广东省揭阳市榕城区2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题

20222023学年度第一学期期终质检九年级数学科目试卷一、选择题1.下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【详解】解：A．当时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B．，整理得，是一元二次方程，故本选项符合题意；C．方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D．方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．2.由7个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，则关于它的视图说法正确的是()A.正视图面积最大 B.俯视图的面积最大 C.左视图的面积最大 D.三个视图的面积一样大【答案】B【解析】【分析】先得出三视图：正视图可以看到4个小正方形；俯视图可以看到6个小正方形；左视图可以看到5个小正方形；再求其面积，比较大小即可．【详解】正视图可以看到：4个小正方形；俯视图可以看到：6个小正方形；左视图可以看到：5个小正方形；则俯视图的面积最大，故选B．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，是基础知识比较简单．3.如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若AB=6，AO=5，则矩形ABCD的面积为（）A.24 B.30 C.48 D.60【答案】C【解析】【分析】由矩形的性质得出AC=2OA=10，∠ABC=90°，由勾股定理求出BC，进而可以解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=2OA=10，∠ABC=90°，∵AB=6，∴BC==8，∴矩形ABCD的面积=AB•BC=6×8=48．故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理，熟练掌握矩形的性质，由勾股定理求出BC是解决问题的关键．4.小明将贵州健康码打印在面积为的正方形纸上，如图所示为了估计图中健康码部分的面积，在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入健康码部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计健康码部分的面积约为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出正方形纸面的面积，在根据点落入健康码部分的频率稳定在0.6左右，然后进行计算可得答案．【详解】正方形纸面的面积为：，经过大量试验，发现点落入二维码部分的频率稳定在0.6左右，二维码部分的面积约为：故选：D．【点睛】本意考查的是利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是事件的概率．5.下列图形，一定相似的是（）A.两个等边三角形 B.两个等腰三角形 C.两个矩形 D.两个菱形【答案】A【解析】【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析．【详解】解：A、两个等边三角形的三个角对应相等均为，故一定相似，符合题意；B、两个等腰三角形的顶角不一定相等，不一定相似，不符合题意；C、两个矩形的边不一定成比例，不一定相似，不符合题意；D、两个菱形的角不一定对应相等，不一定相似，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边成比例的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．6.图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为()A.(54+10)cm B.(54+10)cm C.64cm D.54cm【答案】C【解析】【分析】过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．【详解】如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则Rt△ACE中，AE=AC=×54=27（cm），同理可得，BF=27cm，又∵点A与B之间的距离为10cm，∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64（cm），故选C．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．7.反比例函数y＝的图象在（）A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、二象限 D.第三、四象限【答案】B【解析】【分析】根据题意，函数是反比例函数，可知a的值．【详解】函数是反比例函数反比例函数为：根据函数解析式，函数图像位于二四象限．故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数及其函数图像，掌握函数的相关知识是解决问题的关键．8.如图，在正方形中，对角线、相交于点O．E、F分别为、上一点，且，连接，，．若，则的度数为（）A.50° B.55° C.65° D.70°【答案】C【解析】【分析】根据正方形的性质证明△AOF≌△BOE（SAS），得到∠OBE=∠OAF，利用OE=OF，∠EOF=90°，求出∠OEF=∠OFE=45°，由此得到∠OAF=∠OEF∠AFE=20°，进而得到∠CBE的度数．【详解】解：在正方形中，AO=BO，∠AOD=∠AOB=90°，∠CBO=45°，∵，∴△AOF≌△BOE（SAS），∴∠OBE=∠OAF，∵OE=OF，∠EOF=90°，∴∠OEF=∠OFE=45°，∵，∴∠OAF=∠OEF∠AFE=20°，∴∠CBE=∠CBO+∠OBE=45°+20°=65°，故选：C．