专题09有理数的加法（原卷版）

专题09有理数的加法1．了解有理数加法的意义，理解有理数加法法则的合理性；2．能运用有理数加法法则，正确进行有理数加法运算；3．经历探索有理数加法法则的过程，感受数学学习的方法；4.能合理使用加法运算律使运算简便。【思考1】一间0°C冷藏室连续两次改变温度：(1)第一次上升5°C，接着再上升3°C；(2)第一次下降5°C，接着再下降3°C；(3)第一次下降5°C，接着再上升3°C；(4)第一次下降3°C，接着再上升5°C。问：连续两次变化使温度共上升了多少摄氏度?注意：(1)上升：下降5°C，即上升5°C；下降3C，即上升3°C；(2)共：对连续两次温度变化进行求和；（3）可借助温度计（或数轴）理解。1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数．注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定数字；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则；3.运算律：有理数加法运算律加法交换律文字语言两个数相加，交换加数的位置，和不变符号语言a+b＝b+a加法结合律文字语言三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变符号语言(a+b)+c＝a+(b+c)注意：1）利用加法交换律、结合律,可以使运算简化,认识运算律对于理解运算有很重要的意义.2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用.考点1、有理数加法法则的辨析【解题技巧】有理数加法的法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；③一个数同0相加，仍得这个数．例1．（2022秋·江苏常州·七年级校考阶段练习）下列说法中正确的是（

）A．两数相加，其和大于任何一个加数B．异号两数相加，其和小于任何一个加数C．绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零D．两数相加，取较小一个加数的符号作为结果的符号例2．（2022·广东七年级期中）（1）若，，，则____（2）若，，，则____变式1．（2022秋·四川乐山·七年级统考期中）已知两数的和为正，下面的判断中，正确的是（

）A．两个加数必须都为正数 B．两个加数都为负数C．两个加数中至少有一个正数 D．两个加数必须一正，一负变式2．（2022秋·福建三明·七年级统考期中）两个有理数的和为负数，那么这两个数一定（）A．都是负数B．至少有一个是负数C．有一个是0D．绝对值不相等变式3．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则______0．（填“>”“=”或“<”）

考点2、有理数的加法运算【解题技巧】根据有理数加法的法则计算即可。例1．（2023·宁夏吴忠·校考二模）计算的结果是（

）A． B．3 C．7 D．例2．（2023·河北石家庄·统考二模）若要等式4成立，“”中应填的运算符号是（

）A． B． C． D．变式1．（2023·河北保定·统考二模）按照有理数加法法则，计算的正确过程是（）A． B． C． D．变式2．（2023·天津河西·统考二模）计算的结果等于（

）A．5 B．3 C． D．变式3．（2022秋·河南驻马店·七年级校考阶段练习）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在其著作的《九章算术注》中，用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负），如图1表示的是，根据这种表示法，图2所表示的算式是，由此可推算出图2被盖住的部分是（

）A． B． C． D．考点3、有理数加法的运算律【解题技巧】有理数常见简算方法：①相反数结合——抵消；②同号结合——符号易确定；③同分母结合法——无需通分（分母倍数的也可考虑）；④凑整数；⑤同行结合法——分数拆分为整数和分数。例1．（2022秋·河南南阳·七年级统考期中）计算，比较合适的做法是（）A．把第一、三两个加数结合，第二、四两个加数结合B．把第一、二两个加数结合，第三、四两个加数结合C．把第一、四两个加数结合，第二、三两个加数结合D．把第一、二、四这三个加数结合例2．（2022秋·七年级课时练习）计算：(1)（﹣3）+40+（﹣32）+（﹣8）(2)43+（﹣77）+27+（﹣43）(3)18+（﹣16）+（﹣23）+16(4)（﹣3）+（+7）+4+3+（﹣5）+（﹣4）(5)5.6+（﹣0.9）+4.4+（﹣8.1）(6)（﹣2）+17+（+12）+（﹣4）例3．（2022秋·广东广州·七年级校考期中）阅读下面的解题方法．计算：．解：原式．上述解题方法叫做拆项法，按此方法计算：．变式1．（2022·浙江金华·七年级校考阶段练习）计算时运算律用得恰当的是（）A． B．C． D．变式2．（2022·河南南阳·七年级校考阶段练习）计算(1)；(2)．变式3．（2022秋·福建泉州·七年级校考阶段练习）计算：(1)(2)考点4、有理数加法在生活实际中的应用【解题技巧】有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。例1．（2022·江苏淮安·七年级校考阶段练习）某次数学考试成绩以80分为标准，高于80分记为“”，低于80分记为“”，例如：78分记为“”，81分记为“”，将某小组五名同学的成绩简记为，，，，0，则这五名同学的平均成绩应为__．例2．（2022秋·吉林松原·七年级统考期中）现有甲、乙两支同样的温度计，将它们按如图位置放置，如果向左移动甲温度计，使其度数12与乙温度计的度数对齐，那么此时乙温度计与甲温度计数对齐的度数是____________．例3．（2023·北京房山·统考二模）甲、乙、丙三位同学进行象棋比赛训练，两人先比，若分出胜负，则由第三个人与胜者比赛；若是和棋，则这两个人继续下一局比赛，直到分出胜负．如此进行……比赛若干局后，甲胜4局，负2局；乙胜3局，负3局；若丙负3局，那么丙胜了___________局，三位同学至少进行了___________局比赛．变式1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）西岳华山，是我国著名的五岳之一.已知华山山顶某日早晨的气温是，到中午上升了，则华山山顶这天中午的气温是（

