专题11 尺规作图与几何证明-5年（2020-2024）中考1年模拟数学分项汇编（河南专用）

PAGE1专题11尺规作图与几何证明（解析版）1.（2024·河南·统考中考真题）如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点E．

（1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）．（2）证明（1）中得到的四边形是菱形【答案】（1）见解析（2）见解析【小问1详解】解：如图，

；【小问2详解】证明：∵，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵在中，是斜边上的中线，∴，∴平行四边形是菱形．2．（2023·河南·统考中考真题）如图，中，点D在边上，且．（1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．（2）若（1）中所作的角平分线与边交于点E，连接．求证：．【答案】（1）见解析（2）见解析【小问1详解】解：如图所示，即为所求，【小问2详解】证明：∵平分，∴，∵，，∴，∴．3.（2022·河南·统考中考真题）如图，反比例函数的图像经过点和点，点在点的下方，平分，交轴于点．（1）求反比例函数的表达式．（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）（3）线段与（2）中所作的垂直平分线相交于点，连接．求证：．【答案】（1）（2）图见解析部分（3）证明见解析【小问1详解】解：∵反比例函数的图像经过点，∴当时，，∴，∴反比例函数的表达式为：；【小问2详解】如图，直线即为所作；【小问3详解】证明：如图，∵直线是线段的垂直平分线，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴．4.（2021·河南·统考中考真题）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．小明：如图1，(1)分别在射线OA，OB上截取OC=OD，OE=OF(点C，E不重合)；(2)分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2，交点为P，垂足分别为点G，H；(3)作射线OP，射线即为∠AOB的平分线．

简述理由如下：

由作图知，∠PGO=∠PHO=90°，OG=OH，OP=OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，则∠POG=∠POH，即射线OP是∠AOB的平分线．

小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，(1)分别在射线OA，OB上截取OC=OD，OE=OF(点C，E不重合)；(2)连接DE，CF，交点为P；(3)作射线OP.射线OP即为∠AOB的平分线．任务：

(1)小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是______(填序号)．

①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL

(2)小军作图得到的射线0P是∠AOB的平分线吗？请判断并说明理由．

(3)如图3，已知∠AOB=60°，点E，F分别在射线OA，OB上，且OE=OF=3+1.点C，D分别为射线OA，OB上的动点，且OC=OD，连接DE，CF，交点为P，当∠CPE=30°时，直接写出线段OC的长．【答案】（1）⑤，（2）见详解；（3）2或2+3【解析】解：(1)如图1，由作图得，OC=OD，OE=OF，PG垂直平分CE，PH垂直平分DF，

