2020-2021学年第二学期浙江省慈溪某中学八年级数学期末培优试卷（ 含答案）

2020-2021学年第二学期初二数学期末培优试卷

选择题（本题共14小题，每小题4分，共56分）

1.已知“<0,化简二次根式的正确结果为（）

A.6B.6C.SD.-yf-y

2.已知a=2-6力=«-2,c=5-2后，那么“，b,c的大小顺序是（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b

3.某校男篮队员的年龄分布如表所示：

年龄/岁131415

人数a4一。6

对于不同的a,下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（）

A.众数，中位数B.众数，方差C.平均数，中位数D.平均数，方差

4.如图，在矩形A3CD中，4）=4,N£MC=30。，点尸、E分别在AC、AD±.,则PE+PD

的最小值是（）

5.如图，在四边形纸片A8c。中，AB!/CD,ZD=90°,ZC=45°,AB=2,CD=6.将

四边形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中，剩余部分面积的最小值为（）

A.2B.1C.1.5D.4

6.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2,AB=46,NB是锐角，A£J_3c于点£,F

是/IB的中点，连接£）尸、EF.若N£7Z>=90。，则/场长为（）

A.2B.V5C.—D.—

22

7.利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45。”，应先假设（）

A.直角三角形的每个锐角都小于45。B.直角三角形有一个锐角大于45。

C.直角三角形的每个锐角都大于45。D.直角三角形有一个锐角小于45。

8.一组数据1,2,3,4,5的方差是a,若减少一个数据3,剩余4个数据的方差为6,则

。与6的大小关系是（）

A.a<hB.a=hC.a>bD.不能确定

9.全班有70%的学生参加生物小组，75%的学生参加化学小组，85%的学生参加物理

小组，90%的学生参加数学小组，则四个小组都去参加的学生至少占全班的百分比是（

）

A.10%B.15%C.20%D.25%

10.给出下列命题：①一组对边和一组对角分别相等的四边形是平行四边形；②两组对角的

内角平分线分别平行的四边形是平行四边形；③一组对边中点间的距离等于另一组对边

长和的一半的四边形是平行四边形；④两条对角线都平分四边形的面积的四边形是平行

四边形.其中真命题有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

1L设x=丁=+加，”为正整数，如果+197孙+2/=1993

成立，那么”的值为（)

A.7B.8C.9D.10

⑵如图，正方形4?C£)的顶点A、8分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y=&(%>0)

X

的图象经过另外两个顶点C、D,且点。(4,〃)(0<〃<4),则无的值为()

A.12B.8C.6D.4

13.已知菱形。1BC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5,0),08=4石，点P是

对角线08匕的一个动点，0(0,1).当CP+OP最短时，点尸的坐标为()

A.(0,0)B.(1,1)C.(|,|)D.4，1)

14.如图，边长为1的正方形EFG”在边长为3的正方形ABCD所在平面上移动，始终保

特EF//AB.线段Cr的中点为"，。”的中点为N,则线段MN的长为()

D.-V10

3

二.填空题(本题共8小题,每小题5分，共40分)

15.己知"？，〃是有理数，且(石+2)机+(3-2括)〃+7=0,则"?=,〃=

16.参加会议的成员都互相握过手，其中某人与他的一些老朋友握过第二次手.若这次会议

握手的总次数是159,那么参加会议的成员有人，其中，第二次握手有次.

17.某人将一本书的页码按1、2、3…的顺序相加，其中有一页被多加了一次，结果得到一

个错误的总和2005,则被多加的页码是—.

18.已知关于x的一元二次方程x2+(2w-l)x+m2-3=0有实数根.

(1)求实数机的取值范围

(2)当机=2时，方程的根为内，3,求代数式。；+2芯)(考+4刍+2)的值为

19.如图，048C是平行四边形，对角线08在y轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二

象限内的点C分别在双曲线y=2和y=%的一支上，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足

XX

分别为M和N,则有以下的结论：

①阴影部分的面积为：(勺+右)；

②若8点坐标为(0,6),A点坐标为(2,2),则%=-8；

③当NAOC=90°时，化|=%|

④若。48c是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称.

其中正确的结论是—(填写正确结论的序号).

20.如图，在矩形A8C。中，4)=4,将NA向内翻折，点A落在8c上，记为A，折痕

为DE.若将NB沿E4,向内翻折，点5恰好落在DE上，记为用，则A5=.

