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文档简介
专题09有理数的加法1.了解有理数加法的意义,理解有理数加法法则的合理性;2.能运用有理数加法法则,正确进行有理数加法运算;3.经历探索有理数加法法则的过程,感受数学学习的方法;4.能合理使用加法运算律使运算简便。【思考1】一间0°C冷藏室连续两次改变温度:(1)第一次上升5°C,接着再上升3°C;(2)第一次下降5°C,接着再下降3°C;(3)第一次下降5°C,接着再上升3°C;(4)第一次下降3°C,接着再上升5°C。问:连续两次变化使温度共上升了多少摄氏度?注意:(1)上升:下降5°C,即上升5°C;下降3C,即上升3°C;(2)共:对连续两次温度变化进行求和;(3)可借助温度计(或数轴)理解。1.定义:把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法.2.法则:(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;(2)绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0;(3)一个数同0相加,仍得这个数.注意:1)有理数的运算分两步走,第一步,确定符号,第二步,确定数字;2)计算的时候要看清符号,同时要熟练掌握计算法则;3.运算律:有理数加法运算律加法交换律文字语言两个数相加,交换加数的位置,和不变符号语言a+b=b+a加法结合律文字语言三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变符号语言(a+b)+c=a+(b+c)注意:1)利用加法交换律、结合律,可以使运算简化,认识运算律对于理解运算有很重要的意义.2)注意两种运算律的正用和反用,以及混合运用.考点1、有理数加法法则的辨析【解题技巧】有理数加法的法则:①同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;②绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0;③一个数同0相加,仍得这个数.例1.(2022秋·江苏常州·七年级校考阶段练习)下列说法中正确的是(
)A.两数相加,其和大于任何一个加数B.异号两数相加,其和小于任何一个加数C.绝对值相等的异号两数相加,其和一定为零D.两数相加,取较小一个加数的符号作为结果的符号例2.(2022·广东七年级期中)(1)若,,,则____(2)若,,,则____变式1.(2022秋·四川乐山·七年级统考期中)已知两数的和为正,下面的判断中,正确的是(
)A.两个加数必须都为正数 B.两个加数都为负数C.两个加数中至少有一个正数 D.两个加数必须一正,一负变式2.(2022秋·福建三明·七年级统考期中)两个有理数的和为负数,那么这两个数一定()A.都是负数B.至少有一个是负数C.有一个是0D.绝对值不相等变式3.(2023·陕西西安·校考模拟预测)如图,实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示,则______0.(填“>”“=”或“<”)
考点2、有理数的加法运算【解题技巧】根据有理数加法的法则计算即可。例1.(2023·宁夏吴忠·校考二模)计算的结果是(
)A. B.3 C.7 D.例2.(2023·河北石家庄·统考二模)若要等式4成立,“”中应填的运算符号是(
)A. B. C. D.变式1.(2023·河北保定·统考二模)按照有理数加法法则,计算的正确过程是()A. B. C. D.变式2.(2023·天津河西·统考二模)计算的结果等于(
)A.5 B.3 C. D.变式3.(2022秋·河南驻马店·七年级校考阶段练习)中国人最先使用负数,魏晋时期的数学家刘徽在其著作的《九章算术注》中,用不同颜色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数(红色为正,黑色为负),如图1表示的是,根据这种表示法,图2所表示的算式是,由此可推算出图2被盖住的部分是(
)A. B. C. D.考点3、有理数加法的运算律【解题技巧】有理数常见简算方法:①相反数结合——抵消;②同号结合——符号易确定;③同分母结合法——无需通分(分母倍数的也可考虑);④凑整数;⑤同行结合法——分数拆分为整数和分数。例1.(2022秋·河南南阳·七年级统考期中)计算,比较合适的做法是()A.把第一、三两个加数结合,第二、四两个加数结合B.把第一、二两个加数结合,第三、四两个加数结合C.把第一、四两个加数结合,第二、三两个加数结合D.把第一、二、四这三个加数结合例2.(2022秋·七年级课时练习)计算:(1)(﹣3)+40+(﹣32)+(﹣8)(2)43+(﹣77)+27+(﹣43)(3)18+(﹣16)+(﹣23)+16(4)(﹣3)+(+7)+4+3+(﹣5)+(﹣4)(5)5.6+(﹣0.9)+4.4+(﹣8.1)(6)(﹣2)+17+(+12)+(﹣4)例3.