第2章《相交线与平行线》（教师版）

20232024学年北师大版数学七年级下册章节拔高检测卷（易错专练）第2章《相交线与平行线》考试时间：100分钟试卷满分：100分难度系数：0.47一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）1．（2分）（2023秋•太原期末）如图，已知直线a∥b，现将含45°角的直角三角板放入平行线之间，两个锐角顶点分别落在两条直线上．若∠1＝23°，则∠2的度数为（）A．68° B．67° C．23° D．22°解：如图：由题意得：∠3＝45°，∵∠1＝23°，∴∠ABC＝∠1+∠3＝68°，∵a∥b，∴∠2＝∠ABC＝68°，故选：A．2．（2分）（2023秋•监利市期末）若∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为补角，则下列结论：①∠3﹣∠2＝90°；②∠3+∠2＝270°﹣2∠1；③∠3﹣∠1＝2∠2；④∠3＜∠1+∠2．其中正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个解：∵∠1+∠2＝90°（1），∠1+∠3＝180°（2），∴（2）﹣（1）得，∠3﹣∠2＝90°，∴①正确．（1）+（2）得，∠3+∠2＝270°﹣2∠2，∴②正确．（2）﹣（1）×2得，∠3﹣∠1＝2∠2，∴③正确．由∠1+∠3＝180°，∠1+∠2＝90°，得，∠3＝180°﹣∠1＝2∠1+2∠2﹣∠1＝∠1+2∠2，∴∠3＞∠1+∠2，∴④错误．故选：B．3．（2分）（2023秋•汝阳县期末）小明同学学习时善于自己动手操作，以加深对知识的理解和掌握．在学习了相交线与平行线的知识后，他又探索起来：将直角三角板按如图方式放置在直尺上，则∠1+∠2的度数为（）A．270° B．265° C．260° D．240°解：如图：过点E作EF∥AB，∴∠2+∠4＝180°，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠1+∠3＝180°，∵∠3+∠4＝90°，∴∠1+∠2＝360°﹣（∠3+∠4）＝270°，故选：A．4．（2分）（2023秋•浚县期末）如图所示，图形中∠1与∠2不一定相等的是（）A． B． C． D．解：A、∵∠1与∠2是对顶角，∴∠1＝∠2，故A不符号题意；B、∵∠3＝90°，∴∠1+∠2＝180°﹣∠3＝90°，∴∠1与∠2不一定相等，故B符合题意；C、∵a∥b，∴∠1＝∠2，故C不符合题意；D、如图：∵a⊥c，b⊥d，∴∠ABC＝∠DBF＝90°，∴∠DBF﹣∠ABF＝∠ABC﹣∠ABF，∴∠1＝∠2，故D不符合题意；故选：B．5．（2分）（2023春•天山区校级期末）如图，点E在AC的延长线上，下列条件能判断AB∥CD的是（）A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°解：A．根据内错角相等，两直线平行即可证得AB∥CD；B．根据内错角相等，两直线平行即可证得BD∥AC，不能证AB∥CD；C．根据内错角相等，两直线平行即可证得BD∥AC，不能证AB∥CD；D．根据同旁内角互补，两直线平行，即可证得BD∥AC，不能证AB∥CD．故选：A．6．（2分）（2023秋•新抚区期末）如图，O是直线AB上一点，OE平分∠AOB，∠COD＝90°．则图中互余的角、互补的角各有（）对．A．3，3 B．4，7 C．4，4 D．4，5解：∵OE平分∠AOB，∴∠AOE＝∠BOE＝90°，∴互余的角有∠AOC和∠COE，∠AOC和∠BOD，∠COE和∠DOE，∠DOE和∠BOD共4对，互补的角有∠AOC和∠BOC，∠DOE和∠BOC，∠COE和∠AOD，∠BOD和∠AOD，∠AOE和∠BOE，∠AOE和∠COD，∠COD和∠BOE共7对．故选：B．7．（2分）（2023秋•阳城县期末）在如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（）A．如图1，展开后测得∠1＝∠2 B．如图3，测得∠1＝∠2 C．如图2，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4 D．