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文档简介
2020-2021学年第二学期初二数学期末培优试卷
选择题(本题共14小题,每小题4分,共56分)
1.已知“<0,化简二次根式的正确结果为()
A.6B.6C.SD.-yf-y
2.已知a=2-6力=«-2,c=5-2后,那么“,b,c的大小顺序是()
A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b
3.某校男篮队员的年龄分布如表所示:
年龄/岁131415
人数a4一。6
对于不同的a,下列关于年龄的统计量不会发生改变的是()
A.众数,中位数B.众数,方差C.平均数,中位数D.平均数,方差
4.如图,在矩形A3CD中,4)=4,N£MC=30。,点尸、E分别在AC、AD±.,则PE+PD
的最小值是()
5.如图,在四边形纸片A8c。中,AB!/CD,ZD=90°,ZC=45°,AB=2,CD=6.将
四边形纸片剪去3个等腰直角三角形,所有剪法中,剩余部分面积的最小值为()
A.2B.1C.1.5D.4
6.如图,在平行四边形ABCD中,AD=2,AB=46,NB是锐角,A£J_3c于点£,F
是/IB的中点,连接£)尸、EF.若N£7Z>=90。,则/场长为()
A.2B.V5C.—D.—
22
7.利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45。”,应先假设()
A.直角三角形的每个锐角都小于45。B.直角三角形有一个锐角大于45。
C.直角三角形的每个锐角都大于45。D.直角三角形有一个锐角小于45。
8.一组数据1,2,3,4,5的方差是a,若减少一个数据3,剩余4个数据的方差为6,则
。与6的大小关系是()
A.a<hB.a=hC.a>bD.不能确定
9.全班有70%的学生参加生物小组,75%的学生参加化学小组,85%的学生参加物理
小组,90%的学生参加数学小组,则四个小组都去参加的学生至少占全班的百分比是(
)
A.10%B.15%C.20%D.25%
10.给出下列命题:①一组对边和一组对角分别相等的四边形是平行四边形;②两组对角的
内角平分线分别平行的四边形是平行四边形;③一组对边中点间的距离等于另一组对边
长和的一半的四边形是平行四边形;④两条对角线都平分四边形的面积的四边形是平行
四边形.其中真命题有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
1L设x=丁=+加,”为正整数,如果+197孙+2/=1993
成立,那么”的值为()
A.7B.8C.9D.10
⑵如图,正方形4?C£)的顶点A、8分别在x轴、y轴的正半轴上,反比例函数y=&(%>0)
X
的图象经过另外两个顶点C、D,且点。(4,〃)(0<〃<4),则无的值为()
A.12B.8C.6D.4
13.已知菱形。1BC在平面直角坐标系的位置如图所示,顶点A(5,0),08=4石,点P是
对角线08匕的一个动点,0(0,1).当CP+OP最短时,点尸的坐标为()
A.(0,0)B.(1,1)C.(|,|)D.4,1)
14.如图,边长为1的正方形EFG”在边长为3的正方形ABCD所在平面上移动,始终保
特EF//AB.线段Cr的中点为",。”的中点为N,则线段MN的长为()
D.-V10
3
二.填空题(本题共8小题,每小题5分,共40分)
15.己知"?,〃是有理数,且(石+2)机+(3-2括)〃+7=0,则"?=,〃=
16.参加会议的成员都互相握过手,其中某人与他的一些老朋友握过第二次手.若这次会议
握手的总次数是159,那么参加会议的成员有人,其中,第二次握手有次.
17.某人将一本书的页码按1、2、3…的顺序相加,其中有一页被多加了一次,结果得到一
个错误的总和2005,则被多加的页码是—.
18.已知关于x的一元二次方程x2+(2w-l)x+m2-3=0有实数根.
(1)求实数机的取值范围
(2)当机=2时,方程的根为内,3,求代数式。;+2芯)(考+4刍+2)的值为
19.如图,048C是平行四边形,对角线08在y轴正半轴上,位于第一象限的点A和第二
象限内的点C分别在双曲线y=2和y=%的一支上,分别过点A、C作x轴的垂线,垂足
XX
分别为M和N,则有以下的结论:
①阴影部分的面积为:(勺+右);
②若8点坐标为(0,6),A点坐标为(2,2),则%=-8;
③当NAOC=90°时,化|=%|
④若。48c是菱形,则两双曲线既关于x轴对称,也关于y轴对称.
其中正确的结论是—(填写正确结论的序号).
20.如图,在矩形A8C。中,4)=4,将NA向内翻折,点A落在8c上,记为A,折痕
为DE.若将NB沿E4,向内翻折,点5恰好落在DE上,记为用,则A5=.