(2022秋·广东广州·七年级校考期中)阅读下面的解题方法.计算:.解:原式.上述解题方法叫做拆项法,按此方法计算:.变式1.(2022·浙江金华·七年级校考阶段练习)计算时运算律用得恰当的是()A. B.C. D.变式2.(2022·河南南阳·七年级校考阶段练习)计算(1);(2).变式3.(2022秋·福建泉州·七年级校考阶段练习)计算:(1)(2)考点4、有理数加法在生活实际中的应用【解题技巧】有理数运算相关的实际应用题种类较多,但是很多题目只是所给的情境不一样,解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系,找准解题的方法和技巧。例1.(2022·江苏淮安·七年级校考阶段练习)某次数学考试成绩以80分为标准,高于80分记为“”,低于80分记为“”,例如:78分记为“”,81分记为“”,将某小组五名同学的成绩简记为,,,,0,则这五名同学的平均成绩应为__.例2.(2022秋·吉林松原·七年级统考期中)现有甲、乙两支同样的温度计,将它们按如图位置放置,如果向左移动甲温度计,使其度数12与乙温度计的度数对齐,那么此时乙温度计与甲温度计数对齐的度数是____________.例3.(2023·北京房山·统考二模)甲、乙、丙三位同学进行象棋比赛训练,两人先比,若分出胜负,则由第三个人与胜者比赛;若是和棋,则这两个人继续下一局比赛,直到分出胜负.如此进行……比赛若干局后,甲胜4局,负2局;乙胜3局,负3局;若丙负3局,那么丙胜了___________局,三位同学至少进行了___________局比赛.变式1.(2023·陕西西安·校考模拟预测)西岳华山,是我国著名的五岳之一.已知华山山顶某日早晨的气温是,到中午上升了,则华山山顶这天中午的气温是(
)A. B. C. D.变式2.(2022秋·山东临沂·七年级统考期中)小明在家庭的熏陶和学校的教育下,养成了好习惯.他把家里可回收物积攒起来拿到废品收购站回收换钱,这样既保护了环境,又可以为自己积攒一些零花钱.下表是他国庆节期间的部分收支情况(单位:元).日期收入或支出结余备注1日卖可回收物5日买书,不足部分由妈妈代付下列说法正确的是()A.国庆节这天卖可回收物换收入元B.买书花了元C.买书时妈妈代付元D.买书的钱与妈妈代付的钱数之和是21元变式3.(2023·北京海淀·校考模拟预测)为了鼓励本次模拟练习取得进步的同学,某班决定给该部分同学发放奖品,学习用品商店为了提高营业额,将商品打包促销(每个大礼包限购1个),老师发现了编号分别为,,,,,的六个大礼包中均含有老师需要的一、二、三等奖的奖品,每个大礼包中的各类奖品数量如下:大礼包编号一等奖(个)二等奖(个)三等奖(个)总奖品数(个)154102338314842511513934512该班需要的总的奖品个数不超过41个,且一等奖的个数不少于8个,不超过14个,二等奖的个数不少于7个,不超过13个,且三等奖的个数最多,请同学们帮助老师写出满足条件的购买方案____________(写出要购买的大礼包编号)考点5、有理数加法的运用(幻方问题)【解题技巧】利用幻方和相等建立等量关系或直接幻方和相等的性质解题即可。例1.(2023秋·广东阳江·七年级统考期末)如图,是由3×3的方格构成的幻方,每一行,每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的和均相等,称为“幻方”.则的值为(
)A.4 B.3 C.0 D.例2.(2022·北京西城·七年级期末)在如图所示的星形图案中,十个“圆圈”中的数字分别是1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,并且每条“直线”上的四个数字之和都相等.请将图中的数字补全______.变式1.(2022秋·天津南开·七年级统考期中)把,,,,这五个数填入下列圆中,使行、列三个数的和相等,其中错误的是(
)A.B.C.D.变式2.(2023秋·山西朔州·七年级统考期末)在如图所示的三阶幻方中,填写了一些数、式子和汉字(其中每个式子或汉字都表示一个数),若处于每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等,则“中国梦”这三个字表示的数之和为_____.﹣2中国4﹣1梦x2变式3.(2023·河北唐山·统考二模)幻方的历史悠久,传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中.有一种特殊的三角形幻方,是由4个较小的三角形和3个较大的三角形构成,且满足每个三角形三个顶点处的数之和相等.如图1,是这种特殊三角形幻方,阴影部分的三角形三个顶点处的数之和为,该图中每个三角形三个顶点处的数字之和都为15,图2是这种特殊的三角形幻方.
