专题02网格中求正切(原卷版+解析)

专题02网格中求正切1．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为（）A．2 B． C．3 D．2．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则t

anC的值是（）A．2 B． C．1 D．3．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（）A． B．1 C． D．4．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是（）A． B．1 C． D．25．如图，的顶点在正方形网格的格点处，则的值为（

）A． B． C． D．16．如图，将ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则∠A的正切值是（）A． B． C．2 D．7．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为（

）A． B． C． D．8．如图，A，B，C，三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的值为（

）A． B． C． D．9．如图所示，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（）A． B． C．2 D．10．在图网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOC的正切值是（

）A． B． C． D．11．如图，在方格纸中，点A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是()A．2 B． C． D．12．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为（

）A． B． C． D．113．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角,则tan∠AOB（）A． B． C．1 D．14．∠BAC放在正方形网格纸的位置如图，则tan∠BAC的值为（）A． B． C． D．15．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点（网格线的交点）上，则的值为______．16．如图，点A，B，C，D在正方形网格的格点上，连接AB、CD交于点P，则tan∠APC＝________________．17．如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为_____．18．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为_______．19．如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点，和，，与相交于点，则___．20．如图，在4×5的正方形网格中点A，B，C都在格点上，则tan∠ABC＝_____．21．如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan=1，tan=，，计算=_________________．22．如图，将放置在的正方形网格中，如果顶点A、B、C均在格点上，那么的正切值为______．23．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在这些小正方形的顶点上，则tan∠ABC的值为_____．24．如图，在Rt△ABC纸片上可按如图所示方式剪出一正方体表面展开图，直角三角形的两直角边与正方体展开图左下角正方形的边共线，斜边恰好经过两个正方形的顶点，已知BC＝24cm，则这个展开图可折成的正方体的体积为_____cm3．25．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanC＝__．26．如图，在正方形网格中，三角形ABC的三个顶点都在网格中的格点上，则tan∠B的值为_____．27．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，线段、，相交于点，则的值是__________．28．如图，在边长都为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则tan∠APD的值是

____________

．29．如图，把个边长为1的正方形拼接成一排，求得，，，计算__________，……按此规律，写出__________（用含的代数式表示）．专题02网格中求正切1．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为（）A．2 B． C．3 D．【答案】A【分析】首先连接BE，由题意易得BF＝CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP＝1：3，即可得PF：CF＝PF：BF＝1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，继而求得答案．【详解】解：如图：连接BE，∵四边形BCED是正方形，∴DF＝CF＝CD，BF＝BE，CD＝BE，BE⊥CD，∴BF＝CF，根据题意得：AC∥BD，∴△ACP∽△BDP，∴DP：CP＝BD：AC＝1：3，∴DP：DF＝1：2，∴DP＝PF＝CF＝BF，在Rt△PBF中，tan∠BPF＝＝2，∵∠APD＝∠BPF，∴tan∠APD＝2．故选：A．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，以及求角的正切值，灵活运用相似三角形的性质，并理解正切的定义是解题关键2．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则t

