2022年二模几何压轴题

2022年二模几何压轴题1．如图1，在四边形中，，过点A作交边于点E，过点E作交边于点F，连接，过点C作交于点H，连接．(1)求证：；(2)如图2，若的延长线经过的中点M，求的值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由，可证明AB=AE，再根据证得∠BAH=∠AEF，∠ABC=∠FEC，进而得到EF=CF，再证明四边形AHCF是平行四边形得到AH=CF=EF，再利用SAS证明两三角形全等即可；（2）设CF=EF=AH=a，=k，证明△ABE∽△FEC得出AB=AE=ak，再证明△ABM≌△FGM(AAS)证得AB=GF=ak，则GE=ak+a，再证明△ABH∽△EGH得到即，解方程求出k值即可解答.（1）证明：∵，，∴∠AEB=∠BCD=∠ABC，∴AB=EA，∵，∴∠BAH=∠AEF，∠ABC=∠FEC，∴EF=CF，∵AE∥CD，CH∥AF，∴四边形AHCF是平行四边形，∴CF=AH，即AH=EF，在△ABH和△EAF中，，∴△ABH≌△EAF（SAS）；（2）解：延长BM、EF交于点G，∵AB∥EF，AE∥CD，∴∠ABE=∠FEC，∠AEB=∠FCE，∠ABM=∠FGM，∴△ABE∽△FEC，∴，由（1）知CF=EF=AH，AB=AE，设CF=EF=AH=a，=k，则AB=AE=ak，∵点M为AF的中点，∴AM=MF，在△ABM和△FGM中，，∴△ABM≌△FGM(AAS)，∴AB=GF=ak，则GE=ak+a，∵AB∥EF，∴∠ABH=∠EGH，∠BAH=∠GEH，∴△ABH∽△EGH，∴，∴即，解得：k=或k=（舍去），经检验，k=是所列方程的解，∴=k=.【点睛】本题考查平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解分式方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键.2．在正方形ABCD中，E为BC上一点，点M在AB上，点N在DC上，且，垂足为点F．(1)如图1，当点N与点C重合时，求证：；(2)将图1中的MN向上平移，使得F为DE的中点，此时MN与AC相交于点H，①依题意补全图2；②用等式表示线段MH、HF，FN之间的数量关系，并证明．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②，见解析【分析】（1）利用正方形的性质证明，，再证明，从而可得结论；（2）①根据语句依次画图即可；②如图，连接HB，HD，HE，证明，，，再证明，可得．结合，可得．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴，，∴．∵，垂足为点F，∴．∴．∴，∴，即．（2）①补全图形如图所示．②，证明：如图，连接HB，HD，HE，∵F为DE的中点，且，∴，∵四边形ABCD是正方形，∴．∵，，∴．∴，．∴．∴．∴．∴．∴．∴．∴．由（1）知，∴，∴．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的应用，线段的垂直平分线的性质，正方形的性质，熟练利用正方形的性质确定全等三角形是解本题的关键．3．如图，在中，，，在△ABC的外侧作直线，作点关于直线的对称点，连接交直线于点．(1)依题意补全图形；(2)连接，求证：；(3)过点作于点，用等式表示线段之间的数量关系，并证明．【答案】(1)作图见解析(2)证明见解析(3)BE+2EF=DE，理由见解析【分析】（1）作点关于直线的对称点，连接交直线于点即可；（2）根据垂直平分线的性质得出AD=AC，结合AB=AC，求出AD=AB，则可求得∠ABE=∠ADE，然后根据垂直平分线的性质和角的和差关系推出∠ADE=∠ACE，则可得出结论；（3）线段之间的数量关系为：BE+2EF=DE；作AG⊥BD于G，根据等腰三角形的性质推出BE+2GE=DE，然后利用“AAS”证明△AGE≌△AFE，得出GE=GF，则可得出结论．