《数理方程》全套教学课件

1、第一章 典型方程和 定解条件的推导1.0 预备知识基本概念课程内容：研究数学物理方程的建立、求 解方法和解的物理意义的分析。 1.0 预备知识基本概念微分方程:含有自变量,未知函数以及未知函数的导数或微分的方程常微分方程：未知函数为一元函数的微分方程.偏微分方程: 未知函数为多元函数的微分方程*1.0 预备知识基本概念例如都是偏微分方程,偏微分方程: 未知函数为多元函数的微分方程1.0 预备知识基本概念偏微分方程的阶: 方程中未知函数的偏导的最高阶数是二阶偏微分方程是三阶偏微分方程.例:1.0 预备知识基本概念线性偏微分方程: 对于未知函数及其所有偏导数来说都是线性的，且方程中的系数都仅依赖于

2、自变量（或者为常数）非线性偏微分方程:不是线性的偏微分方程例是二阶线性偏微分方程是非线性偏微分方程1.0 预备知识基本概念 n个自变量的二阶线性偏微分方程,一般形式为这里 和 都是关于自变量 的函数。如果 ，则称方程为齐次的；否则称为非齐次的。本课程的主要研究对象：1.0 预备知识基本概念根据系统边界所处的物理条件和初始状态列出定解条件；主要内容从不同的物理模型出发，建立三类典型方程；提出相应的定解问题1.0 预备知识基本概念1.1 基本方程的建立导出数学物理方程的一般方法： 确定所研究的物理量； 建立适当的坐标系； 划出研究单元，根据物理定律和实验资料写出 该单元与邻近单元的相互作用，分析这

3、种相互 作用在一个短时间内对所研究物理量的影响， 表达为数学式； 简化整理，得到方程。 1.1 基本方程的建立例 1. 弦的微小横振动 设有一条拉紧的弦，长为l，平衡位置与x轴的正半轴重合，且一端与原点重合,确定当弦受垂直外力作用后的运动状态。假设与结论：（1）横振动 坐标系oxu，位移u(x,t) x1x2T(x1) T(x2)ux （2）微小振动1.1 基本方程的建立（3）弦柔软、均匀. 张力 沿切线方向 , 密度 为常数；建立方程： 取微元 ，研究在水平方向和铅垂方向 在不受外力的情况下的运动情况。uxT(x) Mxx+dx1.1 基本方程的建立牛顿运动定律： F = ma作用在弧段 上

4、的水平方向的力为 倾角很小，即 近似得 垂直方向的力为（1）于是等式（1）变成由微积分知识可知，在时刻t 有（2）等式（2）可以写成uxT(x) MMxx+dx由于令 ，取极限得略去重力，可得方程其中(3)弦振动方程（3）中只含有两个自变量 和 ，其中 表示时间， 表示位置。由于它们描述的是弦的振动或波动现象，因而又称为一维波动方程。1.1 基本方程的建立注1：如果弦上还受到一个与振动方向相同的外力，且外力密度为F(x,t)，外力可以是压力、重力、阻力，则弦的强迫振动方程为1.1 基本方程的建立例 2. 传输线方程 研究高频传输线内电流流动规律。待研究物理量: 电流强度 i (x,t),电压

5、v (x,t)R 每一回路单位的串联电阻,L 每一回路单位的串联电感，C 每单位长度的分路电容，G 每单位长度的分路电导，1.1 基本方程的建立Kirchhoff 第一,二定律微分形式两端对x微分两端对t微分*C相减 传输线方程高频传输，G=0, R=0高频传输线方程与一维波动方 程 类 似1.1 基本方程的建立 例3. 声学方程 Lapalce算子三维波动方程 1.1 基本方程的建立注2：类似的可导出二维波动方程（例如薄膜振动）,它的形式为1.1 基本方程的建立奥氏公式 例4 静电场的势方程 在区域 内, 静电场强度为 , 介电常数 , 电荷密度为 ,求静电场的势满足的方程即故1.1 基本方

