专题02数的整除（难点）

专题02数的整除（难点）一、单选题1．下列说法中正确的是（

）①能够除尽的算式，被除数一定能被除数整除②最小的素数是③合数一定是偶数④没有最大的素数A．①、② B．②、③ C．②、④ D．③、④【答案】C【分析】利用整除的定义、素数定义及合数定义判断即可【解析】解：能够除尽的算式，商为整数，叫做被除数能被除数整除，故①错误；最小的素数是，故②正确；合数不一定是偶数，例如：是合数但是不是偶数，故③错误；没有最大的素数，故④正确，故选：C【点睛】本题考查了有理数的除法，整除，素数，合数，解题的关键是掌握有理数的除法和整除，理解素数和合数的定义2．下面四个数都是六位数，N为非0且比10小的自然数，S是0，一定能被3和5整除的数是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据能被3和5整除的数的特点，进行判断即可．【解析】解：A．，尾数不一定是0，5，不一定能被5整除，不符合题意；B．，尾数为0，一定能被5整除，也一定能被整除，符合题意；C．，尾数为0，一定能被5整除，不一定能被3整除，不符合题意；D．尾数不一定是0，5，不一定能被5整除，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查能被3和5整除的数的特征．熟练掌握一个数的尾数为0或5，这个数能被5整除，一个数各数位上的数字之和是3的倍数，这个数能被3整除，是解题的关键．3．正整数N的各个数位上的数字之积为20，则下列哪一项不可能是的各个数位上数字的乘积（）A．35 B．25 C．40 D．30 E．24【答案】A【分析】根据，可知，当正整数为两位数时，为或，当正整数为三位或三位以上数时，有两种情况，一种是有一个数位上的数字为4，一个数位上的数字为5，剩余数位上的数字均为1，第二种是有2个数位上的数字为2，一个数位上的数字为5，当是四位或四位以上时，剩余数位上的数字均为1，逐一进行分析即可得出结论．【解析】解：因为，所以当正整数为两位数时，为或，或，的各个数位上数字的乘积为或；当正整数为三位或三位以上数时：①有一个数位上的数字为4，一个数位上的数字为5，剩余数位上的数字均为1，当尾数为1时，的尾数变为2，的各个数位上数字的乘积为：；当尾数为5时，的尾数变为6，的各个数位上数字的乘积为：；当尾数为4时，的尾数变为5，的各个数位上数字的乘积为：；②有2个数位上的数字为2，一个数位上的数字为5，当为四位或四位以上时，剩余数位上的数字均为1，当尾数为1时，的尾数变为2，的各个数位上数字的乘积为：；当尾数为2时，的尾数变为3，的各个数位上数字的乘积为：；当尾数为5时，的尾数变为6，的各个数位上数字的乘积为：；综上：的各个数位上数字的乘积可能为：；故均有可能，不符合题意；不可能，符合题意；故选A．【点睛】本题考查因数．解题的关键是将20分为或．4．有一个三位数，百位数字是最小的奇数，十位上是0，个位上是一位数中最大的偶数．这个数是（

）A．102 B．201 C．801 D．108【答案】D【分析】最小的奇数为1一位数中最大的偶数为8，代入三位数中即可求解．【解析】最小的奇数为1，所以百位数为1一位数中最大的偶数为8，所以个位数为8所以这个百位数是108故答案为D．【点睛】本题考查了奇数和偶数的性质，奇数为不能被2整除的整数，偶数为能被2整除的整数．5．下列说法错误的是（

）．A．负整数和自然数统称为整数B．数a能被数b除尽，则数a一定能被数b整除C．一个大于1的整数，至少能被两个数整除D．在10以内只能被两个数整除的最大数是7【答案】B【分析】根据整数、整除的性质分析，即可得到答案．【解析】∵数a能被数b除尽，结果可能是整数，也可能是分数∴数a不一定能被数b整除∴选项B错误；又∵其他选项均正确故选：B．【点睛】本题考查了整数、整除的知识；解题的关键是熟练掌握整数、整除的性质，从而完成求解．6．若a、b为正整数，且，则下列何者不可能为a、b的最大公因数？（）A．1 B．6 C．8 D．12【答案】C【分析】根据，取a、b的不同值解题即可．