∴∠PGO=∠PHO=90°，

∵OE−OC=OF−OD，

∴CE=DF，

∵CG=12CE，DH=12DF，

∴CG=DH，

∴OC+DG=OD+DH，

∴OG=OH，

∵OP=OP，

∴Rt△PGO≌Rt△PHO(HL)，

故答案为：⑤．

(2)射线OP是∠AOB的平分线，理由如下：

如图2，∵OC=OD，∠DOE=∠COF，OE=OF，

∴△DOE≌△COF(SAS)，

∴∠PEC=∠PFD，

∵∠CPE=∠CPF，CE=DF，

∴△CPE≌△DPF(AAS)，

∴PE=PF，

∵OE=OF，∠PEO=∠PFO，PE=PF，

∴△OPE≌△OPF(SAS)，

∴∠POE=∠POF，即∠POA=∠POB，

∴OP是∠AOB的平分线．

(3)如图3，OC<OE，连接OP，作PM⊥OA，则∠PMO=∠PME=90°，

由(2)得，OP平分∠AOB，∠PEC=∠PFD，

∴∠PEC+30°=∠PFD+30°，

∵∠AOB=60°，

∴∠POE=∠POF=12∠AOB=30°，

∵∠CPE=30°，

∴∠OCP=∠PEC+∠CPE=∠PEC+30°，∠OPC=∠PFD+∠POF=∠PFD+30°，

∴∠OCP=∠OPC=12(180°−∠POE)=12×(180°−30°)=75°，

∴OC=OP，∠OPE=75°+30°=105°，

∴∠OPM=90°−30°=60°，

∴∠MPE=105°−60°=45°，

∴∠MEP=90°−45°=45°，

∴MP=ME，

设MP=ME=m，则OM=MP⋅tan60°=3m，

由OE=3+1，得m+3m=3+1，解得m=1，

∴MP=ME=1，

∴OP=2MP=2，

∴OC=OP=2；

如图4，OC>OE，连接OP，作PM⊥OA，则∠PMO=∠PMC=90°，

同理可得，∠POE=∠POF=12∠AOB=30°，∠OEP=∠OPE=75°，∠OPM=60°一、单选题1．（2024·河南新乡·二模）如图，在中，，按如下步骤作图，①以点为圆心，小于的长为半径作弧交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点，过点作交于点，已知，，则的长为（

）A． B．3 C． D．【答案】B【详解】解：∵，，，∴，由作图知平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故选：．2．（2024·信阳·三模）如图，在的两边上分别截取、，使；再分别以点为圆心、长为半径作弧，两弧交于点，连接．若，四边形的面积为，则的长为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：根据作图方法，可得，∵，∴，∴四边形是菱形．∵，四边形的面积为，∴，解得（cm）．故选：．3．（2024·河南安阳·一模）如图，在矩形中，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点E，再分别以点C，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，，则的长为（

）A．5 B． C． D．【答案】B【详解】解：如图，连接，根据作图过程可知：是的平分线，，在和中，，，，在中，，，，，在中，，，，，解得：．故选：B．4．（2024·周口·二模）如图，直线，直线分别交，于点，，以点为圆心，长为半径画弧，若在弧上存在点使，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：如图所示，，由作法得：，，，，，，，故选：A．5．（2024·河南·三模）尺规作图，要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；、作线段的垂直平分线；、过直线上一点作这条直线的垂线；、作角平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图，则正确的配对是（

）A．图--，图--，图--Ⅰ，图-- B．图--，图--，图--，图--ⅠC．图--，图--，图--，图--Ⅰ D．图--，图--Ⅰ，图--，图--【答案】D【详解】解：图是作角平分线，对应Ⅳ图2是过直线外一点作这条直线的垂线，对应Ⅰ，图3是作线段的垂直平分线，对应Ⅱ，图4是过直线上一点作这条直线的垂线，对应Ⅲ，故选：D．6．（2024·河南周口·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点以原点O为圆心，以长为半径画弧，交x轴负半轴于点B，连接；分别以点A，B为圆心，以长为半径画弧，两弧在第二象限交于点C，连接；现将线段绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第91次旋转结束时，点C的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：如图：过点A作轴∵点∴在，∴∵已知点以原点O为圆心，以长为半径画弧，交x轴负半轴于点B，连接；分别以点A，B为圆心，以长为半径画弧，两弧在第二象限交于点C，∴是的垂直平分线，是等边三角形∴即∴即∵现将线段绕原点逆时针旋转，每次旋转，∴则第91次旋转结束时，到位置，过点作轴∴∵∴∵∴∴∵点在第一象限∴则第91次旋转结束时，点C的坐标为故选：B．7．（2024·平顶山·三模）如图，在中，，，点，分别是图中所作直线和射线与，的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：根据图中尺规作图可知，AC的垂直平分线交AB于D，BP平分∠ABC，∴，；选项A、B正确；∵，∴∠ACD=∠A=40°，∵，，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴，选项D错误；∴∠BPC=180°-∠CBP-∠BCP=115°，选项C正确；故选：D8．（2024·新郑·一模）如图，等腰三角形中，，按以下要求作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交于D,E两点；②分别以点D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点F；③作射线，交于点M；④分别以A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于G,H两点；⑤作直线，交于点N，连接．则的长为（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【详解】解：根据作图过程可知：AM平分∠BAC，GH是边AB的垂直平分线，∵AB＝AC＝6，AM平分∠BAC，∴AM是边BC上的中线，∴BM＝CM，∵GH是边AB的垂直平分线，∴AN＝BN，∴MN是△ABC的中位线，∴MNAC＝3．故选：B．9．（2024·南阳·二模）如图，线段是半圆O的直径。分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，，若，则的长是（