6、程的建立故即 Laplace方程 Poisson方程当内没有电荷时静电场是有势场，故存在势函数u,有1.1 基本方程的建立 如果空间某物体内各点处的温度不同，则热量就从温度较高点处到温度较低点处流动，这种现象叫热传导。 考虑物体G 内的热传导问题。函数u(x,y,z,t) 表示物体G 在位置 M(x,y,z) 以及时刻 t 的温度。通过对任意一个小的体积元V内的热平衡问题的研究，建立方程。假设：假定物体内部没有热源，物体的热传导系数为常数，即是各向同性的，物体的密度以及比热是常数。热场 例 5. 热传导方程1.1 基本方程的建立热场傅立叶实验定律:物体在无穷小时段dt内沿法线方向n流过一个无穷

7、小面积dS的热量dQ与时间dt,面积dS,物体温度沿曲面dS法线方向的方向导数成正比.从时刻 到时刻 经过曲面S 流入区域V 的热量为高斯公式1.1 基本方程的建立流入热量使物体内温度变化，在时间间隔 中物体温度从 变化到 所需吸收热量为比热密度由于所考察的物体内部没有热源, 根据能量守恒定律可得第一章 典型方程和定解条件的推导由于时间 , 和区域 V 都是任意选取的,并且被积函数连续, 于是得(非均匀的各向同性体的热传导方程)对于均匀的各向同性物体， k为常数，记则得齐次热传导方程:三维热传导方程*1.1 基本方程的建立若物体内部有热源 F(x,y,z,t), 则热传导方程为其中1.1 基本

8、方程的建立二维热传导方程 维热传导方程 三维热传导方程 1.1 基本方程的建立在上述热传导方程中, 描述空间坐标的独立变量为 , 所以它们又称为三维热传导方程. 当考察的物体是均匀细杆时, 如果它的侧面绝热且在同一截面上的温度分布相同, 则可以得到一维热传导方程 类似, 如果考虑一个薄片的热传导, 并且薄片的侧面绝热, 可以得到二维热传导方程1.1 基本方程的建立 当我们考察气体的扩散,液体的渗透, 半导体材料中的杂质扩散等物理过程时, 若用 表示所扩散物质的浓度, 则浓度所满足的方程形式和热传导方程完全相同. 所以热传导方程也叫扩散方程.1.1 基本方程的建立波动方程 声波、电磁波、杆的振动

9、；热传导方程 物质扩散时的浓度变化规律, 长海峡中潮汐波的运动， 土壤力学中的渗透方程;Laplace方程 稳定的浓度分布, 静电场的 电位, 流体的势.总 结：1.1 基本方程的建立一维齐次波方程：一维齐次热方程：二维Laplace方程：1.1 基本方程的建立2.2 初始条件与边界条件一 . 初始条件及Cauchy问题 描述某系统或某过程初始状况的条件称为初始条件， 初值条件与对应方程加在一起构成初值问题 (或称Cauchy问题）。 % ; ;# &*2.2 初始条件与边界条件 热传导方程初始位移、初始速度分别为 ,称波动方程的初值条件. 弦振动问题称为热传导方程的初值条件.2.2 初始条件

10、与边界条件 不同类型的方程，相应初值条件的个数不同。 初始条件给出的应是整个系统的初始状态，而非 系统中个别点的初始状态。2.2 初始条件与边界条件 例.长为 l 两端固定的弦，初始时刻将弦的中点拉起 h( )( )xu0lh正确写法2.2 初始条件与边界条件（I）第一类边界条件*（II）第二类边界条件（III）第三类边界条件二. 边界条件描述某系统或过程边界状况的约束条件称为边界条件.2.2 初始条件与边界条件例1.长为l的弦，一端固定，一端以 sint 规律运动 第一类边界条件例2.长为l的杆，一端温度为0，一端温度为 (t )2.2 初始条件与边界条件弦振动问题：弦的一端（如 x = l