【解析】解：最大公因数为a、b都有的因数，而，，a、b不可能都含有，不可能为a、b的最大公因数．故选：C．【点睛】本题考查实数中最大公因数的概念，掌握求两个数的最大公因数是解题的关键．7．下列说法：①，n一定能整除m；②24和36公有的素因数是2，3；③整数a的最大因数正好等于整数b的最小倍数，则a一定大于b；④因为，所以6.3是7的倍数，错误的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据整除的定义可对①进行判断；分别找出24和36的素因数，得出公有的素因数可对②进行判断；根据一个整数的最大因数是它本身，一个整数的最小倍数是它本身可对③进行判断；根据整除的定义可对④进行判断；综上即可得答案．【解析】，不能确定m、n是整数，故①错误，24=2×2×2×3，36=2×2×3×3，∴24和36公有的素因数是2、2、3，故②错误，∵一个整数的最大因数是它本身，一个整数的最小倍数是它本身，∴整数a的最大因数正好等于整数b的最小倍数，则a=b；故③错误，是除进不是整除，故④错误，综上所述：错误的有①②③④，共4个，故选：D．【点睛】本题考查整除、素因数的定义，整除是指整数a除以非0自然数b的商是整数，而余数是0；熟练掌握定义是解题关键．8．一筐苹果，平均分给2个小朋友或3个小朋友或4个小朋友或5个小朋友，都正好分完，这筐苹果最少应有（

）A．60个 B．120个 C．900个 D．30个【答案】A【分析】要求这框苹果最少有多少个，即要求2，3，4，5的最小公倍数．【解析】因为2，3，4和5的最小公倍数是：，所以这筐苹果最少应有60个．故选：A．【点睛】本题主要考查最小公倍数的算法，掌握最小公倍数的算法是解题关键．9．我国数学家陈景润证明：任何充分大的偶数可以写成一个质数加上不超过两个质数的乘积的形式例如：，，那么（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据“1+2”定理：一个偶数=一个质数+一个质数×一个质数，选出符合题意的算式即可．【解析】解析：，9是合数，所以不符合题意；，所以不符合题意；，三个数都是素数，符合题意；，1不是质数，77是合数，所以不符合题意，故选C．【点睛】本题考查了合数与质数，解题的关键是明确分解成的3个数必须都是质数．10．x是正整数，表示不超过x的素数的个数．如：，不超过7的素数有2、3、5、7共4个，那么的值是（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】根据题意所给定义新运算及素数与合数的概念直接进行求解．【解析】解：表示不超过23的素数有2、3、5、7、11、13、17、19、23共九个，则；表示不超过95的素数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89共24个，则有，由可得；；故选C．【点睛】本题主要考查素数与合数，熟练掌握素数与合数的概念是解题的关键．二、填空题11．，都是整数，大于，且，那么的最大值为()，最小值为()．【答案】20088【分析】都是2009的因数，先找出2009的所有因数，要使得最大，那么取最大的因数2009，取最小因数1即可；求的最小值，则两个因数最接近即可．【解析】解：因为，都是整数，大于，，所以的最大值为，最小值为，故答案为：2008，8．【点睛】本题考查了求一个数的因数，熟练掌握成对枚举的方法是解题关键．12．一列数1，1，2，3，5，8，13，21，…，从第三项开始每一项是前两项的和，第2021个数是数（填“奇”或“偶”）；第2021个数除以3的余数是．【答案】奇2【分析】这个数列从左到右每3个数为一组，每一组循环中前两个是奇数，第三个为偶数，，余数是2，余下的这个数是奇数；由题意知：这串数的规律是1、1、2、3、5、8…，从第三个数是前面两个数的和，分别计算这些数除以3的余数，找出规律：每8个为一循环，用2021除以8，看看有多少个循环，余数是几则看循环数里第几个数，是几就余几．