1.4用一元二次方程解决问题（二）

1.4用一元二次方程解决问题（二）【推本溯源】1.解决应用题的一般步骤：步骤内容摘要注意事项1.审审题目，分清已知量、未知量、等量关系等等量关系往往体现在关键词句中2.设设未知数，有时会用未知数表示相关的量一般要带单位3.列根据题目中的等量关系，列出方程方程两边单位要统一4.解解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰一般不必写出解方程的过程5.检检验方程的解能否保证实际问题有意义一般两个根中只有一个符合实际意义6.答写出答案，切忌答非所问注意带上单位2.解下列应用（1）近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）．（1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元；（2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况；月份用水量（吨）交水费总金额（元）47705540根据上表数据，求规定用水量a的值．解：（1）3月份应交水费10+5a（8﹣a）＝（10+40a﹣5a2）元；由题意得：5a（7﹣a）+10＝70，解得：a＝3或a＝45a（5﹣a）+10＝40解得：a＝3或a＝2，综上，规定用水量为3吨．则规定用水量a的值为3．图表信息问题①明确该题实质是分段计费问题；②能根据表格中的数据判断出A的范围；③能通过观察表格中每个月交费总额的数据，判断出该月的计费方法。（2）一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后又滑行25m后停车．（1）从刹车到停车用了多少时间？（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少？（3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）？解：（1）从刹车到停车所用的路程是25m；从刹车到停车的平均车速是（m/s），那么从刹车到停车所用的时间是s；（2）从刹车到停车车速的减少值是200＝20，从刹车到停车每秒平均车速减少值是m/s；（3）设刹车后汽车滑行到15m时约用了xs，这时车速为（208x）m/s，则这段路程内的平均车速为，所以x（204x）＝15，整理得：4x²20x＋15＝0，解得：，∴x≈4.08（不合，舍去），x≈0.9（s），答：刹车后汽车行驶到15m时约用0.9s．行程问题在数学中存在着一类应用题,其研究的对象是路程、速度、时间及这三者之间的关系,这类问题统称为行程问题.上述三个量就是行程问题的三个基本量,而这三个量之间的关系路程=时间x速度;时间=路程÷速度;速度=路程÷时间。在相遇问题里的关系式变为：相遇时间=总路程÷(甲的速度+乙的速度);追及问题的类型主要有求追及时间、求速度、求路程等几种情况,解决问题的关键也是根据基本的数量关系解诀,即追及时间=路程差÷速度差;速度差=路程差÷追及时间;路程差=追及时间x速度差总路程=(甲的速度+乙的速度)x相遇时间流水行船问题顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度水流速度静水速度=顺水速度水流速度=逆水速度+水流速度=；水流速度=顺水速度静水速度=静水速度逆水速度=。（3）在今年月号的学雷锋活动中，八年级和九年级的共青团员去参加美化校园活动，如果八年级共青团员单独做小时，九年级共青团员再单独做小时，那么恰好能完成全部任务的；如果九年级共青团员先做小时，剩下的由八年级共青团员单独完成，那么八年级共青团员所用时间恰好比九年级共青团员单独完成美化校园所用时间多小时，求八九年级共青团员单独完成美化校园活动分别各需多少小时．解：设九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，则八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，依题意得：，整理得：，解得：，经检验，是原方程的增根，舍去；是原方程的解，且符合题意，∴，∴八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时．工程问题工程问题是指两个或两个以上对象合作完成一项工程或工作,有时还将内容延伸到相遇问题或和倍问题.解答工程问题时,经常把总工作量看作"1",若这项工程甲单独做需要a天,则甲的工作效率为.可见,工作效率就是工作时问的倒数。工程问题的基本关系式为：工作效率×工作时间=工作量（4）等腰中，，动点从点出发，沿向点移动，通过点引平行于、的直线与、分别交于点、，问：等于多少厘米时，平行四边形的面积等于．解：设，则，由题意可知和均为等腰直角三角形，的面积等于，依题意可得，解得：，即长为．故长为时，平行四边形的面积等于．动态几何问题以“静”制“动”求解：①分析出动点的运行轨迹，用含有未知数的代数式把相应的线段表示出来是解决这类问题的关键；②结合题意，用“静”的方法来处理“动”的问题，本题中的“静”是指在某一时刻两个三角形面积之间的关系。【解惑】例1：根据下表提供的信息，一元二次方程的解大概是（

