2025届广东省揭阳市惠来县一中高二数学第一学期期末联考模拟试题含解析

2025届广东省揭阳市惠来县一中高二数学第一学期期末联考模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若实数满足约束条件，则最小值为（）A.-2 B.-1C.1 D.22．已知圆：，点是直线：上的动点，过点引圆的两条切线、，其中、为切点，则直线经过定点（）A. B.C. D.3．阿基米德（公元前287年~公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到的椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为6π，则椭圆C的标准方程为（）A. B.C. D.4．在公比为为q等比数列中，是数列的前n项和，若，则下列说法正确的是（）A. B.数列是等比数列C. D.5．已知数列的前n项和为，，，则（）A. B.C.1025 D.20496．函数在（0，e]上的最大值为（）A.－1 B.1C.0 D.e7．复数的共轭复数是A. B.C. D.8．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多,经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中,石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台(即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的).下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位:cm),那么该壶的容量约为（）A.100 B.C.300 D.4009．已知向量分别是直线的方向向量，若，则（）A. B.C. D.10．三个实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）A. B.C.或 D.或11．f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f（x）g（x）+f（x）g（x）＜0且f（﹣1）＝0则不等式f（x）g（x）＜0的解集为A.（﹣1，0）∪（1，+∞） B.（﹣1，0）∪（0，1）C.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D.（﹣∞，﹣1）∪（0，1）12．椭圆的离心率为（）A B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若抛物线上一点到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为___________.14．在等比数列中，已知，则________15．已知函数，设，且函数有3个不同的零点，则实数k的取值范围为___________.16．若椭圆的焦点在轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设数列的前项和为，已知，且.（1）证明：数列为等比数列；（2）若，是否存在正整数，使得对任意恒成立?若存在、求的值；若不存在，说明理由.18．（12分）（1）已知双曲线的离心率为2，求E的渐近线方程；（2）已知F是抛物线的焦点，是C上一点，且，求C的方程.19．（12分）如图，在直三棱柱中，平面侧面，且.（1）求证：；（2）若直线与平面所成的角为，请问在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在请求出的位置，不存在请说明理由.20．（12分）已知函数，.（1）当时，求函数的极值；（2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.21．（12分）已知椭圆的离心率，过椭圆C的焦点且垂直于x轴的直线截椭圆所得到的线段的长度为1（1）求椭圆C的方程；（2）直线交椭圆C于A、B两点，若y轴上存在点P，使得是以AB为斜边的等腰直角三角形，求的面积的取值范围22．（10分）已知函数，且a0（1）当a=1时，求函数f(x)的单调区间；（2）记函数，若函数有两个零点，①求实数a的取值范围；②证明：

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】由约束条件作出可行域如图，联立，解得，由，得，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最小，有最小值为故选：B2、D【解析】根据圆的切线性质，结合圆的标准方程、圆与圆的位置关系进行求解即可.【详解】因为、是圆的两条切线，所以，因此点、在以为直径的圆上，因为点是直线：上的动点，所以设，点，因此的中点的横坐标为：，纵坐标为：，，因此以为直径的圆的标准方程为：，而圆：，得：，即为直线的方程，由，所以直线经过定点，故选：D【点睛】关键点睛：由圆的切线性质得到点、在以为直径的圆上，运用圆与圆的位置关系进行求解是解题的关键.3、D【解析】设椭圆的方程为，根据题意得到和，求得的值，即可求解.【详解】由题意，椭圆的焦点在轴上，可设椭圆的方程为，因为椭圆C的离心率为，可得，又由，即，解得，又因为椭圆的面积为，可得，即，联立方程组，解答，所以椭圆方程为.故选：D.4、D【解析】根据等比数列的通项公式、前项和公式的基本量运算，即可得到答案；【详解】，，故A错误；，，显然数列不是等比数列，故B错误；，故C错误；，，故D成立；故选：D5、B【解析】根据题意得，进而根据得数列是等比数列，公比为，首项为，再根据等比数列求和公式求解即可.【详解】解：因为数列的前n项和为满足，所以当时，，解得，当时，，即所以，解得或，因为，所以.所以，，所以当时，，所以，即所以数列是等比数列，公比为，首项为，所以故选：B6、A【解析】对函数求导，然后求出函数的单调区间，从而可求出函数的最大值【详解】由，得，当时，，当，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值，故选：A7、B【解析】因,故其共轭复数.