2021年中考一轮复习数学九年级《解直角三角形的应用》培优提升训练（附答案）

2021年九年级数学中考一轮复习《解直角三角形的应用》培优提升训练（附答案）

1.如图，在四边形ABC。中，/D4B=90°,AD//BC,BC=1AD,AC与3。交于点E,

2

AC1.BD,则tan/BAC的值是（）

2.如图，ZXABC中，AB=4C=10,tanA=2,BE_LAC于点E,。是线段BE上的一个动点,

3.如图，RtZ\ABC中，ZACB=90a,CD是43边上的中线，BC=6,CD=5,则NACO

的正切值是（）

4.如图，要测量一条河两岸相对的两点A,B之间的距离，我们可以在岸边取点C和力，

使点8,C,。共线且直线B。与AB垂直，测得NAC8=56.3°,NA£>B=45°,CD=

10W，则A8的长约为（）

（参考数据sin56.3°-0.8,cos56.3°«=0.6,tan56.3°«==1.5,sin45°%0.7,cos45°M）.7,

tan450=1）

5.如图，矩形草坪ABC。中，AD=Wm,AB=10A/5〃.现需要修一条由两个扇环构成的便

道HEFG,扇环的圆心分别是B、D.若便道的宽为\m,则这条便道的面积大约是（）

（精确到0」后）

7

C.10.5，/D.11.0/n

6.为测量如图所示的上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的数据（单位：米），则该坡道

倾斜角a的正切值是（）

A.AB.4C.D.-A-

4V17V17

7.如图，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离为。米,

此时梯子的倾斜角为75°,如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端

距地面的垂直距离NB为8米，梯子的倾斜角为45°,则这间房子的宽AB为（）

ACB

A.a+b米B.a-b米C.〃米D.a米

22

8.如图，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i=2：3,顶宽是3米，路基高是

4米，则路基的下底宽是（）

A.7米B.9米C.12米D.15米

9.如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶4处看乙楼楼顶B处仰角为

30°,则甲楼高度为（）

1573）米C.15扬eD.（36-IOA/3）米

10.如图，AB是垂直于水平面的建筑物.为测量48的高度，小红从建筑物底端8点出发,

沿水平方向行走了52米到达点C,然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处,DC=BC.在

点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰

角/4EF为27°（点A,B,C,D,E在同一平面内）.斜坡C£>的坡度（或坡比）i=l：

2.4,那么建筑物AB的高度约为（）

（参考数据sin27°心0.45,cos27°~0.89,tan27°g0.51）

A.65.8米B.71.8米C.73.8米D.119.8米

11.为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动.如

图，在一个坡度（或坡比）i=l：2.4的山坡A8上发现有一棵古树CD测得古树底端C

到山脚点A的距离AC=26米，在距山脚点4水平距离6米的点E处,测得古树顶端D

的仰角NA££>=48°（古树CO与山坡A8的剖面、点E在同一平面上,古树CO与直线

AE垂直），则古树8的高度约为（）

（参考数据:sin48°*=0.73,cos48°弋0.67,tan48°*=1.11）

A.17.0米B.21.9米C.23.3米D.33.3米

12.如图，在△ABC中，AB=4,BC=7,NB=60°，点。在边BC上，CD=3,连接AD如

果将△ACO沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E,那么点E到直线BD的距离

为.

13.如图，在RtaABC中，NACB=90°,sinA=±点C关于直线AB的对称点为。，点

5

E为边AC上不与点A,C重合的动点，过点。作BE的垂线交BC于点凡则坦的值

BE

14.人字梯为现代家庭常用的工具（如图）.若AB,AC的长都为2祖，当a=50°时，人字

梯顶端离地面的高度AQ是m.（结果精确到0.1m参考依据：sin50°七0.77,

cos50°^0.64,tan50°七1.19）

15.“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步

道上跑步.已知此步道外形近似于如图所示的Rt^ABC,其中NC=90°,A8与间

另有步道OE相连，。地在AB正中位置，E地与C地相距若tanNABC=3,Z

4

DEB=45°,小张某天沿A-CfE-8-0-4路线跑一圈，则他跑了km.