在图4，展开后测得∠1+∠2＝180°解：A、当∠1＝∠2时，a∥b，故此选项不符合题意；B、∠1＝∠2不能判定a，b互相平行，故此选项符合题意；C、由∠1＝∠2且∠3＝∠4可得∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝90°，∴a∥b，故此选项不符合题意；D、由∠1+∠2＝180°可知a∥b，故此选项不符合题意；故选：B．8．（2分）（2023春•开封期末）数学教学用具：直尺、三角板、量角器如图放置，则∠1的度数是（）A．38° B．40° C．48° D．52°解：如图：由题意得：AD∥BC，∠CFG＝52°，∴∠DEF＝∠CFG＝52°，∵∠GEH＝90°，∴∠1＝180°﹣∠DEF﹣∠GEH＝38°，故选：A．9．（2分）（2022春•宾阳县期末）如图，已知GH∥BC，∠1＝∠2，GF⊥AB，给出下列结论：①∠B＝∠AGH；②HE⊥AB；③∠D＝∠F；④HE平分∠AHG．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：∵GH∥BC，∴∠1＝∠HGF，∠B＝∠AGH，故①正确；∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠HGF，∴DE∥GF，∴∠D＝∠DMF，根据已知条件不能推出∠F也等于∠DMF，故③错误；∵DE∥GF，∴∠F＝∠AHE，∵∠D＝∠1＝∠2，∴∠2不一定等于∠AHE，故④错误；∵GF⊥AB，GF∥HE，∴HE⊥AB，故②正确；即正确的个数是2，故选：B．10．（2分）（2023春•浦东新区校级期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠B＝∠E＝45°，当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，如果三角板BCE的直角边与边AD平行，那么∠ACE的度数为（）A．30或60 B．60或120 C．45或60 D．30或120解：分两种情况：当CB∥AD时，如图：∵CB∥AD，∴∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，∵∠ECB＝90°，∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝30°；当CE∥AD时，如图：∵AD∥CE，∴∠ACE＝180°﹣∠A＝120°；综上所述：如果三角板BCE的直角边与边AD平行，那么∠ACE的度数为120或30，故选：D．二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）11．（2分）（2023春•辛集市期末）如图，DF是∠BDC的平分线，AB∥CD，∠ABD＝108°，则∠1的度数为36°．解：∵AB∥CD，∠ABD＝108°，∴∠CDB＝180°﹣∠ABD＝72°，∵DF是∠BDC的平分线，∴∠CDF＝∠CDB＝36°，∵AB∥CD，∴∠1＝∠CDF＝36°，故答案为：36°．12．（2分）（2023秋•萍乡期末）如图，△ABC中，∠B＝40°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADE的度数为110°．解：∵DE∥AB，∠B＝40°，∴∠BDE＝40°，由折叠的性质得∠ADE＝∠ADC，∵∠ADB+∠ADC＝180°，∠ADB＝∠ADE﹣∠BDE＝∠ADC﹣40°，∴∠ADC﹣40°+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝110°，∴∠ADE＝∠ADC＝110°．故答案为：110．13．（2分）（2022秋•仁化县期末）如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，∠MON＝90°．若∠MOC＝35°，则∠BON的度数为55°．解：∵射线OM平分∠AOC，∠MOC＝35°，∴∠MOA＝∠MOC＝35°，∵∠MON＝90°，∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠MOA＝180°﹣90°﹣35°＝55°．故选：55°．14．（2分）（2022秋•衡山县期末）如图，学生使用的小刀，刀身是长方形，刀片的上下边沿是平行的，刀片转动时会形成∠1和∠2，则∠1+∠2＝90°．