第5讲方程与一元一次方程

第5讲方程与一元一次方程方程与一元一次方程是初中数学六年级下学期第2章第1节和第2节的内容．在预习阶段，本讲主要讲解方程和一元一次方程的相关概念，方程的解的检验，一元一次方程的解法及一元一次方程的简单应用．重点在于理解一元一次方程的概念，熟练掌握一元一次方程的解法，为后续重点学习一元一次方程的应用做好准备．模块一：方程与方程的解知识精讲方程及其相关概念（1）未知数：用字母x、y…等表示所要求的未知的数量，这些字母称为未知数；（2）方程：含有未知数的等式叫做方程；（3）元：在方程中，所含的未知数又称为元；（4）列方程：为了求得未知数，在未知数和已知数之间建立一种等量关系式，就是列方程；（5）项：在方程中，被“+”、“”号隔开的每一部分（包括这部分前面的“+”、“”号在内）称为一项；如在方程和中，x、2.5、、都是方程中的一项；（6）系数：在一项中，数字或者表示已知数的字母因数叫做未知数的系数；如x的系数为1，的系数为；（7）次数：在一项中，所含有的未知数的指数和称为这一项的次数；如x、的次数都是1；（8）常数项：不含未知数的项称为常数项；如2.5，．方程的解如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等，那么这个未知数的值叫做方程的解．例题解析例1.判断下列各式，哪些是方程？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．【难度】★【答案】（1）、（3）、（4）、（6）、（7）．【解析】含有未知数的等式叫做方程．故（1）是；（2）不含有未知数，不是；（3）是；（4）是；（5）不是等式，不是；（6）是；（7）是；（8）π不是未知数，不是．【总结】考查方程的概念．例2.（1）方程中，项的系数是______，次数是______；（2）方程中，项的次数是______，常数项是______．【难度】★【答案】（1）、1（2）2、6．【解析】（1）在一项中，数字或者表示已知数的字母因数叫做未知数的系数；（2）在一项中，所含有的未知数的指数和称为这一项的次数．【总结】考查方程的系数及次数的概念．例3.列方程：（1）x的与3的和为5；（2）m的相反数与2的差为2；（3）a的三次方与b的平方的和为10；（4）x、y的积减去19的差的一半为．【难度】★【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】根据题意即可列出方程．【总结】考查列方程的运用．例4.检验是不是方程的解．【难度】★【答案】是．【解析】当时，左边=16，右边=16，左=右，所以是方程的解．【总结】本题主要考查方程的解的概念．例5.在下列问题中，引入未知数，列出方程：（1）某数的3倍与的和等于91，求这个数；（2）一个数与它的一半的和为，求这个数；（3）长方形的长比宽多4厘米，长方形的周长是30厘米，求长方形的长．【难度】★★【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）设这个数为x，则；（2）设这个数为x，则；（3）设长为x，则．【总结】本题主要考查列方程的运用，注意本题不需要解方程．例6.检验、1是不是方程的解．【难度】★★【答案】均不是．【解析】当时，，所以不是方程的解；当时，，所以不是方程的解．【总结】考查方程的解的概念及判断．例7.根据条件，引入未知数列方程：学校开学安排宿舍时，如果每间宿舍安排住4人，将会空出5间宿舍；如果每间宿舍安排住3人，就有100人没有床位，那么在学校住宿的学生有多少人？【难度】★★【答案】．【解析】设有x个学生，则根据题意，可列方程：．例8.根据下列条件列出方程：（1）50千克含糖5%的糖水，现在要把它的浓度提高到含糖15%，需加糖x千克；商店对某种商品调价，按原价的8折出售，此时商品的利润率是15%，此商品的原价为300元，商品的进价为x元．【难度】★★★【答案】（1）；（2）．【解析】（1）原来的糖为，现在的糖为(2.5+x)g，现在溶液的重量为（50+x）g，所以可列方程：；（2）因为，所以可列方程：．【总结】本题主要考查根据题意列方程，注意找到等量关系．例9.试写出一个方程使它的解分别是：（1）；（2）或．思考：满足条件的方程是唯一的吗？【难度】★★★【答案】（1）等；（2）等．【解析】根据方程的解去列方程，可以随意组合，只要等式成立就可以．【总结】主要考查对方程的解的理解及运用．例10.引入未知数，列出方程：如图，足球上的黑色皮都是五边形的，白色皮都是六边形的，白色皮共有20块，则有多少块黑色皮？【难度】★★★【答案】12【解析】设有x块黑色皮，因为每块白色皮上都有3边是与黑色皮公共的边，所以共有20×3=60条边是与黑色皮公共的边，又因为每块黑色皮有5条边是与白色皮的公共边，所以，解得：．故共有12块黑色皮．【总结】本题综合性较强，主要是观察黑色皮与白色皮的特征，找到等量关系，从而列出方程求出方程的解．模块二：一元一次方程及其解法知识精讲1、一元一次方程的概念只含有一个未知数且未知数的次数是一次的方程叫做一元一次方程．2、解方程求方程的解的过程叫做解方程．3、解一元一次方程的一般步骤（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）化成（）的形式（5）两边同除以未知数的系数，得到方程的解．例题解析例1.判断下列方程是否是一元一次方程？如果不是，请说明理由．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．【难度】★【答案】（1）、（4）、（6）、（8）是一元一次方程，其余不是．【解析】（1）是；（2）不是，二元一次；（3）不是，无未知数；（4）是；（5）不是，不是整式方程；（6）是；（7）不是，是二元一次方程；（8）不是，是一元二次方程．