题20图
21.如图,在平行四边形A8CD中,AC为对角线,若尸为平行四边形A8CD内一点,且
3
22.如图,反比例函数y=三(x>0)的图象与矩形MCO的边43交于点G,与边BC交于
X
点。,过点A,。作。E//AP,交直线y=fcv(%<0)于点E,F,若OE=OF,BG=2GA,
则四边形ADEF的面积为.
三.解答题(本题共2小题,共24分)
23.阅读材料:
小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如
3+20=(1+夜)、善于思考的小明进行了以下探索:
设a+4>应=(加+〃应尸(其中〃、。、加、”均为整数),则有4+以巧=疗+2〃2+2血如?.
2
.,a=f^+2n,b=2mn.这样小明就找到了一种把类似a+b丘的式子化为平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:
(1)当a、b、机、”均为正整数时,若〃+4/5=(m+小/5)2,用含m、”的式子分别表
示。、匕,得:a=,b=;
(2)利用所探索的结论,填空:13+4百=(—+一月产;
(3)若4+66=(»?+〃6)2,且a、m,"均为正整数,求a的值?
24.如图,四边形ABCZ)的四个顶点分别在反比例函数>='与v=E(x>0,0<〃?<〃)的图
XX
象上,对角线3。//y轴,且30,AC于点P.已知点B的横坐标为4.
(1)当〃?=4,〃=20时.
①若点P的纵坐标为2,求点A和点8的坐标.
②若点P是9的中点,试判断四边形A8CD的形状,并说明理由.
(2)四边形AfiCZ)能否成为正方形?若能,求此时"?,〃之间的数量关系;若不能,试说
明理由.
J
B
ox
2020-2021学年第二学期初二数学培优测试卷
参考答案与试题解析
一.选择题(本题共14小题,每小题4分,共56分)
1.己知孙<0,化简二次根式的正确结果为()
A.yfyB.y/—yC.~\[yD.-J-y
【解答】解:*/xy<0,
.\x>0,y<0或xvO,y>0,
又有意义,
/.y<0,
/.x>0,y<0,
当x>0,y<0时,XyJ——=y/^y,
故选:B.
2.已知a=2-=6-2,c=5-2君,那么a,h,c的大小顺序是()
A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD・c<a<h
【解答】解:...75«2.236,
「.Q=2-石。2-2.236=-0.236;
Z?=>/5-2«2.236-2=0.236;
=5-2石之5—4.472=0.528,
v0.528>0.236>-0.236.
:.5-2y/5>y[5-2>2-y/5,^a<b<c.
故选:A.
3.某校男篮队员的年龄分布如表所示:
年龄/岁131415
人数a4-176
对于不同的。,下列关于年龄的统计量不会发生改变的是()
A.众数,中位数B.众数,方差
C.平均数,中位数D.平均数,方差
【解答】解:由表可知,年龄为15=3岁与年龄为14岁的频数和为a+4-a=4,
则总人数为:4+6=10,
故该组数据的众数为15岁;
按大小排列后,第5个和第6个数据为:15,15,则中位数为:”士”=15岁,
2
即对于不同的a,关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数,
故选:A.
4.如图,在矩形中,AD=4,〃4C=30。,点尸、石分别在AC、AD上,则PE+P。
的最小值是()
B
A.2B.26C.4D.—
3
【解答】解:作。关于直线AC的对称点。,过。作。于石,
则DE=PE+PD的最小值,
・・•四边形ABCD是矩形,
/.ZAZX7=9O°,
\AD=4,ZDAC=3O°9
-DDLAC,
ZCDZ7=30°,
••.ZADZ7=60。,
.•.00=4,
/.DE=26
故选:B.
5.如图,在四边形纸片ABC。中,ABI/CD,ZD=90°,ZC=45°,43=2,CD=6.将
四边形纸片剪去3个等腰直角三角形,所有剪法中,剩余部分面积的最小值为()
AB
DC
A.2B.1C.1.5D.4
【解答】解:如图1,过WB作8WJ_C。于M,
则四边形ABMD为矩形,
,\AB=DM=2.
・・・CO=6,ZC=45°,
...AD=BM=CM=6—2=4,
BC=4y/2<CD,
如图2,过。作。£_L5C于点£,得等腰直角三角形AE8,DE=3y[2<AD,
ZADE=ZCDE=45°
作AF_L£>E于尸,得等腰直角AAD/LABAF=ADAF=45°,AF=2也>AB,
以AF为斜边作等腰直角三角形的直角边为2=43,故连接所,得等腰直角4W,
ZEBF=45°,AB£F也为等腰直角三角形,BE=BF=41,
因此在四边形ABCD中前去AECD,AADF,AAB/三个等腰直角三角形后,剩下的AB£F
面积最小,其值沏”0.