(1)若,则A处的数值为________;(2)①用含m的代数式表示________;②x的值为________考点6、有理数加法的运用(新定义)【解题技巧】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号,要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解,而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型:(1)定义新运算;(2)定义初、高中知识衔接“新知识”;(3)定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识,以及灵活运用知识的能力,解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来,利用已有的知识经验来解决问题.例1.(2023秋·河北石家庄·七年级统考期末)对于一个非整数的有理数(为整数),我们规定:表示不大于的最大整数,表示不小于的最小整数,表示最接近的整数.例如,,,.则使成立的的取值范围为(
)A.B.C.且D.以上答案都不对例2.(2022秋·北京通州·七年级统考期中)用符号表示a,b两个有理数中的较大的数,用符号表示a,b两个有理数中的较小的数,则的值为________.变式1.(2022秋·重庆·七年级校考期中)对有理数a、b定义新运算如下:,则_________.变式2.(2022秋·七年级单元测试)设表示不超过的最大整数,计算:______.变式3.(2022秋·重庆七年级课时练习)古代埃及人在进行分数运算时,只使用分子是1的分数,因此这种分数也叫做埃及分数,我们注意到,某些真分数恰好可以写成两个埃及分数的和,例如:,则写成两个埃及分数的和的形式为为=___________.A级(基础过关)1.(2023·天津西青·统考二模)计算的结果等于(
)A. B.5 C. D.92.(2023·江苏南通·统考一模)移动支付给生活带来便捷.如图是小颖某天微信账单的收支明细(正数表示收入,负数表示支出,单位:元),小颖当天微信收支的最终结果是(
)A.收入18元 B.收入6元 C.支出6元 D.支出12元3.(2023秋·湖南株洲·七年级统考期末)魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中用不同颜色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数(白色为正,黑色为负),图(1)表示的是的计算过程,则图(2)表示的计算过程是()A.B.C.D.4.(2022秋·河北邢台·七年级金华中学校考阶段练习)在计算时,按照有理数加法法则,需转化成(
)A. B. C. D.5.(2022秋·广东七年级期末)在计算时,佳佳的板演过程如下:解:原式.老师问:“佳佳同学在解答过程中运用了哪些运算律?”甲同学回答说:“佳佳在解答过程中运用了加法交换律”;乙同学回答说:“佳佳在解答过程中运用了加法结合律”;丙同学回答说:“佳佳在解答过程中既运用了加法交换律,也运用了加法结合律”.下列对甲、乙、丙三名同学说法判断正确的是(
)A.甲同学说的对B.乙同学说的对C.丙同学说的对D.甲、乙、丙说的都不对6.(2023秋·山东济宁·七年级统考期末)下列是运用有理数加法法则计算思考、计算过程的叙述:①和2的绝对值分别为5和2;②的绝对值5较大;2的绝对值2较小③是异号两数相加;④结果的绝对值是用得到;⑤计算结果为;⑥结果的符号是取的符号--负号;请按运用法则思考、计算过程的先后顺序排序(只写序号):______.7.(2022秋·山东青岛·七年级校考阶段练习)如果,,且,那么的值是___________.8.(2023·重庆·九年级专题练习)如图的数轴上表示整数的点部分被墨迹盖住,那么被盖住的点表示整数的和为_________.9.(2022秋·河南南阳·七年级统考期中)我国新疆大部分地区春夏和秋冬之交温差极大,故历来有“早穿皮袄午穿纱,围着火炉吃西瓜”之说.