(1)解：如图，(2)证明：如图，由题意得：AP是CD的垂直平分线，∴AD=AC，又∵AB=AC，∴AD=AB，∴∠ABE=∠ADE，∵AP是CD的垂直平分线，∴CE=DE，DA=CA，∴∠CDE=∠DCE，∠CDA=∠DCA，∴∠CDE∠CDA=∠DCE∠DCA，即∠ADE=∠ACE，∴∠ACE=∠ABE；(3)线段之间的数量关系为：BE+2EF=DE，理由如下：如图：作AG⊥BD于G，∵由（2）得AB=AD，∴GD=GB，∴DEGE=BE+EG，∴BE+2GE=DE，由（2）得ED=EC，又∵EP是CD的垂直平分线，∴∠DEP=∠CEP（三线合一），∵AG⊥ED，AF⊥EC，∴AG=AF，∴△AGE≌△AFE（AAS），∴GE=GF，∴BE+2EF=DE．【点睛】本题考查了作对称图形，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，把EF转化为GE．4．如图，在△ABC中，，点D为BC边中点，过点D作DE⊥BC交AC于E，连接BE并延长使，连接FC，G为BC上一点，过G作GH⊥BF于点H，作GM⊥AC于点M．(1)依题意补全图形；(2)求证：；(3)判断线段HG、GM、FC之间的数量关系，并证明．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)，证明见解析【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）根据垂直平分线的性质可得BE=CE，证明△ABE≌△FCE()即可得证；（3）过点G作GN⊥AB于点N，交BF于点P，证明四边形ANGM是矩形，△NBP≌△HGP()，可得AB=AN＋NB=GM＋HG，由（2）可得，△ABE≌△FCE，AB=FC，即可得FC=GM＋HG．（1）补全图形，如图，（2）∵点P为BC的中点∴BD=CD∵DE⊥BC∴DE是线段BC的垂直平分线∴BE=CE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）在△ABE和△FCE中∴△ABE≌△FCE()∴∠ABE=∠FCE（3）FC=GM+HG,理由如下：如图，过点G作GN⊥AB于点N，交BF于点P∵GM⊥AC,GN⊥AB，∴∠GMA=∠GNA=∠GNB=90°，∵∠BAC=90°，∴∠GMA=∠BAC=∠GNA=90°，∴四边形ANGM是矩形，∴GMAN,GM=AN，∴∠NGB=∠ACB，∵由（2）可得，BE=CE，∴∠EBC=∠ACB，∴∠NGB=∠EBC，∴BP=GP，GH⊥BF，∴∠PHG=90°=∠GNB，在△NBP和△HGP中∴△NBP≌△HGP()，∴NB=HG，∵GM=AN，∴AB=AN＋NB=GM＋HG，由（2）可得，△ABE≌△FCE，∴AB=FC，∴FC=GM＋HG．【点睛】本题考查了画垂线，全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．5．在中，，D是的中点，E为边上一动点（不与点A，C重合），连接，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，过点F作于点H，交射线于点G．(1)如图1，当时，比较与的大小；用等式表示线段与的数量关系，并证明；(2)如图2，当时，依题意补全图2，用等式表示线段之间的数量关系．【答案】(1)，；证明见解析(2)图见解析，【分析】（1）在线段上取点P，使得，连接，由四边形内角和360°及，，得到，再证明，得到．（2）依据题意补全图，在AE延长线上取一点P，使得AE=EP，连接BP，按照（1）中的方法证明，再运用勾股定理及中位线性质得到，．(1)解：，，理由如下：证明：如图，在线段上取点P，使得，连接．∵D是中点，，∴．∴．∵线段绕点B逆时针旋转得到线段，∴，．在四边形中，，∴．∵，∴．∵，∴．∵，，∴，∵，∴，∴．∴．∴．∵，∴，∴．(2)解：补全图形，如图．，理由如下：证明：如图，在AE延长线上取一点P，使得AE=EP，连接BP，∵线段绕点B逆时针旋转得到线段，∴，．又∵，，∴，∴．在四边形中，，，∴．∵，∴．∵D是中点，，∴，∴，∴．在与中，∵，∴，∴，∵，∴，即．∵，∴．∵D是中点，，∴，∵，，∴，即．【点睛】本题考查了中位线性质，勾股定理以及全等三角形的证明，其中构造中位线从而证明相关三角形全等是解题的关键．6．在中，，CD是AB边的中线，于E，连接CD，点P在射线CB上（与B，C不重合）(1)如果①如图1，DE与BE之间的数量关系是______②如图2，点P在线段CB上，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论．(2)如图3，若点P在线段CB的延长线上，且，连接DP，将线段DP绕点逆时针旋转得到线段DF，连接BF，请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）．【答案】(1)①DE=BE