题20图

21.如图，在平行四边形A8CD中，AC为对角线，若尸为平行四边形A8CD内一点，且

3

22.如图，反比例函数y=三（x>0）的图象与矩形MCO的边43交于点G,与边BC交于

X

点。，过点A,。作。E//AP,交直线y=fcv（%<0）于点E,F,若OE=OF,BG=2GA,

则四边形ADEF的面积为.

三.解答题（本题共2小题，共24分）

23.阅读材料：

小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如

3+20=（1+夜）、善于思考的小明进行了以下探索：

设a+4>应=（加+〃应尸（其中〃、。、加、”均为整数），则有4+以巧=疗+2〃2+2血如?.

2

.­,a=f^+2n,b=2mn.这样小明就找到了一种把类似a+b丘的式子化为平方式的方法.

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当a、b、机、”均为正整数时，若〃+4/5=（m+小/5）2,用含m、”的式子分别表

示。、匕，得：a=,b=；

(2)利用所探索的结论，填空：13+4百=(—+一月产；

(3)若4+66=(»?+〃6)2,且a、m,"均为正整数，求a的值？

24.如图，四边形ABCZ)的四个顶点分别在反比例函数>='与v=E(x>0,0<〃?<〃)的图

XX

象上，对角线3。//y轴，且30,AC于点P.已知点B的横坐标为4.

(1)当〃?=4,〃=20时.

①若点P的纵坐标为2,求点A和点8的坐标.

②若点P是9的中点，试判断四边形A8CD的形状，并说明理由.

(2)四边形AfiCZ)能否成为正方形？若能，求此时"?，〃之间的数量关系；若不能，试说

明理由.

J

B

ox

2020-2021学年第二学期初二数学培优测试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（本题共14小题，每小题4分，共56分）

1.己知孙<0,化简二次根式的正确结果为（）

A.yfyB.y/—yC.~\[yD.-J-y

【解答】解:*/xy<0,

.\x>0,y<0或xvO,y>0,

又有意义，

/.y<0,

/.x>0,y<0,

当x>0,y<0时，XyJ——=y/^y,

故选：B.

2.已知a=2-=6-2,c=5-2君，那么a,h,c的大小顺序是（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD・c<a<h

【解答】解：...75«2.236,

「.Q=2-石。2-2.236=-0.236；

Z?=>/5-2«2.236-2=0.236；

=5-2石之5—4.472=0.528,

v0.528>0.236>-0.236.

:.5-2y/5>y[5-2>2-y/5,^a<b<c.

故选：A.

3.某校男篮队员的年龄分布如表所示:

年龄/岁131415

人数a4-176

对于不同的。，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（）

A.众数，中位数B.众数，方差

C.平均数，中位数D.平均数，方差

【解答】解：由表可知，年龄为15=3岁与年龄为14岁的频数和为a+4-a=4,

则总人数为：4+6=10,

故该组数据的众数为15岁；

按大小排列后，第5个和第6个数据为：15,15,则中位数为：”士”=15岁，

2

即对于不同的a,关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，

故选：A.

4.如图，在矩形中，AD=4,〃4C=30。，点尸、石分别在AC、AD上，则PE+P。

的最小值是（）

B

A.2B.26C.4D.—

3

【解答】解：作。关于直线AC的对称点。，过。作。于石，

则DE=PE+PD的最小值，

・・•四边形ABCD是矩形，

/.ZAZX7=9O°,

\AD=4,ZDAC=3O°9

-DDLAC,

ZCDZ7=30°，

••.ZADZ7=60。，

.•.00=4,

/.DE=26

故选：B.

5.如图，在四边形纸片ABC。中，ABI/CD,ZD=90°,ZC=45°,43=2,CD=6.将

四边形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中，剩余部分面积的最小值为（）

AB

DC

A.2B.1C.1.5D.4

【解答】解：如图1,过WB作8WJ_C。于M,

则四边形ABMD为矩形，

,\AB=DM=2.

・・・CO=6,ZC=45°,

...AD=BM=CM=6—2=4,

BC=4y/2<CD,

如图2,过。作。£_L5C于点£,得等腰直角三角形AE8,DE=3y[2<AD,

ZADE=ZCDE=45°

作AF_L£>E于尸，得等腰直角AAD/LABAF=ADAF=45°,AF=2也>AB,

以AF为斜边作等腰直角三角形的直角边为2=43,故连接所，得等腰直角4W,

ZEBF=45°,AB£F也为等腰直角三角形，BE=BF=41,

因此在四边形ABCD中前去AECD,AADF,AAB/三个等腰直角三角形后，剩下的AB£F

面积最小，其值沏”0.

