专题01平行线中的拐点模型之猪蹄模型（M型）与锯齿模型（原卷版）

专题01平行线中的拐点模型之猪蹄模型（M型）与锯齿模型平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（猪蹄模型（M型）与锯齿模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。模型1：猪蹄模型（M型）与锯齿模型【模型解读】图1图2图3如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN.如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.【模型证明】（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM，∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．（2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，（3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1例1．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期中）如图，为等边三角形，．若，则（）

A． B． C． D．例2．（2023下·河北石家庄·七年级统考期末）山上的一段观光索道如图所示，索道支撑架均为互相平行（），且每两个支撑架之间的索道均是直的，若，，则（

）

A． B． C． D．例3．（2023下·河南驻马店·七年级校考阶段练习）如图，，，则与满足（

）

A．B．C．D．例4．（2023下·广东佛山·七年级校考期中）如图，直线，分别交、于E、F两点，作、的平分线相交于点K；作、的平分线交于点；依此类推，作、的平分线相交于点，…，作、的平分线相交于点，则，．

例5．（2023下·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如图，已知和分别平分和，若，，则的度数为（

）

A． B． C． D．例6．（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）如图，已知，点，分别在，上，点，在两条平行线，之间，与的平分线交于点．若，，则的度数为（

）．A． B． C． D．例7．（2023下·四川凉山·七年级校考阶段练习）如图，，则．例8．（2023·浙江七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．（1）如图（2）所示，已知，请问，，有何关系并说明理由；（2）如图（3）所示，已知，请问，，又有何关系并说明理由；（3）如图（4）所示，已知，请问与有何关系并说明理由．例9．（2023下·陕西渭南·七年级统考期中）已知点在直线，之间，且．

(1)如图1，过点作直线，求证：；(2)若平分，．①如图2，平分，过点作，若，求的度数；②如图3，过点作，若平分，试判断与的数量关系并说明理由．课后专项训练1．（2023·陕西西安·校考二模）如图，已知直线，与直线c分别交于A、B两点，点C在直线b上，点D在线段上，连接，若，则的度数为（）

A． B． C． D．2．（2023上·湖北孝感·八年级统考期中）如图，，，，则的大小为（

）

A． B． C． D．3．（2023·湖南·中考真题）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（）A．70° B．65° C．35° D．5°4．（2023下·吉林·七年级统考期末）如图所示，直线，的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若，，则的度数为（

）

A． B． C． D．5．（2023·河南信阳·校考三模）已知，如图，一个含30°角的直角三角尺放在两条平行线间，已知，，，则（

）

A． B． C． D．6．（2023·哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，，平分，则等于（

）A． B． C． D．7．（2023下·湖北襄阳·七年级统考期末）如图，，点A为射线CF上一点，，，则的度数为．

8．（2023下·河北衡水·九年级校考期中）如图，已知，，当β增大时，（填“增大”或“减小”）度．9．（2023下·辽宁抚顺·七年级校联考阶段练习）如图，A地与B地，B地与C地之间均有一条笔直的公路连接，B地分别在A地的南偏东的方向，在C地的南偏西的方向，若公路长，公路长，则A地到公路的距离是．

10．（2023下·四川南充·七年级校考期末）如图，，，则．

11．（2023下·重庆·七年级统考期末）如图，直线，点E在直线上，点H在直线上，点F在直线之间，连接，．则的度数为度．

12．（2023下·河北邯郸·七年级统考期中）如图，直线，，，，则°．

13．（2023上·福建福州·八年级福州日升中学校考阶段练习）如图，直线、分别经过等边三角形的顶点、，且，，则．

13．（2023下·贵州黔东南·七年级校考阶段练习）如图，直线，、分别是、的平分线，那么与之间的关系是.

14．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，，，，，，．15．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，直线平分，交于点，过点作平分交于，若，则度．

16．（2023下·四川德阳·七年级校考阶段练习）如图，，平分，，下列结论：①；②；③；④若，则，其中结论正确的是（填序号）17．（2023下·贵州黔东南·七年级校考阶段练习）填空，并在后面的括号中填理由：如图，已知，求证：．

证明：如图，过点C作∴______（

），∵，即∴______∴____________（

）又∵（

）∴____________（

）18．（2023下·福建南平·七年级统考期末）如图，，直线与分别交于M，N，平分，平分．(1)当时，求的大小；(2)设，用含α的式子表示．

19．（2023上·绵阳市·八年级专题练习）如图1，已知，点B为平面内一点，过点B作于点D，于B．(1)若，则______；(2)求证：；(3)如图2，G在射线上，当平分时，求与的数量关系．

20．（2023下·广东湛江·七年级校考期中）已知直角三角形．

(1)如图1，直线，且平分，求的度数．(用含x的式子表示)(2)在（1）的条件下，直线平分交直线于点D，如图2，在x取不同数值时，的大小是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请求出变化的范围．21．（2023下·广东河源·七年级统考期末）如图，已知，点，分别在，上，点在，之间，，，三点均在直线的同侧．(1)如图，试说明；(2)如图，若，，分别平分和，求的度数；(3)如图，若的度数为，平分交的延长线于点，平分交的延长线于点，请用含的代数式表示．

22．（2023下·陕西安康·七年级校考期末）问题提出（1）如图1，，直接写出，，之间的关系：________．（2）如图2，，平分，平分，试探究，之间的关系，并说明理由．问题解决（3）如图3，，，，，，求的度数．

23．（2023下·北京西城·七年级北京师大附中校考阶段练习）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即已知：如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到．求证：小明笔记上写出的证明过程如下:证明：过点E作∵∵，∴∴∴∴请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．(1)如图，若，，求；(2)如图，，BE平分，CF平分，，求．24．（2023下·湖北鄂州·七年级统考期中）如图1，直线ABCD，点P在两平行线之间，点E在AB上，点F在CD上，连接PE，PF．（1）若∠PEB=60°，∠PFD=50°，请求出∠EPF．（请写出必要的步骤，并说明理由）（2）如图2，若点P，Q在直线AB与CD之间时，∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，请求出∠4