A、B、C三点表示的数分别为a、b、10，其中b为整数，∴2≤b＜10，且b∴b＝2或3，当b＝2时，b﹣a＝2﹣（﹣3）＝2+3＝5，当b＝3时，b﹣a＝3﹣（﹣3）＝3+3＝6，综上，b﹣a的值为5或6，故答案为：5或6．总结提升：本题考查二次根式有意义的条件，实数与数轴，理解二次根式和绝对值的非负性，利用分类讨论思想解题是关键．15．用“*”定义新运算：对于任意实数a、b，都有a*b＝2a2+b，如3*4＝2×32+4＝22，那么3*2＝8．思路引领：直接利用已知运算公式计算得出答案．解：∵a*b＝2a2+b，∴3*2＝2×（3）2+2＝8．故答案为：8．总结提升：此题主要考查了实数运算，正确运用公式是解题关键．16．已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为2，f的算术平方根是8，求12ab+c+d5+e2+3思路引领：直接利用倒数、绝对值和相反数的定义、算术平方根的定义分别化简得出答案．解：∵实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为，f的算术平方根是8，∴ab＝1，c+d＝0，f＝64，∴12ab+c+d5=1＝612总结提升：此题主要考查了实数运算，正确把握相关概念是解题关键．17．请你写出两个无理数，使其和为5，这两个无理数可以是−5，25思路引领：本题答案不唯一，符合题意即可．解：两个无理数的和为5，这两个无理数可以是−5，2故答案为：−5，2总结提升：本题考查了实数的运算，比较开放，只要符合题意即可．18．已知一个x平方根是a+3和3a﹣15，则这个正数x＝36．思路引领：根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数，可得出a的值，继而得出x的值．解：由题意得a+3+3a﹣15＝0，解得：a＝3，所以x＝（a+3）2＝（3+3）2＝36．故答案为：36．总结提升：本题考查了平方根的知识，解答本题关键是掌握一个正数的平方根有两个，且互为相反数．三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．计算：（1）−1（2）|2−3（3）4+思路引领：（1）直接利用立方根的性质以及算术平方根的性质分别化简，再利用有理数的混合运算法则计算得出答案；（2）直接利用绝对值的性质以及立方根的性质分别化简，再合并得出答案；（3）直接利用绝对值的性质以及立方根的性质分别化简，再合并得出答案．解：（1）原式=−1＝1﹣5＝﹣4；（2）原式＝2−3+＝4+3（3）原式＝2﹣3+3+5=5总结提升：此题主要考查了立方根的性质以及算术平方根的性质、绝对值的性质等知识，正确化简各数是解题关键．20．计算．（1）已知（x﹣2）2＝16，求x的值．（2）已知3（x+1）3＝81，求x的值．思路引领：（1）根据平方根的定义，得到x﹣2＝±4，进而求出x的值即可；（2）根据等式的性质和立方根的定义即可求出答案．解：（1）由平方根的定义可知，x﹣2＝±4，所以x＝6或x＝﹣2；（2）由等式的性质可得，（x+1）3＝27，由立方根的定义可知，x+1＝3，所以x＝2．总结提升：本题考查平方根、立方根以及等式的性质，理解立方根、平方根的定义是正确解答的前提．21．设3−2的整数部分为a，3+2小数部分为b，求﹣16ab﹣8b思路引领：先估算出2的值，从而求出a，b的值，然后再求出﹣16ab﹣8b2的值，即可解答．解：∵1＜2＜4，∴1＜2∴﹣2＜−2∴1＜3−2∵3−2的整数部分为a∴a＝1，∵1＜2∴4＜3+2∵3+2小数部分为b∴b＝3+2=2∴﹣16ab﹣8b2＝﹣16×1×（2−1）﹣8×（2−＝﹣162+16﹣8×（3﹣22＝﹣162+16﹣24+16＝﹣8，∴﹣16ab﹣8b2的立方根是﹣2．总结提升：本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方运算估算无理数的值是解题的关键．22．（1）一个数y的平方根是2x+1和2x﹣9，求x+y的立方根．（2）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简b2思路引领：（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数即可求出x，进而求出y，再计算即可．（2）根据数轴图判断b，a﹣c，c﹣b的正负，再进行化简即可．解：（1）∵y的平方根是2x+1和2x﹣9，∴2x+1+2x﹣9＝0，解得x＝2，∴y＝（2x+1）2＝52＝25．∴x+y＝2+25＝27，∴3x+y（2）根据数轴图可知：b＜0，a﹣c＜0，c﹣b＞0，∴原数＝|b|+|a﹣c|﹣|c﹣b|＝﹣b+c﹣a﹣c+b＝﹣a．总结提升：本题考查平方根和绝对值化简，解题关键是熟知一个正数的两个平方根互为相反数，以及绝对值化简的关键是判断绝对值内的式子的正负性．23．已知a、b满足2a+8+|b−3|＝0，解关于x的方程（a+2）x+b2＝思路引领：根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入方程得到关于x的方程，求解即可．解：根据题意得，2a+8＝0，b−3解得a＝﹣4，b=3所以（﹣4+2）x+3＝﹣4﹣1，即﹣2x＝﹣8，解得x＝4．总结提升：本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．24．定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫作虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫作复数，其中a叫作这个复数的实部，b叫作这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如：（2﹣i）+（5+3i）＝（2+5）+（﹣1+3）i＝7+2i；（1+i）×（2﹣i）＝1×2﹣i+2×i﹣i2＝2+（﹣1+2）i+1＝3+i．根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：i3＝﹣i，i4＝1；（2）计算：（1+i）×（3﹣4i）；（3）计算：i+i2+i3+…+i2022．思路引领：（1）根据i2＝﹣1，进行计算即可解答；（2）利用多项式乘多项式，进行计算即可解答；（3）从数字找规律，求出i+i2+i3+i4即可解答．解：（1）i3＝i2•i＝（﹣1）•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，故答案为：﹣i，1；（2）（1+i）×（3﹣4i）＝3﹣4i+3i﹣4i2＝3﹣i﹣4×（﹣1）＝3﹣i+4＝7﹣i；（3）i+i2+i3+…+i2022＝i+（﹣1）+（﹣i）+1+...+i+（﹣1）＝i﹣1．总结提升：本题考查了实数的运算，整式的加减，规律型：数字变化类，理解定义的运算是解题的关键．25．（1）一个长方形纸片的长减少3cm，宽增加2cm，就成为一个正方形纸片，并且长方形纸片周长的3倍比正方形纸片周长的2倍多30cm．这个长方形纸片的长、宽各是多少？（2）小明同学想用（1）中得到的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为30cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2．请问小明能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由．思路引领：（1）根据长方形、正方形的概念以及面积公式列出方程组，解方程组即可；（2）根据长方形的面积公式列出方程，根据实际情况判断即可．解：（1）设长方形的长为xcm，宽为ycm，则x−3=y+23×2(x+y)=2×4(x−3)+30解得x