机器人技术基础及应用 课件 第3、4章 工业机器人运动学、工业机器人动力学分析

第三章:工业机器人运动学机器人技术基础及应用Fundamentalsandapplicationsofrobotics23.1齐次坐标及动坐标系、对象物位姿的描述3.2齐次变换3.3工业机器人连杆坐标系及其齐次变换矩阵3.4工业机器人运动学方程及其求解目录3点的直角坐标描述点的齐次坐标描述坐标轴方向的齐次坐标描述动坐标系位姿的齐次坐标描述对象物位姿的齐次坐标描述3.1齐次坐标及动坐标系、对象物位姿的描述4点的直角坐标描述式中：Px、Py、Pz是点P在坐标系{A}中的三个位置坐标分量。3.1.1点的直角坐标描述3.1齐次坐标及动坐标系、对象物位姿的描述5齐次坐标的表示不是惟一的，将其各元素同乘一非零因子

后，仍然代表同一点P，即：3.1.2点的齐次坐标描述3.1齐次坐标及动坐标系、对象物位姿的描述a=ω

Px；b=ω

Py；c=ω

Pz6坐标轴方向的描述3.1.3坐标轴方向的齐次坐标描述3.1齐次坐标及动坐标系、对象物位姿的描述7矢量位置与方向的描述4 

 1列阵[a

b

cw]T中第四个元素不为零，则表示空间某点的位置；4 

 1列阵[abcw]T中第四个元素为零，且满足a2 + b2 + c2 = 1，则表示某轴（矢量）的方向。a=cosα，b=cosβ，c=cosγ8用不同方向角表示方向矢量u、v、w

如图所示，用齐次坐标写出矢量u、v、w的方向列阵。

u:

u=[00.7070.707]Tv:

v=[0.70700.707]Tw:

w=[0.50.50.707]T9连杆位置和姿态的描述刚体的位置和姿态3.1.4动坐标系位姿的齐次坐标描述3.1齐次坐标及动坐标系、对象物位姿的描述10连杆位置和姿态的描述动坐标系{B}的位姿描述如图所示，固连于连杆的坐标系{B}位于OB点，Xb = 2，Yb = 1，Zb = 0。在XOY平面内，坐标系{B}相对固定坐标系{O}有一个30

的偏转，试写出表示连杆位姿的坐标系{B}的44矩阵表达式。11手部位置和姿态的描述手部位置及姿态的描述

12手部位置和姿态的描述抓握物体Q的手部手部抓握物体Q，物体是边长为2个单位的正立方体，写出表达该手部位姿的矩阵表达式。133.1.4对象物位姿的齐次坐标描述3.1齐次坐标及动坐标系、对象物位姿的描述14平移的齐次变换旋转的齐次变换平移加旋转的齐次变换3.2齐次变换15点的平移变换3.2齐次变换3.2.1平移的齐次变换16相对于固定坐标系平移时，算子左乘；相对于动定坐标系平移时，算子右乘；亦适用于矢量、坐标系、刚体的平移变换。17动坐标系{A}相对于固定坐标系的X0、Y0、Z0轴作(–1，2，2)平移后到{A

}；动坐标系{A}相对于自身坐标系的X、Y、Z轴分别作(–1，2，2)平移后到{A

}。A的矩阵表达式如下。写出坐标系{A

}、{A

}的矩阵表达式。坐标系的平移变换18动坐标系{A}的平移变换算子：19点的旋转变换3.2齐次变换3.2.2旋转的齐次变换202122点的一般旋转变换该式为一般旋转齐次变换通式，概括了绕X、Y、Z轴进行旋转变换的情况；相对于固定坐标系旋转时，算子左乘；相对于动定坐标系旋转时，算子右乘；亦适用于坐标轴、矢量、坐标系、刚体的旋转变换。verθ=1-cosθ23当θ为0

