专题07不等式的定义及基本性质和一元一次不等式(原卷版+解析)(重点突围)

专题07不等式的定义及性质和一元一次不等式【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一不等式的定义】 1【考点二不等式的性质】 2【考点三一元一次不等式的定义】 3【考点四求一元一次不等式的解集并在数轴上表示】 4【考点五求一元一次不等式的整数解】 6【考点六列一元一次不等式】 7【考点七用一元一次不等式解决实际问题】 8【过关检测】 11【典型例题】【考点一不等式的定义】例题：（2023春·八年级单元测试）在下列数学表达式：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式训练】1．（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知：①；②；③；④；⑤，其中属于不等式的有（）个．A．2 B．3 C．4 D．52．（2022春·北京·七年级校考期末）已知：①；②；③；④；⑤，下列选项中都属于不等式的为（

）A．①②③ B．①④⑤ C．②③④ D．②④⑤【考点二不等式的性质】例题：（2022秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）下列不等式中不一定成立的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【变式训练】1．（2021春·重庆南岸·八年级重庆市第十一中学校校考期中）下列不等式变形不正确的是（

）．A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则2．（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）若，则下列不等式中正确的是（）A． B． C． D．【考点三一元一次不等式的定义】例题：（2022秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）在，，，，，，是一元一次不等式的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式训练】1．（2023春·八年级单元测试）下列式子是一元一次不等式的是（

）A． B． C． D．2.（2021春·河南新乡·七年级校考期中）下列式子①；②；③；④；⑤中，是一元一次不等式的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【考点四求一元一次不等式的解集并在数轴上表示】例题：（2022春·陕西西安·八年级校考阶段练习）解不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来．【变式训练】1．（2022秋·浙江·八年级校联考期中）解下列不等式，并将它的解集在数轴上表示出来．，2．（2023·全国·九年级专题练习）解下列不等式，并把解集表示在数轴上．(1)(2)解不等式，并在数轴上表示解集．【考点五求一元一次不等式的整数解】例题：（2022秋·浙江衢州·八年级校联考期中）不等式的正整数解是______．【变式训练】1．（2022秋·江苏苏州·七年级苏州高新区第二中学校考阶段练习）不等式的非负整数解是_______．2．（2022春·广西百色·七年级统考期末）不等式的非负整数解是______．【考点六列一元一次不等式】例题：（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）“的倍与的和大于”用不等式表示为________．【变式训练】1．（2022·全国·七年级专题练习）学校准备购进两种型号的节能灯共50只，且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍，设A型节能灯共购进x只，请你列出相应不等式__________．2．（2022春·北京海淀·七年级校考阶段练习）某品牌触屏笔记本的成本为6800元，售价为9999元，6.18活动期间，该商家准备举行打折促销活动，要求利润率不低于，如果将这种品牌的触屏笔记本打x折销售，请列出不等式表示该商家的促销方式：_____．【考点七用一元一次不等式解决实际问题】例题：（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）某公司计划租用甲、乙两种型号的汽车运送物资，已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元；租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2450元，且同一种型号汽车每辆租车费用相同．(1)求租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元？(2)若公司决定租用6辆运输车，且此次租车费用不超过5000元，那么该公司至少租用几辆甲型汽车？【变式训练】1．（2021春·宁夏银川·八年级银川唐徕回民中学校考期中）某班为上美术课，决定购买一些水笔和颜料盒，请你根据图中所给的信息，解答下列问题：(1)求出每个颜料盒，每支水笔各多少元？