专题18.2（特殊）的平行四边形中的翻折旋转与动态问题专题讲练（原卷版）

专题18.2（特殊）的平行四边形中的翻折、旋转与动态问题专题讲练1、以特殊四边形为背景的折叠（翻折）问题解题技巧：图形的旋转和折叠，意味着全等，抓住不变量。若在图形的折叠中，考察图形折叠的折痕问题，则需要抓住折痕垂直平分对应点所连的线段平分对应边所成的夹角。例1．（2022.广东八年级期末）如图，平行四边形ABCD中，∠A＝45°，AB＝4，BC＝2，E为AB的中点，F分别为AD边上的动点，将∠A沿EF折叠，点A落在平面内的点处，且点在∠BAD外部，当折叠后重叠部分为等腰三角形时，则线段DF的长为__．变式1．（2022.绵阳市八年级期中）如图，，分别是的边，上的点，，．将四边形沿翻折，得到，交于点．则的周长为（）A．6 B．12 C．18 D．24例2．（2022山西八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上的一个点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝50°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为______．变式2．（2022.河北九年级月考）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在点处且平分，若，则____________．例3．（2022·江苏初二期中）如图，矩形纸片ABDC中，AB＝3，AD＝4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE.如果在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此时PB＝.变式3.（2022·江苏镇江市八年级期末）如图，在矩形中，，点分别在上，且，为直线上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在直线上时，的长为________．例4．（2023秋·福建福州·八年级校考期末）如图，长方形中，E为的中点，将沿直线折叠时点B落在点F处，连接，若，则___________度．变式4．（2022秋·山东潍坊·八年级统考期末）如图，在矩形纸片中，把沿直线折叠，使得点落在边上的点处．已知与的度数之比为，则的度数是（

）A． B． C． D．例5．（2021·辽宁大连·中考真题）如图，在菱形中，，点E在边上，将沿直线翻折180°，得到，点B的对应点是点若，，则的长是__________．变式5．（2022·福建三明·一模）如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=6，点E，F分别在边AB，AD上，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，若点G恰好为CD边的中点，则AE的长为（）A．B．C．D．3例6．（2022·西藏·统考中考真题）如图，在菱形纸片ABCD中，E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE翻折，使点B落在上，连接．已知∠C＝120°，∠BAE＝50°，则的度数为（）A．50° B．60° C．80° D．90°变式6．（2022·重庆市九年级阶段练习）如图，在菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点落在（为的中点）所在的直线上，得到经过点的折痕，则的度数为________．例7．（2022·重庆·八年级期末）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，将△AED沿着AE翻折得到△AEF，点D的对应点F恰好落在对角线AC上，连接BF．若EF＝2，则BF2＝（

）A．4＋4 B．6＋4 C．12 D．8＋4变式7．（2022·河南·郑州九年级期末）如图，正方形中，点E为边的中点，点P为边上一个动点，连接，以为对称轴折叠得到，点B的对应点为点F，若，当射线经过正方形边的中点（不包括点E）时，的长为_____________．例8．（2022·福建·模拟预测）如图，将正方形沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，则的度数是（）A． B． C． D．变式8．（2022春·河南郑州·八年级校考期末）如图，是一个正方形纸片，、分别为、的中点，沿过点的折痕将翻折，使点落在上如图的点，折痕交于点，那么(

)A． B． C． D．2、以特殊四边形为背景的旋转问题例1．（2022•滕州市模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，∠AOC＝60°，若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到四边形OA'B'C'，则点B的对应点B'的坐标为（）A．（6，-6） B．（2，﹣2） C．（3，-3） D．（4，﹣变式1．（2021春·广东深圳·八年级校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，，∠ABC＝45°，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是_____．例2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，一个锐角等于60°的菱形ABCD，将一个60°的∠MAN的顶点与该菱形顶点A重合，以A为旋转中心，按顺时针方向旋转这个60°的∠MAN，使它的两边分别交CB、DC于点E，F．（1）如图1，当BE＝DF时，AE与AF的数量关系是；（2）旋转∠MAN，如图2，当BE≠DF时，（1）的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．变式2．（2022·湖北武汉·八年级统考期中）如图1，菱形AEFG的两边AE、AG分别在菱形ABCD的边AB和AD上，且∠BAD=60°，连接CF；（1）求证：；（2）如图2，将菱形AEFG绕点A进行顺时针旋转，在旋转过程中（1）中的结论是否发生变化？请说明理由．例3．（2022·湖北武汉初三一模）如图，将矩形绕点顺时针旋转50°，得到矩形，点，，在一条直线上，连接，则的度数为_______．变式3．（2022·广西梧州·统考一模）如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形位置，此时的中点恰好与D点重合，AB'交CD于点E，若AD=3，则AEC的面积为（

）A．12 B．4 C．3 D．6例4．（2022·福建三元·八年级期中）在长方形中，AB=5，BC=3，将长方形绕点顺时针旋转α0°<α<90°，得到长方形AEFG．（1）如图1，当点落在边上时，延长交于点，求证：EM=AE；（2）如图2，当GC=GB时，求α的值；（3）如图3，当点落在线段CF上时，与交于点，求△ADN的面积．变式4．（2022·四川·九年级校考阶段练习）矩形ABCD中AB=5，AD=3，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转至矩形EFCG（其中A、B、D分别与E、F、G对应）．（1）如图1，当点G落在AB边上时，求AG的长；（2）如图2．当点G落在线段AE上时，AB与CG交于点H，求BH；（3）如图3，记O为矩形ABCD的对角线交点，S为△OGE的面积，直接写出s的取值范围．例5．（2022•渠县期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在CD的边上，且DE＝1，△AFE与△ADE关于AE所在的直线对称，将△ADE按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABG，连接FG，则线段FG的长为（）A．4 B．42 C．5 D．6变式5．（2023春·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）如图，正方形与正方形的边长分别是7和3，正方形绕A点在平面内旋转，点M，N，P分别是，，的中点，则周长的最大值是（