BE

16.如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°,A8的长为12米，则大厅两层之

间的高度为米.（结果保留两个有效数字）【参考数据；sin31°=0.515,cos31°

=0.857,tan3T=0.601】

17.如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至8,已知AB=500米，

则这名滑雪运动员的高度下降了米.（参考数据：sin34°g0.56,cos34°七0.83,

18.如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图.自动扶梯48的倾斜角为30°,在自动扶梯下

方地面C处测得扶梯顶端8的仰角为60°,A、C之间的距离为4〃?.则自动扶梯的垂直

高度80=m.（结果保留根号）

19.如图，为测量旗杆A8的高度，在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°,在

四楼点。处测得旗杆顶部的仰角为30°,点C与点B在同一水平线上.已知67）=96”,

CB

20.如图，灯塔A在测绘船的正北方向，灯塔B在测绘船的东北方向，测绘船向正东方向

航行20海里后，恰好在灯塔B的正南方向，此时测得灯塔A在测绘船北偏西63.5°的方

向上，则灯塔A,3间的距离为海里（结果保留整数）.（参考数据sin26.5。^0.45,

cos26.5°七0.90,tan26.5°g0.50,遍=2.24)

21.如图，某海防哨所。发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有•艘船向正东方

向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的8处，则此时这艘船与哨所的距离

08约为米.（精确到1米，参考数据：&F.414,A/3^1.732）

22.如图①，在RtZiABC中，以下是小亮探究丁二^小—之间关系的方法：

sinAsinB

；sinA=至，sin8=k

cc

・「一a八一b

sinAsinB

a—b

sinAsinB

根据你掌握的三角函数知识.在图②的锐角△ABC中，探究［Jt间

sinAsinBsinC

的关系，并写出探究过程.

bC

图①图②

23.阅读下列材料:

如图1,在AABC中，/A、NB、NC所对的边分别为。、b、c,可以得到:

证明：过点A作AOLBC,垂足为D

在RtZVIB。中，sinB=-^5.

C

^.AD—c*smB

同理：SAABC=1加inC

2

S/\ABC=NcsinA

2

（1）通过上述材料证明:

a=b=c

sinAsinBsinC

（2）运用（1）中的结论解决问题:

如图2,在△ABC中，ZB=15°,ZC=60°,AB=20料，求AC的长度.

（3）如图3,为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A、B、C三个测量点，在B

点测得A在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶到达C点，测得A在

北偏西45°方向上，根据以上信息，求A、B、C三点围成的三角形的面积.

（本题参考数值：sinl5°^0.3,sin120°以0.9,、历七1.4,结果取整数）

24.如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A-C-B

方可到达.当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到

景区B的笔直公路.请结合N4=45°,Zfi=30°,BC=100千米，加光1.4,次右1.7

等数据信息，解答下列问题：

(I)公路修建后，从A地到景区8旅游可以少走多少千米？

(2)为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每

天的工效比原计划增加25%,结果提前50天完成了施工任务.求施工队原计划每天修建

多少千米？

25.图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识

别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过.图②是两圆弧

翼展开时的截面图，扇形ABC和CEF是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，BC和

EF均垂直于地面，扇形的圆心角NABC=NDEF=28°,半径BA=ED=60。机，点A与

点。在同一水平线上，且它们之间的距离为10cm.

(1)求闸机通道的宽度，即BC与EF之间的距离(参考数据：sin28°七0.47,cos28°

~0.88,tan28°勺0.53）；

(2)经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍,

180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机

平均每分钟检票通过的人数.

图①图②地面

26.小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线08与底板的边缘线0A

所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）.侧面示意图为图②；使用时为了

散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点8、。、C在同一直线上，。4=08=24的,

（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线08'与水平线的夹角仍保持120°,

求点8'到AC的距离.（结果保留根号）

27.2019年12月23日，湖南省政府批准，全国“十三五”规划重大水利工程--邵阳资

水犬木塘水库，将于2020年开工建设，施工测绘中，饮水干渠需经过一座险峻的石山,

如图所示，AB,BC表示需铺设的干渠引水管道，经测量，A,B,C所处位置的海拔44|,

BBi，CCi分别为62机，200m,550%若管道AB与水平线AA的夹角为30°,管道BC

与水平线8历夹角为45°,求管道AB和BC的总长度（结果保留根号）.