(2)如计划购买颜料盒和水笔的总数为20，所用费用不超过340元，则颜料盒至多购买多少个？2．（2022秋·山东济南·八年级校考期末）某学校班主任暑假带领该校同学去旅游，甲旅行社说：“若班主任买一张全票，则学生可享受六折优惠．”乙旅行社说：“包括班主任在内都享受七折优惠．”若全票票价是1200元，设学生人数为x，甲旅行社收费为、乙旅行社收费为．(1)分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式；(2)请就学生人数讨论哪家旅行社更优惠．【过关检测】一、选择题1．（2022秋·浙江·八年级专题练习）在下列数学表达式：①﹣2＜0，②2y﹣5＞1，③m=1，④，⑤x≠﹣2，⑥x+1＜2x﹣1中，是不等式的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．（2022秋·河北张家口·八年级校考阶段练习）下列式子是一元一次不等式的是（）A． B． C． D．3．（2023春·八年级单元测试）下列说法错误的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则4．（2022秋·广西贵港·八年级统考期末）对于任意实数、，定义一种运算：例如，请根据上述的定义解决问题：若不等式，则不等式的正整数解是（

）A． B． C． D．5．（2022秋·吉林长春·九年级长春外国语学校校考期末）某品牌洗地机的进价为2000元，商店以2400元的价格出售．元旦期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于的价格降价出售，则该洗地机最多可降价多少元？若设洗地机可降价元，则可列不等式为（）A． B．C． D．二、填空题6．（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）“的2倍与6的差是正数”，用不等式表示为______．7．（2022春·甘肃酒泉·八年级统考期中）不等式的正整数解为：______．8．（2022春·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）若是关于的一元一次不等式，则的值为______．9．（2022春·河南驻马店·七年级统考期末）若（m﹣2）x|m-1|﹣3＞6是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集为_____．10．（2022秋·北京西城·七年级校考期中）按照下面给定的计算程序，当时，输出的结果是_____；使代数式的值不大于20的最大整数x是_____．三、解答题11．（2022秋·八年级课时练习）解不等式，把解表示在数轴上，并求出适合不等式的正整数解．12．（2022秋·浙江杭州·八年级统考期中）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．13．（2022秋·浙江宁波·八年级校联考期中）解不等式，并将解集在数轴上表示出来．(1)(2)14．（2022秋·八年级课时练习）解下列不等式，并把解在数轴上表示出来．(1)(2)．15．（2022春·山东菏泽·八年级山东省郓城第一中学校考期中）下面是小颖同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务；解不等式：．解：去分母，得：第一步去括号，得第二步移项，合并同类项，得第三步两边同时除以，得第四步任务：(1)上述过程中，第一步的依据是______，第______步出现错误，具体错误是______；(2)该不等式的解集应为_______．16．（2022秋·山东济南·八年级校考期末）某班计划购买两种毕业纪念册，已知购买4本手绘纪念册和1本图片纪念册共需190元，购买2本手绘纪念册和5本图片纪念册共需230元．(1)每本手绘纪念册和每本图片纪念册的价格分别为多少元？(2)该班计划购买手绘纪念册和图片纪念册共50本，总费用不超过1900元，则最少要购买图片纪念册多少本？17．（2022秋·浙江·八年级专题练习）某校开学初在超市购进A、B两种品牌的消毒液，已知购买一瓶B品牌消毒液比购买一瓶A品牌消毒液多花20元．购买6瓶A品牌消毒液和7瓶B品牌消毒液需要花费400元．(1)购买一瓶A品牌消毒液需元；购买一瓶B品牌消毒液需元；(2)该校为了防疫，决定再次购进A、B两种品牌的消毒液共50瓶，恰逢超市对这两种品牌消毒液的售价进行调整，A品牌消毒液售价比第一次购买时提高了8%，B品牌消毒液按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买的总费用不超过1680元，那么，最多可以购买多少瓶B品牌消毒液？18．（2022秋·浙江·八年级期末）在学习贯彻习近平总书记关于生态文明建设系列重要讲话精神，牢固树立“绿水青山就是金山银山”理念，把生态文明建设融入经济建设、政治建设、文化建设、社会建设各个方面和全过程，建设美丽中国的活动中，某学校计划组织全校名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司一共辆A、B两种型号客车作为交通工具．