故选:B.
6.如图,在平行四边形ABCD中,AD=2,AB=娓,是锐角,A£_L3c于点£,
是他的中点,连接£)尸、EF.若N£7Z>=90。,则AE长为()
【解答】解:如图,延长EF交ZM的延长线于。,连接DE,设3E=x,
•.•四边形/W8是平行四边形,
.-.DQ//BC,
ZQ=ZBEF,
AF=FB,ZAFQ=NBFE,
:.AQFA=AEFB(AAS),
...AQ=BE=x,QF=EF,
vZ£7T>=90°,
:.DF±QEf
DQ=DE=x+2,
-.-AEVBC,BC//AD,
:.AE^AD,
:.ZAEB=ZEAD=9QP,
AE2=DE2-AD2=AB2-BE2,
(x+2)2-4=6-x2,
整理得:2W+4x-6=0,
解得x=l或-3(舍弃),
AE=dAB?-BE?=x/6^1=亚,
故选:B.
7.利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45。”,应先假设()
A.直角三角形的每个锐角都小于45。
B.直角三角形有一个锐角大于45。
C.直角三角形的每个锐角都大于45。
D.直角三角形有一个锐角小于45。
【解答】解:用反证法证明命题“在直角三角形中,至少有一个锐角不小于45。”时,应先
假设直角三角形的每个锐角都小于45。.
故选:A.
8.一组数据1,2,3,4,5的方差是a,若减少一个数据3,剩余4个数据的方差为匕,则
。与6的大小关系是()
A.a<bB.a=bC.a>bD.不能确定
【解答】解:数据1,2,3,4,5的平均数是:31+2+3+4+5)=3,
则方差:q=g[(1-3)2+(2-3)2+(3-+(4-3)2+(5-3>]=2,
减少一个数据3,平均数是:;(1+2+4+5)=3,
则方差:&=-[(1-3)2+(2—3>+(4—3>+(5_3>]=2.5,
4
则a<b;
故选:A.
9全班有70%的学生参加生物小组,75%的学生参加化学小组,85%的学生参加物理小
组,90%的学生参加数学小组,则四个小组都去参加的学生至少占全班的百分比是(
)
A.10%B.15%C.20%D.25%
【解答】解:假设全班有100名同学,则有70人参加生物小组,75人参
加化学小组,
85人参加物理小组,90人参加数学小组.
设四个都参加的人为x人,则
根据容斥原理,至少有70+75-100=45人同时参加生物和化学两个小组,至
少有
45+85-100=30人同时参加生物,化学和物理三个小组,那么
x=30+90—100,
.•.同时参加四个小组的人至少有20人,
所占的百分比为:20+100x100%=20%.
故选:C.
10.给出下列命题:①一组对边和一组对角分别相等的四边形是平行四边形;②两组对角的
内角平分线分别平行的四边形是平行四边形;③一组对边中点间的距离等于另一组对边
长和的一半的四边形是平行四边形;④两条对角线都平分四边形的面积的四边形是平行
四边形.其中真命题有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
【解答】解:①一组对边相等,一组对角相等的四边形,不能证明另一组对边也相等或平行,
即一组对边和一组对角分别相等的四边形不一定是平行四边形,故①错误;
②两组对角的内角平分线分别平行的四边形,能证明两组对角相等,故四边形一定是平行四
边形,故②正确;
③一组对边中点的距离等于另一组对边边长的和的一半的四边形,梯形中两腰中点的连线也
可以符合等于上下底的一半,故③错误:
④两条对角线都平分四边形的面积的四边形是平行四边形,可以推出两条对角线互相平分,
故④正确;
故正确的有②④.
故选:B.
.设x=y=,为正整数,如果2/+197孙+2丁=1993
成立,那么几的值为()
A.7B.8C.9D.10
【解答】解:由题设得:孙=1,x+y=4n+2,
由2/+197孙+2/=1993,得2(x+yf+193孙=1993.
将冲=1,x+y=4〃+2代入上式得:(4〃+2)2=900,
即4n+2=30.
.*.7?=7.
故选:A.
12.如图,正方形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,反比例函数y=&代>0)
X
的图象经过另外两个顶点C、D,且点0(4,〃)(0<〃<4),则攵的值为()
A.12B.8C.6D.4
【解答】解:过。作。轴于石,FCLy轴于点尸,
.•.Z£>£4=90°,
・・,四边形ABC。是正方形,
:,AB=AD,ZBAD=90°,
/.ZBAO+ZDAE=90°,NZME+NAZ)石=90。,
:.ZDAE=ZABO,
又・・AB=4),
:.^ABO^\DAE.