【解析】∵，∴余数是2，所以余下的这个数是奇数；∵一串数是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987…，∴这些数除以3余数是1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0…，∴余数中每8个为一循环，循环1、1、2、0、2、2、1、0，∵，∴这串数的第2021个数除以3的余数是2．故答案为：奇，2．【点睛】本题考查了数字类规律探究，数的整除，解决这类问题往往是把重复出现的部分看成一组，先找出排列的周期性规律，再根据规律求解．13．一个三位数，被17除余5，被18除余12，那么它可能是；一个四位数，被131除余112，被132除余98，那么它可能是；【答案】192，498，8041946【分析】设此三位数为，可得一定能被17整除，据此求出b的值即可；设此四位数为，可得一定能被131整除，据此求出y的值即可．【解析】设此三位数为，可得到，所以一定能被17整除，，27，44．这个三位数为192，498，804．设此四位数为，可得到，所以一定能被131整除，，145（太大），这个四位数是1946．故答案为：192，498，804；1946【点睛】本题考查了数的整除，根据所给条件正确表示出要求解的多位数是解题的关键．14．已知甲乙丙三个数，甲和乙的最大公约数是12，甲和丙的最大公约数是15，而三个数的最小公倍数是120，则甲、乙、丙三个数分别是．【答案】60，24，15或120，12，15【分析】根据题意得甲是60或120，然后将120分解质因数，分情况讨论即可．【解析】解：根据题意得：甲的因数有12也有15，那么甲最小是12与15的最小公倍数，即甲最小是60，又因为三个数最小公倍数是120，所以甲一定是120的因数，∴甲是60或120，把他们的最小公倍数120分解质因数，，当甲是60时，所以丙为，乙为，当甲为120时，乙为，丙为，∴甲乙丙分别为60，24，15或120，12，15．【点睛】题目主要考查最小公倍数与最大公约数，熟练掌握基本的性质是解题关键．15．一个五位数能被3整除，且能被2整除，这样的五位数有个．【答案】16【分析】根据能够被2整除的数的个位为偶数，先确定个位数，再根据能够被3整除的数的特征确定A，B即可．【解析】解：能被2整除，则为0、2、4、6、8；能被3整除，则能被3整除．当时，A可为1、4、7；当时，A可为2、5、8；当时，A可为0、3、6、9；当时，A可为1、4、7；当时，A可为2、5、8；所以这样的五位数有16个．故答案为：16【点睛】本题考查的是数的整除，熟记能够被2或3整除的数的特征是解本题的关键．16．m是小于400的奇数，m名学生排成一排，自左到右报数三次，第一次从1到3报数，第二次从1到7报数，第三次从1到11报数．如果位于中间的三名学生从左到右依次报了3、7、11，那么．【答案】【分析】设位于中间的三名学生是第n名，名，名，由题意可知n能被3整除，能被7整除，能被11整除，先找出最小的两个连续自然数分别能被7和11整除，确定出前面的连续自然数，再加上7和11的最小公倍数使得结果能被3整除即可得到这三个连续自然数中最小的自然数，然后可得答案．【解析】解：设位于中间的三名学生是第n名，名，名，则，由题意得：n能被3整除，能被7整除，能被11整除，分别能被7和11整除的两个连续自然数为21和22，前面的连续自然数是20，7和11的最小公倍数是77，考虑20加上77的整数倍，使得结果能被3整除，当时，97不能被3整数，不符合题意；当时，174能被3整数，符合题意，所以位于中间的三名学生是第174名，175名，176名，所以，故答案为：．【点睛】本题是韩信点兵问题，考查了数的整除，最小公倍数，正确理解题意，将题目转化为求三个连续自然数，使得分别能被3、7、11整除是解题的关键．17．某汽车公司同时建成两条生产线，第一条生产线第一个月生产了1000辆汽车，以后每个月比前一个月多生产100辆；第二条生产线第一个月的前半个月与后半个月各生产了500辆汽车，以后每半个月比前半个月多生产50辆，那么，这两条生产线共生产20000辆汽车需个月．