11、）可以在垂直 x 轴的直线上自由的上下滑动，且不受垂直方向的外力，我们称这种端点为“自由端”。第二类边界条件在这一端点，边界上的张力沿垂直于x轴的方向的分量为0，因此在方程的推导中知 , 即2.2 初始条件与边界条件当该点处的张力沿垂直x 轴的方向的分量是 t 的已知函数 时，有*2.2 初始条件与边界条件热传导问题：如果物体和周围介质处于绝热状态，即在表面上热量的流速始终为0，则由方程推导过程可知，有边界条件当物体与外界接触的表面 S 上各单位面积在单位时间内流过的热量已知时，由傅立叶定律，在 S 上有 ，这表明温度沿外法线方向的方向导数是已知的，故边界条件可以表示为*2.2 初始条件与边界

12、条件第三类边界条件 例 (1) 弦的振动（端点弹性连结）弹性力张力2.2 初始条件与边界条件(2) 热传导问题（端点自由冷却）散失的热量内部流到边界的热量即2.2 初始条件与边界条件2.3 定解问题弦振动的Cauchy问题只包含初值条件的定解问题称为初边值问题（Cauchy 问题）2.3 定解问题包含初值条件和边界条件的定解问题称为混合问题 (初边值问题)热传导方程的混合问题2.3 定解问题波动方程的混合问题只附加边界条件的定解问题称为边值问题. 初值条件、边界条件统称为定解条件 .初值问题、边值问题、混合问题统称为定解问题.2.3 定解问题一般线性二阶偏微分方程（n个自变量）两个自变量二阶线

13、性偏微分方程的一般形式 2.3 定解问题 线性方程的叠加原理称形如的符号为微分算子。2.3 定解问题如二阶偏微分方程可简写为2.3 定解问题2.3 定解问题例 非齐次波动方程的Cauchy问题的解等于问题(I)和问题(II)的解之和2.3 定解问题叠加原理2 若iu满足线性方程 iifuL=，, 2,1=i （或定解条件iiguB=, 若函数级数=1iiiuc在W内收敛，并且L,B 可逐项作用, 则和函数 满足方程 =1iiifcuL （或定解条件=1iiigcuB）。 2.3 定解问题第二章 分离变量法2.0 预备知识常微分方程二阶常系数线性方程的标准形式2.0 预备知识常微分方程特征根(1

14、) 有两个不相等的实根两个线性无关的特解得齐次方程的通解为齐次方程特征方程2.0 预备知识常微分方程(2) 有两个相等的实根齐次方程的通解为特解为(3) 有一对共轭复根齐次方程的通解为特征根为特解为2.0 预备知识常微分方程2.0 预备知识常微分方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程通解结构二阶常系数非齐次线性方程2.0 预备知识常微分方程2.1 有界弦的自由振动 分离变量法是求解偏微分方程最基本和常用的方法。理论依据：线性方程的叠加原理和Sturm-Liouville 理论。基本思想：将偏微分方程的求解化为对常微分方程的求解2. 1 有界弦的自由振动2.1 有界弦的自由振动 研究两端固定均

15、匀的自由振动.定解问题为：特点: 方程齐次, 边界齐次. (1) 没有波形的传播，即各点振动相位与位置无关，按同一方式随时间振动，可统一表示为 ; (2) 各点振幅 随点 而异，而与时间无关，用 X(x) 表示,所以驻波可用 表示。 驻波的特点： 端点会引起波的反射，弦有限长，波在两端点之间往返反射。两列反向行进的同频率的波形成驻波。2.1 有界弦的自由振动2. 1 有界弦的自由振动 设 且 不恒为零，代入方程和边界条件中得 由 不恒为零，有： 取参数这个式子的左端是x的函数,右端是t的函数，何时恒等？ . 利用边界条件2.1 有界弦的自由振动则 特征值问题 参数称为特征值.分三种情形讨论特征