如果其某地某天的最低气温为,且全天最大温差为30℃,那么当天的最高气温是_________℃.10.(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习)已知,,且,则的值为______.11.(2022秋·福建福州·七年级校考期中)在计算“”时,小明同学的做法如图所示,其中步骤①所运用的运算法则或运算律是_______.①_________,同号两数的加法法则异号两数的加法法则12.(2022秋·河南郑州·七年级校考阶段练习)(1)如图,下面两个图分别表示负数集合和分数集合,请你把下列各数填入它所在数集的圈里.3.5,,0,,,3,,.(2)在(1)图中两个圈的重叠部分表示____________数的集合.(3)列式并计算:在(1)的数据中,求最大的数与最小的数的和.13.(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习)计算(1)(2)(3)(4)14.(2022秋·江苏·七年级专题练习)计算:(1)3+(−10)+9+(−12)+7(2)(−0.19)+(−3.27)+(+6.19)+(−5)+2.27(3)1+(−2)++(4)4.4+(−)+(−7)+(−3)+(−2.4)15.(2022秋·河南信阳·七年级校考阶段练习)用简便的方法计算:(1);(2).16.(2023秋·湖南常德·七年级校联考期末)已知箱苹果,以每箱千克为标准,超过千克的数记为正数,不足千克的数记为负数,称重记录如下:(1)求箱苹果的总重量.(2)若每箱苹果的重量标准为(千克),则这箱有几箱不符合标准的?B级(能力提升)1.(2023·河北衡水·校联考模拟预测)若“”的值为负数,则“□”不可能是(
)A.-1 B.0 C. D.32.(2023·河北·模拟预测)若两个非零的有理数a、b,满足:,,,则在数轴上表示数的点正确的是(
)A. B.C. D.3.(2021秋·贵州铜仁·七年级校考阶段练习)已知两个有理数,那么a+b与a,必定是(
)A. B. C. D.以上都不对4.(2022秋·广东中山·七年级期中)下列变形,运用加法运算律正确的是(
)A. B.C. D.5.(2022秋·辽宁葫芦岛·七年级校考阶段练习)一名粗心的同学在进行加法运算时,将“”错写成“”进行运算,这样他得到的结果比正确答案(
)A.少5 B.少10 C.多5 D.多106.(2022秋·广东东莞·七年级校考期中)计算:______.7.(2023·广东深圳·校联考模拟预测)“幻方”最早源于我国,古人称之为纵横图.如图所示的幻方中,各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等,则图中a的值为______.8.(2022秋·辽宁大连·七年级统考期末)观察下面*运算的运算结论.,;,;;.…根据观察,归纳*运算的运算法则为:“两数相,同号得正,异号得负,______;特别地,0和任何数运算或任何数和0运算,都得这个数的绝对值.”9.(2022秋·全国·八年级专题练习)某班教室桌椅摆放成三个组,每天放学后安排三位同学做清洁,清洁内容包括以下3项:①调整桌椅;②扫地;③拖地,其中项目①②顺序可以交换,但项目③必须放在最后完成.某清洁小组的三位固定搭档每次流水操作完成:A同学只负责项目①,B同学只负责项目②,C同学只负责项目③,每组每项完成时间详见表:项目时间分钟组别①调整桌椅(A同学)②扫地(B同学)③拖地(C同学)第一组543第二组654第三组432若每个组同一时间只能有一名同学进行清扫工作,则将三个组都打扫干净至少需要___分钟.10.(2022秋·山东烟台·八年级统考期中)计算的值为___________.11.(2022秋·河北廊坊·七年级校考阶段练习)在解决数学问题的过程中,我们常用到“分类讨论”的数学思想,下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程,请仔细阅读并解答题目后提出的探究问题.