【答案】7【分析】由题意可知，第一条生产线每月生产的车辆数为：1000，1100，1200，…，构成一个公差为100等差数列；第二条生产线生产的辆数以半月为单位的计算话为：500，500，550，600，650，700，750，800，…；以月计算的话为：1000，1150，1350，1550，…，由此可得第二条生产线从第二月开始每月生产的车辆数构成一个公差为200的等差数列．因此我们可从第二个月开始将两条生产线生产的辆数相加得：2250，2550，2850，…，由此构成一个公差为300的等差数列，设两条生产线从第二月共生产辆汽车需x月，则第x月两条线共生产了辆，根据等差数列求和公式可得等量关系式：．由于x的取值范围不大，我们可以通过估算代入数据进行验证的方法来进行求得x的值．【解析】解：第一条生产线每月生产的车辆数为：1000，1100，1200，…，构成一个公差为100等差数列；第二条生产线每月生产的辆数为：1000，1150，1350，1550，1850，…，从第二月开始构成一个公差为200的等差数列．因此我们可从第二个月开始将两条生产线生产的辆数相加得：2250，2550，2850，…，由此构成一个公差为300的等差数列，设两条生产线从第二月开始再需x月就能生产20000辆汽车，则第x月两条线共生产了辆，根据等差数列求和公式可得等量关系式：．整理得：，，；经验证，时符合要求．所以条生产线共生产20000辆汽车需要(个)月．故答案为：7．【点睛】将两个等差数列整合成一个等差数列后据高斯求和公式列出等量关系式是完成本题的关键．18．桌上放有多于4堆的糖块，每堆数量均不相同，而且都是不大于100的质数，其中任意三堆糖块可以平分给三位小朋友，任意四堆糖块可以平分给四位小朋友，已知其中有一堆是17块糖，则这桌子上放的糖块最多的一堆是块．【答案】89【分析】各堆糖块数被3除都余2，被4除余1，则每堆糖块的数量都是块且是不大于100的质数，这些质数只有5，17，29，41，53，89，据此即可求解．【解析】解：因为任意3堆数量之和能被3整除，所以每堆被3除的余数相同，又因为17被3除余2，所以各堆糖块数被3除都余2；同理，各堆糖块数被4除余1，所以每堆糖块的数量都是块，且是小于100的质数，这些质数只有5，17，29，41，53，89，即这桌子上放的糖块最多的一堆是89，故答案为：89．【点睛】本题是一道有关带余除法（中国剩余定理）（奥数）的题目．三、解答题19．计算(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）将因数分解，然后观察这几个数的乘积即可求解；（2）将因数分解，然后观察这几个数的乘积即可求解．【解析】（1）（2）【点睛】本题考查了因数分解，乘法交换律与结合律，熟练掌握因数分解，找到规律是解题的关键．20．把适当的数填写在下面的圈内并完成填空：

24和28的最大公因数是；24和28的最小公倍数是．【答案】见解析，4，168【分析】首先将24和36分解成几个因数相乘，进而分析即可．【解析】解：如图所示：

∵，∴24和28的最大公因数：4；24和28的最小公倍数：168．【点睛】本题主要考查了求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法，注意互质数的最小公倍数是它们的乘积，最大公因数是1；倍数关系的最小公倍数是较大数，最大公因数是较小数．21．甲数除以乙数，乙数除以丙数，商相等，余数都是2．甲、乙两数之和是478，那么甲、乙、丙三数之和是多少？【答案】或或【分析】根据题意得出以下关系式：甲数=乙数×商+2；乙数=丙数×商+2，从而根据差倍关系分析求解．【解析】解：由“余数是2，甲、乙两数之和是478”，因此是乙的倍数，因为，甲数除以乙数，乙数除以丙数，商相等，余数都是2，则剔除商比乙大或商小于3的组合．容易得到：（，，），则甲、乙、丙三数之和：；同理：（，，），甲、乙、丙三数之和为：；（，，），甲、乙、丙三数之和为：．答：甲、乙、丙三数之和是或或．【点睛】此题属于比较复杂的差倍问题，需认真分析，进行推理，得出结果．22．，其中A、B均为自然数，B的最小值是多少？