28.位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之

某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度.如图所示，他们在

地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°,

然后沿例P方向前进16%到达点N处，测得点A的仰角为45°.测角仪的高度为1.6%

（1）求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1〃?.参考数据：sin22°七0.37,

cos220弋0.93,tan22°«=0.40,&七1.41）；

（2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6%请计算本次测量结果的误差，并提出一

条减小误差的合理化建议.

29.如图，为测量建筑物C。的高度，在A点测得建筑物顶部。点的仰角为22°,再向建

筑物CD前进30米到达3点，测得建筑物顶部。点的仰角为58°（A,B,C三点在一

条直线上），求建筑物CD的高度.（结果保留整数.参考数据：sin22°入0.37,cos22°

~0.93,tan220弋0.40,sin580弋0.85,cos58°g0.53,tan58°5M.60）

D

参考答案

1.解：,:ADHBC,ZDAB=90°,

・・・/4BC=1800-ZDAB=90°,NBAC+NE4Q=90°,

VAC±BD,

AZAED=90°,

AZADB+ZEAD=90°,

AZBAC=ZADB,

：.AABCsADAB,

・AB=BC

**DAAB，

•：BC=1AD,

2

：.AD=2BC,

：.AB1=BCXAD=BCX2BC=2BC2,

：.AB=y[2BC,

在RtZ\ABC中，tan/8AC=^="=返;

ABV2BC2

故选：C.

2.解：如图，作。H_LAB于H,CM_LAB于M.

AZA£B=90°,

,.,tan/l=^_=2,设4E=a,BE=2a,

AE

则有：100=（?+4a2,

Aa2=20,

.,.a=2，^或-2A/5（舍弃），

BE=2a=4\[^,

'：AB=AC,BELAC,CMLAB,

:.CM=BE=4席（等腰三角形两腰上的高相等），

,/NDBH=4ABE,NBHD=ZBEA,

.•山必£>84=也=也=返，

_BDAB5

；.DH=^BD,

5

/.CD+^-BD^CD+DH,

5

：.CD+DH云CM,

CD+

：.CD+^-BD的最小值为4代.

5

方法二：作CMJ_AB于例，交BE于点£>,则点。满足题意.通过三角形相似或三角函

数证得义导8。=。〃，从而得到CD+^BD=CM=4后.

55

故选:B.

3.解：；CD是A8边上的中线，

：.CD=AD,

：.ZA=ZACD,

VZACB=90°,BC=6,CD=5,

.•.A2=10,

；.AC=8,

/.tanZX=—

AC84

；.tanNACO的值3.

4

故选：D.

4.W：AB=xm,

在RtZVLBO中，・・・NAD8=45°,

.\AB=BD=xm9

在RtZXHBC中，；NACB=56.3°,且tanNACB=岖，

BC

BC=____"____=_____2_____七2x,

tan/ACBtan56.303

由BC+CD=BD得2V+10=x,

3

解得x=30,

.".AB的长约为30〃?，

故选：B.

5.解：•••四边形ABC。为矩形，

...△AO8为直角三角形，

又：4力=10,A8=10«,

ABD=VAD2+AB2=20,

又•.,cos/AOB=^=工，

BD2

AZADB=60°.

又矩形对角线互相平分且相等，便道的宽为\m,

所以每个扇环都是圆心角为30°,且外环半径为10.5,内环半径为9.5.

每个扇环的面积为30X10.52兀_30X9.52兀=旦£

3603603

...当TT取3.14时整条便道面积为反三X?=10.4666«10.5/M2.

3

便道面积约为10.5渥.

故选：C,

tana=里=旦=工

AB204

故选：A.

7.解：过N点作M4垂线，垂足点。，连接NM.

设梯子底端为。点，AB=x,且AB=N£)=x.

•••△8NC为等腰直角三角形，

.*.180°-45°-75°=60°

为等边三角形，梯子长度相同

■:/NCB=45°,

：・/DNC=45°,

，/MND=60°-45°=15°,

Acosl5°

MN

又・・・NMCA=75°,

・・・NAMC=15°,

.\cosl5o=她，

MC

故可得：工=幽.