anC的值是（）A．2 B． C．1 D．【答案】B【分析】在直角三角形ACD中，根据正切的意义可求解．【详解】如图：在RtACD中，tanC．故选B．【点睛】本题考查了锐角三角比的意义．将角转化到直角三角形中是解答的关键．3．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求．【详解】如图，连接BC，由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，则tan∠BAC=1，故选：B．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理．4．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是（）A． B．1 C． D．2【答案】D【详解】如图，连接AP，QB，可得∠PAB=∠QBA=90°，又∵∠AMP=∠BMQ，∴△PAM∽△QBM，∴=，∵AP=3，BQ=，AB=2，∴=，解得：AM=，∴tan∠QMB=tan∠PMA==．故答案选D．5．如图，的顶点在正方形网格的格点处，则的值为（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求CD、BD、BC，再根据三角函数的意义可求出tanC的值．【详解】解：如图，连接，由网格的特点可得，，，，，，，故选：B．【点睛】本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，利用网格构造直角三角形是解决问题的关键．6．如图，将ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则∠A的正切值是（）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】首先构造以A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解．【详解】解：连接BD，则BD＝，AD＝2，则tanA＝＝＝．故选D．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键．7．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】取格点D，连接，根据，求解即可.【详解】如图，取格点D，连接，在中，．故选：A.【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．8．如图，A，B，C，三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB．【详解】过C点作，垂足为D则根据旋转性质可知，在中，所以故选B．【点睛】本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．9．如图所示，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】如图，取格点E，连接BE，构造直角三角形，利用三角函数解决问题即可；【详解】如图，取格点E，连接BE，由题意得：，，，∴．故答案选A．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的相关知识点，准确构造直角三角形，利用勾股定理求边是解题的关键．10．在图网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOC的正切值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】过点B作BE∥DC，交格点于点E，且BE=DC，过点E作EH⊥AB于点H，连接AE，根据△ABE的面积，求出EH长，从而求出∠AOC的正切值.【详解】解：过点B作BE∥DC，交格点于点E，且BE=DC，过点E作EH⊥AB于点H，连接AE，∴∠ABE=∠AOC，∴BE=，∴，有勾股定理知，∴，解得：EH=，在Rt△BEH中，，∴，∴tan∠AOC=，故选A.【点睛】本题是对三角函数的综合考查，准确作出辅助线是解决本题的关键.11．如图，在方格纸中，点A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是()A．2 B． C． D．【答案】A【分析】根据直角三角形解决问题即可．【详解】解：作AE⊥BC，∵∠AEC＝90°，AE＝4，BE＝2，∴tan∠ABC＝，故选：A．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.12．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】根据网格结构找出∠ABC所在的直角三角形，然后根据锐角的正切等于对边比邻边列式即可．【详解】解：∠ABC所在的直角三角形的对边是3，邻边是4，所以，tan∠ABC＝．故选：B．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握网格结构找出直角三角形是解题的关键．13．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角,则tan∠AOB（）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】连接AB，分别利用勾股定理求出△AOB的各边边长，再利用勾股定理逆定理求得△ABO是直角三角形，再求tan∠AOB的值即可．【详解】解：连接AB如图，利用勾股定理得，，∵，,∴∴利用勾股定理逆定理得，△AOB是直角三角形∴tan∠AOB==故选C【点睛】本题考查了在正方形网格中，勾股定理及勾股定理逆定理的应用.14．∠BAC放在正方形网格纸的位置如图，则tan∠BAC的值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】连接CD，再利用勾股定理分别计算出AD、AC、BD的长，然后再根据勾股定理逆定理证明∠ADC=90°，再利用三角函数定义可得答案．【详解】连接CD，如图：，CD=，AC=∵，∴∠ADC=90°，∴tan∠BAC==．故选D．【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，以及锐角三角函数定义，关键是证明∠ADC=90°．15．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点（网格线的交点）上，则的值为______．【答案】【分析】在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【详解】解：如图，在中，，，∴故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．16．如图，点A，B，C，D在正方形网格的格点上，连接AB、CD交于点P，则tan∠APC＝________________．【答案】【分析】设线段AB上的格点为E，把线段BE向下平移1个单位得到DF，如图，则DF∥BE，根据平行线的性质得∠CDF=∠APC，再利用勾股定理的逆定理可判断△CDF为直角三角形，然后根据正切的定义求解．