期中测试卷03（测试范围第1-3章）

20232024学年八年级数学上学期期中测试卷03（测试范围：第13章）一、单选题1．以下表达式：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】根据不等式的定义进行判断即可．【解析】解：、、是不等式，和不是不等式，即不等式有3个，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了不等式的定义，熟知用不等号连接的式子是不等式是解本题的关键．2．下列命题中，假命题的是（

）A．两个全等三角形的周长相等 B．面积相等的两个三角形全等C．直角三角形的两锐角互余 D．等腰三角形的顶角角平分线垂直于底边【答案】B【分析】根据全等三角形的判定、等腰三角形的性质，直角三角形性质判断即可．【解析】解：A．两个全等三角形的周长相等，说法正确，不符合题意；B．面积相等的两个三角形不一定全等，故说法是假命题，符合题意；C．直角三角形的两锐角互余，说法正确，不符合题意；D．等腰三角形的顶角角平分线垂直于底边，根据三线合一的性质，可以判断正确，说法正确，不符合题意；故选：B．【点睛】此题主要考查了命题与定理，解题的关键是掌握相关定理，知道假命题是指不正确的命题．3．在内找一点P，使P到A、C两点的距离相等，并且P到的距离等于P到的距离．下列尺规作图正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】P到A、C两点的距离相等，得到在线段的垂直平分线上，P到的距离等于P到的距离，得到在的角平分线上，作出线段的垂直平分线和的角平分线，交点即为点．【解析】解：∵P到A、C两点的距离相等，∴在线段的垂直平分线上，∵P到的距离等于P到的距离，∴在的角平分线上，如图：作出线段的垂直平分线和的角平分线，交点即为点；故选D．【点睛】本题考查角平分线和中垂线的作图．熟练掌握到线段两端点相等的点在线段的中垂线上，到角两边距离相等的点在角平分线上，是解题的关键．4．两个同样大小的直角三角板按如图所示摆放，其中两条一样长的直角边交于点，另一直角边，分别落在的边和上，且，连接，则在说明为的平分线的过程中，理由正确的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据全等三角形的判定和性质定理以及角平分线的定义即可得结论，从而作出判断．【解析】解：根据题意可得：，∴和都是直角三角形，在和中，∴，∴，∴为的平分线，故选：C．【点睛】本题考查角平分线的判定和全等三角形的判定和性质的应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．5．如图．在中，．若是的角平分线，则下列说法错误的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据等腰三角形的三线合一性质解题．【解析】∵，是的角平分线，∴，，∴．故选D．【点睛】本题考查等腰三角形的三线合一，熟记性质是解题的关键．6．根据下列条件，能画出唯一确定的的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，【答案】C【分析】根据全等三角形的几种判定定理，根据选项中所给的条件，逐条判断是否满足全等三角形的判定定理即可．【解析】A.，，不能构成三角形，不能画出，故本选项不符合题意；B.，，，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的，故本选项不符合题意；C.，，，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一的，故本选项符合题意；D.，，不符合全等直角三角形的判定定理，不能画出唯一的，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查全等三角形的判定定理，能够熟练掌握全等三角形的判定定理是解决本题的关键．7．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式组为(

)A． B．C． D．【答案】C【分析】设有x人，由于每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，则苹果有个；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分不到8个苹果，就是苹果数大于0，并且小于8，根据不等关系就可以列出不等式．【解析】解：设有x人，则苹果有个，由题意得：．故选：C．【点睛】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系．8．如图，一架长25m的梯子AB斜靠在墙AC上，这时梯足距墙面AC距离为7m，如果梯子顶端沿墙下滑4m，那么梯足将向外滑动的距离BB1为（）A．15m B．9m C．8m D．5m【答案】C【分析】利用勾股定理进行解答．先求出下滑后梯子底端距离低端的距离，再计算梯子低端滑动的距离．【解析】梯子顶端距离墙角地距离为m，顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为m，∴梯足将向外滑动15m7m=8m．故选C．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．9．如图，点是边的中点，过点作的垂线交于点，已知，的周长为，则的周长是（