）23456513A．0 B．3.5 C．3.8 D．4.5【答案】D【分析】根据表格数据，找出代数式从变为时的取值范围即可判断【详解】时，，时，，则的解的范围为，即一元二次方程的解大概是4.5．故选D．【点睛】本题考查了估算一元二次方程的解的近似值，根据表格获得信息是解题的关键．例2：《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（

）A．36 B．26 C．24 D．10【答案】C【分析】设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t值，将其值代入中即可求出结论．【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，依题意得：，整理得：，解得：（不合题意，舍去），∴．故乙走的步数是．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．例3：如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以/s的速度移动，点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，如果点，分别从，两点同时出发，那么经过___后，，两点间的距离为．

【答案】/0.4【分析】如图，设t秒后，，则，，在中，运用勾股定理构建方程求解．【详解】如图，设t秒后，，则，中，∴，解得或，∵点Q在上运动，∴舍去故答案为．【点睛】本题主要考查勾股定理，一元二次方程的应用；用代数式表示线段长，利用勾股定理构建方程是解题的关键．例4：如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．（1）当时，请直接写出的值；（2）当时，求的值．【答案】（1）或；（2）或【分析】（1）根据题意可得：，然后求解一元二次方程即可；（2）根据题中计算图可得：，由，代入化简可得：，求解方程，然后代入即可得．【详解】解：（1）由题意可得：，，则或，解得或；（2）由题意得：，，，整理得：，∴，则或，解得或，或．【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确理解题意得出与之间关系是解题关键．例5：某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费．（1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？（2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况：月份用水量（吨）交水费总金额（元）4186252486根据上表数据，求规定用水量a的值【答案】（1）；（2）10【分析】（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，然后根据“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，即可求解；（2）若，可得，从而得到，再由“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，列出方程，即可求解．【详解】解：（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，元；（2）若，有，解得：，即，不合题意，舍去，∴，根据题意得：，解得：（舍去），答：规定用水量a的值为10吨．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．【摩拳擦掌】1．（2023春·浙江·八年级专题练习）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是__．【答案】【分析】设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，将其正值代入中即可求出结论．【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，则依题意得：，整理得：，解得：，（不合题意，舍去），，即甲走的步数是，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．2．（2023春·安徽·八年级期中）如图，在中，，，，点P从A点出发，沿射线方向以1cm/s的速度移动，点Q从B点出发，沿射线方向以4cm/s的速度移动．（1）______________；（2）如果P、Q两点同时出发，问：经过____________秒后的面积等于．【答案】；1或7或．【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质得出，再根据勾股定理即可得出答案；（2）过点Q作于点E，则，当运动时间为t秒时，，，，，根据的面积等于，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【详解】（1）解：∵，，，∴，∴，∴，∴；（2）解：过点Q作于点E，则，如图所示，当运动时间为t秒时，，，，，依题意得：．当时，，解得：，；当时，，解得：（不符合题意，舍去），．∴经过1或7或秒后，的面积等于．故答案为：1或7或．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3．（2021秋·全国·九年级专题练习）一个小球以速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动．小球滚动约用了________秒（结果保留小数点后一位）【答案】1.2．【分析】利用等量关系：速度时间=路程，时间为，根据题意列出方程：求解即可．【详解】由题意得：小球的平均滚动速度是，设小球滚动5时约用了，由题意得：，整理得：，解得：，∵，∴，故小球滚动用了1.2秒．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，重点在于求出平均每秒小球的运动减少的速度，读懂题意是解题的关键．4．（2023春·八年级课时练习）某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费．(1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示）(2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少．月份用电量/度交电费总数/元2月80253月4510【答案】(1)x（90－x）元(2)50度【分析】（1）根据题意可得用电90度超过了规定度数（90－x）度，再由超过部分按每度元交电费，即可求解；（2）根据题意可得2月份用电量超过x度，列出方程，再由3月份用电45度只交电费10元，可得x≥45，即可求解．【详解】（1）解：∵规定用电x度，∴用电90度超过了规定度数（90－x）度，∵超过部分按每度元交电费，∴超过部分应交的电费为x（90－x）元．（2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得x（80－x）＝25－10．整理得x2－80x＋1500＝0．解这个方程得x1＝30，x2＝50．根据题意得：3月份用电45度只交电费10元，∴电厂规定的x≥45，∴x1＝30不合题意，舍去．∴x＝50．答：电厂规定的x度为50度．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．5．（2023春·全国·八年级专题练习）如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四个数．(1)若圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为______（用含的代数式表示）；(2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．【答案】(1)；(2)9．【分析】（1）设圈出的四个数中，最小的数为，根据日历上两个数之间的关系可得答案；（2）根据最小数与最大数的乘积为105，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】（1）解：设圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为故答案为：（2）设四个数中，最小数为，根据题意，得.