到180

时，式中取正号；当θ很小时，很难确定转轴；当θ接近0

或180

时，转轴完全不确定。24两次旋转变换如图所示，已知坐标系中点U的位置矢量U=[7321]T，将此点绕Z轴旋转90

，再绕Y轴旋转90

，求旋转变换后所得的点W。25手臂转动和手腕转动如图所示为单臂操作手，并且手腕也具有一个旋转自由度。已知手部起始位姿矩阵为G1。若手臂绕Z0轴旋转+90

，则手部到达G2；若手臂不动，仅手部绕手腕Z1轴旋转+90

，则手部到达G3。写出手部坐标系{G2}及{G3}的矩阵表达式。2627用平移算子（或旋转算子）乘上旋转算子（或平移算子）；并不限定平移变换或旋转变换的次数或先后顺序；运算规则同前，即凡相对于固定坐标系变换则算子左乘，相对于动定坐标系平移变换则算子右乘；同样适用于矢量、坐标系、刚体的平移变换。3.2齐次变换3.2.3平移加旋转的齐次变换28如图所示，已知坐标系中点U的位置矢量U=[7321]T，将此点绕Z轴旋转90

，再绕Y轴旋转90

，最后再作4i-3j+7k的平移，求变换后所得的点W。复合坐标变换29连杆参数连杆坐标系的建立连杆坐标系之间的齐次变换矩阵3.3工业机器人连杆坐标系及其齐次变换矩阵30尺寸参数3.3.1连杆参数3.3工业机器人连杆坐标系及其齐次变换矩阵31关系参数每个连杆可以由四个参数所描述：其中两个描述连杆尺寸，另外两个描述连杆与相邻连杆之间的连接关系；移动关节：dn为关节变量，其他三个参数固定不变；旋转关节：

n为关节变量，其他三个参数固定不变。32连杆n坐标系（简称n系）的坐标原点位于n+1关节轴线上，是关节n+1轴线与两关节轴线公垂线的交点；n系的Z轴与n+1关节轴线重合；X轴与公垂线重合，从关节n指向关节n+1；Y轴按右手螺旋法则确定。3.3.2连杆坐标系的建立3.3工业机器人连杆坐标系及其齐次变换矩阵33令n-1系绕Zn-1轴旋转

n角，使Xn-1与Xn平行，算子为Rot(z,

n)；沿Zn-1轴平移dn，使Xn-1与Xn重合，算子为Trans(0,0,dn)；沿Xn轴平移an，使两坐标原点重合，算子为Trans(an,0,0)；绕Xn轴旋转

n角，使n-1系与n系重合，算子为Rot(x,

n)。3.3.3连杆坐标系之间的齐次变换矩阵3.3工业机器人连杆坐标系及其齐次变换矩阵34在进行机器人设计时，常常使某些连杆参数取特别值，如使

n=0或90

，或使dn=0，或使an=0，从而简化矩阵An的计算，同时也可简化控制。35机器人运动学方程正向运动学方程求解反向运动学方程求解运动学方程X=X(q)3.4工业机器人运动学方程及其求解3636A变换矩阵（A矩阵）：描述一个连杆坐标系与下一个连杆坐标系间相对关系（相对位姿）的齐次变换矩阵。3.4工业机器人运动学方程及其求解3.4.1机器人运动学方程37手部坐标系相对于固定坐标系的位姿等于各连杆坐标系之间的变换矩阵的连乘，此即机器人运动学方程。38正向运动学方程求解：已知关节变量

和d，求手部位姿各矢量n、o、a和p。平面关节型机器人正向运动学方程求解斯坦福机器人正向运动学方程求解3.4工业机器人运动学方程及其求解3.4.2正向运动学方程求解3939平面关节型机器人正向运动学方程求解SCARA机器人的坐标系连杆转角（变量）θ两连杆间距离d连杆长度a连杆扭角α连杆1θ1d1=0a1=l1=100α1=0连杆2θ2d2=0a2=l2=100α2=0连杆3θ3d3=0a3=l3=20α3=0SCARA机器人连杆参数40平面关节型机器人正向运动学方程求解连杆转角（变量）θ两连杆间距离d连杆长度a连杆扭角α连杆1θ1d1=0a1=l1=100α1=0连杆2θ2d2=0a2=l2=100α2=0连杆3θ3d3=0a3=l3=20α3=041平面关节型机器人正向运动学方程求解c123=cos(θ1+θ2+θ3);s123=sin(θ1+θ2+θ3);c12=cos(θ1+θ2);s12=sin(θ1+θ2);c1=cosθ1;s1=sinθ142斯坦福机器人正向运动学方程求解斯坦福机器人及坐标系(a)斯坦福机器人(b)坐标系43斯坦福机器人手臀坐标系斯坦福机器人正向运动学方程求解44斯坦福机器人手臀坐标系斯坦福机器人正向运动学方程求解45斯坦福机器人手臀坐标系斯坦福机器人正向运动学方程求解46斯坦福机器人手腕关节斯坦福机器人正向运动学方程求解47斯坦福机器人手腕坐标系斯坦福机器人正向运动学方程求解48斯坦福机器人手腕坐标系斯坦福机器人正向运动学方程求解49斯坦福机器人手腕坐标系斯坦福机器人正向运动学方程求解50斯坦福机器人正向运动学方程求解51反向运动学方程求解：己知手部要到达的目标位姿n、o、a和p，求关节变量

