新教材苏教版必修第二册第二课时两平面垂直

第二课时两平面垂直

新课程标准解读核心素养

借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面垂

逻辑推理、数学运算、直观想象

直的判定定理与性质定理

知识桅理BBSS”…

目情境导入

如图所示，笔记本电脑在打开的过程中，会给人以面面“夹角”变大的感觉.

［问题】你认为应该怎样刻画不同的面面“夹角”呢?

格新知初探

知识点一二面角的概念

1.半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两部分,其中的每一部分都叫作半平面.

2.二面角：一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角,这条

直线叫作二面角的棱，每个半平面叫作二面角的面.如图①，②中，棱为/或面为a,

B记作二面角或P-l-Q(P-AB-Q)(P,Q分别为在a,4内且不在棱上的点).

3.二面角的平面角

文字表述：以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的射线,这两

条射线所成的角叫作二面角的平面角.

图形语言：

符号语言：aCB=l,00,OAUa,OBU°,QAU,为二面角a-l-8的

平面角.

4.二面角大小的度量

二面角的大小可以用它的壬面鱼来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是

多少度.

二面角a的大小范围是0°WaW180。.平面角是直角的二面角叫作直二面角.

力想一想

1.二面角与平面几何中的角有什么区别？

提示：平面几何中的角是从一点出发的两条射线组成的图形；二面角是从一条直线出发

的两个半平面所组成的图形.

2.二面角的平面角的大小与其顶点在二面角棱上的位置是否有关？

提示：由等角定理可知二面角的平面角的大小与其顶点在二面角棱上的位置无关.

Q做一做

1.在二面角a-//的棱/上任选一点O,若/AOB是二面角a-//的平面角，则必须具

有的条件是（）

A.AOLBO,AOUa,BOU/3

B.AO1l,BO±l

C.AB±l,AOCa,BOU0

D.AO±l,BOLI,且AOUa,BOU0

答案：D

2.一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角

的大小关系为（）

A.相等B.互补

C.相等或互补D.不确定

解析：选D如图所示，在正方体ABCZX4i5CQi中，E,尸分别是CD,Glh的中点，

二面角O-AAi-E与二面角的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角

既不相等，也不互补，故选D.

知识点二平面与平面垂直的判定定理

1.平面垂直的定义：一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角,那么就说这两

个平面互相垂直;

2.平面垂直的画法：两个互相垂直的平面通常画成如图①，②所示.

此时，把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直，平面a与£垂直，记作a_L£.

3.平面与平面垂直的判定定理

文字语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直

图形语言

符号语言l.La,/U夕,a_L£

"想一想

一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面一定垂直.这种说法是否正确？

提示：正确.

。做一做

对于直线"％w和平面a,/J,能得出a_L£的一个条件是()

A.m//a,n〃BB.mXn,aC°=m,nUa

C.m//n,w_L£,mUaD.m//n,mJ_a,〃_!_£

解析：选C\'n-L/3,m//n,又wiUa,由面面垂直的判定定理得a_L£.

知识点三平面与平面垂直的性质定理

两个平面垂直,如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线,那么这

文字语言

条直线与另一个平面垂直

图形语言

符号语言a邛,aC0=l,aUa,遑』

••＞点一点・

对面面垂直的性质定理的再理解

(1)定理成立的条件有三个：

①两个平面互相垂直；

②直线在其中一个平面内；

③直线与两平面的交线垂直；

(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直；

(3)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直.

。想一想

如果两个平面垂直，那么垂直于交线的直线必垂直于其中一个平面.这种说法正确吗？

提示：不正确.当垂直于交线的直线不落在两个互相垂直平面其中之一时，该直线可能

与两个平面都不垂直.

。做一做

平面aJ_平面aC/3=l,mUa,mLl,贝1］()

A.m//PB.mUp

C.D.7"与/相交但不一定垂直

答案：C

..............必・卜蜀懿铜典例精析.........

oa求二面角

［例1］(链接教科书第180页例3)如图所示，平面ABC,ACLBC,AB=2,BC=

6，PB=y［6,求二面角P-BC-A的大小.

［解］：阴_1_平面ABC,BCU平面ABC,：.PA±BC.

X"/AC±BC,E4AAC=A,B4U平面E4C,ACU平面B4C,.*.BC_L平面阴C.

又：PCU平面RIC,：.BC1.PC.

又；BC_LAC.；.ZPCA为二面角P-BC-A的平面角.

在RtzXPBC中，；PB=*,BC=y/2,

：.PC=、PB2—BCK6—2=2.

在RtZSBC中，AC^AB'-BC2=^2,

A(J

，在Rt2\B4C中，cosZPCA=^;=^-,

ZPCA=45°,即二面角P-BC-A的大小为45°.