第一步:【提出问题】三个有理数满足,求的值.第二步:【解决问题】解:由题意三个有理数都为正数或其中一个为正数,另两个为负数,①当都是正数,即、、时,则:.②当有一个为正数,另两个为负数时,设、、,则:.所以的值为或.第三步:【探究问题】请根据上面的解题思路解答下面的问题:三个有理数满足,求的值.12.(2022秋·山东青岛·七年级校考期末)据说夏禹治水时,在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟,背上有一个很奇怪的图形,古人认为是一种祥瑞,预示着洪水将被夏禹王彻底制服.后人称之为“洛书”(如图1所示),即现在的三阶幻方.(1)请将1~9这九个数按照“洛书”表达的意思填在三行三列的数表中(图2),使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等.(2)将,,0,1,2,3,4,5,6填入到图3的方格中,使得每行、每列、斜对角的三个数之和相等.(3)图4是一个不完整的幻方,请将你认为正确的7个整数填入表格中,使得每行、每列、斜对角的三个数之和相等.(4)请将116剩余数字填入到图5的表格中,使得每行、每列、斜对角的四个数之和相等,构成四阶幻方.13.(2023秋·湖北随州·七年级统考期末)一辆公共汽车从起点站开出后,途中经过7个停靠站,最后到达终点站,下表记录了这辆公共汽车全程载客变化情况,其中正数表示上车人数.停靠站起点站中间第1站中间第2站中间第3站中间第4站中间第5站中间第6站中间第7站终点站上下车人数00(1)中间第2站上车人数是______人,下车人数是______人,开车时车上人数是______人;(2)中间的7个站中,第______站没有人上车,第______站没有人下车,第______站上车人数与下车人数相同;(3)从表中你还能知道什么信息?请说出一条即可.14.(2022秋·山东烟台·六年级统考期中)阅读材料:对于可以如下计算:原式.上面这种方法叫拆数法,仿照上面的方法,请你计算:.15.(2022秋·河南信阳·七年级校考期中)对于一个数x,我们用表示小于x的最大整数,例如,.(1)填空:__________;__________;___________.(2)若a,b都是整数,且和互为相反数,求的相反数.C级(培优拓展)1.(2022秋·浙江金华·七年级统考阶段练习)若,,且,则的值()A.大于B.小于C.大于或等于D.小于或等于2.(2023秋·浙江绍兴·七年级统考期末)如图,数轴上依次有,,,,五个点,其中,,三点所表示的数分别为,,,且.如果有,,,那么该数轴原点的位置应该在()A.点在线段(不包括端点)上 B.点在线段(不包括端点)上C.点在线段(不包括端点)上 D.点在线段(不包括端点)上3.(2022秋·江苏常州·七年级校考阶段练习)如图,数轴上点A,M,B分别表示数a,a+b,b,那么原点的位置可能是()A.线段AM上,且靠近点A B.线段AB上,且靠近点BC.线段BM上,且靠近点B D.线段BM上,且靠近点M4.(2023·江苏常州·统考二模)如图,将数轴上与8两点间的线段六等分,五个等分点所对应的数依次为,,,,,则______0(填“>”、“=”或“<”).5.(2023秋·北京平谷·七年级统考期末)黑板上写着7个数,分别为:,a,1,13,b,0,,它们的和为,若每次从中任意擦除两个数,同时写上一个新数(新数为所擦除的两个数的和加上1),这样操作若干次,直至黑板上只剩下一个数,则所剩的这个数是____________.6.(2022秋·浙江嘉兴·七年级校联考期中)爱动脑筋的小明同学设计了一种“幻圆”游戏,将1,,3,,5,,7,分别填入图中的圆圈内,使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等,他已经将,,7,这四个数填入了圆圈,则图中的值为__.7.(2022·浙江嘉兴市·七年级期末
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