16、值问题的求解函数X(x)称为特征函数2.1 有界弦的自由振动2. 1 有界弦的自由振动由边值条件 (i) 方程通解为 (ii) 时，通解 由边值条件得C1 =C 2=0 从而 ， 无意义. 无意义2.1 有界弦的自由振动 由边值条件从而 即(iii） 时，通解 故而得2.1 有界弦的自由振动再求解T： 其解为 所以 两端固定弦本的征振动叠加 . 2. 1 有界弦的自由振动将 展开为Fourier级数，比较系数得 代入初始条件得： 定解问题的解是Fourier正弦级数，这是在 x0 和 x=l 处的第一类齐次边界条件决定的。 再求解T： 其解为 所以 两端固定弦本的征振动叠加 . 2.1 有界弦

17、的自由振动将 展开为Fourier级数，比较系数得 代入初始条件得： 2. 1 有界弦的自由振动 定解问题的解是Fourier正弦级数，这是在 x0 和 x=l 处的第一类齐次边界条件决定的。 （特征值问题）齐次边界条件（特征函数） 分离变量法图解 2.1 有界弦的自由振动则无穷级数解为如下混合问题的解上， ，且 定理：若在区间2.1 有界弦的自由振动弦上各点的频率 和初位相 都相同，因而没有波形的传播现象。 弦上各点振幅 因点而异 在 处，振幅永远为0 二、解的物理意义 节点腹点特点最大振幅频率初位相在 处，振幅最大,为 nNu(x,t )是由无穷多个振幅、频率、初位相各不相同的驻波叠加而成

18、。 n1的驻波称为基波, n1的驻波叫做n次谐波. 2.1 有界弦的自由振动例1 设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为 ，求弦做微小横向振动时的位移，其中 与弦的材料和张力有关 .解 设位移函数为 ，则需要求解下列定解问题2.1 有界弦的自由振动因此，所求的解为： = 2.1 有界弦的自由振动解：令 , 得 化简: 例2：研究两端自由棒的自由纵振动问题.第二类边界条件引入参数 得 2.1 有界弦的自由振动2.1 有界弦的自由振动得C1 =C 2=0 从而 ，无意义 分离变量： 时， 由边值条件(ii) 时, , (iii) 时, 则 而 由边值条件由边值条件从而2.1 有界

19、弦的自由振动本征值 本征函数 2.1 有界弦的自由振动T 的方程其解为 所以 故代入初始条件: 将 展开为傅立叶余弦级数，比较系数得 解为傅立叶余弦级数，由端点处的二类齐次边界条件决定.2.1 有界弦的自由振动2. 2 有限长杆的热传导问题例1细杆的热传导问题 长为 l 的细杆，设与细杆线垂直截面上各点的温度相等，侧面绝热, x=0 端温度为0，x=l 端热量自由散发到周围介质中，介质温度恒为0 ，初始温度为 求此杆的温度分布。 解：定解问题为 2.2 有限长杆的热传导问题得本征问题 由 及齐次边界条件，有 设 且 并引入参数分离变量代入方程2.2 有限长杆的热传导问题当 或 时, 当 时,

20、由 得 由 得 故 即 令有函数方程2.2 有限长杆的热传导问题由图1看出，函数方程有成对的无穷多个实根故本征值为： ry图 12.2 有限长杆的热传导问题2.2 有限长杆的热传导问题对应的本征函数 的方程： 解为故 由初始条件得可以证明函数系 在 上正交，在（*）式两端乘以 并在 0, l 上积分, 得 且模值（二）利用边界条件,得到特征值问题并求解 （三）将特征值代入另一常微分方程， 得到 （四）将 叠加，利用初始条件确定系数（一）将偏微分方程化为常微分方程（方程齐次）分离变量法解题步骤（边界条件齐次）2.2 有限长杆的热传导问题分离变量法适用范围：偏微分方程是线性齐次的，并且边界条件也是

21、齐次的。其求解的关键步骤：确定特征函数和运用叠加原理。注2.2 有限长杆的热传导问题左端点右端点特征值特征函数取值范围 一 一一 二 二 二二一课堂练习总结：端点边界条件与特征值，特征函数的关系2.2 有限长杆的热传导问题练习： 求下列定解问题的解 其中2.2 有限长杆的热传导问题2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题1. 矩形域上拉普拉斯方程的边值问题例1矩形薄板稳恒状态下温度分布.设薄板上下底面绝热，一组对边绝热，另一组对边的温度分别为零摄氏度和 ，求稳恒状态下薄板的温度分布。 定解问题为： 解再利用 x = 0 和 x = a 处的齐次边界条件得 设 且 代