同理,bABO三ABCF.
.*.OA=DE=n,OB=AE=OE—OA=4—〃,
则A点的坐标是(77,0),B的坐标是(0,4-n).
.・・。的坐标是(4-〃,4).
由反比例函数上的性质得到:4(4-〃)=4〃,所以”=2.
则。点坐标为(4,2),所以%=2x4=8.
故选:B.
13.已知菱形。4BC在平面直角坐标系的位置如图所示,顶点A(5,0),OB=4后,点P是
对角线08上的一个动点,£>(0,1).当CP+OP最短时,点尸的坐标为()
A.(0,0)B.心-1
【解答】解:如图连接AC,AD,分别交03于G、P,作3KJ.OA于K.
•.•四边形Q4BC是菱形,
:.ACYOB,GC=AG,OG=BG=2&A、C关于直线03对称,
PC+PD=PA+PD=DA,
此时PC+PD最短,
在RtAAOG中,AG=8曾-OG?=石-(2右)=垂),
AC=245,
■.OABK=-ACOB,
2
:.BK=4,AK=NAB2-BK。=3,
・,•点3坐标(8,4),
・•・直线。3解析式为y=gx,直线4)解析式为y=-4x+l,
'110
y=-xx=—
由2]解得:,
V=----X+1V=—
I5[7
;.点P坐标岑,y).
故选:D.
14.如图,边长为1的正方形瓦G”在边长为3的正方形ABCD所在平面上移动,始终保
持EFUAB.线段C尸的中点为M,。〃的中点为N,则线段MV的长为()
D.-V10
33
【解答】解:如图,将正方形EFG”的位置特殊化,使点”与点A重合,过点M作MOJ.EZ)
与O,则是梯形FEDC的中位线,
:.EO=OD=2,MO=^EF+CD)=2.
;点N、V分别是">、/C的中点,
3
.-.AN=ND=~,
2
31
:.ON=OD-ND=2--=-.
22
在此乙«^中,MN-=MO1+ON1,即MN=—+(孑=孚.
故选:B.
二.填空题(本题共8小题,每小题5分,共40分)
15.已知他,〃是有理数,且(百+2)机+(3-2后)〃+7=0,则机=,n=.
【解答】解:由且(石+2)机+(3-26)〃+7=0,得
坦(tn-In)+Im+3〃+7=0,
1.■m>"是有理数,
:.m-2n>2租+2"+7必为有理数,
又•.•石是无理数,
当且仅当加一2〃=0、2加+3〃+7=0时,等式才成立,
n=—1,tn=-2.
故答案为:-2、—1.
16.参加会议的成员都互相握过手,其中某人与他的一些老朋友握过第二次手.若这次会议
握手的总次数是159,那么参加会议的成员有人,其中,第二次握手有次.
【解答】解:设参加会议的有x人,第2次握手有〉次.
x(x-l)n-2+y=159.
x(x-l)=318-2y,
•.•相邻2个正整数相乘接近318的只有18x17=306,
x=18,
>=(318-306)+2=6.
故答案为:18;6.
17.某人将一本书的页码按1、2、3…的顺序相加,其中有一页被多加了一次,结果得到一
个错误的总和2005,则被多加的页码是
【解答】解:设全书共”页,被多加的页码为X,(掇k〃)
则有〃(〃+1)+x=2005
2
,如由+掇加05迎里
22
即/+”+2融010〃(〃+3)
由于J4010-63,验算知〃=62
故答案为:52页.
18.已知关于x的一元二次方程/+(2〃?-1口+/_3=0有实数根.
(1)求实数机的取值范围;
(2)当m=2时,方程的根为百,求代数式(4+2%)(考+4%+2)的值为
【解答】ft?:(1)由题意△..(),
(2??i—1)"—4(/77*—3)..0,
13
4
(2)当小=2时,方程为丁+3犬+1=0,
玉+工2=-3,%七=1,
・・・方程的根为%,x2,
+
,¥+3玉+1=o,%23x2+1=0,
「.(x;+2x])(^2+4X2+2)
=(#+2Xj+%—%)(x;+3X2+9+2)
—(—1一%)(一1+占+2)
=(-171)(占+1)
=-x2-x]x2-l-x(
=—x2-*-2
=3-2
=1.