）A． B． C． D．变式2．（2022秋·山东临沂·七年级统考期中）小明在家庭的熏陶和学校的教育下，养成了好习惯．他把家里可回收物积攒起来拿到废品收购站回收换钱，这样既保护了环境，又可以为自己积攒一些零花钱．下表是他国庆节期间的部分收支情况（单位：元）．日期收入或支出结余备注1日卖可回收物5日买书，不足部分由妈妈代付下列说法正确的是（）A．国庆节这天卖可回收物换收入元B．买书花了元C．买书时妈妈代付元D．买书的钱与妈妈代付的钱数之和是21元变式3．（2023·北京海淀·校考模拟预测）为了鼓励本次模拟练习取得进步的同学，某班决定给该部分同学发放奖品，学习用品商店为了提高营业额，将商品打包促销（每个大礼包限购1个），老师发现了编号分别为，，，，，的六个大礼包中均含有老师需要的一、二、三等奖的奖品，每个大礼包中的各类奖品数量如下：大礼包编号一等奖（个）二等奖（个）三等奖（个）总奖品数（个）154102338314842511513934512该班需要的总的奖品个数不超过41个，且一等奖的个数不少于8个，不超过14个，二等奖的个数不少于7个，不超过13个，且三等奖的个数最多，请同学们帮助老师写出满足条件的购买方案____________（写出要购买的大礼包编号）考点5、有理数加法的运用（幻方问题）【解题技巧】利用幻方和相等建立等量关系或直接幻方和相等的性质解题即可。例1．（2023秋·广东阳江·七年级统考期末）如图，是由3×3的方格构成的幻方，每一行，每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的和均相等，称为“幻方”．则的值为（

）A．4 B．3 C．0 D．例2．（2022·北京西城·七年级期末）在如图所示的星形图案中，十个“圆圈”中的数字分别是1，2，3，4，5，6，8，9，10，12，并且每条“直线”上的四个数字之和都相等．请将图中的数字补全______．变式1．（2022秋·天津南开·七年级统考期中）把，，，，这五个数填入下列圆中，使行、列三个数的和相等，其中错误的是（

）A．B．C．D．变式2．（2023秋·山西朔州·七年级统考期末）在如图所示的三阶幻方中，填写了一些数、式子和汉字（其中每个式子或汉字都表示一个数），若处于每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等，则“中国梦”这三个字表示的数之和为_____．﹣2中国4﹣1梦x2变式3．（2023·河北唐山·统考二模）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．有一种特殊的三角形幻方，是由4个较小的三角形和3个较大的三角形构成，且满足每个三角形三个顶点处的数之和相等．如图1，是这种特殊三角形幻方，阴影部分的三角形三个顶点处的数之和为，该图中每个三角形三个顶点处的数字之和都为15，图2是这种特殊的三角形幻方．

（1）若，则A处的数值为________；（2）①用含m的代数式表示________；②x的值为________考点6、有理数加法的运用（新定义）【解题技巧】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.例1．（2023秋·河北石家庄·七年级统考期末）对于一个非整数的有理数（为整数），我们规定：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，表示最接近的整数．例如，，，．则使成立的的取值范围为（

）A．B．C．且D．以上答案都不对例2．（2022秋·北京通州·七年级统考期中）用符号表示a，b两个有理数中的较大的数，用符号表示a，b两个有理数中的较小的数，则的值为________．变式1．（2022秋·重庆·七年级校考期中）对有理数a、b定义新运算如下：，则_________．变式2．（2022秋·七年级单元测试）设表示不超过的最大整数，计算：______．变式3．（2022秋·重庆七年级课时练习）古代埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此这种分数也叫做埃及分数，我们注意到，某些真分数恰好可以写成两个埃及分数的和，例如：，则写成两个埃及分数的和的形式为为=___________．A级（基础过关）1．（2023·天津西青·统考二模）计算的结果等于（