22、入方程故 本征问题当 时， ， 2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题当 时， 将 代入 有解： 考虑边界条件（y方向上），有 解得比较系数所以解为 作为例子取 ， ，可求得 于是 2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题考察一个半径为r0的圆形薄板稳恒状态下的温度分布问题, 设板的上下两面绝热, 圆周边界上的温度已知为 求稳恒状态下的温度分布规律。2. 圆域上的拉普拉斯方程的边值问题2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题采用平面极坐标。令2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题 分离变量 代入方程得齐次偏微分方程化为两个常微分方程:（一）将偏微分方程化为常微分方程由 可知，又圆

23、内各点的温度有界，因而 所以应满足条件 2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题（二）利用条件,确定特征值问题并求解 得到两个常微分方程的定解问题 (1)(2)2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题先求哪一个？先求(1)啊!可以确定特征值啊!为什么？1) 时，无非零解；特征值特征函数2) 时， 有非零解3) 时 ，通解以 为周期, 必须是整数 , 2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题（三）将特征值代入另一常微分方程，得 得到方程通解 满足有界性条件的通解 将代入方程2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题满足周期性条件 和有界性条件的特解为 2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题（四）将 叠加, 利用边界条件确定系

24、数满足周期性和有界性条件的通解为: 利用边界条件，得由此可以确定系数 2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题注: 经过化简, 方程的解可以表示为 称为圆域内的泊松公式. 2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题2.4 非齐次方程的解法 2.4 非齐次方程的解法(I) 非齐次振动方程定解问题特征函数法令其中 (1) (2)2.4 非齐次方程的解法令 为待定函数.并将 按特征函数系展为级数 其中 (3) (4) (1)2.4 非齐次方程的解法将(3),(4) 代入 (1) 得两端比较将(3)代入初始条件2.4 非齐次方程的解法常数变易法所以2.4 非齐次方程的解法例在环形区域 内求解下列定解问题解考虑极坐标

25、变换:2.4 非齐次方程的解法定解问题可以转化为: 相应的齐次问题的特征函数系为:2.4 非齐次方程的解法于是可以设原问题的解为: 代入方程，整理得 2.4 非齐次方程的解法比较两端 和 的系数可得 2.4 非齐次方程的解法由边界条件，得 所以 2.4 非齐次方程的解法由边界条件，可知 满足的方程是齐次欧拉方程，其通解的形式为2.4 非齐次方程的解法下面求 . 方程的通解为 由端点的条件， 得 原问题的解为2.4 非齐次方程的解法2.5 非齐次边界条件的处理 2.5 非齐次边界条件的处理 处理非齐次边界条件问题的基本原则是: 选取一个辅助函数 , 通过函数之间的代换: 使得对新的未知函数 边界

26、条件为齐次的. 例1振动问题 （I） 解：取 故要求满足(I)的边界条件，即解得思路: 作代换选取w(x,t)使v(x,t)的边界条件化为齐次2.5 非齐次边界条件的处理 代入(I),得 的定解问题(II) 令2.5 非齐次边界条件的处理 如果仍取 的线性函数作为 ，则有 此时除非 ，否则这两式互相矛盾。当x0和x=l 满足第二类边界条件注意：应取2.5 非齐次边界条件的处理 例 定解问题其中A, B为常数. 解:令2.5 非齐次边界条件的处理 代入方程，得 选 满足 它的解为2.5 非齐次边界条件的处理 于是 满足的方程为： 2.5 非齐次边界条件的处理 利用分离变量法，求解得 其中从而，原