解得（不符合题意负值舍去）答：这个最小值为9.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，已知等腰三角形，，，点从点出发，沿的方向以的速度向终点运动，同时点从点出发，沿的方向以的速度向终点运动，当点运动到点时，两点均停止运动，运动时间记为秒，请解决下列问题：(1)若点在边上，当为何值时，？(2)是否存在这样的值，使的面积为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)，当时(2)存在；当或时，的面积为【分析】（1）先根据已知条件求出的长度，再设经过秒，是直角三角形，此时，，当，，解方程即可；（2）设经过秒，的面积为，连接，作于，分类讨论点在边上和点在边上，，即可求解．【详解】（1）解：过点作，如图所示：∵等腰三角形，，，∴，∴，∴，设经过秒，是直角三角形，则，，当时，如图所示：∴，∴，解得：，若点在边上，当时（2）存在，理由如下：当点在边上，连接，过点作于，如图所示：设经过秒，的面积为，则，，∴，∴，∴，解得：，（舍），当点在边上，连接，，作于，如图所示：设经过秒，的面积为，则，，∴，∴，∴，解得：，（舍去），∴当或时，的面积为．【点睛】本题考查了一元二次方程、一元一次方程的应用和三角形与动点问题的综合，分类讨论思想和数形结合的思想是解决本题的关键．7．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在矩形中，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为t（s）．连接，．(1)用含t的式子表示线段的长：__________；__________．(2)当t为何值时，P、Q两点间的距离为？(3)当t为何值时，四边形的形状可能为矩形吗？若可能，求出t的值；若不可能，请说明理由．【答案】(1)，(2)、出发0.6和5.4秒时，，间的距离是(3)、出发3秒时四边形为矩形【分析】（1）根据题意可直接进行求解；（2）可通过构建直角三角形来求解．过作于，如果设出发秒后，．那么可根据路程速度时间，用未知数表示出的值，然后在直角三角形中，求出未知数的值．（3）利用矩形的性质得出当时，四边形为矩形求出即可【详解】（1）解：由题意得：，∵，∴；故答案为，；（2）解：设出发秒后、两点间的距离是．则，，作于，∵四边形是矩形，∴，∴四边形是矩形，∴，∴，由勾股定理得：，解得：或，答：、出发0.6和5.4秒时，，间的距离是；（3）解：四边形的形状有可能为矩形；理由如下：当四边形为矩形，则，即，解得：．答：当、出发3秒时四边形为矩形．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理及矩形的性质，本题结合几何知识并根据题意列出方程是解题的关键．8．（2022秋·陕西西安·九年级校考期中）如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向点D移动．问：(1)P、Q两点从出发开始几秒时，四边形的面积为？(2)几秒时点P点Q间的距离是10厘米？(3)P，Q两点间距离何时最小？【答案】(1)5秒(2)秒或秒(3)秒【分析】（1）表示出和，利用梯形的面积公式结合四边形的面积为，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）过作于，如果设出发秒后，厘米．那么可根据路程速度时间，用未知数表示出、的值，然后在直角三角形中，求出未知数的值．（3）在直角三角形中，为0时，就最小，那么可根据这个条件和（1）中用勾股定理得出的的式子，令，得出此时时间的值．【详解】（1）解：当运动时间为t秒时，，，依题意，得：，解得：．答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形的面积为．（2）设出发秒后、两点间的距离是10厘米．则，．作于，则，，解得：或，∴、出发或秒时，，间的距离是10厘米；（3），当时，即时，最小．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，本题结合几何知识并根据题意列出方程，然后求解．9．（2023·江苏·九年级假期作业）疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）．(1)补全下列表格：检测人数（人）人均检测时间（秒）(2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？【答案】(1)40，，29，26(2)他今日检测总人数为人【分析】（1）设检测人数为y，人均检测时间为t（秒），由题意可得出y、t与x之间的函数关系式，即可补全表格；（2）根据人均检测时间×检测人数＝总检测时间，可得关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）解：设检测人数为，人均检测时间为秒，由题意得：、，补全表格如下：检测人数人人均检测时间秒（2）解：由题意得，，解得，，当时，检测总人数为人，每位大白的检测人数不超过人，不符合题意，舍去，当时，检测总人数为人，答：他今日检测总人数为人．【点睛】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据条件建立函数关系是解决本题的关键．【知不足】1．（2022秋·全国·九年级专题练习）请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程即得方法.首先构造了如图1所示得图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得．任务：（1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程的正确构图是（从序号①②③中选择）．（2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求解方程（写出必要的思考过程）．【答案】（1）②；（2）．【分析】（1）仿照案例构造图形，即可判断正确构图；（2）仿照案例构造图形即可求得x的值．【详解】解：（1）应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形的面积为，所以大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8，所以，得．故正确构图的是②．故答案为：②；（2）首先构造了如图2所示的图形．图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8，所以，得．【点睛】本题是材料阅读题，考查了构造图形解一元二次方程，关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程．体现了数形结合的思想．2．（2022春·八年级单元测试）如图，正方形的边长为，动点从点出发，以的速度沿方向向点运动，动点从点出发，以的速度沿方向向点运动，若，两点同时出发，运动时间为．(1)连接，，，当为何值时，面积为？(2)当点在上运动时，是否存在这样的的值，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)秒或秒(2)存在，秒或秒【分析】（1）根据正方形的性质和面积公式，利用割补法即可求解；（2）根据勾股定理、等腰三角形的性质得出一元二次方程，分情况讨论以为腰的等腰三角形即可说明．【详解】（1）解：如图，当点在上时，此时，根据题意，得：，，，，，∵面积为，∴，∴，整理，得：，解得：．如图，当点在上时，此时，∴，∴，解得：，∴当为秒或秒时，面积为．（2）存在．如图，当点在上时，①当时，可得：，解得：，（不合题意，舍去），②当时，可得：，整理，得：，解得：，（不合题意，舍去），如图，当点在上时，此时，可知：，，，∴不存在以为腰的等腰．∴当为秒或秒时，是以为腰的等腰三角形．【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用，割补法求面积．解题的关键是分类讨论思想的运用．3．（2023春·八年级单元测试）等边，边长为，点P从点C出发以向点B运动，同时点Q以向点A运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，