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：型号载客量租金单价A人/辆元/辆B人/辆元/辆注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数．(1)设租用A型号客车x辆，租车总费用为y元，求y与x的函数解析式（也称关系式），请直接写出x的取值范围；(2)若要使租车总费用不超过元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？专题07不等式的定义及性质和一元一次不等式【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一不等式的定义】 1【考点二不等式的性质】 2【考点三一元一次不等式的定义】 3【考点四求一元一次不等式的解集并在数轴上表示】 4【考点五求一元一次不等式的整数解】 6【考点六列一元一次不等式】 7【考点七用一元一次不等式解决实际问题】 8【过关检测】 11【典型例题】【考点一不等式的定义】例题：（2023春·八年级单元测试）在下列数学表达式：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】根据不等式的定义逐个判断即可．【详解】解：不等式有：，，，，共4个，故选：C．【点睛】本题考查了不等式的定义，能熟记不等式的定义是解此题的关键，注意：用不等号，，，，表示不等关系的式子，叫不等式．【变式训练】1．（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知：①；②；③；④；⑤，其中属于不等式的有（）个．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】主要依据不等式的定义：用“”、“”、“”、“”、“”等不等号表示不相等关系的式子是不等式，据此来判断即可．【详解】解：①是等式；②符合不等式的定义；③是多项式；④符合不等式的定义；⑤符合不等式的定义；不等式共有3个，故选：B．【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．2．（2022春·北京·七年级校考期末）已知：①；②；③；④；⑤，下列选项中都属于不等式的为（

）A．①②③ B．①④⑤ C．②③④ D．②④⑤【答案】D【分析】用不等号连接而成的式子叫不等式，根据不等式的定义即可完成．【详解】①是等式；③是代数式；②④⑤是不等式；故选：D【点睛】本题考查了不等式的概念，理解不等式的概念是关键．【考点二不等式的性质】例题：（2022秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）下列不等式中不一定成立的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B【分析】根据不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，来进行解答即可．【详解】解：A.在不等式的两边同时乘，不等式符号改边方向，即为，故本项不符合题意；B.当时，不成立，故本选项符合题意；C.在不等式的两边同时除以3，不等式仍然成立，即，故本项不符合题意；D.在不等式的两边同时减去，不等式仍然成立，即，故本项不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【变式训练】1．（2021春·重庆南岸·八年级重庆市第十一中学校校考期中）下列不等式变形不正确的是（

）．A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【分析】根据不等式的性质求解即可．【详解】解：A、由可以得到，变形正确，不符合题意；B、由可以得到，则，变形正确，不符合题意；C、∵，∴由，可以得到，变形正确，不符合题意；D、由可以得到，则，变形错误，符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向．2．（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）若，则下列不等式中正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据不等式性质逐项判定即可．【详解】解：A、∵，∴，故此选项不符合题意；B、∵，∴，故此选项不符合题意；C、∵，∴，故此选项不符合题意；D、∵，∴，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查不等式性质，熟练掌握不等式性质是解题的关键．【考点三一元一次不等式的定义】例题：（2022秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）在，，，，，，是一元一次不等式的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式就可以．【详解】解：是一元一次不等式的有：，共有2个．故选：B．【点睛】本题考查一元一次不等式的定义中的未知数的最高次数为1次，还要注意未知数的系数不能是0．【变式训练】1．（2023春·八年级单元测试）下列式子是一元一次不等式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式就可以．