【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，熟记正方形的性质是解题的关键．9.在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点B的对应点的坐标（）A. B.或 C. D.或【答案】D【解析】【分析】根据位似的性质，将点的坐标乘以2或即可求解．【详解】解：∵已知点，，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，∴点B的对应点的坐标为：或．故选D．【点睛】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或k．10.若图中反比例函数的表达式均为，则阴影面积为2的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数的性质以及三角形的面积公式，分别求出四个图形中阴影部分的面积，即可求解．【详解】选项A中，阴影面积=xy=4≠2，故选项A不符合题意；选项B中，阴影面积为，故选项B符合题意；选项C中，阴影面积为2×，故选项C不符合题意；选项D中，阴影面积为4×，故选项D不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．也考查了反比例函数的对称性，三角形的面积．二、填空题11.如图，，，，则的长为________．【答案】【解析】【分析】由平行线分线段成比例，可得比例式：，代入值，利用线段间的关系，直接求解．【详解】解：，，，，，，故答案：．【点睛】本题主要是考查了平行线分线段成比例，正确找到对应边长的比例式，是求解这类问题的关键．12.已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，则___________．【答案】2【解析】【分析】欲求的值，根据一元二次方程根与系数的关系，求得两根的和与积，代入数值计算即可．【详解】解：根据题意x1+x2=2，x1•x2=1，∴，故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系．13.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．当气体体积为2m3时，气压是_____kPa．【答案】50【解析】【分析】设出反比例函数解析式，把点的坐标代入可得函数解析式，把代入得到的函数解析式，可得．【详解】解：设，由图象知，所以，故，当时，；故答案为：50．【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确的求出反比例函数的解析式．14.比较大小：________（填“”或“”或“”或“”）．【答案】【解析】【分析】先根据锐角三角函数关系进行等量代换，然后利用锐角正弦值随着角的增大而增大即可判断．【详解】解：，，故答案为：．【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，掌握一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大是解题关键．15.已知：边长为的菱形，过点O作两条夹角为的射线，分别交边，边于点M，N，连结，则下列命题：①S四边形OMFN，②的长度为定值，③的形状为等边三角形，的最小值为3．其中正确的有______（填序号）【答案】①③【解析】【分析】连接，由菱形的性质得出，，，，得出是等边三角形，得出，，证明得出，证出是等边三角形，得出②不正确，的面积的面积，得出的面积，①正确，当时，最小，等边的面积最小，求出的面积，得出，③正确；即可得出结论．【详解】解：连接，如图所示：四边形是菱形，，，，，是等边三角形，，，，，在和中，，，，是等边三角形，②不正确，的面积的面积，的面积，①正确，当时，最小，等边的面积最小，的面积，，③正确；故答案为：①③．【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的面积计算等知识；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．三、解答题16.计算：．【答案】1【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值，绝对值的意义，零指数幂和负整数指数幂运算法则，进行运算即可．【详解】解：原式．【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值，绝对值的意义，零指数幂和负整数指数幂运算．17.为弘扬中华民族传统文化，某市举办了中小学生“国学经典大赛”，比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”（1）小华参加“单人组”，他从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“论语”的概率是________？（2）小明和小红组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次．则小明和小红都没有抽到“三字经”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求解；