解：如图，过点O作OP∥AB，则∠1＝∠AOP．∵AB∥CD，OP∥AB，∴OP∥CD，∴∠2＝∠POC，∵∠AOP+∠POC＝90°，∴∠1+∠2＝90°，故答案为：90°．15．（2分）（2023秋•鹿寨县期末）如图1是某景区电动升降门，将其抽象为几何图形，如图2所示，BA垂直于地面AE于A，当CD平行于地面AE时，则∠ABC+∠BCD＝270°．解：过点B作BF∥AE，如图：∵CD∥AE，∴BF∥CD，∴∠BCD+∠CBF＝180°，∵AB⊥AE，∴AB⊥BF，∴∠ABF＝90°，∴∠ABC+∠BCD＝∠ABF+∠CBF+∠BCD＝90°+180°＝270°．故答案为：270°．16．（2分）（2023春•石嘴山校级期末）如图，要修建一条公路，从A村沿北偏东75°方向到B村，从B村沿北偏西25°方向到C村．从C村到D村的公路平行于从A村到B村的公路，则C，D两村与B，C两村公路之间夹角的度数为80°．解：如图：由题意得：∠EAB＝75°，∠CBF＝25°，AE∥BF，∴∠EAB＝∠FBG＝75°，∴∠CBG＝∠CBF+∠FBG＝100°，∵CD∥AB，∴∠DCB＝180°﹣∠CBG＝80°，∴C，D两村与B，C两村公路之间夹角的度数为80°，故答案为：80°．17．（2分）（2023春•包河区期末）如图（1）所示为长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图（2），再沿BF折叠成图（3），继续沿EF折叠成图（4），按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG；整个过程共折叠了9次，问图（1）中∠DEF的度数是18°．解：设∠DEF＝α，则∠EFG＝α，∵折叠9次后CF与GF重合，∴∠CFE＝9∠EFG＝9α，如图2，∵CF∥DE，∴∠DEF+∠CFE＝180°，∴α+9α＝180°，∴α＝18°，即∠DEF＝18°，故答案为：18°．18．（2分）（2023秋•让胡路区校级期中）已知∠AOB和∠BOC互为邻补角，且∠AOB＜∠BOC，OD平分∠BOC，射线OE在∠AOB内部，且4∠BOE+∠BOC＝180°，∠DOE＝70°，OM⊥OB，则∠MOE＝110°或70°．解：分两种情况进行讨论：①如图1所示，若OM在AC上方，∵OD平分∠BOC，∴∠COD＝∠BOD，∵4∠BOE+∠BOC＝180°，∠AOB+∠BOC＝180°，∴∠AOB＝4∠BOE，即∠AOE＝3∠BOE，设∠BOE＝α，则∠AOE＝3α，∠BOD＝70°﹣α＝∠COD，∵∠AOC为平角，∴∠AOE+∠DOE+∠COD＝180°，即3α+70°+70°﹣α＝180°，解得α＝20°，∴∠BOE＝20°，又∵OM⊥OB，∴∠MOB＝90°，∴∠MOE＝∠BOE+∠MOB＝20°+90°＝110°；②如图2所示，若OM在AC下方，同理可得，∠BOE＝20°，又∵OM⊥OB，∴∠MOB＝90°，∴∠MOE＝∠MOB﹣∠BOE＝90°﹣20°＝70°；综上所述，∠MOE的度数为110°或70°．故答案为：110°或70°．19．（2分）（2021春•涡阳县期末）如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝（x+y）度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝（）n﹣1（x+y）度．解：（1）如图，分别过点P1、P2作直线MN∥AB，GH∥AB，∴∠P1EB＝∠MP1E＝x°．又∵AB∥CD，∴MN∥CD．∴∠P1FD＝∠FP1M＝y°．∴∠EP1F＝∠EP1M+∠FP1M＝x°+y°．（2）∵P2E平分∠BEP1，P2F平分∠DFP1，∴＝．．以此类推：，，...，．故答案为：（x+y），（）n﹣1（x+y）．20．（2分）（2023春•开州区期末）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A，B分别落在A'，B'的位置，再沿AD边将∠A'折叠到∠H处，已知∠1＝50°，则∠FEH＝15°．