）A． B．5 C． D．92．（2023·江苏南通·统考一模）移动支付给生活带来便捷．如图是小颖某天微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小颖当天微信收支的最终结果是（

）A．收入18元 B．收入6元 C．支出6元 D．支出12元3．（2023秋·湖南株洲·七年级统考期末）魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负），图（1）表示的是的计算过程，则图（2）表示的计算过程是（）A．B．C．D．4．（2022秋·河北邢台·七年级金华中学校考阶段练习）在计算时，按照有理数加法法则，需转化成（

）A． B． C． D．5．（2022秋·广东七年级期末）在计算时，佳佳的板演过程如下：解：原式．老师问：“佳佳同学在解答过程中运用了哪些运算律？”甲同学回答说：“佳佳在解答过程中运用了加法交换律”；乙同学回答说：“佳佳在解答过程中运用了加法结合律”；丙同学回答说：“佳佳在解答过程中既运用了加法交换律，也运用了加法结合律”．下列对甲、乙、丙三名同学说法判断正确的是（

）A．甲同学说的对B．乙同学说的对C．丙同学说的对D．甲、乙、丙说的都不对6．（2023秋·山东济宁·七年级统考期末）下列是运用有理数加法法则计算思考、计算过程的叙述：①和2的绝对值分别为5和2；②的绝对值5较大；2的绝对值2较小③是异号两数相加；④结果的绝对值是用得到；⑤计算结果为；⑥结果的符号是取的符号－－负号；请按运用法则思考、计算过程的先后顺序排序（只写序号）：______．7．（2022秋·山东青岛·七年级校考阶段练习）如果，，且，那么的值是___________．8．（2023·重庆·九年级专题练习）如图的数轴上表示整数的点部分被墨迹盖住，那么被盖住的点表示整数的和为_________．9．（2022秋·河南南阳·七年级统考期中）我国新疆大部分地区春夏和秋冬之交温差极大，故历来有“早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”之说．如果其某地某天的最低气温为，且全天最大温差为30℃，那么当天的最高气温是_________℃．10．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）已知，，且，则的值为______．11．（2022秋·福建福州·七年级校考期中）在计算“”时，小明同学的做法如图所示，其中步骤①所运用的运算法则或运算律是_______．①_________，同号两数的加法法则异号两数的加法法则12．（2022秋·河南郑州·七年级校考阶段练习）（1）如图，下面两个图分别表示负数集合和分数集合，请你把下列各数填入它所在数集的圈里．3.5，，0，，，3，，．（2）在（1）图中两个圈的重叠部分表示____________数的集合．（3）列式并计算：在（1）的数据中，求最大的数与最小的数的和．13．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）计算(1)(2)(3)(4)14．（2022秋·江苏·七年级专题练习）计算：(1)3+（−10）+9+（−12）+7(2)（−0.19）+（−3.27）+（+6.19）+（−5）+2.27(3)1+（−2）++(4)4.4+（−）+（−7）+（−3）+（−2.4）15．（2022秋·河南信阳·七年级校考阶段练习）用简便的方法计算：(1)；(2)．16．（2023秋·湖南常德·七年级校联考期末）已知箱苹果，以每箱千克为标准，超过千克的数记为正数，不足千克的数记为负数，称重记录如下：(1)求箱苹果的总重量．(2)若每箱苹果的重量标准为（千克），则这箱有几箱不符合标准的？B级（能力提升）1．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）若“”的值为负数，则“□”不可能是（