和d，以驱动各关节的马达，使手部的位姿得到满足。斯坦福机器人反向运动学方程求解反向运动学方程求解的注意事项3.4工业机器人运动学方程及其求解3.4.3反向运动学方程求解52斯坦福机器人反向运动学方程求解已知斯坦福机器人的运动学方程为T6=A1A2A3A4A5A6，以及T6矩阵与各杆参数a、

、d，求关节变量

1、

2、d3、

4~

6。求

1：53求

1：斯坦福机器人反向运动学方程求解“+”号对应右肩位姿，“-”号对应左肩位姿。54求

2：斯坦福机器人反向运动学方程求解55求d3：求θ4：斯坦福机器人反向运动学方程求解展开后取左、右两边第三行第三列相等：56展开后取左、右两边第一行第三列相等、第二行第三列相等：求

5：斯坦福机器人反向运动学方程求解57求

6：展开后取左、右两边第一行第二列相等、第二行第二列相等：斯坦福机器人反向运动学方程求解58斯坦福机器人反向运动学方程求解分离变量法：将一个未知数由矩阵方程的右边移向左边，使其与其他未知数分开，解出这个未知数，再把下一个未知效移到左边，重复进行，直至解出所有未知数。分离变量法的特点：首先利用运动方程的不同形式，找出矩阵中能够简单表达某个未知数的元素，力求得到未知数较少的方程，然后求解。59反向运动学方程求解的注意事项解可能不存在工作城外逆解不存在60解的多重性逆解的多重性反向运动学方程求解的注意事项61解的多重性PUMA560机器人的四个逆解反向运动学方程求解的注意事项62解的多重性避免碰撞的一个可能实现的解反向运动学方程求解的注意事项63解析法：适用于简单运动学方程数值法：适用于复杂运动学方程运算速度运算精度求解方法的多样性反向运动学方程求解的注意事项64角度设定法RPY角法和欧拉角法表示手部姿态运动学方程X=X(q)3.4工业机器人运动学方程及其求解3.4.4运动学方程X=X(q)65角度设定法式中矩阵前三列分别是手部坐标系的单位方向矢量n、o、a，规定了手部的姿态；这种方法在作变换运算时十分方便，但利用它作手部姿态的描述并不方便，也不直观；而且n=o

a，9个元素中只有三个是独立的；这就存在如何用3个参数简便、直观地描述手部姿态的问题。通过连杆坐标系之间的变换矩阵A确定手部位姿T的方法所建立的机器人运动学方程为：66角度设定法：采用相对于参考坐标系或相对于运动坐标系作三次连续转动来规定姿态的方法。于是，机器人的手部位姿可用一个6维列矢量来表示：角度设定法式中：x、y、z表示手部位置；

x、

y、

z分别为绕X轴、Y轴和Z轴的转角。67RPY角法和欧拉角法表示手部姿态RPY角法（x-y-z角设定法）是手部相对于参考坐标系轴作三次连续转动获得规定的姿态；先绕X轴转动

x角，称为偏转(Yaw)；再绕Y轴转动

y角，称为俯仰(Pitch)；最后绕Z轴转动

z角，称为翻转(Roll)，得到相应的旋转矩阵为：6868RPY角法和欧拉角法表示手部姿态欧拉角法（z-y-x角设定法）是手部相对于运动坐标系轴作三次连续转动获得规定的姿态；如果转动顺序为z-y-x，则相应的旋转矩阵为：同RPY角法得到的结果完全相同；如果用其他顺序进行欧拉角三次连续转动，结果便不相同了。6969RPY角法和欧拉角法表示手部姿态知道了旋转矩阵后，则可由以上两式逆解出手部姿态的设定角

