福建省宁德市高中同心顺联盟校2025届数学高二上期末学业质量监测试题含解析

福建省宁德市高中同心顺联盟校2025届数学高二上期末学业质量监测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知数列满足，令是数列的前n项积，，现给出下列四个结论：①；②为单调递增的等比数列；③当时，取得最大值；④当时，取得最大值其中所有正确结论的编号为（）A.②④ B.①③C.②③④ D.①③④2．已知直线与直线平行，则实数a的值为（）A.1 B.C.1或 D.3．平面上动点到点的距离与它到直线的距离之比为，则动点的轨迹是（）A.双曲线 B.抛物线C.椭圆 D.圆4．“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件5．已知向量，且，则（）A. B.C. D.6．设，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（）A.4 B.5C.4或5 D.5或67．在平行六面体中，点P在上，若，则（）A. B.C. D.8．下列命题中正确的是（）A.函数最小值为2.B.函数的最小值为2.C.函数的最小值为D.函数的最大值为9．已知圆：，点是直线：上的动点，过点引圆的两条切线、，其中、为切点，则直线经过定点（）A. B.C. D.10．已知，为双曲线的左，右顶点，点P在双曲线C上，为等腰三角形，且顶角为，则双曲线C的离心率为（）A. B.C.2 D.11．已知是两个数1，9的等比中项，则圆锥曲线的离心率为（）A.或 B.或C. D.12．已知椭圆的右焦点为，则正数的值是（）A.3 B.4C.9 D.21二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知正方体,点在底面内运动,且始终保持平面,设直线与底面所成的角为,则的最大值为______.14．已知数列的通项公式，则数列的前5项为______.15．已知椭圆的弦AB的中点为M，O为坐标原点，则直线AB的斜率与直线OM的斜率之积等于_________16．若圆与圆相交，则的取值范围是__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）等差数列的前n项和为，已知（1）求的通项公式；（2）若，求n的最小值18．（12分）如图，在三棱柱中，面ABC，，，D为BC的中点（1）求证：平面；（2）若F为中点，求与平面所成角的正弦值19．（12分）进入11月份，大学强基计划开始报名，某“五校联盟”统一对五校高三学生进行综合素质测试，在所有参加测试的学生中随机抽取了部分学生的成绩，得到如图2所示的成绩频率分布直方图：（1）估计五校学生综合素质成绩的平均值和中位数；(每组数据用该组的区间中点值表示)（2）某校决定从本校综合素质成绩排名前6名同学中，推荐3人参加强基计划考试，若已知6名同学中有4名理科生，2名文科生，试求这3人中含文科生的概率.20．（12分）已知直线：和：（1）若，求实数m的值；（2）若，求实数m的值21．（12分）已知等差数列满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：，，求数列的通项公式.22．（10分）在①，②，③这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答下列题目设首项为2的数列的前n项和为，前n项积为，且______（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前n项和为，令，求数列的前n项和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】求出，即可判断选项①正确；求出，即可选项②错误；求出，利用单调性即可判断选项③正确；求出，即可判断选项④错误，即得解.【详解】解：因为，①所以，，②①②得，，整理得，又，满足上式，所以，因为，所以数列为等差数列，公差为，所以，故①正确；，因为，故数列为等比数列，其中首项，公比为的等比数列，因为，，所以数列为递减的等比数列，故②错误；，因为为单调递增函数，所以当最大时，有最大值，因为，所以时，最大，即时，取得最大值，故③正确；设，由可得，，解得或，又因为，所以时，取得最大值，故④错误；故选：B2、A【解析】根据两直线平行的条件列方程，化简求得，检验后确定正确答案.【详解】由于直线与直线平行，所以，或，当时，两直线方程都为，即两直线重合，所以不符合题意.经检验可知符合题意.故选：A3、A【解析】设点，利用距离公式化简可得出点的轨迹方程，即可得出动点的轨迹图形.【详解】设点，由题意可得，化简可得，即，曲线为反比例函数图象，故动点的轨迹是双曲线.故选：A.4、D【解析】根据充分条件、必要条件的判定方法，结合不等式的性质，即可求解.【详解】由，可得，即，当时，，但的符号不确定，所以充分性不成立；反之当时，也不一定成立，所以必要性不成立，所以是的即不充分也不必要条件.故选：D.5、A【解析】利用空间向量共线的坐标表示即可求解.【详解】由题意可得，解得，所以.故选：A6、A【解析】结合等差数列的性质得到，解不等式组即可求出结果.【详解】由，即，解得，因为,故.故选：A.7、C【解析】利用空间向量基本定理，结合空间向量加法的法则进行求解即可.