）A．6 B． C．8 D．【答案】C【分析】由题意可知：垂直平分,故，结合，的周长为，即可得出答案．【解析】解：∵点是边的中点，,∴垂直平分,∴，∵，的周长为，∴,∴,∴的周长是．故选：C．【点睛】此题考查了垂直平分线的性质和判定，掌握垂直平分线的性质和判定是解题的关键．10．如图，是的角平分线，，，，，分别是和上的任意一点；连接，，，，给出下列结论：①；②；③的最小值是；④若平分，则的面积为9．其中正确的是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】B【分析】①根据等腰三角形的性质得出垂直平分，得出，根据三角形三边关系即可得出结论；②根据角平分线的定义，平行线的性质、等腰三角形的性质，证明，，得出，，即可得出结论；③过点A作于点M，当点P在与交点上时，，此时最小，且最小值为，根据等积法求出即可；④过点P作于点N，得出，求出，即可求出结果．【解析】解：①∵，是的角平分线，∴，，∴垂直平分，∴，∴，∵，∴，故①正确；②∵，∴，，∵是的角平分线，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故②正确；③根据解析①可知，，∴当最小时，最小，过点A作于点M，如图所示：当点P在与交点上时，，此时最小，且最小值为，∵平分，∴，，∴，∵，∴，即的最小值是，故③错误；④过点P作于点N，如图所示：∵平分，，∴，∴，∵，∴，故④正确；综上分析可知，正确的有①②④，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，垂线段最短，垂直平分线的性质，角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握基本的性质．二、填空题11．用不等式表示“x的7倍减去1大于0”是．【答案】7x1＞0【分析】首先表示“x的7倍”为7x，再表示“减去1”为7x1，最后表示“是正数”为7x1＞0．【解析】解：由题意得：7x1＞0，故答案为：7x1＞0．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．12．请将命题"等腰三角形的底角相等"改写为"如果……,那么……"的形式:.【答案】如果一个三角形是等腰三角形,那么它的两个底角相等【分析】命题中的条件是一个三角形是等腰三角形，放在“如果”的后面，结论是它的两个底角相等，应放在“那么”的后面．【解析】题设为：一个三角形是等腰三角形，结论为：这个三角形的两个底角相等，故写成“如果…那么…”的形式是：如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等．故答案为如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等．【点睛】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．13．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于．【答案】8【分析】由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AC=2DE=10；然后在直角△ACD中，利用勾股定理来求线段CD的长度即可．【解析】解：∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE=5，∴DE=AC=5，∴AC=10．在直角△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10，则根据勾股定理，得．故答案为：8．14．若关于的不等式的正整数解为，则的取值范围为．【答案】【分析】根据不等式的性质用含的式子表示，再根据解为正整数，由此即可求解．【解析】解：∴，∵解为正整数解为，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查不等式的解集，掌握不等式的性质，解不等式的方法是解题的关键．15．如图，的角平分线与交于点D，过点D作于点E，于点F，已知，与的面积比为，则边的长为．【答案】20【分析】先证明，然后利用三角形的面积公式即可求解．【解析】∵是的角平分线，，，∴．∵与的面积比为，∴，∴，∵，∴．故答案为：20．【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解答本题的关键．16．如图，，点在边上，，点为边上一动点，连接，与关于所在的直线对称，点，分别为，的中点，连接并延长交所在直线于点，连接，当为直角三角形时，的长为【答案】或2【分析】当为直角三角形时，存在两种情况：①当时，如图1，根据对称的性质和平行线可得：，根据直角三角形斜边中线的性质得：，最后利用勾股定理可得的长；②当时，如图2，证明是等腰直角三角形，可得．【解析】解：当为直角三角形时，存在两种情况：①当时，如图1，与关于所在直线对称，，，点，分别为，的中点，、是的中位线，，，，，，，，是等边三角形，，；②当时，如图2，，，与关于所在直线对称，，是等腰直角三角形，；综上所述，的长为或2；故答案为：或2．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题．三、解答题17．解不等式（组）(1)．(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先去括号，再移项合并同类项，即可求解；（2）分别求出两个不等式的解集，即可求解．【解析】（1）解：，去括号得：，移项合并同类项得，解得：；（2）解：，解不等式①，得：，解不等式②，得：，所以原不等式组的解集是．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式和一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式和一元一次不等式组的解法和步骤是解题的关键．18．已知：如图，，，，在同一直线上，，．求证：．【答案】见解析【分析】作过点A作于，根据等腰三角形的性质，可得，，即可．【解析】证明：过点A作于，∵，∴，又∵，∴，∴，即．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的顶角平分线，底边中线和高线互相重合是解题的关键．19．如图，在中，．