x、

y、

z。

x、

y、

z分别为：其中q为广义关节变量：7070X=X(q)形式运动学方程当用机器人各连杆坐标系间的变换矩阵Ai来确定机器人手部位姿T6时，T6为4×4矩阵，手部的位置用p表示，p＝[px

py

pz]T，手部的姿态用手部坐标系的n、o、a向量来表示；Ai是关节变量q的函数，于是用变换矩阵法表示手部姿态时的机器人运动学方程为：该式表示了机器人手部位姿T与关节变量q之间的函数关系。7171X=X(q)形式运动学方程于是，用角度设定法表示手部姿态时的机器人运动学方程为：当用角度设定法表示手部姿态时，手部位置可用px、py、pz来表示，它们是关节变量的函数；手部姿态可用

x、

y、

z来表示，它们也是关节变量的函数，即：该式也表示了机器人手部位姿X与关节变量q之间的函数关系。72X=X(q)形式运动学方程两式中右边均是广义关节矢量q（它构成关节空间）的函数，左边均是在直角坐标空间即操作空间中描述的手部位姿；可见，运动学方程T6=T(q)或X=X(q)就是关节空间向操作空间的映射；两式仅仅是描述态姿的方法不同。73作业机器人技术基础及应用Fundamentalsandapplicationsofrobotics习题：3-4、3-9、3-10。机器人技术基础及应用Fundamentalsandapplicationsofrobotics第四章:工业机器人动力学分析754.1工业机器人速度分析4.2工业机器人静力计算4.3工业机器人动力学分析目录76工业机器人速度雅可比矩阵工业机器人速度分析的两类问题4.1工业机器人速度分析77二自由度平面关节机器人4.1工业机器人速度分析4.1.1工业机器人速度雅可比矩阵78J为2×2的偏导数矩阵，称为二自由度平面关节机器人的速度雅可比矩阵，它反映了关节空间微小运动d

与手部作业空间微小位移dX的关系。J矩阵的值是

1、

2的函数。79转动关节：qi=

i；移动关节：qi=di。J(q)为6×n的偏导数矩阵，称为n自由度机器人的速度雅可比矩阵。其元素为：对于n自由度机器人，其关节变量可用广义关节变量q表示，即：其微分：反映了关节空间的微小运动；机器人末端在操作空间的位姿的位姿X是关节变量q的函数，即：由式(2-44)可知：其微分：反映了操作空间的微小运动，它由机器人末端微小线位移(dx,dy,dz)和微小角位移(

x,

y,

z)组成；于是式(3-8)可写为：q=[q1

q2…qn]Tdq=[dq1dq2…dqn]TX=X(q)dX=[dxdydz

δϕx

δϕyδϕz]T80已知各关节速度，求手部速度已知手部速度，求各关节速度4.1工业机器人速度分析4.1.2工业机器人速度分析的两类问题81已知各关节速度，求手部速度V：机器人末端在操作空间中的广义速度；

：机器人关节在关节空间中的速度；J(q)：确定关节空间速度与操作空间速度V之间关系的雅可比矩阵，即速度雅可比矩阵；根据此式，已知关节上的速度，可求出机器人末端（即手部）的速度。82已知各关节速度，求手部速度右边第一项：表示仅由第一个关节运动引起的端点速度；右边第二项：表示仅由第二个关节运动引起的端点速度；总的端点速度：两个速度矢量的合成。机器人速度雅可比矩阵的每一列表示其他关节不动而某一关节运动产生的端点速度。83已知手部速度，求各关节速度如果希望机器人手部在空间按规定的速度进行作业，则根据上式便可计算出沿路径上每一瞬时相应的关节速度。J-1出现奇异解的两种情况：工作域边界上奇异：当机器人臂部全部伸展开或全部折回而使手部处于工作域的边界上或边界附近时，出现逆雅可比矩阵奇异。这时机器人相应的形位叫做奇异形位；当机器人处于奇异形位时，就会产生退化现象，丧失一个或更多的自由度。这意味着在空间某个方向（或子域）上，不管机器人关节速度怎样选择，手部也不可能实现移动；工作域内部奇异：是由两个或更多个关节轴线重合所引起的。如果给定机器人的手部速度，则可解出相应的关节速度，即：84

