2024-2025学年高中数学第一章常用逻辑用语测评含解析北师大版选修1-1

PAGEPAGE1第一章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.下列语句是真命题的是()A.这是一棵大树吗? B.x+y+z=3C.函数f(x)=x2是增函数 D.素数不肯定是奇数答案D解析选项A和B不是命题;选项C是假命题;2是素数,但不是奇数,故D项正确.2.下列有关命题的说法错误的是()A.“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件B.命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”C.若命题p:∃x∈R,使得x2+x+1<0,则p:∀x∈R,均有x2+x+1≥0D.若p∧q为假命题,则p,q均为假命题答案D解析对于A,x2-3x+2=0的解为x=1或x=2,所以“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件,A正确;对于B,命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”,B正确;对于C,特称命题的否定为全称命题,C正确;对于D,若p∧q为假命题,则p,q中至少有一个为假命题,D错误.故选D.3.已知命题p:“若(a-b)3b2>0,则a>b”,则在命题p的逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数为()A.0 B.1 C.2 D.3答案C解析原命题p为真,故其逆否命题为真;p的逆命题为假,故其否命题也为假,因此假命题的个数为2.4.已知命题p:∀x>0,x+≥2,那么命题p为()A.∀x>0,x+<2 B.∀x≤0,x+<2C.∃x>0,x+<2 D.∃x≤0,x+<2答案C解析全称命题的否定是特称命题,要前改量词,后面否定结论,故选C.5.对于非零向量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案A解析若a+b=0,则a=-b,所以a∥b.若a∥b,则a+b=0不肯定成立,所以“a+b=0”是“a∥b”的充分不必要条件.故选A.6.设命题p:函数y=在定义域上是减函数;命题q:存在实数a,b∈(0,+∞),当a+b=1时,=3,以下说法正确的是()A.p∨q为真 B.p∧q为真C.p真q假 D.p,q均为假答案D解析明显命题p为假命题.当a,b>0,a+b=1时,=(a+b)=2+≥4,故不存在a,b∈(0,+∞),使得=3,即命题q为假命题.7.已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=-m,若对随意x1∈[0,3],存在x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是()A. B.C. D.答案A解析当x∈[0,3]时,f(x)min=f(0)=0.当x∈[1,2]时,g(x)min=g(2)=-m,由f(x)min≥g(x)min,得0≥-m,所以m≥.故选A.8.已知命题p:存在x∈(1,2),使得ex-a>0,若p是真命题,则实数a的取值范围为()A.(-∞,e) B.(-∞,e]C.(e2,+∞) D.[e2,+∞)答案D解析因为p是真命题,所以p是假命题,所以随意x∈(1,2),有ex-a≤0,即a≥ex,又y=ex在(1,2)上的最大值为e2,所以a≥e2.9.已知p:存在x∈R,mx2+1≤0,q:随意x∈R,x2+mx+1>0,若p∨q为假命题,则实数m的取值范围为()A.{m|m≥2} B.{m|m≤-2} C.{m|m≤-2或m≥2} D.{m|-2≤m≤2}答案A解析由p:存在x∈R,mx2+1≤0,可得m<0.由q:随意x∈R,x2+mx+1>0,可得Δ=m2-4<0,解得-2<m<2.因为p∨q为假命题,所以p与q都是假命题.若p是假命题,则有m≥0;若q是假命题,则有m≤-2或m≥2.故符合条件的实数m的取值范围为m≥2.10.已知p:实数x满意x2-4ax+3a2<0,其中a>0;q:实数x满意x2-5x+6≤0.若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是()A.[1,2] B.(1,2) C.(2,+∞) D.(0,1)答案B解析设A={x|x2-4ax+3a2<0,a>0},B={x|x2-5x+6≤0},则A={x|a<x<3a},B={x|2≤x≤3},因为p是q的必要不充分条件,所以B⫋A,所以所以1<a<2.所以实数a的取值范围是(1,2).11.已知函数f(x)=(a∈R),给出两个命题:p:函数f(x)的值域不行能是(0,+∞);q:函数f(x)的递增区间可以是(-∞,-2].则下列命题为真命题的是()A.p∧q B.p∨(q)C.(p)∧q D.(p)∧(q)答案C解析当a=0时,f(x)=的值域为(0,+∞),故命题p为假命题;要使函数f(x)的递增区间是(-∞,-2],只需y=ax2+2x-1的递减区间是(-∞,-2],这时只要满意解得a=,因此命题q为真命题.故(p)∧q为真.12.若“x>1”是“不等式2x>a-x成立”的必要不充分条件,则实数a的取值范围是()A.(3,+∞) B.(-∞,3) C.(4,+∞) D.(-∞,4)答案A解析若2x>a-x,即2x+x>a,设f(x)=2x+x,该函数为增函数,由题意知2x+x>a成立,即f(x)>a成立能得到x>1;反之不成立,因为当x>1时,f(x)>3,所以a>3.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.使得“2x>”成立的一个充分条件是.

答案x0<x<解析由于,故2x>,等价于x>2x2,解得0<x<,使得“2x>”成立的一个充分条件只需为集合x0<x<的子集即可,故答案可以为x0<x<.14.已知命题p:若a,b∈R,则ab=0是a=0的充分条件,命题q:函数y=的定义域是,则“p∨q”“p∧q”“p”是真命题的是.