）A．－1 B．0 C． D．32．（2023·河北·模拟预测）若两个非零的有理数a、b，满足：，，，则在数轴上表示数的点正确的是（

）A． B．C． D．3．（2021秋·贵州铜仁·七年级校考阶段练习）已知两个有理数，那么a+b与a，必定是（

）A． B． C． D．以上都不对4．（2022秋·广东中山·七年级期中）下列变形，运用加法运算律正确的是（

）A． B．C． D．5．（2022秋·辽宁葫芦岛·七年级校考阶段练习）一名粗心的同学在进行加法运算时，将“”错写成“”进行运算，这样他得到的结果比正确答案（

）A．少5 B．少10 C．多5 D．多106．（2022秋·广东东莞·七年级校考期中）计算：______．7．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）“幻方”最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为______．8．（2022秋·辽宁大连·七年级统考期末）观察下面*运算的运算结论．，；，；；．…根据观察，归纳＊运算的运算法则为：“两数相，同号得正，异号得负，______；特别地，0和任何数运算或任何数和0运算，都得这个数的绝对值．”9．（2022秋·全国·八年级专题练习）某班教室桌椅摆放成三个组，每天放学后安排三位同学做清洁，清洁内容包括以下3项：①调整桌椅；②扫地；③拖地，其中项目①②顺序可以交换，但项目③必须放在最后完成．某清洁小组的三位固定搭档每次流水操作完成：A同学只负责项目①，B同学只负责项目②，C同学只负责项目③，每组每项完成时间详见表：项目时间分钟组别①调整桌椅（A同学）②扫地（B同学）③拖地（C同学）第一组543第二组654第三组432若每个组同一时间只能有一名同学进行清扫工作，则将三个组都打扫干净至少需要___分钟．10．（2022秋·山东烟台·八年级统考期中）计算的值为___________．11．（2022秋·河北廊坊·七年级校考阶段练习）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读并解答题目后提出的探究问题．第一步：【提出问题】三个有理数满足，求的值．第二步：【解决问题】解：由题意三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数，①当都是正数，即、、时，则：．②当有一个为正数，另两个为负数时，设、、，则：．所以的值为或．第三步：【探究问题】请根据上面的解题思路解答下面的问题：三个有理数满足，求的值．12．（2022秋·山东青岛·七年级校考期末）据说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个很奇怪的图形，古人认为是一种祥瑞，预示着洪水将被夏禹王彻底制服．后人称之为“洛书”（如图1所示），即现在的三阶幻方．(1)请将1～9这九个数按照“洛书”表达的意思填在三行三列的数表中（图2），使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等．(2)将，，0，1，2，3，4，5，6填入到图3的方格中，使得每行、每列、斜对角的三个数之和相等．(3)图4是一个不完整的幻方，请将你认为正确的7个整数填入表格中，使得每行、每列、斜对角的三个数之和相等．(4)请将116剩余数字填入到图5的表格中，使得每行、每列、斜对角的四个数之和相等，构成四阶幻方．13．（2023秋·湖北随州·七年级统考期末）一辆公共汽车从起点站开出后，途中经过7个停靠站，最后到达终点站，下表记录了这辆公共汽车全程载客变化情况，其中正数表示上车人数．停靠站起点站中间第1站中间第2站中间第3站中间第4站中间第5站中间第6站中间第7站终点站上下车人数00(1)中间第2站上车人数是______人，下车人数是______人，开车时车上人数是______人；(2)中间的7个站中，第______站没有人上车，第______站没有人下车，第______站上车人数与下车人数相同；(3)从表中你还能知道什么信息？请说出一条即可．14．（2022秋·山东烟台·六年级统考期中）阅读材料：对于可以如下计算：原式．上面这种方法叫拆数法，仿照上面的方法，请你计算：．15．（2022秋·河南信阳·七年级校考期中）对于一个数x，我们用表示小于x的最大整数，例如，．(1)填空：__________；__________；___________．(2)若a，b都是整数，且和互为相反数，求的相反数．C级（培优拓展）1．（2022秋·浙江金华·七年级统考阶段练习）若，，且，则的值（）A．大于B．小于C．大于或等于D．小于或等于2．（2023秋·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，数轴上依次有，，，，五个点，其中，，三点所表示的数分别为，，，且．如果有，，，那么该数轴原点的位置应该在（）A．点在线段（不包括端点）上 B．点在线段（不包括端点）上C．点在线段（不包括端点）上 D．点在线段（不包括端点）上3．（2022秋·江苏常州·七年级校考阶段练习）如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，a+b，b，那么原点的位置可能是（）A．线段AM上，且靠近点A B．线段AB上，且靠近点BC．线段BM上，且靠近点B D．线段BM上，且靠近点M4．（2023·江苏常州·统考二模）如图，将数轴上与8两点间的线段六等分，五个等分点所对应的数依次为，，，，，则______0（填“>”、“=”或“<”）．5．（2023秋·北京平谷·七年级统考期末）黑板上写着7个数，分别为：，a，1，13，b，0，，它们的和为，若每次从中任意擦除两个数，同时写上一个新数（新数为所擦除的两个数的和加上1），这样操作若干次，直至黑板上只剩下一个数，则所剩的这个数是____________．6．（2022秋·浙江嘉兴·七年级校联考期中）爱动脑筋的小明同学设计了一种“幻圆”游戏，将1，，3，，5，，7，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将，，7，这四个数填入了圆圈，则图中的值为__．7.（2022·浙江嘉兴市·七年级期末