故选：B.

6.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2,AB=娓,是锐角，A£_L3c于点£,

是他的中点，连接£）尸、EF.若N£7Z>=90。，则AE长为（）

【解答】解：如图，延长EF交ZM的延长线于。，连接DE,设3E=x,

•.•四边形/W8是平行四边形,

.-.DQ//BC,

ZQ=ZBEF,

AF=FB,ZAFQ=NBFE,

:.AQFA=AEFB(AAS),

...AQ=BE=x,QF=EF,

vZ£7T>=90°,

:.DF±QEf

DQ=DE=x+2,

-.-AEVBC,BC//AD,

：.AE^AD,

:.ZAEB=ZEAD=9QP，

AE2=DE2-AD2=AB2-BE2,

（x+2）2-4=6-x2,

整理得：2W+4x-6=0,

解得x=l或-3（舍弃），

AE=dAB?-BE?=x/6^1=亚,

故选：B.

7.利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45。”，应先假设（）

A.直角三角形的每个锐角都小于45。

B.直角三角形有一个锐角大于45。

C.直角三角形的每个锐角都大于45。

D.直角三角形有一个锐角小于45。

【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不小于45。”时，应先

假设直角三角形的每个锐角都小于45。.

故选：A.

8.一组数据1,2,3,4,5的方差是a,若减少一个数据3,剩余4个数据的方差为匕，则

。与6的大小关系是（）

A.a<bB.a=bC.a>bD.不能确定

【解答】解：数据1,2,3,4,5的平均数是：31+2+3+4+5)=3,

则方差：q=g[(1-3)2+(2-3)2+(3-+(4-3)2+(5-3>]=2,

减少一个数据3,平均数是：；(1+2+4+5)=3,

则方差：&=-[(1-3)2+(2—3>+(4—3>+(5_3>]=2.5,

4

则a<b；

故选：A.

9全班有70%的学生参加生物小组，75%的学生参加化学小组，85%的学生参加物理小

组，90%的学生参加数学小组，则四个小组都去参加的学生至少占全班的百分比是(

)

A.10%B.15%C.20%D.25%

【解答】解：假设全班有100名同学，则有70人参加生物小组，75人参

加化学小组，

85人参加物理小组，90人参加数学小组.

设四个都参加的人为x人，则

根据容斥原理，至少有70+75-100=45人同时参加生物和化学两个小组，至

少有

45+85-100=30人同时参加生物，化学和物理三个小组，那么

x=30+90—100,

.•.同时参加四个小组的人至少有20人,

所占的百分比为：20+100x100%=20%.

故选：C.

10.给出下列命题：①一组对边和一组对角分别相等的四边形是平行四边形；②两组对角的

内角平分线分别平行的四边形是平行四边形；③一组对边中点间的距离等于另一组对边

长和的一半的四边形是平行四边形；④两条对角线都平分四边形的面积的四边形是平行

四边形.其中真命题有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解答】解：①一组对边相等，一组对角相等的四边形，不能证明另一组对边也相等或平行，

即一组对边和一组对角分别相等的四边形不一定是平行四边形，故①错误；

②两组对角的内角平分线分别平行的四边形，能证明两组对角相等，故四边形一定是平行四

边形，故②正确；

③一组对边中点的距离等于另一组对边边长的和的一半的四边形，梯形中两腰中点的连线也

可以符合等于上下底的一半，故③错误：

④两条对角线都平分四边形的面积的四边形是平行四边形，可以推出两条对角线互相平分,

故④正确；

故正确的有②④.

故选：B.

.设x=y=，为正整数，如果2/+197孙+2丁=1993

成立，那么几的值为（）

A.7B.8C.9D.10

【解答】解：由题设得：孙=1,x+y=4n+2,

由2/+197孙+2/=1993,得2(x+yf+193孙=1993.

将冲=1,x+y=4〃+2代入上式得：(4〃+2)2=900,

即4n+2=30.

.*.7?=7.

故选：A.

12.如图，正方形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y=&代>0)

X

的图象经过另外两个顶点C、D,且点0(4,〃)(0<〃<4),则攵的值为()

A.12B.8C.6D.4

【解答】解：过。作。轴于石，FCLy轴于点尸，

.•.Z£>£4=90°,

・・,四边形ABC。是正方形，

：,AB=AD,ZBAD=90°,

/.ZBAO+ZDAE=90°,NZME+NAZ）石=90。，

:.ZDAE=ZABO,

又・・AB=4),

:.^ABO^\DAE.