【详解】解：A．含有2个未知数，不是一元一次不等式，选项不符合题意；B．最高次数是2次，不是一元一次不等式，选项不符合题意；C．是一元一次不等式，选项符合题意；D．不是整式，则不是一元一次不等式，选项不符合题意．故选C．【点睛】本题考查不等式的定义，一元一次不等式中必须只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，并且不等式左右两边必须是整式．2.（2021春·河南新乡·七年级校考期中）下列式子①；②；③；④；⑤中，是一元一次不等式的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】D【分析】根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，进行判断即可．【详解】解：①不含未知数，不符合题意；②是一元一次不等式，符合题意；③有两个未知数，不符合题意；④未知数的次数为：2，不符合题意；⑤不是整式，不符合题意；综上，只有②是一元一次不等式；故选D．【点睛】本题考查一元一次不等式的定义．熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．【考点四求一元一次不等式的解集并在数轴上表示】例题：（2022春·陕西西安·八年级校考阶段练习）解不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来．【答案】，图见解析【分析】先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把的系数化为，并在数轴上表示出来即可．【详解】解：，，，，，，．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．【变式训练】1．（2022秋·浙江·八年级校联考期中）解下列不等式，并将它的解集在数轴上表示出来．，【答案】，它的解集在数轴上表示见解析【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【详解】解：去分母，得移项，得合并同类项，得系数化为1，得将不等式的解集表示在数轴上如下：【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向要改变．2．（2023·全国·九年级专题练习）解下列不等式，并把解集表示在数轴上．(1)(2)解不等式，并在数轴上表示解集．【答案】(1)，详见解析(2)，详见解析【分析】（1）先移项合并同类项系数化成1，再把解集表示在数轴上；（2）通过去分母，去括号，移项，系数化为1求得，在数轴上表示解集即可．【详解】（1）解：，移项，得，合并同类项，得，两边都除以2，得；这个不等式的解表示在数轴上如图所示．；（2）解：，去分母，得，去括号，得，移项，合并同类项得，系数化为1，得，在数轴上表示解集如图：．【点睛】本题考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是正确地解一元一次不等式，解集为“”时要用实心点表示．【考点五求一元一次不等式的整数解】例题：（2022秋·浙江衢州·八年级校联考期中）不等式的正整数解是______．【答案】1【分析】求出不等式的解集，找出解集中的正整数解即可．【详解】解：不等式，去括号得：移项合并得：，解得：，则不等式的正整数解为：1．故答案为：1．【点睛】此题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．【变式训练】1．（2022秋·江苏苏州·七年级苏州高新区第二中学校考阶段练习）不等式的非负整数解是_______．【答案】2，1，0【分析】解不等式解集，再找出非负整数即可得到答案．【详解】解：由题意可得，，非负整数解是：2，1，0，故答案为2，1，0．【点睛】本题考查解不等式及非负整数，解题的关键是解不等式．2．（2022春·广西百色·七年级统考期末）不等式的非负整数解是______．【答案】0，1，2【分析】先解出不等式，再找出非负整数解即可．【详解】解：，，∴，∴不等式的非负整数解是：0，1，2；故答案为：0，1，2．【点睛】本题考查求一元一次不等式的非负整数解．正确的求出不等式的解集，是解题的关键．【考点六列一元一次不等式】例题：（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）“的倍与的和大于”用不等式表示为________．【答案】【分析】根据题意，列不等式即可．【详解】解：“的倍与的和大于”用不等式表示为．故答案为．【点睛】此题考查了列不等式，解题的关键是根据题意，正确列出不等式．【变式训练】1．（2022·全国·七年级专题练习）学校准备购进两种型号的节能灯共50只，且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍，设A型节能灯共购进x只，请你列出相应不等式__________．【答案】【分析】根据题意表示出B型节能灯共购进只，再利用A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍得出不等式，求出答案．【详解】解：设A型节能灯共购进x只，则B型节能灯共购进只，根据题意可得：．