解：由折叠可知：∠BFE＝∠B'FE，∠AEF＝∠A'EF，∠A'EG＝∠HEG，∵∠1+∠BFE+∠B'FE＝180°，∠1＝50°，∴∠BFE＝65°，∵AD∥BC，∴∠AEF+∠BFE＝180°，∴∠AEF＝115°，∴∠A'EF＝115°，过B'作B'M∥AD，则∠DGB'＝∠GB'M，∵AD∥BC，∴∠MB'F＝∠1，∴∠1+∠DGB'＝∠GB'F＝90°，∴∠DGB'＝90°﹣50°＝40°，∴∠A'GE＝∠DGB'＝40°，∵∠A'＝90°，∴∠HEG＝∠A'EG＝90°﹣40°＝50°，∴∠A'EH＝2×50°＝100°，∴∠FEH＝∠A'EF﹣∠A'EH＝115°﹣100°＝15°．故答案为：15．三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（6分）（2023春•礼泉县期中）如图，直线AB、CD交于点O，射线OE平分∠AOD，OF⊥AB，∠BOD＝44°．（1）求∠COE的度数；（2）求∠EOF的度数．解：（1）∵∠BOD＝44°，∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝136°，∵OE平分∠AOD，∴，∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝180°﹣68°＝112°，∴∠COE的度数为112°；（2）∵OF⊥AB，∴∠AOF＝90°，∵∠AOE＝68°，∴∠EOF＝∠AOF﹣∠AOE＝90°﹣68°＝22°，∴∠EOF的度数为22°．22．（6分）（2023春•思明区期中）如图1，已知AM∥CN，点B为平面内一点，过点B作BD⊥AM于点D，AB⊥BC于B．（1）若∠MAB＝120°，则∠ABD＝30°．（2）求证：∠ABD＝∠C．（3）如图2，G在射线DA上，当BG平分∠DBC时，求∠ABG与∠DAB的数量关系．（1）解：由题意，∠MAB＝∠D+∠ABD，∴∠ABD＝∠MAB﹣∠D．∵BD⊥AM，∴∠BDA＝90°．又∵∠MAB＝120°，∴∠ABD＝∠MAB﹣∠D＝120°﹣90°＝30°．故答案为：30°．（2）证明：如图1，过点B作BE∥DM，又∵AM∥CN，∴BE∥CN∥AM，∴∠C＝∠CBE．∵AB⊥BC，∴∠ABE+∠CBE＝90°．∴∠C+∠ABE＝90°．∵BE∥DM，∴∠D+∠DBE＝180°．∵∠D＝90°，∴∠DBE＝∠ABD+∠ABE＝90°．又∠C+∠ABE＝90°．∴∠ABD＝∠C．（3）解：如图2，过点B作BE∥DM，由（2）可得BE∥CN∥AM，∴∠AGB＝∠GBE．设∠ABG＝x，∠DAB＝y，则∠AGB＝∠GBE＝y﹣x．∵∠D＝90°，∴∠ABD＝∠C＝∠CBE＝90°﹣y．又BG平分∠DBC，∴∠DBG＝∠GBC．∴90°﹣y+x＝y﹣x+90°﹣y．∴2x＝y．∴2∠ABG＝∠DAB．23．（8分）（2023秋•清徐县期末）综合与实践问题情境：数学活动课上，同学们以具有公共顶点的两个直角为背景，探究有关角的问题．如图1，已知∠AOB＝∠COD＝90°，射线OC在∠AOB的内部，射线OB在∠COD的内部，OE平分∠AOC．特例分析：（1）若∠BOC＝40°，求∠DOE的度数；拓展探究：（2）在图1的基础上，作射线OF平分∠BOD，得到图2．小宁提出如下问题，请你解答：①若∠BOC＝50°，则∠EOF的度数为90°；②若∠BOC的度数为α°，则∠EOF的度数为90°．解：（1）∵∠AOB＝90°，∠BOC＝40°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝50°，∵OE平分∠AOC，∴∠COE＝∠AOC＝25°，∵∠COD＝90°，∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝115°，∴∠DOE的度数为115°；（2）①∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOC＝50°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝40°，∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝40°，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠COE＝∠AOC＝20°，∠BOF＝