（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好小明和小红都没有抽到“三字经”的结果数，然后根据概率公式求解．【小问1详解】解：他从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率，故答案为：【小问2详解】画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中小明和小红都没有抽到“三字经”的结果数为6；所以小明和小红都没有抽到“三字经”的概率．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．18.如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．（1）网格中的形状是________；（2）在图①中确定一点D，连结、，使与全等：（3）在图②中的边上确定一点E，连结，使：（4）在图③中的边上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结，使，且相似比为1：2．【答案】（1）直角三角形（2）见解析（答案不唯一）（3）见解析（4）翙解析【解析】【分析】（1）运用勾股定理分别计算出AB，AC，BC的长，再运用勾股定理逆定理进行判断即可得到结论；（2）作出点A关于BC的对称点D，连接BD，CD即可得出与全等：（3）过点A作AE⊥BC于点E，则可知：（4）作出以AB为斜边的等腰直角三角形，作出斜边上的高，交AB于点P，交BC于点Q，则点P，Q即为所求．【小问1详解】∵∴,∴是直角三角形，故答案为：直角三角形；【小问2详解】如图，点D即为所求作，使与全等：【小问3详解】如图所示，点E即为所作，且使：【小问4详解】如图，点P，Q即为所求，使得，且相似比为1：2．【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定，熟练掌握相关定理是解答本题的关键．19.如图，身高1.6米的小明站在距路灯底部O点10米的点A处，他的身高（线段AB）在路灯下的影子为线段AM，已知路灯灯杆OQ垂直于路面．（1）在OQ上画出表示路灯灯泡位置的点P；（2）小明沿AO方向前进到点C，请画出此时表示小明影子的线段CN；（3）若AM=2.5米，求路灯灯泡P到地面的距离．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）8米【解析】【分析】（1）点B在地面上的投影为M．故连接MB，并延长交OP于点P.点P即为所求；（2）连接PD，并延长交OM于点N，CN即为所求；（3）根据相似三角形的性质，得出，即，解得．从而得求.【详解】（1）如图：（2）如图：（3），∽，，即，解得．即路灯灯泡P到地面的距离是8米．【点睛】本题目是一道关于中心投影的问题，涉及到如何确定点光源，相似三角形的判定，相似三角形的性质，难度中等.20.如图，一楼房后有一假山，其坡度为，山坡坡面上点处有一休息亭，测得假山坡脚与楼房水平距离米，与亭子距离米，小丽从楼房顶处测得点的俯角为．（1）求休息亭所处的高度（即点到水平地面的距离）；（2）求楼房的高．（注：结果保留根号）【答案】（1）休息亭所处的高度是10米（2）楼房的高为米【解析】【分析】（1）过点作的延长线于，如图所示，利用坡度与正切函数的关系，在中，列式得到，再根据含的直角三角形的三边关系即可得到答案；（2）过作于点，如图所示，从而得到四边形是矩形，利用矩形性质，结合（1）中条件，在中，得到米，米，米，根据小丽从楼房顶处测得点的俯角为，利用等腰直角三角形的性质得到米，从而得到楼房的高为米．【小问1详解】解：过点作的延长线于，如图所示：∵在中，，∴，∴米，即休息亭所处的高度是10米；【小问2详解】解：过作于点，如图所示：四边形是矩形，∴，，由（1）知米，，∴在中，米，∴米，米，∵小丽从楼房顶处测得点俯角为，∴，∵，∴，∴米，∴米，即楼房的高为米．【点睛】本题考查三角函数值解实际应用题，涉及坡度、俯角等知识，熟练掌握三角函数测高问题的求解方法是解决问题的关键．21.西安大唐不夜城在2020年五一假期，接待游客达20万人次，在2022年五一假期，接待游客达28.8万人次．一家特色小面店希望在五一长期限期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗.（1）求出2020至2022年五一长假期间游客人次的年平均增长率.（2）为了更好地维护西安城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润6300元？【答案】（1）年平均增长率为；（2）当每碗售价定为20元时，店家才能实现每天利润6300元【解析】【分析】（1）设年平均增长率为x，根据题意列出方程求解即可；（2）根据每碗的利润乘以数量列出方程求解即可．【小问1详解】解：设年平均增长率为x，依题意有，解得，（舍去）．答：年平均增长率为；【小问2详解】每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润6300元，依题意有：，解得，，∵每碗售价不得超过20元，∴．答：当每碗售价定20元时，店家才能实现每天利润6300元．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．22.如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于第一象限，两点，与坐标轴交于、两点，连接，（是坐标原点．）（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）直接写出当一次函数值小于反比例函数值时的取值范围；（3）将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图像只有一个交点？【答案】（1）一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为（2）当一次函数值小于反比例函数值时的取值范围为：或（3）将直线向下平移1或9个单位长度，直线与反比例图像只有一个交点【解析】【分析】（1）根据题意，由待定系数法确定函数关系式直接带点列方程及方程组求解即可得到答案；（2）根据一次函数值小于反比例函数值，从图像上来说就是一次函数图像在反比例函数图像上方，找出满足这个条件的图像对应的自变量的范围即可得到答案；（3）根据函数图像平移，设直线向下平移个单位长度，此时直线对应的表达式为，联立方程组得，得，结合图像只有一个交点，确定只有一个解，即，解一元二次方程即可得到答案．【小问1详解】解：把代入，得，∴反比例函数的解析式为，把代入，得，∴，把，坐标分别代入，得，解得，∴一次函数的解析式为；【小问2详解】解：由图可知，当一次函数值小于反比例函数值时的取值范围为：或；【小问3详解】解：设直线向