【答案】【分析】，由是自然数即可求解．【解析】解：因为，所以，所以，所以．【点睛】本题考查了分解素因数，掌握分解方法是解题的关键．23．算式的积为正数还是负数？积的末尾有多少个零？【答案】积为负数，积的末尾有7个0．【分析】根据5的倍数与10的倍数特征可以得到解答．【解析】解：由题意知，算式中有15个负数，所以根据有理数的乘法法则，积为负数；又5与任何一个偶数相乘的得数末尾必为0，且在130的30个数里面末尾为5的数有5，15，25，∴5，15与偶数乘，各得1个0，25与4乘可得2个0，又10、20、30各有1个0，所以，积的末尾共有7个0．【点睛】本题考查有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则和5、10的倍数特征是解题关键．24．在欢庆中华人民共和国成立七十周年之际，学校在一块长80米，宽24米的长方形绿地四周插上彩旗，长方形的四个角各插一面彩旗，并且要求相邻两面彩旗间的距离相等．(1)在各个方案中，相邻两面彩旗之间最大距离是多少米？(2)在所有方案中，至少要在绿地四周插多少面彩旗？【答案】(1)8米(2)26面【分析】（1）找到80与24的最大公因数是8，即可求解；（2）根据（1）的结果可知相邻两面彩旗间最大距离是8米，此时彩旗数量最少．【解析】（1）解：∵，，∴80与24的最大公因数是8，∵相邻两面彩旗间的距离相等，∴即相邻两面彩旗间最大距离是8米；（2）解：要使得使用的彩旗数量最少，则要求相邻两面彩旗之间的距离最大，根据（1）结果可知相邻两面彩旗间最大距离是8米，即：，，∴长方形的长边植树11棵，宽边植树4棵，∴则总的彩旗数量为：（面）．答：至少在绿地四周插26面彩旗．【点睛】本题主要考查了求解两个数的最大公约数的知识，掌握最大公约数的求法是解答本题的关键．25．某校预初年级开展了古诗文大赛，设有一、二、三等奖．其中获得一等奖的人数占参赛人数的，获得二等奖的人数占参赛人数的，获得三等奖的人数占参赛人数的．已知该年级共有学生400人．(1)求这次评选参赛的同学有多少名？(2)求这次评选获得一等奖的同学有多少名？【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意：获得一等奖、二等奖和三等奖人数的比是，化简得，实际就是求、和的最小公倍数.（2）根据（1）中求得的人数是，可求得获得一等奖的同学人数是.【解析】（1）∵，∴、、的最小公倍数是，答：这次评选参赛的同学有名；（2）由（1）可知这次评选参赛的同学有名，∴评选获得一等奖的同学有名，答：这次评选获得一等奖的同学有名.【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握求几个数的最小公倍数的方法.26．一个两位数的十位上的数为a，个位上的数为b，这个两位数记作；一个三位数的百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z，这个三位数记作．(1)（＋）能被11整除吗？请说明理由；(2)小明发现：如果能被3整除，那么就能被3整除．请补全小明的证明思路．【答案】(1)能被整除，理由见解析(2)，【分析】（1）根据给定的运算可表示出，即可得证；（2）根据,结合已知条件即可证得．【解析】（1）解：能被整除，理由为：，∴能被整除．（2）解：，∵，都能被3整除，∴就能被3整除，故答案为：，．【点睛】本题考查了因式分解的应用，新定义，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．27．阅读以下材料：若关于的三次方程（为整数）有整数解，则将代入方程，得．，都是整数，都是整数，是的因数，上述过程说明：整数系数方程的整数解只能是常数项的因数．如：方程中常数项的因数为和，将和分别代入方程，得是该方程的整数解，，1，2，不是方程的整数解．解决下列问题：(1)根据上面的学习，方程的整数解可能是__________________________．(2)请根据材料中的方法，判断方程有整数解吗？若有