答案p∨q,p解析依题意知p假,q真,所以“p∨q”“p”是真命题.15.函数f(x)=有且只有一个零点的充要条件是.

答案a≤0或a>1解析当x>0时,x=1是函数的一个零点,要使函数有且只有一个零点,应使函数f(x)在(-∞,0]上没有零点,即-2x+a=0无解,而当x≤0时,0<2x≤1,所以实数a应满意a≤0或a>1.16.下列四个命题:①“∃x∈R,x2-x+1≤0”的否定;②“若x2+x-6≥0,则x>2”的否命题;③在△ABC中,“A>30°”是“sinA>”的充分不必要条件;④“函数f(x)=tan(x+φ)为奇函数”的充要条件是“φ=kπ(k∈Z)”.其中真命题的序号是.(真命题的序号都填上)

答案①②解析对于①,因为x2-x+1=x-2+>0,所以命题“∃x∈R,x2-x+1≤0”为假命题,所以命题“∃x∈R,x2-x+1≤0”的否定为真命题;对于②,由x2+x-6=(x+3)(x-2)≥0,解得x≥2或x≤-3,即命题“若x2+x-6≥0,则x>2”的逆命题为真命题,所以其否命题为真命题;对于③,例如A=160°,此时sinA<sin150°=,所以充分性不成立,反之,若sinA>且0°<A<180°,依据三角函数的性质,可得A>30°,即必要性成立,所以在△ABC中,“A>30°”是“sinA>”的充分不必要条件是假命题;对于④,由函数f(x)=tan(x+φ)为奇函数可得φ=kπ或φ=+kπ(k∈Z),所以该命题为假命题.故答案为①②.三、解答题(本大题共6小题,需写出演算过程与文字说明,共70分)17.(本小题满分10分)写出下列命题的逆命题、否命题以及逆否命题.(1)若α-β=,则sinα=cosβ;(2)已知a,b,c,d为实数,若a≠b,c≠d,则a+c≠b+d.解(1)逆命题:若sinα=cosβ,则α-β=.否命题:若α-β≠,则sinα≠cosβ.逆否命题:若sinα≠cosβ,则α-β≠.(2)逆命题:已知a,b,c,d为实数,若a+c≠b+d,则a≠b,c≠d.否命题:已知a,b,c,d为实数,若a=b或c=d,则a+c=b+d.逆否命题:已知a,b,c,d为实数,若a+c=b+d,则a=b或c=d.18.(本小题满分12分)推断下列命题是全称命题还是特称命题,并推断其真假.(1)至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整除.(2)随意x∈{x|x>0},x+≥2.(3)存在x∈{x|x∈Z},log2x>2.解(1)命题中含有存在量词“至少有一个”,因此是特称命题,真命题.(2)命题中含有全称量词“随意”,是全称命题,真命题.(3)命题中含有存在量词“存在”,是特称命题,真命题.19.(本小题满分12分)已知命题:“存在实数x∈{x|-1<x<1},使等式x2-x-m=0成立”是真命题.(1)求实数m的取值集合M;(2)设不等式(x-a)(x+a-2)<0的解集为N,若x∈N是x∈M的必要条件,求实数a的取值范围.解(1)由题意知,方程x2-x-m=0在(-1,1)上有解,即m的取值范围就为函数y=x2-x在(-1,1)上的值域,易得M=.(2)因为x∈N是x∈M的必要条件,所以M⊆N.当a=1时,解集N为空集,不满意题意.当a>1时,a>2-a,此时集合N={x|2-a<x<a},则解得a>.当a<1时,a<2-a,此时集合N={x|a<x<2-a},则解得a<-.综上可知,a的取值范围为.20.(本小题满分12分)已知曲线C:x2+y2+Gx+Ey+F=0(G2+E2-4F>0),求曲线C在x轴上所截的线段的长度为1的充要条件.解充要条件是G2-4F=1.必要性:令y=0,则x2+Gx+F=0.设x1,x2为此方程的根,若|x1-x2|==1,则G2-4F=1.充分性:令y=0,则x2+Gx+F=0.设方程的两根为x1,x2,则x1+x2=-G,x1x2=F.因为G2-4F=1,所以|x1-x2|===1.21.(本小题满分12分)已知p:>2,q:x2-ax+5>0.(1)若p为真,求x的取值范围;(2)若q是p的充分不必要条件,求实数a的取值范围.解(1)因为p为真,所以>2,所以<0,所以(x-2)(x-5)<0,解得2<x<5,即x的取值范围是(2,5);(2)因为q是p的充分不必要条件,所以p是q的充分不必要条件,所以p对应的x取值集合是q对应的x取值集合的真子集,即对随意x∈(2,5),x2-ax+5>0恒成立,所以对随意x∈(2,5),a<x+,即a<x+min,x∈(2,5),又因为x+≥2=2,当且仅当x=时,等号成立,所以a∈(-∞,2).22.(本小题满分12分)已知命题p:函数f(x)=|2x+3c|在[-1,+∞)上是增加的;命题q:函数g(x)=+2有零点.(1)若命题p和q均为真命题,求实数c的取值范围;(2)是否存在实数c,使得p∧(q)是真命题?若存在,求出c的取值范围;若不存在,说