②CP=BF(2)BFBP=2DEtanα【分析】(1)①利用60°的角的正切值计算即可；②利用旋转的性质,直角三角形的性质,证明△CDP≌△BDF即可；(2)利用旋转的性质,直角三角形的性质,证明△CDP≌△BDF即可．(1)①DE与BE之间的数量关系是DE=BE．理由如下：如图，∵，，，∴∠B=60°，∴tan60°=，∴DE与BE之间的数量关系是DE=BE，故答案为：DE=BE．②CP、BF之间的数量关系是CP=BF．理由如下：∵，，CD是AB边的中线，，∴CD=AD=DB，∠B=60°，∴△CDB是等边三角形，∴∠CDB=60°，根据旋转的性质，得∠PDF=60°，DP=DF，∵∠CDB∠PDB=∠PDF∠PDB，∴∠CDP=∠BDF，∵CD=BD，DP=DF，∴△CDP≌△BDF，∴CP=BF．(2)DE、BF、BP三者的数量关系是BFBP=2DEtanα．理由如下：∵，，CD是AB边的中线，，∴CD=AD=DB，∠CDB=2α，根据旋转的性质，得∠PDF=2α，DP=DF，∴2α+∠PDB=2α+∠PDB，故∠CDB+∠PDB=∠PDF+∠PDB，∴∠CDP=∠BDF，∵CD=BD，DP=DF，∴△CDP≌△BDF，∴CP=BF，∴BF=BC+BP，∵CD=DB，，，∴BC=2CE=2BE，DE∥AC，∴∠EDB=α，∴tanα=，即BE=DEtanα，∴BC=2BE=2DEtanα，∴BFBP=2DEtanα．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形，特殊角的三角函数值，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握直径上全等的判定和性质，灵活运用锐角三角函数是解题的关键．7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC中点，连接AD．点M在线段AD上（不与点A，D重合），连接MB，点E在CA的延长线上且ME＝MB，连接EB．(1)比较∠ABM与∠AEM的大小，并证明；(2)用等式表示线段AM，AB，AE之间的数量关系，并证明．【答案】(1)，证明见解析；(2)AB=AM+AE，证明见解析．【分析】（1）连接CM，由AB＝AC，D是BC中点得AD垂直平分线段CD，，从而有BM=CM=ME，于是得，，即可得；（2）AB=AM+AE，证明见解析，理由如下：如下图2，在线段AC上取一点G，使得AG=AM，连接MG，AB＝AC，D是BC中点，∠BAC＝120°得，进而证明是等边三角形，得AG=AM=MG，从而证明，即可证明AB=AM+AE，(1)解：，理由如下：如下图1，连接CM，AB＝AC，D是BC中点，AD垂直平分线段CD，即，BM=CM，ME＝MB，BM=CM=ME，，，，；(2)解：AB=AM+AE，证明见解析，理由如下：如下图2，在线段AC上取一点G，使得AG=AM，连接MG，AB＝AC，D是BC中点，∠BAC＝120°，，AG=AM，是等边三角形，AG=AM=MG，，，在和中，，，EG=AE+AG，AG=AM，AB=AM+AE．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定及性质、等边三角形的判定及性质以及全等三角形的判定及性质，利用旋转思想作出手拉手全等三角形是解题的关键．8．如图，在等边中，点D在BA的延长线上，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B重合），将线段PD绕点P逆时针旋转60°得到线段PE，连接BE和DE．(1)依据题意，补全图形；(2)比较与的大小，并证明；(3)用等式表示线段BE、BP与BD之间的数量关系，并证明．【答案】(1)补图见解析(2)，证明见解析(3)，证明见解析【分析】（1）根据要求补全图形即可；（2）由题意知，是等边三角形，则，，由三角形外角的定义与性质可知，由，可知，进而可得；（3）如图2，在上找一点使，连接、，由（2）可知，易证，则，，由，可求，则是等边三角形，，根据，可得．