(1)求当为直角三角形时的时间；(2)的面积能否为，若存在求时间，若不存在请说明理由．【答案】(1)或者(2)存在，2【分析】（1）根据题意有，，即，即可得，分当为直角三角形,且时和当为直角三角形,且时，两种情况讨论，根据含角的直角三角形的性质列出一元一次方程，解方程即可求解；（2）过Q点作于点M，先求出，即有，进而有，即，令，可得，解方程即可求解．【详解】（1）根据题意有，，即，∵，∴，当为直角三角形,且时，如图，

∵等边中，，∴，∴，∴，解得：；当为直角三角形,且时，如图，

∵等边中，，∴，∴，∴，解得：；即t的值为或者；（2）存在，理由如下：过Q点作于点M，如图，

∵，，，∴，∴，∴，∵，∴，令，∴，整理得：，解得：，或者，∵，∴，即t的值为2．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，一元一次方程的应用，一元二次方程的应用等知识，明确题意，根据含角的直角三角形的性质正确列式，是解答本题的关键．4．（2023春·上海静安·八年级上海市回民中学校考期中）在中，，动点M、N分别从点A和点C同时开始移动，点M的速度为/秒，点N的速度为/秒，点M移动到点C后停止，点N移动到点B后停止．问经过几秒钟，的面积为？