MNCM

•.•△CNM为等边三角形，

：.NM=CM.

♦♦x—MA.—a.

CB

8.解：•.•腰的坡度为i=2：3,路基高是4米,

.•.DE=6米.

又；EF=AB=3.

.•.8=6+3+6=15米.

故选：D.

9.解：过点A作交BD于点、E,

在RtZ\ABE中，AE=30米，NBAE=30°,

.".BE=30Xtan300=10我（米），

：.AC=ED=BD-BE=（36-10愿）（米）.

...甲楼高为（36-1073）米.

故选：D.

10.解：过点E作EMLAB于点延长交8c于G,

•.•斜坡C£>的坡度（或坡比）i=l：2.4,BC=C£>=52米,

设DG=x,则CG=2Ax.

在RtACDG中，

,JDG\CCp^DC2,即x?+（2.4x）2=522,解得x=20,

.•.OG=20米，CG=48米，

A£G=20+0.8=20.8米，BG=52+48=100米.

；EM上AB,ABLBG,EG上BG,

...四边形EGBM是矩形,

.•.EM=BG=100米，BM=EG=20.8米.

在RtZXAEM中,

"：ZAEM=21°,

.•.AM=EM・tan27°2100X0.51=51米,

.•.AB=AM+BM=51+20.8=7L8米.

故选：B.

：空=1：2.4=2

AF12

.,.设CF=5k,AF=12fc,

AC=，仃2+AF2=13k=26,

k=2,

・・・Ar=24,CF=10,

・・・AE=6,

・・・M=6+24=30,

VZDEF=48°,

；.tan48。=m=变=1.11,

EF30

：.DF=33.3,

.••CC=33.3-10=23.3,

答：古树CD的高度约为23.3米,

12.解：如图，过点E作8c于凡

s

VBC=7,CD=3,

：.BD=BC-CD=4f

*：AB=4=BDfN8=60°,

・・・△ABO是等边三角形，

AZADB=60°,

：.ZADC=ZADE=\20°,

：.NEDH=60°,

,:EH上BC,

：.ZEHD=90°,

VDE=DC=3,

.PH—CQ.e。-3^3

・・EH—DE,sin60——

2_

.••E到直线BD的距离为另返,

_2

故答案为3返.

13.解：如图，设力尸交AB于M,CD交AB于N,BE交DF于J.

CE

VZACB=90°,

AB5

...可以假设BC=4A,AB=5k,则AC=3k,

VC,。关于AB对称，

:.CDLAB,CN=DN,

'：S^ABC=-XBCXAC=1-XABXCN,

22

：.CN=DN=^k,

5

.,.co=.2£t,

5

'：ZFCD+ZDCA=90°,NQCA+NA=90°,

：.ZDCF=NA,

；DFLBE,CD1.AB,

：.NBJM=NDNM=90°,

,/NBMJ=ZDMN,

；.ND=NABE,

：./\DCF^/\BAE,

24

•DF=DC=5=24

"BEBA_5iT25'

14.解：\'AB=AC=2m,ADVBC,

：.ZADC=90°,

：.AD^AC*sm500=2X0.77~1.5(m),

故答案为1.5.

15.解：过。点作。以LBC,

设EF=xkm,则DF=xkm,BF=-^-xkm,

3

在RtZ\BFD中，BD=VBF2+DF2=小姓

地在AB正中位置,

：.AB=2BD^^km,

3

；tan/ABC=3,

4

解得x=3,

则3c=8h〃，AC—6km,AB=\Gkm,

小张某天沿A-C-E-B-Q-M路线跑一圈，他跑了8+10+6=24(.km).

故答案为:24.

16.解：在RtZ\ABC中，

VZACB=90°,

.•.BC=AB・sin/A4C=12X0.515^6.2(米)，

答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米.

故答案为：6.2.

17.解：如图在RtZ\ABC中,

AC=AB・sin34°=500X0.56^280米，

.•.这名滑雪运动员的高度下降了280米.

故答案为：280.