应选B.考点：复数的概念及运算.8、B【解析】根据圆台的体积等于两个圆锥的体积之差，即可求出【详解】设大圆锥的高为，所以，解得故故选：B【点睛】本题主要考查圆台体积的求法以及数学在生活中的应用，属于基础题9、C【解析】由题意，得，由此可求出答案【详解】解：∵，且分别是直线的方向向量，∴，∴，∴，故选：C【点睛】本题主要考查向量共线的坐标表示，属于基础题10、D【解析】根据三个实数构成一个等比数列，解得，然后分，讨论求解.【详解】因为三个实数构成一个等比数列，所以，解得，当时，方程表示焦点在x轴上的椭圆，所以，所以，当时，方程表示焦点在y轴上的双曲线，所以，所以，故选：D11、A【解析】构造函数h（x）＝f（x）g（x），由已知得当x＜0时，h（x）＜0，所以函数y＝h（x）在（﹣∞，0）单调递减，又因为f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得函数y＝h（x）为R上的奇函数，所以函数y＝h（x）在（0，+∞）单调递减，得到f（x）g（x）＜0不等式的解集【详解】设h（x）＝f（x）g（x），因为当x＜0时，f（x）g（x）+f（x）g（x）＜0，所以当x＜0时，h（x）＜0，所以函数y＝h（x）在（﹣∞，0）单调递减，又因为f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以函数y＝h（x）为R上的奇函数，所以函数y＝h（x）在（0，+∞）单调递减，因为f（﹣1）＝0，所以函数y＝h（x）的大致图象如下：所以等式f（x）g（x）＜0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）故选A【点睛】本题考查导数乘法法则、导数的符号与函数单调性的关系；奇函数的单调性在对称区间上一致，属于中档题12、D【解析】根据椭圆方程先写出标准方程，然后根据标准方程写出便可得到离心率.【详解】解：由题意得：，，故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】先由抛物线的方程求出准线的方程，然后根据点到准线的距离可求，进而可得抛物线的标准方程.【详解】抛物线的准线方程为，点到其准线的距离为，由题意可得，解得，故抛物线的标准方程为.故答案为：.14、2【解析】由等比数列的相关性质进行求解.【详解】由等比数列的相关性质得：故答案为：215、【解析】由题意画出函数图象，把函数有3个不同的零点的问题转化为函数与函数有3个交点的问题，分为和时分类讨论即可.【详解】作出函数的图象如下图所示，要使函数有3个不同的零点，则函数和函数有三个交点，由已知得函数恒过点,当时，过点时，函数和函数有三个交点，将代入得，即，当时，与相切时，此时函数和函数有两个交点，如图所示，，设此时的切点为，则直线的斜率为，直线的方程为，将点代入得，解得，此时的斜率为，将逆时针旋转至和平行时，即为的位置时，函数和函数有三个交点，此时，故的范围为，综上所述实数k的取值范围为.故答案为：.16、4【解析】根据椭圆焦点在轴上方程的特征进行求解即可.【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以有，因为长轴长是短轴长的2倍，所以有，故答案为：4三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由已知条件有，根据等比数列的定义即可证明；（2）由（1）求出及，进而可得，利用二次函数的性质即可求解的最小值，从而可得答案.【小问1详解】证明：因为，所以，又因为，所以，所以数列是首项为2公比为2的等比数列；【小问2详解】解：由（1）知，，所以，所以，检验时也满足上式，所以,所以，令，所以，故当即时，取得最小值，所以.18、（1）；（2）.【解析】（1）由可知，即可求出，故可得渐近线方程；（2）利用点在抛物线上及其抛物线的定义列方程求解即可.【详解】（1）∵E的离心率，∴，即，解得，故E的渐近线方程为.（2）∵是C上一点，∴①，由抛物线的定义可知②，两式联立可得，解得则C的方程为.19、（1）证明见解析（2）存在，点E为线段中点【解析】(1)通过作辅助线结合面面垂直的性质证明侧面，从而证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标,再求相关的向量坐标，求平面的法向量，利用向量的夹角公式求得答案.【小问1详解】证明：连接交于点，因，则由平面侧面，且平面侧面，得平面，又平面，所以三棱柱是直三棱柱，则底面ABC，所以.又，从而侧面，又侧面，故.【小问2详解】由(1).平面，则直线与平面所成的角,所以，又，所以假设在线段上是否存在一点E，使得二面角的大小为,由是直三棱柱，所以以点A为原点，以AC、所在直线分别为x，z轴,以过A点和AC垂直的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，且设，，得所以，设平面的一个法向量，由，得：，取,由(1)知平面，所以平面的一个法向量,所以，解得,∴点E为线段中点时，二面角的大小为.20、（1）函数在上递增，在上递减，极大值为，无极小值（2）【解析】（1）求出函数的导函数，再根据导数的符号求得单调区间，再根据极值的定义即可得解；（2）若存在，使不等式成立，问题转化为，令，，利用导数求出函数的最大值即可得出答案.【小问1详解】解：当时，，则，当时，，当时，，所以函数在上递增，在上递减，所以函数的极大值为，无极小值；【小问2详解】解：若存在，使不等式成立，则，即，则问题转化为，令，，，当时，，当时，，所以函数在递增，在上递减，所以，所以.21、（1）（2）【解析】（1）由条件可得，解出即可；（2）设，，取AB的中点，联立直线与椭圆的方程消元，算出，，然后可算出，然后由可得，然后表示出的面积可得答案.小问1详解】令，得，所以，解得，，所以椭圆C的方程：【小问2详解】设，，取AB的中点，因为为以AB为斜边的等腰直角三角形，所以且，联立得，则∴又∵，∴，且，，∴，由得，∴∴22、（1）函数f(x)在区间(0，+)上单调递减（2）①；②证明见解析【解析】（1）求导，