【详解】解：如图，设线段AB上的格点为E，把线段BE向下平移1个单位得到DF，如图，则DF∥BE，∴∠CDF＝∠APC，∵CD2＝12+32＝10，CF2＝12+12＝2，FD2＝22+22＝8，而2+8＝10，∴CD2＝CF2+FD2，∴△CDF为直角三角形，∠CFD＝90°，∴tan∠CDF＝＝＝，∴tan∠APC＝．故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形，平行线的性质，勾股定理的逆定理，锐角三角函数的定义，解决本题的关键是利用平移把∠APC转化为∠CDF．17．如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为_____．【答案】【分析】如图，作，垂足为D，由图可知，计算求解即可．【详解】解：如图，作，垂足为D由图可知故答案为：．【点睛】本题考查了正切．解题的关键在构造直角三角形求正切值．18．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为_______．【答案】4【分析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．【详解】在网格上取点D，得，∵CD=4，BD=1∴．故答案为：4．【点睛】本题考查锐角三角函数，解题的关键是作出点D，构造直角三角形求解．19．如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点，和，，与相交于点，则___．【答案】【分析】连接格点FD、FC，可得AB∥FD，由平行线的性质得出∠AEC=∠FDC，证出∠FCD=90°，由三角函数定义即可得出答案．【详解】解：连接格点FD、FC，如图所示：则四边形ABDF是平行四边形，△AFC和△CGD都是等腰直角三角形，∴AB∥FD，∠ACF=∠DCG=45°，FC=AC=，CD=CG=2，∴∠AEC=∠FDC，∠FCD=180°-∠ACF-∠DCG=180°-45°-45°=90°，∴tan∠AEC=tan∠FDC=，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质、平行四边形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键．20．如图，在4×5的正方形网格中点A，B，C都在格点上，则tan∠ABC＝_____．【答案】【分析】过点C作CE⊥AB于点E，利用面积法可求出CE的长，在Rt△BCE中，利用勾股定理可求出BE的长，再结合正切的定义可求出tan∠ABC的值．【详解】解：过点C作CE⊥AB于点E，如图所示．∵S△ABC＝AC•3＝AB•CE，即×2×3＝×3•CE，∴CE＝．在Rt△BCE中，BC＝，CE＝，∴BE＝，∴tan∠ABC＝．故答案为．【点睛】本题考查了解直角三角形、三角形的面积以及勾股定理，利用面积法及勾股定理，求出CE，BE的长是解题的关键．21．如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan=1，tan=，，计算=_________________．【答案】【分析】作于，根据正方形的性质、勾股定理以及三角形的面积公式求出、，根据正切的概念求出即可.【详解】作于，由勾股定理得，，，，，解得，，则，.故答案为.【点睛】本题考查的是正方形的性质、勾股定理的应用以及正切的概念，掌握正方形的性质，熟记锐角三角函数的概念是解题的关键.22．如图，将放置在的正方形网格中，如果顶点A、B、C均在格点上，那么的正切值为______．【答案】1【分析】连接BC，先利用勾股定理逆定理证△ABC是等腰直角三角形，再根据正切函数的定义可得．【详解】解：如图所示，连接BC，则，，，是等腰直角三角形，且，，则，故答案为1．【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理和三角函数的定义．23．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在这些小正方形的顶点上，则tan∠ABC的值为_____．【答案】.【分析】根据题意和勾股定理的逆定理、锐角三角函数可以求得tan∠ABC的值．【详解】连接CD，如图所示，设每个小正方形的边长为a，则CD＝a，BD＝2a，BC＝a，∵（2a）2+（a）2＝（a）2，∴△BCD是直角三角形，∴tan∠ABC＝tan∠DBC＝，故答案为．【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．24．如图，在Rt△ABC纸片上可按如图所示方式剪出一正方体表面展开图，直角三角形的两直角边与正方体展开图左下角正方形的边共线，斜边恰好经过两个正方形的顶点，已知BC＝24cm，则这个展开图可折成的正方体的体积为_____cm3．【答案】27【分析】首先设这个展开图围成的正方体的棱长为xcm，然后延长FE交AC于点D，根据三角函数的性质，可求得AC的长，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【详解】解：如图，设这个展开图围成的正方体的棱长为xcm，延长FE交AC于点D，则EF＝2xcm，EG＝xcm，DF＝4xcm，∵DF∥BC，∴∠EFG＝∠B，∵在RtGEF中，tan∠EFG＝，∴在RtABC中，tanB＝，∵BC＝24cm，∴AC＝12cm，∴AD＝AC﹣CD＝12﹣2x（cm）∵DF∥BC，∴△ADF∽△ACB，∴，即，解得：x＝3，即这个展开图围成的正方体的棱长为3cm，∴这个展开图可折成的正方体的体积为27cm3．故答案为27．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．25．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanC＝__．【答案】．【分析】如图，过点A作AE⊥CB交CB的延长线于E．Rt△AEC中，根据tanC=，求解即可．【详解】解：如图，过点A作AE⊥CB交CB的延长线于E．Rt△AEC中，tanC＝＝＝，故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．26．如图，在正方形网格中，三角形ABC的三个顶点都在网格中的格点上，则tan∠B的值为_____．【答案】【分析】如图（见解析），先利用平移的性质画出平行四边形，再利用勾股定理可得，然后根据菱形的判定与性质可得，最后在中，利用正切三角函数的定义即可得．【详解】解：将点先向下平移1个单位，再向左平移3个单位可得到点，将点按同样的方法进行平移，可得到点，连接，与交于点，如图所示：则四边形是平行四边形，，平行四边形是菱形，，则在中，，故答案为：．【点睛】本题考查了图形的平移、菱形的判定与性质、正切三角函数等知识点，结合网格特点，构造菱形是解题关键．27．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，线段、，相交于点，则的值是__________．【答案】2【分析】由AD，CD为正方形的对角线，求出，证，得，设小正方形的边长为，利用勾股定理，再求，利用三角函数定义求