）A． B． C． D．例6．（2023秋·辽宁阜新·九年级校考期末）如图，正方形和正方形（其中），的延长线与直线交于点H．(1)如图1，当点G在上时，求证：；(2)将正方形绕点C旋转一周．①如图2，当点E在直线右侧时，判断的数量关系并证明；②当时，若，请直接写出线段的长．变式6．（2022·山西大同市·九年级期末）综合与实践——探究正方形旋转中的数学问题问程情境：已知正方形中，点是线段的中点，将将正方形绕点顺时针旋转得到正方形（点，，，分别是点，，，的对应点）．同学们通过小组合作，提出下列数学问题，请你解答．特例分析：（1）“乐思”小组提出问题：如图1，在正方形绕点旋转过程中，顺次连接点，，，得到四边形，求证：四边形是矩形；（2）“善学”小组提出问题：如图2.在旋转过程中，当点落在对角线上时，设与交于点.求证：四边形是正方形．深入探究：（3）“好问”小组提出问题：如图3.若点是线段的三等分点且，在正方形旋转的过程中当线段经过点时，请直接写出的值．3、以特殊四边形为背景的动态轨迹问题解题技巧：1）动中求静，发现运动变化中的不变量、不变图形；2）把相关的量用含变量的代数式表示列方程或确定函数的关系；3）把握运动中的特殊位置，临界位置，分段、分情况讨论。例1．（2022·浙江江北·八年级期末）如图所示，正方形ABCD的边长为4，点E为线段BC上一动点，连结AE，将AE绕点E顺时针旋转90°至EF，连结BF，取BF的中点M，若点E从点B运动至点C，则点M经过的路径长为（）A．2 B． C． D．4变式1．（2022春·湖北武汉·八年级统考期末）如图，，点，均在线段上且满足．线段上有一动点，分别以，为边向上作正方形，正方形，点，分别为，的中点，连接，取的中点．那么当点从运动到时，点移动的路径长为（

）A． B． C．5 D．例2．（2022·河南·郑州三模）在矩形中，，，点在线段上，连接，过点作交线段于点．以和为邻边作平行四边形，当点从运动到时，点运动的路径长为______．变式2．（2022春·江苏·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，AB=4，∠CAB=60°，点E是对角线AC上的一个动点，连接DE，以DE为斜边作Rt△DEF，使得∠DEF=60°，且点F和点A位于DE的两侧，当点E从点A运动到点C时，动点F的运动路径长是（

）A．4 B．4 C．8 D．8例3．（2022·四川·乐山九年级阶段练习）如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝2，点E是AB边上的动点，过点B作直线CE的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为_____．变式3．（2022·山东济南·统考二模）如图，菱形ABCD的边长为6，，点E是边AD上的动点，是等边三角形，点F在CD上，线段EF与线段BD交于点G，点E从点A开始出发运动到点D停止，在这个运动过程中，点G所经过的路径长为______．课后专项训练：1．（2022·重庆万州初三期末）如图，在边长为的正方形纸片中，是边上的一点，连结,将正方形纸片折叠，使点落在线段上的点处，折痕为．则的长为()A． B． C． D．2．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，在矩形中，把矩形绕点旋转，得到矩形，且点落在上，连接，，交于点，连接，若平分，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2022春·江苏无锡·八年级校考期中）如图，已知线段AB=20，C，D是AB上的两点，且AC=DB=4，P是线段CD上一动点，分别以AP、BP为对角线作正方形AEPF和正方形BGPH，Q为线段FH的中点，点P由点C移动到点D时，Q点移动的路径长度为_______4．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）如图，以AB为边作边长为8的正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ＝8，若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向D点运动，点Q只能在线段AD上运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长为_____．5．（2022秋·浙江舟山·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，，，点M在边上，以每秒的速度从点A向终点B运动，连接，以M为顶点，为一边作，另一边交边于点N，过点D作于点P．（1）经过2秒，点P的路径长是________；（2）在运动过程中，线段长度的最小值是________．6．（2021·江苏盐城·中考真题）如图，在矩形中，，，、分别是边、上一点，，将沿翻折得，连接，当____时，是以为腰的等腰三角形．7．（2022·重庆九年级期中）如图，在菱形中，点为边上一点，点为边中点，连接，将沿直线翻折至菱形所在平面内，得到，连接并延长交边于点．若，，点到线段的距离为，则折痕的长为__________．8．（2022·江苏泰州·八年级统考期末）如图，菱形ABCD中，点E在AD上，将△ABE沿BE翻折，点A恰好落在边CD上的点F处，若∠A=63°，则∠BFC的度数为_________．9．（2022·重庆·八年级统考期中）如图，在菱形和菱形中，点，，在同一条直线上，是线段的中点，连接，．（1）如图1，探究与的位置关系，写出你的猜想并加以证明；（2）如图1，若，，求菱形的面积．（3）如图2，将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的边恰好与菱形的边在同一条直线上，若，请直接写出与的数量关系．10．（2022·广东东莞·八年级校考期末）将矩形ABCD绕点B顺时针旋转得到矩形A1BC1D1，点A、C、D的对应点分别为A1、C1、D1（1）当点A1落在AC上时①如图1，若∠CAB＝60°，求证：四边形ABD1C为平行四边形；②如图2，AD1交CB于点O．若∠CAB≠60°，求证：DO＝AO；（2）如图3，当A1D1过点C时．若BC＝5，CD＝3，直接写出A1A的长．11．（2023春·全国·