2020-2021学年北师大版八年级下册数学期末试题含答案

2020-2021学年北师大新版八年级下册数学期末试题

一.选择题

1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

3.下列各式，从左到右变形是因式分解的是（）

A.a(a+2b)=a2+2abB.x-l=x(1-—)

X

C.x1+5x+4=x(x+5)+4D.4-m2=(2+m)(2-m}

4.如图，在□ABCD中，AE.LBC,垂足为E,AF±CD,垂足为E若AE：AF=2：3,

□ABC。的周长为10,则A3的长为（）

A.2B.2.5C.3D.3.5

5.如图，四边形A3CO的对角线AC,BD交于点O,则不能判断四边形ABC。是平行四边

形的是（）

A./ABD=/BDC,OA=OCB.ZABC=ZADC9AB=CD

C.ZABC=ZADC,AD//BCD.NABD=NBDC,ZBAD=ZDCB

6.将点A（2,-3）沿/轴向左平移3个单位长度后得到的点4'的坐标为（）

A.(-1,-6)B.(2,-6)C.(-1,-3)D.(5,-3)

7.如图，线段AB的长为10,点。在AB上，△AC。是边长为3的等边三角形，过点。作

与CD垂直的射线DP,过DP上一动点G（不与。重合）作矩形CDGH,记矩形CDGH

的对角线交点为。，连接08,则线段8。的最小值为（)

1

A.4B.5C.3MD.473

8.如图，RtZVIBC中，/C=90°,BC=3,AC=4,将AABC绕点8逆时针旋转得AA，

9.若顺次连接四边形A8C£＞各边中点所得的四边形是正方形，则四边形4BC。一定是（）

A.矩形

B.正方形

C.对角线互相垂直的四边形

D.对角线互相垂直且相等的四边形

10.若把分式等中的x与），都扩大3倍，则所得分式的值（）

3xy

A.缩小为原来的!B.缩小为原来的!

C.扩大为原来的3倍D.不变

11.若〃边形的内角和等于外角和的3倍，则边数〃为（）

A.n=6B.〃=7C.〃=8D.〃=9

12.已知：如图，。、E、尸分别是△ABC的三边的延长线上一点，且AB=BF,BC=CD,

2

AC=AE,SAABC=567W,贝的值是（）

2

A.15crn2B.20cm2C.30cm2D.35cnr

二.填空题

21

13.若分式的值为零，则1=.

x-l

14.已知x+y=8,xy=2,则/y+孙2=.

15.若三:4,则代数式的值是

y3x+2y

16.如图，在直角三角形ABC中，ZC=90°,/A=30°,AB=\O,点E、尸分别为AC、

AB的中点，则EF=

17.若一个菱形的周长为200cm,一条对角线长为60cm,则它的面积为.

18.如图，将平行四边形A8C。放置在平面直角坐标系X。)，中，。为坐标原点，若点A的

坐标是(5,0),点C的坐标是(1,3),则点8的坐标是.

三.解答题

19.分解因式：

(1)-3次+64匕-3户；

(2)9a2(x-y)+4b2(y-x).

20.先化简，再求值：X2-2X-3-(x+2-三)，其中x=4.

x-2x-22

3

21.如图，在。ABCD中，对角线AC、8。相交于点0,过点O的直线分别交4。、BC于

22.解方程:

⑴土房

^-+1.

(2)

x+13x+3

23.如图所示，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2,3),B(-6,0),C(-I,

0).

(1)请直接写出点A关于点。对称的点的坐标

(2)将△ABC绕坐标原点。逆时针旋转90°,得到△AB1G，画出图形，并直接写出

点A、Bi、Ci的坐标.

VA

24.某商场准备购进A,B两种书包，每个A种书包比8种书包的进价少20元，用700元

购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍，A种书包每个标价是90元，

B种书包每个标价是130元.请解答下列问题：

(1)48两种书包每个进价各是多少元？

(2)若该商场购进B种书包的个数比A种书包的2倍还多5个，且A种书包不少于18

个，购进4,8两种书包的总费用不超过5450元，则该商场有哪几种进货方案？

4

(3)该商场按(2)中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出5个书包赠送给某希

望小学，剩余的书包全部售出，其中两种书包共有4个样品，每种样品都打五折，商场

仍获利1370元.请直接写出赠送的书包和样品中，A种，B种书包各有几个？

25.如图，在菱形A8CZ)中，对角线AC,3。交于点O,过点A作AE_L3C于点E,延长

8C到点凡使得C/=BE,连接。兄

(1)求证：四边形是矩形；

(2)连接。E,若AB=13,OE=2V13>求AE的长.