同理，bABO三ABCF.

.*.OA=DE=n，OB=AE=OE—OA=4—〃，

则A点的坐标是(77,0),B的坐标是(0,4-n).

.・・。的坐标是(4-〃,4).

由反比例函数上的性质得到：4(4-〃)=4〃，所以”=2.

则。点坐标为(4,2),所以％=2x4=8.

故选：B.

13.已知菱形。4BC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5,0),OB=4后,点P是

对角线08上的一个动点，£>(0,1).当CP+OP最短时，点尸的坐标为()

A.(0,0)B.心-1

【解答】解：如图连接AC,AD,分别交03于G、P,作3KJ.OA于K.

•.•四边形Q4BC是菱形,

：.ACYOB,GC=AG,OG=BG=2&A、C关于直线03对称,

PC+PD=PA+PD=DA,

此时PC+PD最短，

在RtAAOG中，AG=8曾-OG?=石-(2右)=垂),

AC=245,

■.OABK=-ACOB,

2

:.BK=4,AK=NAB2-BK。=3,

・,•点3坐标(8,4),

・•・直线。3解析式为y=gx,直线4)解析式为y=-4x+l,

'110

y=-xx=—

由2]解得:，

V=----X+1V=—

I5[7

；.点P坐标岑，y).

故选：D.

14.如图，边长为1的正方形瓦G”在边长为3的正方形ABCD所在平面上移动，始终保

持EFUAB.线段C尸的中点为M,。〃的中点为N,则线段MV的长为（）

D.-V10

33

【解答】解：如图，将正方形EFG”的位置特殊化，使点”与点A重合，过点M作MOJ.EZ）

与O,则是梯形FEDC的中位线，

:.EO=OD=2,MO=^EF+CD）=2.

;点N、V分别是"＞、/C的中点，

3

.-.AN=ND=~,

2

31

:.ON=OD-ND=2--=-.

22

在此乙«^中，MN-=MO1+ON1,即MN=—+（孑=孚.

故选：B.

二.填空题（本题共8小题，每小题5分，共40分）

15.已知他，〃是有理数，且(百+2)机+(3-2后)〃+7=0,则机=,n=.

【解答】解：由且(石+2)机+(3-26)〃+7=0,得

坦(tn-In)+Im+3〃+7=0,

1.■m>"是有理数，

:.m-2n>2租+2"+7必为有理数，

又•.•石是无理数，

当且仅当加一2〃=0、2加+3〃+7=0时，等式才成立，

n=—1,tn=-2.

故答案为：-2、—1.

16.参加会议的成员都互相握过手，其中某人与他的一些老朋友握过第二次手.若这次会议

握手的总次数是159,那么参加会议的成员有人，其中，第二次握手有次.

【解答】解：设参加会议的有x人，第2次握手有〉次.

x(x-l)n-2+y=159.

x(x-l)=318-2y,

•.•相邻2个正整数相乘接近318的只有18x17=306,

x=18,

>=(318-306)+2=6.

故答案为：18；6.

17.某人将一本书的页码按1、2、3…的顺序相加，其中有一页被多加了一次，结果得到一

个错误的总和2005,则被多加的页码是

【解答】解：设全书共”页，被多加的页码为X,(掇k〃)

则有〃(〃+1)+x=2005

2

，如由+掇加05迎里

22

即/+”+2融010〃(〃+3)

由于J4010-63,验算知〃=62

故答案为：52页.

18.已知关于x的一元二次方程/+(2〃?-1口+/_3=0有实数根.

(1)求实数机的取值范围;

(2)当m=2时，方程的根为百,求代数式(4+2%)(考+4%+2)的值为

【解答】ft?：(1)由题意△..(),

(2??i—1)"—4(/77*—3)..0,

13

4

(2)当小=2时，方程为丁+3犬+1=0,

玉+工2=-3,%七=1,

・・・方程的根为％,x2,

+

，¥+3玉+1=o,%23x2+1=0,

「.(x；+2x])(^2+4X2+2)

=(#+2Xj+%—%)(x；+3X2+9+2)

—(—1一%)(一1+占+2)

=(-171)(占+1)

=-x2-x]x2-l-x(

=—x2-*-2

=3-2

=1.