故答案为：．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确表示出B型节能灯的数量是解题关键．2．（2022春·北京海淀·七年级校考阶段练习）某品牌触屏笔记本的成本为6800元，售价为9999元，6.18活动期间，该商家准备举行打折促销活动，要求利润率不低于，如果将这种品牌的触屏笔记本打x折销售，请列出不等式表示该商家的促销方式：_____．【答案】【分析】直接利用打折以及利润率求法得出不等关系．【详解】解：由题意可得：．故答案为：．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据利润＝售价进价，可列不等式求解是解题关键．【考点七用一元一次不等式解决实际问题】例题：（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）某公司计划租用甲、乙两种型号的汽车运送物资，已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元；租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2450元，且同一种型号汽车每辆租车费用相同．(1)求租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元？(2)若公司决定租用6辆运输车，且此次租车费用不超过5000元，那么该公司至少租用几辆甲型汽车？【答案】(1)租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是800、850元(2)该公司至少租用2辆甲型汽车【分析】（1）设租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是x、y元，根据题意列出二元一次方程组并进行求解即可；（2）设租用a辆甲型汽车，则租用辆乙型汽车，根据题意列出一元一次不等式并进行求解即可．【详解】（1）设租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是x、y元，由题意可得，，解得，答：租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是800、850元；（2）设租用a辆甲型汽车，则租用辆乙型汽车，由题意可得，，解得，答：该公司至少租用2辆甲型汽车．【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，理解题意并列出方程是解决本题的关键．【变式训练】1．（2021春·宁夏银川·八年级银川唐徕回民中学校考期中）某班为上美术课，决定购买一些水笔和颜料盒，请你根据图中所给的信息，解答下列问题：(1)求出每个颜料盒，每支水笔各多少元？(2)如计划购买颜料盒和水笔的总数为20，所用费用不超过340元，则颜料盒至多购买多少个？【答案】(1)每个颜料盒18元，每支水笔15元(2)颜料盒至多购买13个【分析】（1）设每个颜料盒元，每支水笔元，根据总价=单价×数量结合图中所给的信息，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买颜料盒个，则购买水笔支，根据总价=单价×数量结合所用费用不超过340元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大整数即可得出结论．【详解】（1）解：设每个颜料盒元，每支水笔元，根据题意得：解得．答：每个颜料盒18元，每支水笔15元．（2）解：设购买颜料盒个，则购买水笔支，根据题意得：，解得：，为整数，．答：颜料盒至多购买13个．【解答】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．2．（2022秋·山东济南·八年级校考期末）某学校班主任暑假带领该校同学去旅游，甲旅行社说：“若班主任买一张全票，则学生可享受六折优惠．”乙旅行社说：“包括班主任在内都享受七折优惠．”若全票票价是1200元，设学生人数为x，甲旅行社收费为、乙旅行社收费为．(1)分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式；(2)请就学生人数讨论哪家旅行社更优惠．【答案】(1)，(2)当学生人数是3人时，两家旅行社的收费是一样的；当（x为整数）时，乙旅行社更优惠；当（x为整数）时，甲旅行社更优惠【分析】（1）根据题意得出两个旅行社的收费方式即可；（2）分别利用、、得出的取值范围，得出答案即可．【详解】（1）解：由题意，得，．（2）解：①当时，，解得，当学生人数是3人时，两家旅行社的收费是一样的；②当时，，解得；当（x为整数）时，乙旅行社更优惠；③当时，，解得．当（x为整数）时，甲旅行社更优惠．【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式的综合应用——最佳方案问题，利用方程与不等式的知识来讨论学生人数与最佳方案之间的关系是解题关键．【过关检测】一、选择题1．