【答案】2秒【分析】设经过x秒钟后，的面积为，则，据此利用三角形面积公式建立方程求解即可.【详解】解：设经过x秒钟后，的面积为，由题意得，，∴，∴．∵，即，∴舍去，即．答：经过2秒，的面积为．【点睛】本题主要考查了一元二次方程在几何图形中的应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键．5．（2023·全国·九年级假期作业）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，如果、分别是从同时出发，求经过几秒时，(1)的面积等于平方厘米？(2)五边形的面积最小？最小值是多少？【答案】(1)2秒或4秒(2)3秒时，五边形的面积最小，最小值是63平方厘米【分析】（1）设运动时间为，则，，再由面积公式建立方程求解即可；（2）由（1）可得：要使的面积有最大值，则要使取最大值，则此时，面积为9，则此时五边形的面积最小，从而可得答案．【详解】（1）解：设运动时间为，则，，则，解得：或．∴经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米．（2）由（1）可得：∴要使的面积有最大值，则要使取最大值，则此时，面积为9，则此时五边形的面积最小，最小值为．【点睛】本题主要考查动点问题，一元二次方程的应用，配方法的应用，熟练的解一元二次方程是解本题的关键．6．（2023春·浙江·八年级阶段练习）甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m．(1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？(2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？【答案】(1)7分钟(2)15分钟【分析】（1）根据题意先设n分钟后第1次相遇，利用数列求和知识得到关于n的方程，解此方程即可得甲、乙开始运动后几分钟相遇；（2）先设n分钟后第2次相遇，依路程关系得到一个关于n的方程，解方程即得第2次相遇是在开始后多少分钟．【详解】（1）解：设n分钟后第1次相遇，依题意，有+5n＝70，整理得n2+13n﹣140＝0，解得n＝7，n＝﹣20（不符合题意，舍去）第1次相遇是在开始后7分钟．答：甲、乙开始运动后7分钟第一次同时到达同一位置；（2）解：设n分钟后第2次相遇，依题意，有5n＝3×70，整理得n2+13n﹣420＝0，解得n＝15，n＝﹣28（不符合题意，舍去）故第2次相遇是在开始后15分钟．答：开始运动后15分钟第二次同时到达同一位置．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系，设恰当未知数，列出方程是解题的关键．7．（2023春·浙江·八年级专题练习）匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初始速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．现有一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动．(1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？(2)小球滚动约用了多少秒（结果保留小数点后一位，参考数据：）【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少(2)小球滚动约用了秒【分析】（1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可；（2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可．【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少，答：小球的滚动速度平均每秒减少．（2）解：设小球滚动约用了秒，由题意得：，整理得：，解得：或，当时，，不符题意，舍去，，答：小球滚动约用了秒．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8．（2023·全国·九年级假期作业）全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少1625个/天，工厂的产线共x条（1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）．（2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？【答案】（1）；（2）12或36【分析】（1）根据题意，根据代数式的性质计算，即可得到答案；（2）结合（1）的结论，列一元二次方程并求解，即可得到答案．【详解】（1）根据题意，得该工厂最大产能是：个/天故答案为：；（2）根据题意，得：或∴即该工厂引进了12或36条生产线．【点睛】本题考查了一元二次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．9．（2023·重庆·模拟预测）某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务．(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值．【答案】(1)A型设备每小时铺设的路面110米(2)18【分析】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，可得：，解方程即可解得答案；（2）根据A型设备铺的路+B型设备铺的路=5800列方程，解方程即可得答案．【详解】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，则A型设备每小时铺设路面米，由题意得，解得，米，所以A型设备每小时铺设的路面110米；（2）根据题意得：，解得，（舍去），答：m的值是18．【点睛】本题考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．【一览众山小】1．（2023春·安徽滁州·八年级校联考期中）如图，在直角梯形中，，．动点P从点D出发，沿射线的方向以每秒2个单位的速度运动，动点Q从点C出发，沿射线的方向以每秒1个单位的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动的时间为t（秒），当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？

【答案】或【详解】以B，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形有三种情况：当时，当时，当时，由等腰三角形的性质就可以得出结论．【分析】解：如图1，当时，过点P作于E，∴，∵，∴，∴，∴．∵，∴，∴四边形是矩形，∴，∴．解得：；

如图2，当时，过点Q作于E，同理可证四边形是矩形，∴，，∴，在中，由勾股定理，得，∴，解得：；

如图3，当时，过点P作于E，同理可证明四边形是矩形，∴，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得，∴，∴，∴，故方程无解．综上所述，或时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形．