∠BOD＝20°，∴∠EOF＝∠BOF+∠BOC+∠COE＝90°，故答案为：90；②∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOC＝α°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝（90﹣α）°，∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝（90﹣α）°，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠COE＝∠AOC＝（45﹣α）°，∠BOF＝∠BOD＝（45﹣α）°，∴∠EOF＝∠BOF+∠BOC+∠COE＝α°+（45﹣α）°+（45﹣α）°＝90°，故答案为：90；24．（8分）（2023秋•渝中区校级期末）会一门艺术、优雅生活!巴蜀中学一年一度的艺术节于12月26日开幕，同学们编排节目、设计活动、制作海报，热情高涨．如图是初二某班同学设计制作的艺术节海报展示支架，其中支架底座OA长1.5m，OK长1.8m，AM为支撑杆，支撑点M可以沿着OK上下自由滑动，从而实现OK倾斜程度的改变．（1）当支撑点在OK中点时，连接AK，测得AK＝AO，求支撑杆AM的长度．（2）当支撑点在M'处时，连接AK'，AM'⊥AK'，AK'比OM'长0.6m，求此时A到OK′的距离．解：（1）∵M为OK中点时，AK＝AO，∴AM⊥OK，OM＝0.9m，∴AM＝＝1.2（m），答：支撑杆AM的长度为1.2m．（2）设OM′＝x，则AK′＝x+0.6，∴OA＝1.8，∴M′K′＝1.8﹣x，在Rt△AM′K′中由勾股定理，得1.22+（x+0.6）2＝（1.8﹣x）2，解得：x＝0.3，∴AK′＝0.9，M′K′＝1.5，过A作AH⊥OK′于H，则M′K′•AH＝AK′•AM′，1.5AH＝0.9×1.2，AH＝m．答：A到OK′的距离为m．25．（8分）（2023秋•巴南区校级期末）已知，如图，AB∥CD，直线MN交AB于点M，交CD于点N，点E是线段MN上一点，P，Q分别在射线MB，ND上，连接PE，EQ，PF平分∠MPE，QF平分∠DQE．（1）如图1，当PE⊥QE时，直接写出∠PFQ的度数；（2）如图2，求∠PEQ与∠PFQ之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在（1）问的条件下，若∠APE＝45°，∠MND＝75°，过点P作PH⊥OF交QF的延长线于点H，将MN绕点N顺时针旋转，速度为每秒5°，直线MN旋转后的对应直线为M'N，同时△FPH绕点P逆时针旋转，速度为每秒10°，△FPH旋转后的对应三角形为△F'PH'，当MN首次落到CD上时，整个运动停止，在此运动过程中，经过t秒后，M'N恰好平行于△F'PH'的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的值．解：（1）如图1：延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，设∠APE＝2α，则∠FPH＝∠APE＝α，∵AB∥CD，∴∠PGQ＝∠APE＝2α，∵PE⊥QE，∴∠QEH＝QEG＝90°，∴∠EQD＝∠QEG+∠PGQ＝90°+2α，∴∠EQH＝∠EQD＝45°+α，在△EQH和△PFH中，∵∠HEQ+∠HQE+∠EHQ＝180°，∠FPH+∠FHP+∠PFH＝180°，∠PHF＝∠EHQ，∴∠HEQ+∠HQE＝∠FPH+∠PFH，即：90°+45°+α＝α+∠PFH，∴∠PFH＝135°，故答案为：135°；（2）如图1，延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，设∠APE＝2α，设∠PEQ＝β，则∠FPH＝∠APE＝α，∵AB∥CD，∴∠PGQ＝∠APE＝2α，∵∠GEQ＝180°﹣∠PEQ，∴∠EQD＝∠QEG+∠PGQ＝180°﹣∠PEQ+2α，∴∠HQE＝∠EQD＝90°+α﹣∠PEQ，在△EQH和△PFH中，∵∠PEQ+∠HQE+∠EHQ＝180°，∠FPH+∠FHP+∠PFH＝180°，∠PHF＝∠EHQ，∴∠PEQ+∠HQE＝∠FPH+∠PFH，即：∠PEQ+90°+α﹣∠PEQ＝α+∠PFQ∴2∠PFQ﹣∠PEQ＝180°；（3）如图2：当M′N∥PF′时，105﹣5t＝22.5+10t，∴t＝5.5，如图3：当NM′∥PH′时，105﹣5t＝10t﹣22.5，∴t＝8.5，如图4：当NM′∥F′H′时，即PH′⊥NM′，105+5t+10t﹣22.5+90＝360，∴t＝12.5，综上所述：t＝5.5或8.5或12.5．