（1）解：由题意作图1，如下：（2）解：．证明：由题意知，是等边三角形，∴，∴，∴，∵，∴，∴．（3）解：．证明：如图2，在上找一点使，连接、，由（2）可知，在和中，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∴线段BE、BP与BD之间的数量关系为．【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的定义与性质等知识．解题的关键在于熟练掌握等边三角形的性质与判定，找出角度、线段的数量关系．9．已知：如图，，线段CD与AB相交于点O，以点A为中心，将射线AD绕点A逆时针旋转交线段CD于点H．(1)若，求证：；(2)请你直接用等式表示出线段CD，AD，BD之间的数量关系（用含的式子表示）．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）证明，则，证明是等边三角形，则，由此可证；（2）过点作于，由等腰三角形三线合一可知，，在中，利用三角函数用表示，从而表示出，结合即可得，，之间的数量关系．（1）证明：，，即．，，，即．在与中，，．，，又，是等边三角形，，又，．（2）解：，理由如下：过点作于，，，．，．又，，．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角函数的应用，解决本题的关键是利用三角函数建立线段之间的数量关系．10．在△ABC中，AB=AC，过点C作射线CB′，使∠ACB′=∠ACB（点B′与点B在直线AC的异侧）点D是射线CB′上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°．(1)如图1，当点E与点C重合时，AD与的位置关系是______，若，则CD的长为______；（用含a的式子表示）(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接DE．①用等式表示与之间的数量关系，并证明；②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明．【答案】(1)AD⊥CB′；；(2)①∠BAC=2∠DAE，理由见解析；②BE=CD+DE，理由见解析【分析】（1）先证明∠ADC=90°，再过点A作AF⊥BC于点F，根据角平分线的性质，证明△ADC≌△AFC(HL)，即可求解；（2）①∠ACB′=∠ACB=α=∠B，利用三角形内角和定理得到α=90°∠BAC，再由∠DAE+∠ACD=90°，推出∠ACD=90°∠DAE=α，进一步计算即可求解；②在BC上截取BG=CD，先后证明△ABG≌△ACD(SAS)，△GAE≌△DAE(SAS)，即可求解．（1）解：∵点E与点C重合，且∠DAE+∠ACD=90°，∴∠ADC=90°，∴AD⊥CB′；过点A作AF⊥BC于点F，∵AB=AC，∴CF=BF=BC=，∵∠ACB′=∠ACB，AF⊥BC，AD⊥CB′，∴AF=AD，∴△ADC≌△AFC(HL)，∴CD=CF=，故答案为：AD⊥CB′；；（2）解：①∠BAC=2∠DAE，理由如下：设∠ACB′=∠ACB=α=∠B，∴∠ACB+∠B=180°∠BAC，即α=90°∠BAC，∵∠DAE+∠ACD=90°，∴∠ACD=90°∠DAE=α，∴90°∠BAC=90°∠DAE，∴∠BAC=2∠DAE；②BE=CD+DE，理由如下：在BC上截取BG=CD，在△ABG和△ACD中，，∴△ABG≌△ACD(SAS)，∴AG=AD，∠BAG=∠CAD，∵∠BAC=∠BAG+∠GAC，∠GAD=∠CAD+∠GAC，∴∠BAC=∠GAD，∵∠BAC=2∠DAE，∴∠GAD=2∠DAE，∴∠GAE=∠DAE，在△GAE和△DAE中，，∴△GAE≌△DAE(SAS)，∴GE=DE，∴BE=BG+GC=CD+DE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，作出合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键．11．