（2022秋·浙江·八年级专题练习）在下列数学表达式：①﹣2＜0，②2y﹣5＞1，③m=1，④，⑤x≠﹣2，⑥x+1＜2x﹣1中，是不等式的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】用不等号连接起来表示不等关系的式子称为不等式，根据不等式的定义，不等号有＜，＞，≤，≥，≠，选出即可．【详解】解：不等式是指不等号来连接不等关系的式子，如＜，＞，≠，③m=1是等式，不是不等式，④是代数式，不是不等式，所以不等式有：①②⑤⑥，共4个．故选：C．【点睛】本题主要考查对不等式的意义的理解和掌握，能根据不等式的意义进行判断是解此题的关键．2．（2022秋·河北张家口·八年级校考阶段练习）下列式子是一元一次不等式的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是的不等式就可以．【详解】解：A、含有个未知数，不是一元一次不等式，选项错误；B、最高次数是次，不是一元一次不等式，选项错误；C、是一元一次不等式，正确；D、不是整式，则不是一元一次不等式，选项错误．故选C．【点睛】本题考查不等式的定义，一元一次不等式中必须只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，并且不等式左右两边必须是整式．3．（2023春·八年级单元测试）下列说法错误的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】根据不等式的性质判断即可．【详解】解：A、不等式两边都加上4，不等号的方向不变，即，原变形正确，故该选项不符合题意；B、不等式两边都乘，不等号的方向不变，即，原变形正确，故该选项不符合题意；C、不等式两边都乘，必须规定，才有，原变形错误，故该选项符合题意；D、不等式两边都加上5，不等号的方向不变，即，所以，原变形正确，故该选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．4．（2022秋·广西贵港·八年级统考期末）对于任意实数、，定义一种运算：例如，请根据上述的定义解决问题：若不等式，则不等式的正整数解是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】按照定义写出不等式并求解，再求出该不等式的整数解．【详解】解：由题意得，，解得，该不等式的正整数解为：，故选：A【点睛】此题考查了利用新定义解决不等式问题的能力，关键是能根据定义写出不等式并求解．5．（2022秋·吉林长春·九年级长春外国语学校校考期末）某品牌洗地机的进价为2000元，商店以2400元的价格出售．元旦期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于的价格降价出售，则该洗地机最多可降价多少元？若设洗地机可降价元，则可列不等式为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据“以利润率不低于的价格降价出售”列一元一次不等式，求解即可．【详解】解：根据题意，得．故选：A．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，理解题意并根据题意建立一元一次不等式是解题的关键．二、填空题6．（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）“的2倍与6的差是正数”，用不等式表示为______．【答案】【分析】根据题意列式即可．【详解】解：“的2倍与6的差是正数”用不等式表示为，故答案为：．【点睛】本题考查了列不等式，正确理解题意是解题的关键．7．（2022春·甘肃酒泉·八年级统考期中）不等式的正整数解为：______．【答案】1，2，3【分析】先解不等式，得到，再取符合条件的正整数，从而得到结论为1，2，3．【详解】解：由，解得，取不等式的正整数解，可为1，2，3，故答案为：1，2，3．【点睛】本题考查求一元一次不等式的正整数解，涉及解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式解集的求法是解决问题的关键．8．（2022春·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）若是关于的一元一次不等式，则的值为______．【答案】【分析】根据一元一次不等式的定义可得且，分别进行求解即可．【详解】解：∵是关于的一元一次不等式，∴且，解得：，故答案为：．【点睛】本题主要考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为次”这一条件；还要注意，未知数的系数不能是，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．9．（2022春·河南驻马店·七年级统考期末）若（m﹣2）x|m-1|﹣3＞6是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集为_____．【答案】x＜﹣4.5【分析】根据一元一次不等式的定义得出|m-1|=1且m-2≠0，求出m的值，再把m的值代入原式，再解不等式即可．【详解】解：由题意得：|m-1|=1且m-2≠0，∴m=2或m=0且m≠2，∴m=0，∴原不等式可化为：-2x-3＞6，解得：x＜-4.5，∴该不等式的解集为x＜-4.5．故答案为：x＜-4.5．【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义和解法，根据一元一次不等式的定义求出m的值是解题的关键．10．（2022秋·北京西城·七年级校考期中）按照下面给定的计算程序，当时，输出的结果是_____；使代数式的值不大于20的最大整数x是_____．【答案】