26．（8分）（2023秋•南山区校级期末）如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺AOB的直角顶点O放在互相垂直的两条直线PQ、MN的垂足O处，并使两条直角边落在直线PQ、MN上，将△AOB绕着点O顺时针旋转α（0°＜α＜180°）．（1）如图2，若α＝26°，则∠BOP＝64°，∠AOM+∠BOQ＝180°；（2）若射线OC是∠BOM的角平分线，且∠POC＝β．①若△AOB旋转到图3的位置，∠BON的度数为多少？（用含β的代数式表示）②△AOB在旋转过程中，若∠AOC＝2∠AOM，求此时β的值．解：（1）如图2，∵MN⊥PQ，∴∠POM＝∠QOM＝90°，∵∠BOM＝∠AOQ＝26°，∴∠BOP＝90°﹣26°＝64°；∵∠AOB＝90°，∴∠AOM+∠BOQ＝∠AOM+∠AOQ+∠AOB＝∠QOM+∠AOB＝90°+90°＝180°，故答案为：64°；180°；（2）①∵∠POM＝90°，∠POC＝β，∴∠COM＝90°﹣β，∵射线OC是∠BOM的角平分线，∴∠BOM＝2∠COM＝180°﹣2β，∴∠BON＝180°﹣（180°﹣2β）＝2β；②当OA位于∠QOM内部时，如图3，∵OC平分∠BOM，∴∠BOC＝∠COM，∵∠AOC＝2∠AOM，∴∠AOM＝∠COM，∴∠AOM＝∠COM＝∠BOC＝∠AOB，∵∠AOB＝90°，∴∠COM＝30°，∴β＝90°﹣30°＝60°；当OA位于∠POM内部时，如图，∵∠POM＝90°，∠POC＝β°，∴∠COM＝90°﹣β，∵OC平分∠BOM，∴∠BOM＝2∠COM＝180°﹣2β，∠BOC＝∠COM＝90°﹣β，∴∠AOM＝180°﹣2β﹣90°＝90°﹣2β，∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝90°﹣（90°﹣β）＝β，∵∠AOC＝2∠AOM，∴β＝2（90°﹣2β），解得β＝36°，综上所述，若∠AOC＝2∠AOM，β的值为60°或36°．27．（8分）（2022秋•沈阳期末）如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP＝x°．（1）如图1，若DE∥OB．①∠DEO的度数是20°，当DP⊥OE时，x＝70；②若∠EDF＝∠EFD，求x的值；（2）如图2，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．解：（1）①∵∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，∴∠BOE＝20°，∵DE∥OB，∴∠DEO＝∠BOE＝20°；∵∠DOE＝∠DEO＝20°，∴DO＝DE，∠ODE＝140°，当DP⊥OE时，∠ODP＝∠ODE＝70°，即x＝70，故答案为：20，70；②∵∠DEO＝20°，∠EDF＝∠EFD，∴∠EDF＝80°，又∵∠ODE＝140°，∴∠ODP＝140°﹣80°＝60°，∴x＝60；（2）存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF．分两种情况：①如图2，若DP在DE左侧，∵DE⊥OA，∴∠EDF＝90°﹣x°，∵∠AOC＝20°，∴∠EFD＝20°+x°，当∠EFD＝4∠EDF时，20°+x°＝4（90°﹣x°），解得x＝68；②如图3，若DP在DE右侧，∵∠EDF＝x°﹣90°，∠EFD＝180°﹣20°﹣x°＝160°﹣x°，∴当∠EFD＝4∠EDF时，160°﹣x°＝4（x°﹣90°），解得x＝104；综上所述，当x＝68或104时，∠EFD＝4∠EDF．28．（8分）（2022春•婺城区期末）如图，已知AB∥CD，直线MN交AB于点M，交CD于点N．点E是线段MN上一点，P，Q分别在射线MA，NC上，连接PE，QE，PF平分∠MPE，QF平分∠CQE．（1）如图1，若