【点睛】本题考查了勾股定理的运用，矩形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据等腰三角形的性质建立方程是关键．2．（2023春·重庆云阳·九年级校联考期中）周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地．(1)求小明、小红的跑步速度；(2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟．【答案】(1)；(2)【分析】（1）分别设小红和小明的速度，根据等量关系（小明比小红早5分钟到达B地）列出等量关系式，按照分式方程即可求解，求解后检验所求解是不是方程解．（2）先求出小明前30分钟中的5分钟是从B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的热量列方程，最后求解．【详解】（1）解：设小红的速度为，则小明的速度为，依据题意列方程得，，，，经检验，是原式方程的解．．小红的速度为，小明的速度为．故答案为：；．（2）解：小明的速度为，小明从A地道B地需要的时间为：．小明在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，．设B地到C地的距离为，依据题意列方程得，，，，，或（舍去）．A地到C地所需要时间为：．故答案为：．【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用．解题的关键在于是否能根据题意列出等量关系式，解题的重点在于是否能了解小明的前30分钟内的最后5分钟是属于B地到C地时间．3．（2023·四川成都·成都实外校考一模）为切实推进广大青少年学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，阳光体育长跑是如今学校以及当代年轻人选择最多的运动．学生坚持长跑，不仅能够帮助身体健康，还能够收获身心的愉悦．周末，小明和小齐相约一起去天府绿道跑步．若两人同时从地出发，匀速跑向距离处的地，小明的跑步速度是小齐跑步速度的1.2倍，那么小明比小齐早5分钟到达地．根据以上信息，解答下列问题：(1)小明每分钟跑多少米？(2)若从地到达地后，小明以跑步形式继续前进到地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从地到地锻炼共用多少分钟．【答案】(1)480米(2)70分钟【分析】（1）设小齐每分钟跑米，则小明每分钟跑米，根据题意建立分式方程，解方程即可得；（2）设小明从地到地锻炼共用分钟，再根据热量的消耗规律建立方程，解方程即可得．【详解】（1）解：设小齐每分钟跑米，则小明每分钟跑米，由题意得：，解得：，经检验，既是所列分式方程的解也符合题意，则，答：小明每分钟跑480米．（2）解：设小明从地到地锻炼共用分钟，由题意得：，解得：，（不符合题意，舍去），答：小明从地到地锻炼共用70分钟．【点睛】本题考查了分式方程和一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．4．（2023·浙江台州·统考一模）小明在平整的草地上练习带球跑，他将球沿直线踢出后随即跟着球的方向跑去，追上球后，又将球踢出……球在草地上滚动时，速度变化情况相同，小明速度达到6m/s后保持匀速运动．下图记录了小明的速度以及球的速度随时间的变化而变化的情况，小明在4s时第一次追上球．（提示：当速度均匀变化时，平均速度，距离）(1)当时，求关于t的函数关系式；(2)求图中a的值；(3)小明每次踢球都能使球的速度瞬间增加6m/s，球运动方向不变，当小明带球跑完200m，写出小明踢球次数共有____次，并简要说明理由．【答案】(1)(2)(3)7，理由见解析【分析】（1）设关于t的函数关系式为，根据经过点利用待定系数法即可得到答案；（2）先求出球前4秒的平均速度，再求出小明前a秒的平均速度和a秒后速度为，利用小明在4s时第一次追上球可得方程，解方程即可得到答案；（3）根据题意找到速度、时间、路程的变化规律，即可得到答案．【详解】（1）解：设关于t的函数关系式为，把点代入得，，解得，∴关于t的函数关系式为；（2）解：对于球来说，，小明前a秒的平均速度为，a秒后速度为，由小明在4s时第一次追上球可得，，解得，即图中a的值为；（3）小明第一次踢球已经带球跑了16米，还需要跑米，由（1）知，，假设每次踢球t从0开始计算，因为球在草地上滚动时，速度变化情况相同，则第二次踢球后变化规律为，，，则，，第二次踢后，则，（舍去），，此时又经过了米，，第三次踢后，变化规律为，，，则，，第三次追上，则，（舍去），，此时又经过了米，，又开始下一个循环，故第四次踢球所需时间为，经过24米，故第五次踢球所需时间为，经过48米，故第六次踢球所需时间为，经过24米，故第七次踢球所需时间为，经过48米，∵，，∴带球走过200米，在第七次踢球时实现，故小明小明踢球次数共有七次，故答案为：7【点睛】此题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用、一元一次方程的应用，读懂题意，准确计算是解题的关键．5．（2023春·全国·八年级专题练习）由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了、两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知点平均每人采样720份，点平均每人采样700份．(1)求、两点各有多少名医护人员？(2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从点抽调部分医护人员到点经调查发现，点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从点抽调了多少名医护人员到点？【答案】(1)A检测队有6人，B检测队有7人(2)从B检测队中抽调了2人到A检测队【分析】（1）设A点有x名医护人员，B点有y名医护人员，根据“A、B两个采样点共13名医护人员，且当天共采样9220份”，即可得出关于x，y的且当天共采样9220份，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设从B点抽调了m名医护人员到A点，则B点平均每人采样份,根据重新规划后当天共采样9360份，即可得出关于m的一元_二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】（1）解：设A检测队有人，B检测队有人，依题意得：，分解得：答：A检测队有6人，B检测队有7人；（2）解：设从B检测队中抽调了人到A检测队，则B检测队人均采样人，依题意得：，解得：，解得：，，由于从B对抽调部分人到A检测队，则故，答：从B检测队中抽调了2人到A检测队．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．6．