23

7【分析】由运算程序可计算出当时输出的结果；解不等式即可得到最大整数x是7．【详解】解：当时，，∴当时，输出结果是23；解不等式得：，∴使代数式的值不大于20的最大整数x是7，故答案为：23，7．【点睛】本题考查了代数式求值，一元一次不等式的应用，能够理解题意是解题的关键．三、解答题11．（2022秋·八年级课时练习）解不等式，把解表示在数轴上，并求出适合不等式的正整数解．【答案】，图形见解析，适合不等式的正整数解是【分析】先求出不等式的解集，在数轴上表示出来，最后求出正整数解即可．【详解】，，，，在数轴上表示为：，所以适合不等式的正整数解是；【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，不等式的整数解等知识点，能求出不等式的解集是解此题的关键．12．（2022秋·浙江杭州·八年级统考期中）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．【答案】，用数轴表示见解析【分析】先去分母，再去括号、移项、合并同类项，然后把x的系数化为1得到不等式的解集，再用数轴表示解集【详解】解：，去分母，得，去括号，得，移项、合并，得，系数化为1，得，用数轴表示为：．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．13．（2022秋·浙江宁波·八年级校联考期中）解不等式，并将解集在数轴上表示出来．(1)(2)【答案】(1)x＞1，图见解析(2)，图见解析【分析】(1)根据一元一次不等式的解法：移项，合并同类项，把的系数化为1，进行计算即可；(2)先去分母，然后去括号，合并同类项进而得出结论．【详解】（1），解得：数轴如图：．（2）解得：，数轴如图：．【点睛】本题考查了不等式的解法，解题过程中要注意移项，去括号时的符号变化，去分母时要注意不要漏乘没有分母的项．14．（2022秋·八年级课时练习）解下列不等式，并把解在数轴上表示出来．(1)(2)．【答案】(1)；在数轴上表示见解析(2)；在数轴上表示见解析【分析】（1）按照解一元一次不等式的一般步骤解答即可；（2）按照解一元一次不等式的一般步骤解答即可．【详解】（1）去分母，得，去括号，得，移项，得，解得，不等式的解集在数轴上表示为：（2）解：去分母，得，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，解得不等式的解集在数轴上表示为：【点睛】本题考查解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是明确解一元一次不等式的方法，可以在数轴上表示相应的解集．15．（2022春·山东菏泽·八年级山东省郓城第一中学校考期中）下面是小颖同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务；解不等式：．解：去分母，得：第一步去括号，得第二步移项，合并同类项，得第三步两边同时除以，得第四步任务：(1)上述过程中，第一步的依据是______，第______步出现错误，具体错误是______；(2)该不等式的解集应为_______．【答案】(1)不等式性质2（在不等式两边同时乘（除以）同一个正数，不等号的方向不变）；第四步出现错误；具体错误是在不等式两边同时除以，不等号的方向未改变(2)【分析】（1）根据解一元一次不等式的一般步骤逐步分析即可；（2）按照正确的解法求出解集即可．【详解】（1）解：去分母，得：（不等式的性质2：在不等式两边同时乘（除以）同一个正数，不等号的方向不变）去括号，得移项，合并同类项，得两边同时除以，得故答案为：不等式性质2（在不等式两边同时乘（除以）同一个正数，不等号的方向不变）；第四步出现错误；具体错误是在不等式两边同时除以，不等号的方向未改变．（2）由（1）的正确解法可知，该不等式的解集应为．故答案为：．【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，解一元一次不等式的依据是不等式的基本性质．16．（2022秋·山东济南·八年级校考期末）某班计划购买两种毕业纪念册，已知购买4本手绘纪念册和1本图片纪念册共需190元，购买2本手绘纪念册和5本图片纪念册共需230元．(1)每本手绘纪念册和每本图片纪念册的价格分别为多少元？(2)该班计划购买手绘纪念册和图片纪念册共50本，总费用不超过1900元，则最少要购买图片纪念册多少本？【答案】(1)每本手绘纪念册的价格为40元，每本图片纪念册的价格为30元(2)最少要购买图片纪念册10本【分析】（1）设每本手绘纪念册的价格为元，每本图片纪念册的价格为元，根据题意列出二元一次方程组并求解即可；（2）购买图片纪念册本，则购买手绘纪念册本，根据题意列出一元一次不等式并求解即可．【详解】（1）解：设每本手绘纪念册的价格为元，每本图片纪念册的价格为元，根据题意，可得，解得，所以，每本手绘纪念册的价格为40元，每本