专题06平行四边形的性质(考点剖析)-2018-2019学年浙江省八年级数学下学期期末必考点复习(浙教版)(原卷版+解析)

专题06平行四边形的性质【考点剖析】1、多边形内角和定理与外角和（1）n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；注意：正多边形的每个内角都相等，都等于；（2）多边形的外角和为360°．注意：①在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；②正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于；2、平行四边形的性质平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.平行四边形的性质：（1）边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；（2）角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；（3）对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；（4）平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.3、中心对称图形（1）如果一个图形绕一个点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫做它的对称中心.注意：①中心对称图形指的是一个图形；②线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.（2）中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．注意：①有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；②位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合（全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的）.（3）关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点关于原点的对称点坐标为，反之也成立.多边形的内角和与外角和【典例】例1．一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是（）A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形例2．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是（）A．360° B．480° C．540° D．720°【巩固练习】1．若一个多边形的内角和是1080°，则此多边形的边数是（）A．十二 B．十 C．八 D．十四2．如图，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的3个外角，若∠A+∠B＝220°，则∠1+∠2+∠3＝（）A．140° B．180° C．220° D．320°3．如图，七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，着∠1、∠2、∠3、∠4对应的邻补角和等于215°，则∠BOD的度数为（）A．30° B．35° C．40° D．45°平行四边形的性质【典例】例1．平行四边形的3个顶点的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）和（0，3）．求第4个顶点的坐标．例2．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F．（1）求证：CD＝BE；（2）若AB＝4，点F为DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，且DG＝1，求AE的长．【巩固练习】1．在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BE交AD边于E，∠DCB的平分线交AD边于F，若AB＝7，EF＝3，则BC的长为（）A．11或17 B．11或12 C．12或17 D．11或12或172．如图，已知△ABC的面积为12，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC＝4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．63．如图，▱ABCD中，E是BC边上一点，且AB＝AE．若AE平分∠DAB，∠EAC＝27°，则∠AED的度数为__________．4．已知：如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F．（1）求证：OE＝OF；（2）楚接BE，DF，求证：BE＝DF．中心对称图形【典例】例1．有下列图形：①线段，②三角形，③平行四边形，④正方形，⑤等腰三角形，⑥菱形，其中不是中心对称图形的是_________．（填序号）例2．如图，△ABC与△A′BC′是成中心对称的两个图形，则下列说法不正确的是（）A．AB＝A′B′，BC＝B′C B．AB∥A′B′，BC∥B′C C．S△ABC＝S△A′B′C′ D．△ABC≌△A′OC′【巩固练习】1．下列四个图形中是中心对称图形的为（）A． B． C． D．2．下列四张扑克牌中，左旋转180°后还是和原来一样的是（）A． B． C． D．3．如图所示的四组图形中，左边图形与右边图形既是中心对称又是轴对称的是（）A． B． C． D．4．下列图案均是名车的标志，在这些图案中，是中心对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个专题06平行四边形的性质【考点剖析】1、多边形内角和定理与外角和（1）n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；注意：正多边形的每个内角都相等，都等于；（2）多边形的外角和为360°．注意：①在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；②正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于；2、平行四边形的性质平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.平行四边形的性质：（1）边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；（2）角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；（3）对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；（4）平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.3、中心对称图形（1）如果一个图形绕一个点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫做它的对称中心.注意：①中心对称图形指的是一个图形；②线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.（2）中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．注意：①有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；②位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合（全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的）.（3）关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点关于原点的对称点坐标为，反之也成立.多边形的内角和与外角和【典例】例1．一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是（）A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形【答案】B【解析】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得（n﹣2）×180°＝2×360，解得：n＝6．故这个多边形是六边形．故选：B．【点睛】多边形的外角和是360°，则内角和是2×360＝720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值．本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．例2．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是（）A．