已知手部速度，求各关节速度如图所示二自由度机械手，手部沿固定坐标系X0轴正向以1.0m/s速度移动，杆长为l1＝l2＝0.5m。设在某瞬时

1＝30

，

2＝-60

，求相应瞬时的关节速度。二自由度机械手手爪沿X0方向运动85已知手部速度，求各关节速度86工业机器人力雅可比矩阵工业机器人静力计算的两类问题4.2工业机器人静力计算87末端操作器及各关节的虚位移假定关节无摩擦，并忽略各赶建的重力，如果作用于机器人关节上的广义关节力矩为

，机器人手部端点力（即机器人手部对外界环境的作用力）为F，则：4.2工业机器人静力计算4.2.1工业机器人力雅可比矩阵884.2工业机器人静力计算4.2.1工业机器人力雅可比矩阵89已知机器人手部端点力F或外界环境对机器人手部的作用力F'(F=F')，求关节驱动力矩；已知关节驱动力矩，求机器人手部对外界环境的作用力：这类问题是第一类问题的逆解。当机器人的自由度不为6时，力雅可比矩阵就不是一个方阵，则JT就没有逆解。所以，对这类问题的求解就困难得多，在一般情况下不一定能得到唯一的解。4.2工业机器人静力计算4.2.2工业机器人静力计算的两类问题90如图所示为一个二自由度平面关节机械手，已知手部端点力F＝[Fx

Fy]T，求相应于端点力F的关节力矩（不考虑摩擦）。91在某瞬时

1＝0

，

2＝90

，则在该瞬时与手部端点力相对应的关节力矩为：92工业机器人动力学分析的两类问题工业机器人动力学分析的方法工业机器人动力学分析4.3工业机器人动力学分析93已知关节位置、速度、加速度，求关节驱动力矩。这对实现机器人的动态控制是相当有用的；已知关节驱动力矩，求关节位置、速度、加速度。这对模拟机器人的运动是非常有用的。4.3工业机器人动力学分析4.3.1工业机器人动力学分析的两类问题94拉格朗日法：不仅能以最简单的形式求得非常复杂的系统动力学方程，而且具备显式结构，物理意义比较明确。牛顿-欧拉法高斯法凯恩法4.3工业机器人动力学分析4.3.2工业机器人动力学分析的方法95拉格朗日函数拉格朗日方程用拉格朗日法建立机器人动力学方程的步骤二自由度平面关节机器人运动学方程机器人动力学方程的简化关节空间与操作空间动力学方程及二者的关系4.3工业机器人动力学分析4.3.3工业机器人动力学分析96拉格朗日函数：系统的动能与势能之差。拉格朗日方程用拉格朗日法建立机器人动力学方程的步骤选取坐标系，选定广义关节变量与广义力；求各构件的动能与势能，构造拉格朗日函数；代入拉格朗日方程，求得系统的动力学方程。97二自由度平面关节机器人动力学方程选定坐标系、广义关节变量与广义力98二自由度平面关节机器人动力学方程系统动能：系统势能：99拉格朗日函数：二自由度平面关节机器人动力学方程系统动力学方程：100系统动力学方程：二自由度平面关节机器人动力学方程101系统动力学方程：二自由度平面关节机器人动力学方程102系统动力学方程：二自由度平面关节机器人动力学方程103系统动力学方程：二自由度平面关节机器人动力学方程104含有或

的项表示由加速度引起的关节力矩项，其中：含有或

的项表示由离心力引起的关节力矩项，其中：含有D11和D22的项分别表示由关节1加速度和关节2加速度引起的惯性力矩项；含有D12表示关节2的加速度对关节1的耦合力矩项；含有D21表示关节1的加速度对关节2的耦合力矩项。含有D122的项表示由关节2速度引起的离心力对关节1的耦合力矩项；含有D211的项表示由关节1速度引起的离心力对关节2的耦合力矩项。二自由度平面关节机器人动力学方程105含有

的项表示由哥式力引起的关节力矩项，其中：只含有

1,

2的项表示由重力引起的关节力矩项，其中：含有D1的项表示连杆1、连杆