）A． B．4 C．6 D．【答案】A【详解】解：根据作图知CE垂直平分AC，∴，，∴，∴，即，∵线段AB是半圆O的直径，∴，在中，根据勾股定理得，，故选A．二、解答题10．（2024·河南商丘·二模）如图，已知反比例函数的图象经过点，在轴负半轴上有一点，连接．(1)求反比例函数解析式；(2)请用无刻度直尺和圆规，在轴负半轴上找一点，使得；(不写作法，保留痕迹)；(3)在(2)的条件下，求证：．【答案】(1)(2)见解析(3)证明见解析【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点∴∴，∴反比例函数解析式为，（2）解：如图所示，点即为所求；；（3）证明：由（2）知，，，，．11．（2024·河南信阳·一模）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于点．(1)求点的坐标和反比例函数的表达式．(2)请用无刻度的直尺和圆规，作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）(3)线段的垂直平分线交轴于点，求线段的长．【答案】(1)，(2)作图见解析(3)【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图像上，∴，∴，∵点在反比例函数的图像上，∴，解得：，∴反比例函数的表达式为，∴点的坐标为，反比例函数的表达式为；（2）解：如解图所示，直线即为所求；

（3）解：如图，过点作轴于点，连接，设点，由题意知：是的垂直平分线，∴，∵，∴，，∵，∴，解得：，∴，∴．12．（2024·河南驻马店·二模）如图，在中，，．(1)请用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）；(2)若（1）中所作的垂直平分线与边交于点D，连接，求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【详解】（1）如图，即为所作；（2）证明：∵，，∴，∵垂直平分，∴，∴，∴，∴．13．（2024·河南周口·三模）如图，为锐角三角形．(1)用无刻度的直尺和圆规在所在直线的右上方找一点D，使，且．（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，过点D作，交于点E．求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【详解】（1）解：如图，点D为所求．（2）证明：如图所示：∵，∴．又∵，∴四边形ABED是平行四边形，∴．14．（2024·河南新乡·二模）阅读材料：尺规作图是起源于古希腊的数学课题，是指用没有刻度的直尺和圆规作图．无刻度直尺在作图时只可用来画直线、射线或线段．请根据以上材料按要求进行作图．(1)如图1，在中，，请用无刻度直尺与圆规在边上作出一点，使得过点且与相切．（保留作图痕迹，不需说明作图步骤）(2)如图2，在正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，B，C，D是网格中的四个格点，且．作图：请在图2中仅用无刻度直尺作出一点O，使得过点且与相切于点D（保留作图痕迹，不需说明作图步骤）【答案】(1)见解析(2)见解析【详解】（1）解：图形如图1所示：（2）解：图形如图2所示．15．（2024·河南·三模）如图，在中，，O为线段上一点，以O为圆心、为半径的圆与相切于点B．(1)求的度数；(2)请用圆规和无刻度的直尺作的角平分线，交于点D；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图）(3)连接，判断是否是等边三角形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由．【答案】(1)(2)见解析(3)是等边三角形，理由见解析【详解】（1）解：如图，连接，∵线段与相切于点B，∴，且，∴，∴，∴；∴；（2）如图，（3）是等边三角形，∵，∴，又∵平分，且，，∴，∴是等边三角形．16．（2024·新密·二模）如图，中，．(1)请完成尺规作图：过点作，垂足为．（要求：不写做法，保留作图痕迹．）(2)在（1）的基础上，求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【详解】（1）如图所示，即为所求；（2）解：如图所示，依题意，，∴又．∴∵∴∴∴∴17．（2024·商丘·一模）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相交于点O，与相交于点N，连接(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）证明：四边形是矩形，，，，在和中，，，，四边形是平行四边形，，平行四边形是菱形；（2）解：四边形是菱形，，设长为，则，在中，即，解得：，．18．（2024·河南驻马店·三模）（1）如图，在所给正方形网格图中完成下列各题：

①画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的；②的面积=；（2）在上画出点，使最小；（3）如图，两个班的学生分别在、两处参加植树劳动，现要在道路、的交叉区域内设一个茶水供应点，使到两条道路的距离相等，且使，请你通过尺规作图找出这一点，（不写作法，保留作图痕迹）．【答案】（1）①见解析；；②（2）（3）【详解】（1）①如图所示；②（2）连接，交直线于点，则点即为所求点．