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，过点C作CE⊥AD，交AD于点E，交AB于点F，作点E关于直线AC的对称点G，连接AG和GC，过点B作BM⊥GC交GC的延长线于点M．(1)①根据题意，补全图形；②比较∠BCF与∠BCM的大小，并证明．(2)过点B作BN⊥CF交CF的延长线于点N，用等式表示线段AG，EN与BM的数量关系，并证明．【答案】(1)∠BCF=BCM，见解析；(2)【分析】（1）①根据轴对称的性质及垂线的定义补图即可；②利用余角的定义解答；（2）过点B作BN⊥CF交CF的延长线于点N，连接DN得到DN=BD=CD，证明△BCN≌△BCM（HL），推出CM=CN=2EN，由轴对称得AG=AE，∠CAG=∠CAE，再证△AEC∽△CMB，得到，即，求出．（1）①如图，②∵∠ACB=90°，∴∠ACG+∠BCM=∠ACE+∠DCM=90°，∵点G与点E对称，∴∠ACE=∠ACG，∴∠BCF=BCM；（2）如图，过点B作BN⊥CF交CF的延长线于点N，连接DN，∵CN⊥BN，点D为BC的中点，∴DN=CD=BD，∵CE⊥AD，∴CE=NE，∵∠BCF=BCM，BN⊥CN，BM⊥CM，∴BN=BM，∵BC=BC，∴△BCN≌△BCM（HL），∴CM=CN=2EN，由轴对称得AG=AE，∠CAG=∠CAE，∵∠ACG+∠BCM=∠ACG+∠CAE=90°，∴∠CAE=∠BCM，∵∠AEC=∠BMC，∴△AEC∽△CMB，∴，即，∴．【点睛】此题考查了轴对称作图，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线性质，熟记各知识点并应用是解题的关键．12．如图，在中，，，P，D为射线AB上两点（点D在点P的左侧），且，连接CP．以P为中心，将线段PD逆时针旋转得线段PE．(1)如图1，当四边形ACPE是平行四边形时，画出图形，并直接写出n的值；(2)当时，M为线段AE的中点，连接PM．①在图2中依题意补全图形；②用等式表示线段CP与PM之间的数量关系，并证明．【答案】(1)画图见解析,的值为(2)①画图见解析；②用等式表示线段与之间的数量关系，证明见解析.【分析】（1）根据题意画出图形，根据平行四边形的性质即可求得的值；（2）①根据题意补全图形，延长至点,使,连接、交于点，证明四边形是平行四边形，，进而可得,即有垂直平分，根据，即可求解．（1）当四边形是平行四边形时,画出图形,如图在中,四边形是平行四边形，即的值为45（2）①当时,为线段的中点,在图2中依题意补全图形如下:②用等式表示线段与之间的数量关系,证明如下:延长至点,使,连接、交于点,如图，为线段的中点，四边形是平行四边形，，，而，，，，，在和中，，，，，,即有垂直平分，，而，【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，三角形全等的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．13．已知AB=BC，∠ABC=90°，直线l是过点B的一条动直线（不与直线AB，BC重合），分别过点A，C作直线l的垂线，垂足为D，E．(1)如图1，当45°＜∠ABD＜90°时，①求证：CE+DE=AD；②连接AE，过点D作DH⊥AE于H，过点A作AF∥BC交DH的延长线于点F．依题意补全图形，用等式表示线段DF，BE，DE的数量关系，并证明；(2)在直线l运动的过程中，若DE的最大值为3，直接写出AB的长．【答案】(1)①见解析；②补全图形见解析；线段DF，BE，DE的数量关系为．证明见解析；(2)【分析】（1）①根据ASA证明△ABD≌△BCE，推出AD=BE，BD=CE，由此得到．

②利用同角的余角相等推出∠ABD=∠DAF．利用三角形外角性质推出∠HED=∠ADF．进而证明△ADF≌△BEA．得到DF=AE．利用勾股定理证得，由此得到．

（2）当直线l在∠ABC外部时，由（1）知△ABD≌△BCE．得到DE=DB+BE=DB+AD，设AD=x，则BE=x，DB=DEBE=3x，推出AB2=，根据函数的性质解答(1)①证明：∵∠ABC=90°，∴∠ABD+∠CBD=90°．∵CE⊥l，∴∠CEB=90°．∴∠CBD+∠C=90°．∴∠ABD=∠C．

∵AD⊥l，∴∠ADB=90°=∠CEB．∵AB=BC，∴△ABD≌△BCE．∴AD=BE，BD=CE．∵，∴．