【详解】因为，，所以有，因此，故选：C8、D【解析】根据基本不等式知识对选项逐一判断【详解】对于A，时为负值，故A错误对于B，，而无解，无法取等，故B错误对于，当且仅当即时等号成立，故，D正确，C错误故选：D9、D【解析】根据圆的切线性质，结合圆的标准方程、圆与圆的位置关系进行求解即可.【详解】因为、是圆的两条切线，所以，因此点、在以为直径的圆上，因为点是直线：上的动点，所以设，点，因此的中点的横坐标为：，纵坐标为：，，因此以为直径的圆的标准方程为：，而圆：，得：，即为直线的方程，由，所以直线经过定点，故选：D【点睛】关键点睛：由圆的切线性质得到点、在以为直径的圆上，运用圆与圆的位置关系进行求解是解题的关键.10、A【解析】根据给定条件求出点P的坐标，再代入双曲线方程计算作答.【详解】由双曲线对称性不妨令点P在第一象限，过P作轴于B，如图，因为等腰三角形，且顶角为，则有，，有，于是得，即点，因此，，解得，所以双曲线C的离心率为.故选：A11、A【解析】根据题意可知，当时，根据椭圆离心率公式，即可求出结果；当时，根据双曲线离心率公式,即可求出结果.【详解】因为是两个数1，9的等比中项，所以，所以，当时，圆锥曲线，其离心率为；当时，圆锥曲线，其离心率为；综上，圆锥曲线的离心率为或.故选：A.12、A【解析】由直接可得.【详解】由题知，所以，因为，所以.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】画出立体图形,因为面面,在底面内运动,且始终保持平面,可得点在线段上运动,因为面面,直线与底面所成的角和直线与底面所成的角相等,即可求得答案.【详解】连接和,面面在底面内运动,且始终保持平面可得点在线段上运动,面面,直线与底面所成的角和直线与底面所成的角相等面直线与底面所成的角为:有图像可知:长是定值,当最短时,,即最大,即角最大设正方体的边长为,故故答案为:【点睛】本题考查了求线面角的最大值,解题是掌握线面角的定义和处理动点问题时,应画出图形,寻找几何关系,考查了分析能力和计算能力,属于难题.14、【解析】根据数列的通项公式可得答案.【详解】因为，所以数列的前5项为.故答案为：15、【解析】根据点是弦的中点，为坐标原点，利用点差法求解.【详解】设，且，则，（1），（2）得：，，.又，，.故答案为：16、【解析】根据圆心距小于两半径之和，大于两半径之差的绝对值列出不等式解出即可.【详解】圆的圆心为原点，半径为，圆，即的圆心为，半径为，由于两圆相交，故，即，解得，即的取值范围是，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）12【解析】（1）设的公差为d，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解；（2）利用等差数的求和公式，得到，结合的单调性，即可求解.【小问1详解】解：设的公差为d，因为，可得，解得，所以，即数列的通项公式为【小问2详解】解：由，可得，根据二次函数的性质且，可得单调递增，因为，所以当时，，故n的最小值为1218、（1）证明见解析（2）【解析】（1）连接交于点O，连接OD，通过三角形中位线证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【小问1详解】解法1：如图，连接交于点O，连接OD，因为在三棱柱中，四边形是平行四边形，所以O是的中点，因为D为BC的中点，所以在中，，因为平面，平面，所以平面平面解法2：因为在三棱柱中，面ABC，，所以BA，BC，两两垂直，故以B点为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系，因为，所以B（0,0,0），A（2,0,0），D（0,1,0），，，所以，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，∴，平面，所以平面；【小问2详解】设与平面所成角为，由(1)知平面法向量为，F为中点，∴，，∴即与平面所成角正弦值为.19、（1）平均值为74.6分，中位数为75分；（2）.【解析】(1)利用频率分布直方图平均数和中位数算法直接计算即可；(2)将学生编号，用枚举法求解即可.【小问1详解】依题意可知：∴综合素质成绩的平均值为74.6分.由图易知∵分数在50~60、60~70、70~80的频率分别为0.12、0.18、0.40，∴中位数在70~80之间，设为，则，解得，∴综合素质成绩的中位数为75分.【小问2详解】设这6名同学分别为，，，，1，2，其中设1，2为文科生，从6人中选出3人，所有的可能的结果为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种，其中含有文科学生的有，，，，，，，，，，，，，，，，共16种，∴含文科生的概率为.20、（1）2（2）或【解析】（1）易知两直线的斜率存在，根据，由斜率相等求解.（2）分和，根据，由直线的斜率之积为-1求解.【小问1详解】由直线的斜率存在，且为，则直线的斜率也存在，且为，因为，所以，解得或2，①当时，由此时直线，重合，②当时，，此时直线，平行，综上：若，则实数m的值为2【小问2详解】①当时，直线斜率为0，此时若必有，不可能.②当时，若必有，解得，由上知若，则实数m的值为或21、（1）；（2）.【解析】（1）由题设条件，结合等差数列通项公式求基本量d，进而写出通项公式.（2）由（1）得，应用累加法、错位相减法及等比数列前n项和公式求的通项公式.【小问1详解】令公差为d，由得：，解得.