360° B．480° C．540° D．720°【答案】A【解析】解：如图，连接AD．∵∠1＝∠E+∠F，∠1＝∠FAD+∠ADE，∴∠E+∠F＝∠FAD+∠ADE，∴∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F＝∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠FAD+∠ADE＝∠BAD+∠B+∠C+∠ADC．又∵∠BAD+∠B+∠C+∠ADC＝360°，∴∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F＝360°．故选：A．【点睛】连接AD，由三角形内角和外角的关系可知∠E+∠F＝∠FAD+∠ADE，由四边形内角和是360°，即可求∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F＝360°．本题考查的是三角形内角与外角的关系，涉及到四边形及三角形内角和定理，比较简单．【巩固练习】1．若一个多边形的内角和是1080°，则此多边形的边数是（）A．十二 B．十 C．八 D．十四【答案】C【解析】解：设此多边形边数是n，则（n﹣2）•180°＝1080°，解得n＝8．故选：C．2．如图，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的3个外角，若∠A+∠B＝220°，则∠1+∠2+∠3＝（）A．140° B．180° C．220° D．320°【答案】C【解析】解：根据∠A+∠B＝220°，可知∠A的一个邻补角与∠B的一个邻补角的和为360°﹣220°＝140°．根据多边形外角和为360°，可知∠1+∠2+∠3＝360°﹣140°＝220°．故选：C．3．如图，七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，着∠1、∠2、∠3、∠4对应的邻补角和等于215°，则∠BOD的度数为（）A．30° B．35° C．40° D．45°【答案】B【解析】解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为215°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+215°＝4×180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝505°，∵五边形OAGFE内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD＝540°，∴∠BOD＝540°﹣505°＝35°，故选：B．平行四边形的性质【典例】例1．平行四边形的3个顶点的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）和（0，3）．求第4个顶点的坐标．【答案】见解析【解析】解：如图所示：①以AC为对角线时，第四点的坐标为（4，3）；②以AB为对角线时，第四点的坐标为（﹣4，3）；③以BC为对角线时，第四点的坐标为（﹣2，﹣3）；综上所述，第4个顶点的坐标为（4，3），或（﹣4，3），或（﹣2，﹣3）．【点睛】根据题意画出平面直角坐标系，再描出（﹣3，0）、（1，0）和（0，3）的位置，然后根据平行四边形的性质找第4个顶点坐标．此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对边平行且相等．例2．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F．（1）求证：CD＝BE；（2）若AB＝4，点F为DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，且DG＝1，求AE的长．【答案】见解析【解析】解：（1）证明：∵AE为∠ADB的平分线，∴∠DAE＝∠BAE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD＝AB．∴∠DAE＝∠E．∴∠BAE＝∠E．∴AB＝BE．∴CD＝BE．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠BAF＝∠DFA．∴∠DAF＝∠DFA．∴DA＝DF．∵F为DC的中点，AB＝4，∴DF＝CF＝DA＝2．∵DG⊥AE，DG＝1，∴AG＝GF．∴AG．∴AF＝2AG＝2．在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS）．∴AF＝EF，∴AE＝2AF＝4．【点睛】（1）由平行四边形的性质和角平分线证出∠BAE＝∠E．得出AB＝BE，即可得出结论；（2）同（1）证出DA＝DF，由F为DC中点，AB＝CD，求出AD与DF的长，得出三角形ADF为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，在直角三角形ADG中，由AD与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由三角形ADF与三角形ECF全等，得出AF＝EF，即可求出AE的长．此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题（2）的关键．【巩固练习】1．在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BE交AD边于E，∠DCB的平分线交AD边于F，若AB＝7，EF＝3，则BC的长为（）A．11或17 B．11或12 C．12或17 D．11或12或17【答案】A【解析】解：有两种情形：①如图1中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠EBA，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE＝7，同法可证：DF＝DC＝AB＝7，∵EF＝3，∴BC＝AD＝7+7﹣3＝11．②如图2中，同法可知：AB＝AE＝7，DF＝DC＝7，EF＝3，∴BC＝AD＝7+3+7＝17，故选：A．2．如图，已知△ABC的面积为12，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC＝4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【解析】解：连接AF、EC．∵BC＝4CF，S△ABC＝12，∴S△ACF12＝3，∵四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF，EF∥AC，∴S△DEB＝S△DEC，∴S阴＝S△ADE+S△DEC＝S△AEC，∵EF∥AC，∴S△AEC＝S△ACF＝3，∴S阴＝3．故选：B．3．如图，▱ABCD中，E是BC边上一点，且AB＝AE．若AE平分∠DAB，∠EAC＝27°，则∠AED的度数为__________．【答案】87°【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∴∠DAE＝∠AEB，∵∠EAB＝∠EAD，∴∠EAB＝∠AEB，∴BA＝BE，∵AB＝AE，∴AB＝BE＝AE，∴∠B＝∠BAE＝∠AEB＝60°，∴∠EAD＝∠CDA＝60°，∵EA＝AB，CD＝AB，∴EA＝CD，∵AD＝DA，∴∠AED≌△DCA，∴∠AED＝∠DCA，∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC＝60°+27°＝87°，∴∠AED＝87°．4．已知：如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F．（1）求证：OE＝OF；（2）楚接BE，DF，求证：BE＝DF．【答案】见解析【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，在△OAF和△OCE中，，∴△AOF≌△COE（ASA），∴OE＝OF；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∵OE＝OF，∴四边形DEBF是平行四边形，∴BE＝DF．中心对称图形【典例】例1．有下列图形：①线段，②三角形，③平行四边形，④正方形，⑤等腰三角形，⑥菱形，其中不是中心对称图形的是_________．（填序号）【答案】②⑤【解析】解：①线段，②三角形，③平行四边形，④正方形，⑤等腰三角形，⑥菱形，其中不是中心对称图形的是：②三角形，⑤等腰三角形，故答案为：②⑤．【点睛】根据中心对称图形的概念进行逐项分析，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，运用排除法即可确定答案．本题主要考查中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，关键在于熟练运用中心对称图形的概念进行逐项分析．例2．如图，△ABC与△A′BC′是成中心对称的两个图形，则下列说法不正确的是（）A．AB＝A′B′，BC＝B′C B．AB∥A′B