27、定解问题的解为 2.5 非齐次边界条件的处理 一. 选择适当的坐标系. 原则:边界条件的表达式最简单.二. 若边界条件是非齐次的, 引进辅助函数把边界条件化为齐次的。三. 对于齐次边界条件、非齐次方程的定解问题，可将问题分解为两个, 其 一是方程齐次, 并具有原定解条件的定解问题 (分离变量法)； 其二是具有齐次定解条件的非齐次方程的定解问题(特征函数法).一般的定解问题的解法2.5 非齐次边界条件的处理 例 求下列定解问题的解其中 为常数。解 1）边界条件齐次化，令 2.5 非齐次边界条件的处理 于是 满足如下定解问题2）将问题分解为两个定解问题。设2.5 非齐次边界条件的处理 2.5 非齐

28、次边界条件的处理 3）求解问题 (I), (II) 。首先，利用分离变量法求解问题 (I) 。特征值及相应的特征函数2.5 非齐次边界条件的处理 则利用初始条件确定系数计算可得2.5 非齐次边界条件的处理 其次，利用特征函数法求解问题 (II) 将 按问题（I）的特征函数系进行傅立叶展开代入问题（II）的方程及初始条件，得2.5 非齐次边界条件的处理 问题转化为求解下列常微分方程的初值问题解得所以2.5 非齐次边界条件的处理 4）综合上述结果, 得到原问题的解2.5 非齐次边界条件的处理 对于二维拉普拉斯方程的边值问题而言, 应根据求解区域的形状适当的选取坐标系, 使得在此坐标系下边界条件的表

29、达方式最简单, 便于求解. 例如, 对于圆域、圆环可以采用极坐标。应当指出,只有当求解区域非常规范时，才可以应用分离变量法求解拉普拉斯方程的定解问题，或利用特征函数法求解泊松方程的定解问题.注： 圆域内的周期性条件及有界性条件在题目中是不给出的，这些条件需根据对题目的分析自己写出.2.5 非齐次边界条件的处理 第三章 行波法与积分变换法行波法(求解无界区域内波动方程定解问题)积分变换法 (无界或有界区域)3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式考虑代换利用复合函数求导法则得3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式同理有: 代入方程，得到 在上式中对 积分, 得 ( 是 的

30、任意可微函数)3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式再将此式对 积分, 其中 都是任意二次连续可微函数. 利用初始条件，确定两个函数的具体形式。 由第二式得.其中3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式由, 解得代入通解表达式，得达朗贝尔(DAlembert)公式.3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式图 3-1 u2xt=0u2xu2xt=1/2u2xt=1t=2考虑 的物理意义随着时间t 的推移u2的图形以速度a 向x轴正向移动.3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式物理意义: 随着时间 t 的推移, 的图形以速度 a 向 x 轴正方向移动, 也就是说, 它表示一个以速度a 向x 轴正方向行进的波, 称为右

31、行波.同样道理, 以速度a 向x 轴负方向传播的行波, 称为左行波. 3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式在 平面上斜率为 的两族直线 , 对一维波动方程的研究起到重要作用, 称这两族直线为一维波动方程的特征线, 变换称为特征变换, 行波法也叫特征线法.3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式的积分曲线, 这个常微分方程称为它的特征方程 .一维波动方程的两族特征线恰好是常微分方程3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式一般的二阶线性偏微分方程它的特征方程为(*)这个常微分方程的积分曲线称为偏微分方程(*)的特征曲线. 记称其为二阶线性偏微分方程的判别式双曲型方程椭圆型方程抛物型方程3.1 一维波动方程的达朗

32、贝尔公式可以证明，当 时，有两条相异的实特征线因此特征线法对双曲型方程都是有效的，沿着特征线做自变量替换 总可以把双曲型方程化为 从而得到方程的通解3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式例 求下面问题的解:(3.1)解: 特征方程 两族积分曲线为 做特征变换 3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式代入方程化简得:3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式它的通解为其中 , 是两个二次连续可微函数. 于是原方程的通解为代入初始条件 , ，得 第二式的两端得关于 积分得解得所求问题的解为 3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式解 特征方程为特征曲线为 例 求方程的一般解.3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式所以，做变换则原方程可以变为 其中 , 是任意的二次连续可微函数. 于是