(1)用直尺和圆规作的中垂线，交于点D（要求保留作图痕迹）；(2)连接，若，求的周长【答案】(1)见解析(2)12【分析】（1）分别以为圆心，大于为半径画弧即可完成作图；（2）根据线段垂直平分线的性质即可求解．【解析】（1）解：如图所示：直线即为所求；

（2）解：由（1）可知，直线是线段的垂直平分线，∴，∴的周长:，∵，∴的周长为：．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质．熟记垂平分线的性质是解题关键．20．如图，和都是等腰三角形，，为边上一点（不与、重合）．(1)求证：；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据等腰三角形的性质，利用证明三角形全等即可；（2）利用全等三角形的性质，得到，推出，利用勾股定理求出的长即可．【解析】（1）∵和都是等腰直角三角形，，∴，，，，在和中，，∴；（2）解：∵，∴，，∴，∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理．熟练掌握手拉手模型，证明三角形全等，是解题的关键．21．已知关于、的二元一次方程组（为常数）.(1)若该方程组的解、满足，求的取值范围；(2)若该方程组的解、均为正整数，且，直接写出该方程组的解.【答案】(1)(2)或或或【分析】（1）将方程组变为，利用得，代入不等式，解不等式即可求解；（2）根据加减法解二元一次方程组，根据方程组的解均为正整数，且，得的值，进而求得方程组的解．【解析】（1）解：二元一次方程组可变为：，得：，∵该方程组的解满足，∴，解得：；（2）解：二元一次方程组可变为：，得：解得，将代入①得：，解得：，∵方程组的解均为正整数，且，∴或或4或3，∴或或或．【点睛】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式综合，正确的计算是解题的关键．22．某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某活塞．现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元.甲乙价格(万元/台)75每台日产量(个)10060(1)按该公司要求可以有几种购买方案？(2)如果该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择什么样的购买方案？【答案】（1）有3种购买方案①购乙6台，②购甲1台，购乙5台，③购甲2台，购乙4台（2）购买甲种机器1台,购买乙种机器5台,【分析】（1）设购买甲种机器x台（x≥0），则购买乙种机器（6x）台，根据买机器所耗资金不能超过34万元，即购买甲种机器的钱数+购买乙种机器的钱数≤34万元．就可以得到关于x的不等式，就可以求出x的范围．（2）该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，就是已知不等关系：甲种机器生产的零件数+乙种机器生产的零件数≤380件．根据（1）中的三种方案，可以计算出每种方案的需要资金，从而选择出合适的方案．【解析】解：(1)设购买甲种机器x台(x≥0),则购买乙种机器(6x)台依题意,得7x+5(6x)≤34解这个不等式,得x≤2,即x可取0,1,2三个值.∴该公司按要求可以有以下三种购买方案:方案一:不购买甲种机器,购买乙种机器6台.方案二:购买甲种机器l1台,购买乙种机器5台.方案三:购买甲种机器2台,购买乙种机器4台(2)根据题意,100x+60(6x)≥380解之得x>由(1)得x≤2,即≤x≤2.∴x可取1,2俩值.即有以下两种购买方案：购买甲种机器1台,购买乙种机器5台,所耗资金为1×7+5×5=32万元；购买甲种机器2台,购买乙种机器4台,所耗资金为2×7+4×5=34万元.∴为了节约资金应选择购买甲种机器1台,购买乙种机器5台,.【点睛】解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式，正确确定各种情况，确定各种方案．23．如图，，是的两条高线，且它们相交于，是边的中点，连接，与相交于点，已知．(1)求证(2)若平分．①求证：；②若，求的长．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②【分析】（1）根据证明，即可证明结论；（2）①根据等腰三角形的性质和角平分线的定义，结合三角形外角的性质，求出，根据等角对等边即可得出答案；②过点P作于点M，证明，设，用x表示出，，证明，得出，表示出，根据勾股定理列出关于x的方程，求出，在中根据勾股定理求出即可．【解析】（1）证明：∵、是的高线，∴，∴，，∴，∵，，∴，∴；（2）证明：①∵，，∴，∵平分，∴，∴，∵，是边的中点，∴，，∵为的外角，∴，∴，∴；②