1.求空间角，如二面角、直线和平面所成的角等，都是找出或作出平面角，再把平面

角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值.

2.求二面角的大小，其步骤一般有三步：

(1)“作”：作出二面角的平面角；

(2)“证”：证明所作的角是二面角的平面角；

(3)“求”：解三角形，求出这个角.

［跟踪训练］

在正方体ABCD-A由Cid中，求平面AiBD和平面BBQiD所成的二面角的正弦值.

解：如图所示，设正方体棱长为。，连接4G交Bid于。1.设。为

2。中点，连接0。1,AiO,则OiOLBD

又AQ=AiB=pa,所以所以NAQOi是所求二面角的

平面角.

在RtZkAiOB中，因为AiB=@a,BO=^a,故AIO=7AR-BO?=净,

5

在RtZ\4OOi中A\Oi=2〃，

•/4八八AiOi

所以sinNAiOOi—.八一2.

AiOj

REa平面与平面垂直的判定

［例2］（链接教科书第181页例4）如图所示，在四面体A-BCS中，BA

知NBSC=90。，ZBSA=ZCSA=60°,又SA=SB=SC.求证：平面ABC

_L平面SBC.

［证明］法一（利用定义证明）：因为NBSA=NCSA=60°,SA=SB=

SC,

所以AASB和aASC是等边三角形,

A

则有S4=SB=SC=AB=AC,令其值为a,A

则△A3C和3c为共底边BC的等腰三角形./或、

取3c的中点D,如图所示，二力、'\c

连接AO,SD,则AD_LBC,SD-LBC,

所以乙M）S为二面角A-2C-S的平面角.

在RtABSC中，因为SB=SC=a,

所以SD等a,BD=^=^a.

正

在RtAABD中，AZ)=2a,

在中，因为SZA+AD=SA2,

所以NAOS=90°,即二面角A-BC-S为直二面角，

故平面48c_L平面SBC.

法二（利用判定定理）：因为SA=SB=SC,且NBSA=NCSA=60°,

所以SA=AB=AC,

所以点A在平面SBC上的射影为△S2C的外心.

因为△S2C为直角三角形，

所以点A在△SBC上的射影。为斜边BC的中点，

所以AZ)_L平面SBC.

又因为AOU平面ABC,所以平面ABC_L平面SBC.

证明面面垂直常用的方法

(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；

(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为

“线面垂直”；

(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面.

［跟踪训练］

如图所示，三棱柱ABC-AiBiCi中，侧棱垂直于底面，ZACB=90°,AAi=2AC,D是

棱的中点.

求证：平面平面BDC.

证明：由题设知BC_LCG,BC-LAC,CCiHAC=C,

；.BC_L平面ACCW

又,?OC1U平面ACC1A1,；.DCi±BC.

由题设知ZAiZ)Ci=ZADC=45°,

ZCDCi=90°,即OGJLDC.

又：。CCIBC=C,

.♦.DCJ平面BDC,

；OCiU平面BDCi,

：.平面BDGJ_平面BDC.

面面垂直的性质定理的应用

［例3］如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是边长为a的菱

形，且/r)AB=60。.侧面B4。为正三角形，其所在平面垂直于底面ABC，G

为边的中点.

(1)求证：平面以。；

(2)求证：ADLPB.

［证明］⑴连接PG(图略)，•・•△孙。为正三角形，且点G为AD边的中点，，尸GJ-AD.

又平面B4O_L平面ABCD且交线为A。，尸GU平面阴£),...尸3_1-平面48。。

■「BGU平面ABC。，.-.PG-LBG.

又四边形ABCD是菱形，且ND4B=60°,连接则是正三角形，二次；-14£）.

又AZ）riPG=G,且AOU平面R4O,PGU平面也。，

，BG_L平面PAD.

（2）由（1）可知3GJLAZ）,PG-LAD.

又BG,尸G为平面PBG内两条相交直线，，4D_L平面PBG.

:PBU平面PBG,：.AD-LPB.

1.在应用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，一般需作辅助线，基本

作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化

为线线垂直.

2.面面垂直的性质定理等价于：如果两个平面互相垂直，则过一个平面内一点垂直于

另一个平面的直线在这个平面内.

［跟踪训练］

如图所示，AE_L平面ABC,平面BCD_L平面ABC,BD=CD求证:

AE〃平面BCD.

证明：如图所示，取2C的中点跖连接DM,AM,

因为BD=CD,

所以

又因为平面BCD_L平面ABC,平面BCQn平面ABC=BC,

所以。平面ABC,

所以AE〃DA£

又因为AE&平面BCD,DMU平面BCD,

所以AE〃平面BCD.

冒随堂检测

1.已知/_La,则过/与a垂直的平面（）

A.有1个B.有2个