（2023秋·重庆合川·九年级统考期末）2022年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵680元，香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元．(1)原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？(2)实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降元（），且两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司实际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？【答案】(1)原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵(2)物业管理公司实际购买两种树共56棵【分析】（1）设原计划购买小叶榕棵，则购买香樟棵，根据题意列出方程即可得出答案．（2）根据给出的条件先列出小叶榕与香樟的单价表达式分别为元每棵，元每棵，再列出实际购买棵树的表达式，得到方程式求出满足条件的值，即可得出答案．【详解】（1）设原计划购买小叶榕棵，则购买香樟棵，根据题意，可得，解得，．答：原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵．（2）根据题意，可得，整理得，，解得：，，∵，∴，∴购买了39棵小叶榕，17棵香樟，答：物业管理公司实际购买两种树共56棵．【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用和一元二次方程应用的问题，熟练掌握题中的等量关系列出正确的方程解决本题的关键．7．（2023春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期中）甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务．(1)求甲工程队每小时修的路面长度；(2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值．【答案】(1)甲工程队每小时铺设的路面长度为110米(2)m的值为18【分析】（1）设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可；（2）根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800”列出方程，求解即可．【详解】（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米，根据题意得，，解得：，则，∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米；（2）解：根据题意得，，整理得，，解得：（舍去），∴m的值为18．【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程．8．（2023·重庆开州·校联考一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值．【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米(2)的值为10【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可；（2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可．【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意得，，解得：，则，答：型设备每小时铺设的路面长度为90米；（2）根据题意得，，整理得，，解得：，（舍去），∴的值为10．【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程．9．（2023·江苏·九年级假期作业）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入）影片《万里归途》的部分统计数据发布日期10月8日10月11日10月12日发布次数第1次第2次第3次票房10亿元12.1亿元(1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？(2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票【答案】(1)10%(2)2500000张【分析】（1）设平均每次累计票房增长的百分率是，利用第3次累计票房=第1次累计票房（1+平均每次累计票房增长的百分率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）利用数量=总结单价，即可求出结论；【详解】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是，依题意得：，解得：，（不符合题意，舍去）．答：平均每次累计票房增长的百分率是10%．（2）解：（张）．答：10月11日卖出2500000张电影票．（或（张）．）【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．（2023秋·贵州安顺·九年级统考期末）如图，在矩形中，，点P从点A沿向点B以的速度移动，同时点Q从点B沿边向点C以的速度移动．当其中一点达到终点时，另一点也随之停止．设P，Q两点移动的时间为，求：(1)当x为何值时，为等腰三角形；(2)当x为何值时，的面积为；(3)当x为何值时，为等腰三角形．【答案】(1)当时，是等腰三角形(2)x为1或5时，的面积为(3)x为或时，是等腰三角形【分析】（1）由题意得，得，当为等腰三角形时，，得出方程，解方程即可；（2）由三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可；（3）根据题意，分两种情况：①当时，在和中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②当时，在和中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】（1）解：∵四边形是矩形，∴，，，根据题意得：，∴，当为等腰三角形时，，∴，解得：，即当时，是等腰三角形；（2）解：由题意得：，整理得：，解得：，答：当x为1或5时，的面积为；（3）解：根据题意，分两种情况：①当时，如图1所示：在和中，由勾股定理得：，，∴，解得：或（不合题意舍去），∴；②当时，如图2所示：在和中，，，∴，解得：或（不合题意舍去），∴．综上所述，当x为或时，是等腰三角形．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形面积公式、一元二次方程的