26.中国古贤常说万物皆自然.而古希腊学者说万物皆数.小学我们就接触了自然数，在数

的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的自然数进行研究，比如奇数、偶数、

质数、合数等，今天我们来研究另一种特殊的自然数--“欢喜数”.

定义：对于一个各数位不为零的自然数，如果它正好等于各数位数字的和的整数倍，我

们就说这个自然数是一个“欢喜数”.

例如：24是一个“欢喜数”，因为24=4X(2+4),125就不是一个“欢喜数”因为1+2+5

=8,125不是8的整数倍.

(1)判断28和135是否是“欢喜数”？请说明理由；

(2)有一类“欢喜数”，它等于各数位数字之和的4倍，求所有这种“欢喜数”.

27.如图，在边长为a的正方形ABC。中，作N4CQ的平分线交AO于F,过尸作直线AC

的垂线交AC于尸，交CO的延长线于。，又过户作4。的平行线与直线CF交于点E,

连接。E,AE,PD,PB.

(1)求AC,。。的长；

(2)四边形。FPE是菱形吗？为什么？

(3)探究线段。Q,DP,E尸之间的数量关系，并证明探究结论；

(4)探究线段P8与AE之间的数量关系与位置关系，并证明探究结论.

5

四.填空题

28.若关于x的分式方程*+?=2。无解,则。的值为___________.

x-33-x

29.如图，在正方形ABC。外取一点E,连接AE,BE,DE.过点4作AE的垂线AP交。E

于点P.若AE=AP=1,PB=y[^,则正方形ABC。的面积为.

30.如图，已知四边形ABCZ)为正方形，A8=4&,点E为对角线AC上一动点，连接QE、

过点E作EELOE.交8c点F,以OE、EF为邻边作矩形OEFG,连接CG.

(1)求证：矩形DEFG是正方形；

(2)探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.

6

参考答案与试题解析

选择题

1.解：A、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；

B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

。、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

故选：A.

2.解：在所列代数式中，分式有2,—",共2个，

xa-x

故选：B.

3.解：A.从左边到右边变形是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；

等式的右边不是整式积的形式是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；

C.从左边到右边变形不是因式分解，故本选项不符合题意；

D.从左边到右边变形是因式分解，故本选项符合题意；

故选：D.

4.解：・・,四边形ABCO是平行四边形，

：.AB=CD,AD=BC,

.-.BC+CD=104-2=5,

根据平行四边形的面积公式，得BC：CD=AF：AE=3：2.

：.BC=3,CD=2,

：.AB=CD=2,

故选：A.

5.解：A、•:/ABD=NBDC,OA=OCf

又NA08=NC0。，

・・・/\AOB^/\COD,

:・DO=BO,

・・・四边形ABC。是平行四边形，故此选项不合题意；

B、ZABC=ZADC,A8=CO不能判断四边形ABC。是平行四边形，故此选项符合题意;

C、■:AD//BC,

：.ZABC+ZBAD=\S0Q,

7

・・,ZABC=ZADCf

：.ZADC^ZBAD=\SO°,

：.AB//CD,

・・.四边形ABC。是平行四边形，故此选项不合题意;

D、•:NABD=/BDC,NBAD=NDCB,

：./ADB=/CBD,

：.AD//CB,

*.*NABD=NBDC,

：.AB//CDf

・・・四边形ABC。是平行四边形，故此选项不合题意;

6.解：点4（2,-3）沿x轴向左平移3个单位长度后得到的点〃的坐标为（2-3,-3）,

即（-1,-3）,

故选：C.

7.解：连接A0,

・・,四边形CQG"是矩形，

:・CG=DH,OC=-CG,OD=』DH,

22

：.OC=OD,

・・・△AS是等边三角形，

：.AC=ADfZCAD=60°,

在△ACO和△AO。中，

8

fAC=AD

<AO=AO)

CO=DO

AAACO^AADO(SSS),

.../048=/CAO=3O°,

，点O一定在NCA8的平分线上运动，

二当08,A。时，0B的长度最小，

VZOAB=30°,乙4。8=90°,

：.OB=—AB^—X10=5,

22

即03的最小值为5.

故选：B.

8.解：根据旋转可知：

ZA'CB=NC=90°,A'C=AC=4,AB=A'B,

根据勾股定理，得AB={BC2+AC2={32+42=5,

.♦.A'B=AB=5,

：.AC=AB-BC=2,

在RtZ^AA'C'中，根据勾股定理，得

A4，2+AyCy2~V22+42~2V5-

故选：C.