19.如图,。钻。是平行四边形,对角线03在y轴正半轴上,位于第一象限的点A和第二
象限内的点C分别在双曲线、=&和丫=幺的一支上,分别过点A、C作X轴的垂线,垂足
XX
分别为〃和N,则有以下的结论:
①阴影部分的面积为:化+内);
②若8点坐标为(0,6),A点坐标为(2,2),则&=-8;
③当NAOC=90。时,|仁|=|自|
④若。钻C是菱形,则两双曲线既关于x轴对称,也关于y轴对称.
其中正确的结论是(填写正确结论的序号).
yt
【解答】解:作AEJ.y轴于E,b_Ly轴于F,如图,
S
①;SgOM=g|ZJ,^CON=^2।;
•'•加彭部分=Sgow+SACO”=5(W|+|七|),
而匕>0,k2<Q,
''-飞影部分=-Q,故①错误;
②•.•四边形。SC是平行四边形,8点坐标为(0,6),A点坐标为(2,2),。的坐标为(0,0).
C(—2,4).
又:点C位于y4上,
k2=xy=—2x4=-8.
故②正确;
③当NAOC=90。,
四边形04BC是矩形,
.•.不能确定。4与OC相等,
而OM=ON,
不能判断AAOM三AGVO,
.•.不能判断AW=CV,
.•.不能确定IKH&I,故③错误;
④若是菱形,则。4=OC,
而OM=ON,
/.RtAAOM三RtACNO,
:.AM=CN,
.1勺1=1&I,
k、——k,29
.•.两双曲线既关于X轴对称,也关于),轴对称,故④正确.
故答案是:②④.
20.如图,在矩形MC£)中,AD=4,将NA向内翻折,点A落在3c上,记为A,折痕
为DE.若将N8沿E4,向内翻折,点5恰好落在。E上,记为用,则钻=.
【解答】解:由折叠可得,4。=AO=4,ZA=ZE41D=90°,ZBA.E=ZB^E,网=44,
ZB=ZX1B1E=90°,
/.ZE4,旦+/DA,g=90°=NBAE+D,
/.ZD^B,=ZC41D,
又・・・/。=幺4。,A£>=4。,
・•.△4加片二△A,DC(AAS),
.*.A。=A4,
:.B\=A,C=^BC=2,
.•,孜△ACO中,CD=V42-22=2>/3,
AB=2yf3,
故答案为:26.
B.41
21.如图,在平行四边形AfiCD中,AC为对角线,若P为平行四边形ABCZ)内一点,且
SAPAB=5,S^AC=3,则SHAD
【解答】解:•.•四边形/WCD是平行四边形,
/.AB=DC,
假设P点到的距离是4,假设尸点到的距离是刈,
9=
•*S叱AB=2A'4SAPDC2DC,b*
:.S“AH+Sv*=;(AB-%+DC%)=gDC.(%+"),
・.・4+他正好是AB到DC的距离,
•,,SWAB+S"DC=2S平行四边形A8C。=,
即^^ADC=Sms+S^DC=5+S^tDCf
S"AD=^AADC-S&PDC—S"AC
••^^PAD=5—3=2,
当点P在AC的下方时,S^AD=SMDc+SMPC-=5^+5^=5+3=8
故答案为:2或8.
c
B
22.如图,反比例函数y=3(x>0)的图象与矩形A8CO的边A3交于点G,与边8c交于
X
点。,过点A,。作OE//AF,交直线y=Ax(Z<0)于点石,F,若OE=OF,BG=2GA,
则四边形的面积为.
【解答】解:延长QE交x轴于K,作。“J_Q4于
设G(a,二),则。4=a,AG=-,
aa
・・・8G=2G4,
BG=-
a
9
,\DH=AB=AG+BG=-,
•••DEIIAF,
:2EKO=NFAO,
在△OEK和AOE4中,
/EKO=ZFAO
<NEOK=/FOA,
OE=OF
\OEK=AOM(AAS),
OK=OA=a,
AK=2a,
119
S四边形犯所=S四边形即即+S.EO=^AADK=T,DH=—x2aX-=9.
22a
故答案为:9.
三.解答题(本题共2小题,共24分)
23.阅读材料:
小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如
3+2夜=(1+&)2.善于思考的小明进行了以下探索:
设。+6立=(,〃+”五)2(其中a、b>m-"均为整数),则有a+以/5=加?+2”?+2应,〃〃.
:.a=m2+2n2,0=2%.这样小明就找到了一种把类似a+A应的式子化为平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:
(1)当a、b、m>"均为正整数时,若a+=+,用含机、”的式子分别表
示a、bf得:a—,b—;
(2)利用所探索的结论,填空:13
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