19.如图，。钻。是平行四边形，对角线03在y轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二

象限内的点C分别在双曲线、=&和丫=幺的一支上，分别过点A、C作X轴的垂线，垂足

XX

分别为〃和N,则有以下的结论：

①阴影部分的面积为:化+内)；

②若8点坐标为(0,6),A点坐标为(2,2),则&=-8；

③当NAOC=90。时，|仁|=|自|

④若。钻C是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称.

其中正确的结论是(填写正确结论的序号).

yt

【解答】解：作AEJ.y轴于E,b_Ly轴于F,如图，

S

①；SgOM=g|ZJ，^CON=^2।;

•'•加彭部分=Sgow+SACO”=5(W|+|七|),

而匕>0,k2<Q,

''-飞影部分=-Q,故①错误；

②•.•四边形。SC是平行四边形，8点坐标为(0,6),A点坐标为(2,2),。的坐标为(0,0).

C(—2,4).

又：点C位于y4上，

k2=xy=—2x4=-8.

故②正确；

③当NAOC=90。，

四边形04BC是矩形，

.•.不能确定。4与OC相等,

而OM=ON,

不能判断AAOM三AGVO,

.•.不能判断AW=CV,

.•.不能确定IKH&I，故③错误;

④若是菱形，则。4=OC,

而OM=ON,

/.RtAAOM三RtACNO，

:.AM=CN,

.1勺1=1&I，

k、——k，29

.•.两双曲线既关于X轴对称，也关于），轴对称，故④正确.

故答案是：②④.

20.如图，在矩形MC£）中，AD=4,将NA向内翻折，点A落在3c上，记为A，折痕

为DE.若将N8沿E4,向内翻折，点5恰好落在。E上，记为用，则钻=.

【解答】解：由折叠可得，4。=AO=4,ZA=ZE41D=90°,ZBA.E=ZB^E,网=44,

ZB=ZX1B1E=90°,

/.ZE4,旦+/DA,g=90°=NBAE+D,

/.ZD^B,=ZC41D,

又・・・/。=幺4。，A£>=4。，

・•.△4加片二△A,DC(AAS),

.*.A。=A4,

:.B\=A,C=^BC=2,

.•,孜△ACO中，CD=V42-22=2>/3,

AB=2yf3,

故答案为：26.

B.41

21.如图，在平行四边形AfiCD中，AC为对角线，若P为平行四边形ABCZ）内一点，且

SAPAB=5，S^AC=3，则SHAD

【解答】解：•.•四边形/WCD是平行四边形,

/.AB=DC,

假设P点到的距离是4,假设尸点到的距离是刈，

9=

•*S叱AB=2A'4SAPDC2DC,b*

：.S“AH+Sv*=；(AB-%+DC%)=gDC.(%+")，

・.・4+他正好是AB到DC的距离,

•，,SWAB+S"DC=2S平行四边形A8C。=，

即^^ADC=Sms+S^DC=5+S^tDCf

S"AD=^AADC-S&PDC—S"AC

••^^PAD=5—3=2,

当点P在AC的下方时，S^AD=SMDc+SMPC-=5^+5^=5+3=8

故答案为：2或8.

c

B

22.如图，反比例函数y=3(x>0)的图象与矩形A8CO的边A3交于点G,与边8c交于

X

点。，过点A,。作OE//AF,交直线y=Ax(Z<0)于点石，F,若OE=OF,BG=2GA,

则四边形的面积为.

【解答】解：延长QE交x轴于K,作。“J_Q4于

设G(a,二),则。4=a,AG=-,

aa

・・・8G=2G4,

BG=-

a

9

,\DH=AB=AG+BG=-,

•••DEIIAF,

:2EKO=NFAO,

在△OEK和AOE4中,

/EKO=ZFAO

<NEOK=/FOA,

OE=OF

\OEK=AOM（AAS）,

OK=OA=a，

AK=2a,

119

S四边形犯所=S四边形即即+S.EO=^AADK=T，DH=—x2aX-=9.

22a

故答案为：9.

三.解答题（本题共2小题，共24分）

23.阅读材料：

小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如

3+2夜=（1+&）2.善于思考的小明进行了以下探索：

设。+6立=（,〃+”五）2（其中a、b>m-"均为整数），则有a+以/5=加?+2”?+2应,〃〃.

:.a=m2+2n2,0=2%.这样小明就找到了一种把类似a+A应的式子化为平方式的方法.

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当a、b、m>"均为正整数时，若a+=+,用含机、”的式子分别表

示a、bf得：a—,b—；

（2）利用所探索的结论，填空：13