9.解：，；E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AO的中点，

：.EH//FG//BD,EF//AC//HG,

四边形EFGH是平行四边形，

•.,四边形EFGH是正方形，即EFLFG,FE=FG,

：.AC±BD,AC=BD,

故选：D.

9

D

11.解：由题意得：180(〃-2)=360X3,

解得：n=8,

故选：C.

12.解：连接AZ),EB,FC,如图所示：

•：BC=CD,三角形中线等分三角形的面积，

••SAABC=S^ACD;

同理S/SDE=S&ADC，

S4CDE=2SAABC

同理可得：S.EF=2S®C，SABFD=2S^ABC，

4_

•"△EFZ尸54。西氏4£7什548。+5“8。=2s△ABC2SA/4BL2S”BC+%4BC=7S"BC；

2

故答案为：5AEFD=75AABC=7X5=35C/H

二.填空题

13.解：由题意得：x2-1=0,且x-1W0,

解得：x=-1,

故答案为：-1.

14.解：・.h+y=8,xy=2,

10

J.x2y+xy1=xy(x+y)

=2X8

=16.

故答案是：16.

15.解：V—

y3

・,•设1=21,y=3tf

.x-y2t-3t-t_1

x+2y2t+6t8t8

故答案为

o

16.解：在RtaABC中，ZC=90°,NA=30°,

：.BC=—Afi=5,

2

;点E、F分别为AC、AB的中点，

；.EF=Zc=2.5,

2

故答案为：2.5.

17.解：已知AC=60ca,菱形对角线互相垂直平分,

又V菱形ABCD周长为200cm,

.\AB=50cm,

,AB2-AO2=V502-302=40«n，

：.AC=2BO=SOcm,

二菱形的面积为ax60X80=2400(cw2).

故答案为：2400cm2.

18.解：•••四边形ABC。是平行四边形，

：.OA=BC,OA//BC,

11

VA(5,0),

：.OA=BC=5,

VC(1,3),

：.B(6,3),

故答案为(6,3).

三.解答题

19.解：(1)原式=-3(次-2ab+b2)=-3(a-/?)2；

(2)原式=(x-y)(3〃+2b)(3〃-2。).

20.解：原式=5H13生小岂!*.

x-2x-2

_(x-3)(x+l).x-2

x-2(x+3)(x-3)

_x+1

一商，

当X=[■时，

2

f+1

原式—

2+3

=3,

21.证明：♦.•oABCD的对角线AC,3。交于点0,

：.BO=DO,AD//BC,

:./EDO=NFBO,

在△£>OE和△8OF中，

'NED0=NFB0

，D0=B0>

ZE0D=ZF0B

.♦.△OOE丝△BO尸(ASA),

：.DE=BF.

22.解：(1)去分母得：x+2=4,

解得:x=2,

经检验x=2是增根，分式方程无解；

(2)去分母得：3x=2x+3x+3,

12

为军得：x="3，

2

经检验X=-微是分式方程的解.

23.解：（1）点A关于点。对称的点的坐标为（2,-3）；

故答案为：（2,-3）

（2）如图，△AW1G即为所求,

Ai(-3,-2),B\(0,-6),Ci(0,-1).

24.解：（1）设每个A种书包的进价为x元，则每个B种书包的进价为（x+20）元,

依题意得：一=2X黑

解得：x=70,

经检验，x=70是原方程的解，且符合题意,

/.A+20=90.

答：每个A种书包的进价为70元，每个B种书包的进价为90元.

（2）设购进4种书包机个，则购进8种书包（2m+5）个,

m>18

依题意得:

70m+90(2m+5)<545C，

解得：18＜根＜20.

又；，〃为整数,

，加可以为18,19,20,

，该商场有3种进货方案,

13

方案1：购进18个A种书包，41个8种书包；

方案2：购进19个A种书包，43个8种书包；

方案3：购进20个A种书包，45个B种书包.

(3)设该商场销售4,B两种书包获利卬元，则卬=(90-70)m+(130-90)(2w+5)

=100z„+200,

V100>0,

w随m的增大而增大，

当〃?=20时，卬取得最大值，即购进20个4种书包，45个8种书包.

设赠送的书包中A种书包有a个，销售的4种书包中有b个样品，则赠送的书包中B种

书包有(5-a)个，销售的8种书包中有(4-b)个样品，

依题意得：90(20-a-h)+90X0.5Z>+130[45-(5-a)-(4-Z?)]+130X0.5(4-ft)

-70X20-90X45=1370,

整理得：2a+b=4.

又丁。为非负整数，6为正整数，

.•.当”=0时，6=4,此时4-b=0不合题意，舍去；当a=l,h=2.