（3）如图所示：点即为所求．

19．（2024·河南开封·二模）如图，中，．

(1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：①作的平分线，交于点；②作的垂直平分线，垂足为点，交于点；(2)连接，求证：．【答案】(1)①见解析；②见解析(2)见解析【详解】（1）解：①如图所示，的平分线为所求；②如图所示，的垂直平分线为所求；

（2）证明：连接，

直线垂直平分，，，是等腰三角形，是的平分线，，且，是的垂直平分线，，．20．（2024·濮阳·三模）如图，在中，．(1)实践与操作：按照下列要求完成尺规作图，并标出相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法）①作的垂直平分线交于点，交于点；②在线段的延长线上截取线段，使，连接，，．(2)猜想与证明：试猜想四边形的形状，并进行证明．【答案】(1)见解析(2)四边形为菱形，证明见解析【详解】（1）解：按照要求，如图所示，即为所求作的图形．．（2）猜想：四边形为菱形．证明：为的垂直平分线，，，∴四边形为平行四边形，又，∴四边形为菱形．21．（2024·南阳·三模）如图，在中，．．(1)若以点为圆心的圆与边相切于点，请在图中作出点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，若该圆与边相交于点，连接，点为该圆上任意一点（不与点、点重合），连接、．当时，求证：．【答案】(1)图见解析(2)见解析【详解】（1）解：如图点即为所求，（2）如图，∵是的切线，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴为等边三角形，∴，∴，∴．22．（2024·安阳·二模）下面是小明同学设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ⊥l．作法：如图，①在直线l上取一点A，以点P为圆心，PA长为半径画弧，与直线l交于另一点B；②分别以A，B为圆心，PA长为半径在直线l下方画弧，两弧交于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ为所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接PA，PB，QA，QB．∵PA＝PB＝QA＝QB，∴四边形APBQ是菱形（填推理的依据）．∴PQ⊥AB（填推理的依据）．即PQ⊥l．【答案】（1）见解析；（2）四边相等的四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直【详解】（1）如图所示．（2）证明：连接PA，PB，QA，QB．∵PA＝PB＝QA＝QB，∴四边形APBQ是菱形（四边相等的四边形是菱形）（填推理的依据）．∴PQ⊥AB（菱形的对角线互相垂直）（填推理的依据）．即PQ⊥l．故答案为：四边相等的四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直．23．（2024·登封·三模）如图，在中，平分交于点．

(1)实践与操作：利用尺规作图，过点作的垂线，分别交，于点，；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）(2)猜想与证明：试猜想线段与的数量关系，并加以证明．【答案】(1)见解析；(2)，理由见解析．【详解】（1）如图，为所作；

（2），理由：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵平分交于点，∴，∴，∴，∵，在与中，，∴，∴，∴．24．（2024·河南鹤壁·二模）如图，，平分交于点E．(1)【实践与操作】过点B作的垂线，垂足为点O（要求尺规作图，保留痕迹，不写作法）；(2)【猜想与证明】设（1）中的垂线交于点F，连接，试猜想四边形的形状，并证明．【答案】(1)图见解析(2)四边形是菱形，理由见解析【详解】（1）如图，是所求作的垂线．（2）四边形是菱形，理由如下：平分，．又，而，，，∴四边形是平行四边形．，∴四边形是菱形．25．（2024·开封·一模）如图，是菱形的一条对角线，点B在射线上．

(1)请用尺规把这个菱形补充完整，（保留作图痕迹，不要求写作法）(2)若，求菱形的面积．【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求菱形，

（2）设与相交于点O，∵四边形为菱形，∴，∵，∴，∴，∴菱形的面积为．26．（2024·河南郑州·三模）矩形纸片中，，，点M在边上，且，将矩形纸片折叠，使点B与点M重合，折痕与，分别交于点E，F．(1)请用无刻度的直尺和圆规作出折痕；（保留作图痕迹，不写作法）；(2)求线段的长．【答案】(1)画图见解析(2)【详解】（1）解：连接，作线段的垂直平分线，分别交，于点E，F，连接，即为所求，如图：（2）