18.解：VZBCD^ZBAC+ZABC,NBAC=30°,/BCO=60°,

ZABC=ZBCD-ZBAC=30°,

：.ZBAC=ZABC,

.•.BC=HC=4,

在RtZ\B£>C中，sin/BCC=世，

BC

.\sin60o=毁=返，

42

:.BD=2M(M,

故答案为：2^3-

19.解：作。E_LAB于E,如图所示：

则乙4£。=90°,四边形8CDE是矩形，

：.BE=CD=9.6mfZCDE=ZDEA=90°,

/.ZADC=900+30°=120°,

VZACB=60°,

AZACD=30°,

：.ZCAD=30°=ZACD9

：.AD=CD=9.6mf

在中，ZADE=30°,

/•AE=A/4D=4.8m,

2

JA8=AE+8E=4.8+9.6=14.4m；

20.解：由题意得，MN=20,/ANB=63.5°,NBMN=45°,NAMN=/BNM=90°,

；・BN=MN=20,

如图，过4作A从LBN于E,

则四边形AMNE是矩形，

：.AE=MN=20fEN=AM,

•・・AM=MN・tan26.5°=20X0.50=10,

：.BE=20-10=10,

.•.AB=、202+]02=10遥七22海里.

故答案为：22.

21.解：如图，设线段AB交y轴于C,

在直角△OAC中，ZACO=ZCAO=45°,则AC=OC.

：OA=400米,

：.OC=OA«cos450=400X券=200&（米）.

•:在直角△OBC中，NCOB=60°,。。=200企米,

・•・OS/20072=400^2^566（米）

~2

sinAsinBsinC

过A作A£>_L5C,BELAC,

在RtAAfiD中，sinB=^~,即AD=csinB,

C

在RtAADC中,sinC=-^-,即AD=bs\nCf

b

csinB=fesinC,即b=c,

sinBsinC

同理可得/_=1二，

sinAsinC

则a=b=c

sinAsinBsinC

23.解:（1）VAafesinC=-i^csinB,

22

Z?sinC=csinB,

・b=c：

sinBsinC

：同理得：/-=-.&、，

sinAsinC

•a—b—c

sinAsinBsinC

（2）由题意得：ZB=15°,ZC=60°,A8=20«,

•AB二AC叩2岫二AC

sinCsinBsin600sinl50

2

AAC^40X0.3=12；

（3）由题意得：NABC=90°-75°=15°,ZACB=90°-45°=45°,

ZA=180°-15°-45°=120°,

由—--=---=―J-得：----位---=——迄——,

sinAsinBsinCsinl200sinl50

AAC^6,

•••SzMBC=LcXBCXsin/4CB七工X6X18X0.7^38.

-22

24.解：（1）过点C作AB的垂线CD,垂足为。，

在直角△BC£>中，ABLCD,sin30°=型，BC=100千米，

BC

，CD=BC・sin30°=100XJL=50（千米），

2

BD=BC,ccs30°=100X—=5073（千米），

2

在直角△AC。中，A£）=C£）=50（千米），

AC=—皿—=50近（千米），

sin45°

；.A2=（50+50次）（千米），

...从A地到景区B旅游可以少走：4C+8C-4B=50&+100-（50+50我）=50+50&-

50次和35(千米).

答：从A地到景区B旅游可以少走35千米；

(2)设施工队原计划每天修建x千米，依题意有,

50+50«_50+50«=5。

~(1+25%)，

解得X=2L=0.54,

50

经检验x=0.54是原分式方程的解.

答：施工队原计划每天修建0.54千米.

25.解：(1)连接A。，并向两方延长，分别交BC,EF于M,N,

由点A,。在同一条水平线上，BC,EF均垂直于地面可知，MNLBC,MNLEF,

所以MN的长度就是BC与EF之间的距离，

同时，由两圆弧翼成轴对称可得，AM=DN,

在中，NAMB=90°,ZABM=28°,AB=60cm,

'：sinZABM=^~,

AB

.•.AM=AB・sin/ABM=60・sin28°仁60X0.47=28.2,

MN=AM+DN+AD=2AM+AD=282X2+10=66.4,

BC与EF之间