.'.5-a=4,4-b—2,

赠送的书包中A种书包有1个，B种书包有4个，样品中A种书包有2个，8种书包

有2个.

25.(1)证明：•.•四边形ABCQ是菱形，

.•.AZ)〃BC且4D=BC,

,:BE=CF,

：.BC=EF,

：.AD=EF,

'：AD//EF,

四边形AEFD是平行四边形，

VAE1BC,

AZAEF=9Q°,

四边形AEFD是矩形；

(2)解：：四边形ABC。是菱形，A3=13,

14

：.BC=AB=13ACA.BD,OA=OC=—AC,OB=OD=—BD,

922

VAE1BC,

AZAEC=90°,

/.OE=-^AC=OA=2y/12fAC=2OE=4\[\2,

J08=加2_皿2=仙2_(2卷)2=3后,

BD=203=6^/13，

•.♦菱形ABCD的面积=28。*4。=8。*4£

2

即6^义4任=13XA£,

解得：AE^12.

26.解：(1)•••2+8=10,28不是10的整数倍，

・•・根据“欢喜数”的概念，28不是“欢喜数”；

71+3+5=9,135=15X9是9的倍数，

,根据“欢喜数”的概念，135是“欢喜数”；

(2)①设这个数为一位数m且a为自然数，a#0,

根据题意可知«=4a,

又“W0,

,这种情况不存在；

②设这个数为两位数彘，。，匕为整数，

\0a+b=4(a+b),即匕=2a,

•••这种欢喜数为12,24,36,48；

③设这个数为三位数忘，a,b,c为整数，

.•.100a+10/c=4(a+b+c),

则96〃+66=3c,

又a,b,c为0到9的整数，且。力，

这种情况不存在；

④设这个数为四位数而方，小b,c,4为0到9的整数，且

...1000a+100A+10c+d=4(a+b+c+d),

15

：.996a+96b+6c=3d,

故没有。到9的整数a,b,c,"使等式成立，

由此类推，当这个数的位数不断增加时，更加无法满足等式，

,当一个欢喜数等于各数位数字之和的4倍时，这个数为：12或24或36或48.

22=,

27.解：⑴AC=^a+aV2a

■:CF平分4BCD,FDLCD,FPrAC,

：.FD=FP,又NF£)Q=/尸P4,ZDFQ=ZPFA,

：./\FDQ^/XFPA(ASA),

：.QD=AP,

•.•点P在正方形ABCD对角线AC上，

：.CD=CP=a,

：.QD=AP=AC-PC^(72-1)(2)-：FD=FP,CD=CP,

；.CF垂直平分DP,即。PJ_CF,

ED=EP,则ZEDP=ZEPD,

；FD=FP,

:"FDP=NFPD,

而EP//DF,

NEPD=NFDP,

：.NFPD=ZEPD,

：.NEDP=ZFPD,

：.DE//PF,ffijEP//DF,

.•.四边形DFPE是平行四边形，

EFLDP,

.•.四边形。尸PE是菱形；

(3)DP2+EF2=4QD2,理由是：

•••四边形。FPE是菱形，设DP与EF交于点G,

：.2DG=DP,2GF=EF,

VZACD=45°,FPLAC,

：./\PCQ为等腰直角三角形，

16

：.ZQ=45°,

可得AQDF为等腰直角三角形，

:.QD=DF,

在△OGb中，DG2+FG2=DF2,

・,•有(■1•〃「)2+2=Q£)2,整理得：DP2+EF2=4QD1；

(4)VZDFQ=45°,DE//FP,

：.ZEDF=45°,

又•：DE=DF=DQ=AP=(&-1)a,AD=AB,：.^ADE^BAP(SAS),

，AE=BP,ZEAD=ZABPf

延长8P,与AE交于点”，

•/NHPA=NPAB+NPBA=NPAB+NDAE,

ZPAB+ZDAE+ZHAP=90Q,

AZHPA+ZHAP=90°,

AZPHA=90°,BPBP±AEf

综上：BP与AE的关系是：垂直且相等.

28.解：与+争=2a,

x-33-x

去分母得：x-2a=2a(x-3),

整理得：(1-2〃)x=-4〃，

当1-2。=0时，方程无解，故4=0.5；

当1-2〃#0时，K=：4”「=3时,分式方程无解，则〃=1.5,

2a-l

17

则。的值为0.5或1.5.

故答案为：0.5或1.5.

29.解：如图，过点B作BFLAE,交AE的延长线于F,连接BC,

在RtzMEP中，AE=AP=1,

:.EP=&，

•；NEAB+NBAP=90°,ZPAD+ZBAP=90°,

:・/EAB=/PAD,

又・.・AE=AP,AB=ADf