【解析】本题主要考查一元一次方程的概念及运用．例2.当m为______时，是一元一次方程．【难度】★【答案】3【解析】由，解得．【总结】考查利用一元一次方程的概念求字母的值．例3方程变形为，其根据是（）A．方程两边同时加上x B．方程的两边同时乘以C．方程的两边同时乘以 D．方程的两边同时乘以【难度】★【答案】D【解析】考查一元一次方程的解法．例4.解方程：（1）； （2）；（3）； （4）．【难度】★【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1）移项，得：，解得：；（2）移项，得：，合并，得：，解得：；（3）移项，得：，解得：；（4）去括号，得：，化简，得：，解得：．【总结】本题主要考查一元一次方程的解法，注意移项是要改变符号．例5.下列解方程过程中，变形正确的是（）A．由得B．由得C．由得D．由得【难度】★★【答案】D【解析】A、2x=3+1；B、；C、右边乘了10，左边没变，所以不正确．【总结】本题主要考查一元一次方程的化简，注意移项和去括号都要改变符号．例6.若方程表示关于x的一元一次方程，则常数a、b、c、n必须满足怎样的条件？【难度】★★【答案】；；；c为任意实数．【解析】因为方程是一元一次方程，所以，解得：．【总结】考查一元一次方程的概念的运用．例7.解方程：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）．【难度】★★【答案】（1）（2）；（3）；（4）；（5）．【解析】（1）去括号，得：，移项，得：，解得：，所以原方程的解为；两边同乘100，得：，化简，得：，解得：；去括号，得：，化简，得：，解得：；去分母，得：，去括号，得：，合并，得：，化简，得：，解得：；（5）去分母，得：，去括号，得：，化简，得：，解得：，所以原方程的解为．【总结】本题主要考查一元一次方程的解法，注意按照步骤一步一步去解．例8.当x=______时，代数式与的值为互为相反数．【难度】★★【答案】19．【解析】由题意知，，去括号，得：，解得：．【总结】考查相反数的概念及一元一次方程的解法．例9.已知关于x的方程的解为，求a的值．【难度】★★★【答案】．【解析】由题已知当时原等式成立，将代入原式，得，去括号，得：，解得：．【总结】本题先将方程的解代入方程从而得到关于a的一元一次方程，再求出解即可．例10.解方程：．【难度】★★★【答案】或．【解析】当时，；当时，．【总结】本题综合性较强，主要考查含有绝对值的方程的解法，注意要分类讨论．例11.解方程：．【难度】★★★【答案】．【解析】逆用乘法分配律，得：裂项，得：即，去分母，得：，解得：，所以，原方程的解为．【总结】本题综合性较强，一方面考查了分数裂项的运用，另一方面考查了一元一次方程的求解，计算时要细心一些．例12.若a、b、c是正数，解方程：．【难度】★★★【答案】．【解析】由题意，可得：，通分，得：去分母，得：即进一步变形，得：解得：，所以原方程的解为．【总结】本题综合性非常强，主要考查含字母的一元一次方程的解法，解题时要注意方法，认真观察每一项的特征，找出公共的因式，然后逆用乘法分配律从而求出方程的解．模块三：一元一次方程的应用知识精讲列方程解应用题的一般步骤（1）审题：分析题中的条件，什么是所求的，什么是已知的，并了解已知量和所求量之间的数量关系；（2）设未知数（元）；（3）列方程；（4）解方程；（5）检验并作答．例题解析例1.列方程求解：（1）某数与6的和的3倍等于21，求这个数；（2）矩形的周长是40，长比宽多10，求矩形的长和宽．【难度】★【答案】（1）1；（2）长是15，宽是5．【解析】（1）设这个数为x，则，解得：，故这个数为1；（2）设矩形的长为x，则宽为x10，故可列方程为：，解得，所以这个矩形的长是15，宽是．【总结】本题主要考查列方程解应用题的运用．例2.三个连续整数的和为93，求这三个数．【难度】★【答案】30、31、32．【解析】设这三个数分别为x、x+1、x+2，则，解得：x=30所以这三个数分别为30、31、32．【总结】本题主要考查列方程解应用题的运用．例3.甲、乙两桶油质量相等．甲桶用去26千克，乙桶加入14千克，此时乙桶油的质量是甲桶油的3倍，两桶油原来各多少千克？【难度】★★【答案】46千克．【解析】设两桶油原来各有x千克，则可得：，解得：，所以原来各有46千克．【总结】考查方程在实际问题中的运用．例4.一根电线，第一次用去，第二次用去16米，还剩全长的，这根电线的原长多少米？【难度】★★【答案】60【解析】解设原长x米，则由题意得，，解得，所以这根电线原厂60米．【总结】考查方程在实际问题中的运用．例5.某班学生合买一件纪念品，每人出0.6元，则多出4.8元，若每人出0.5元，则差0.3元，求该班的学生人数．【难度】★★【答案】52．【解析】解设有x名学生，则，解得，故该班的学生人数为51人．【总结】考查方程在实际问题中的运用．例6.鸡和兔一共20只，共有70条腿，求鸡和兔各有几只？【难度】★★★【答案】鸡5只、兔15只．【解析】设鸡有x只，则兔有（20x）只，列方程，得：，解得．故鸡有5只，兔子有15只．【总结】考查方程在实际问题中的运用．随堂检测1.下列式子中，不是方程的是（）A． B． C． D．【难度】★【答案】C【解析】C不是等式．【总结】考查方程的概念．2.判断下列方程是不是一元一次方程：（1）； （2）；（3）； （4）．【难度】★【答案】（2）、（3）不是一元一次方程．【解析】（2）是一元二次方程；（3）是二元一次方程．【总结】本题主要考查一元一次方程的概念．3.和方程的解不完全相同的方程是（）A．B．C．D．【难度】★★【答案】D【解析】易得方程的解为，方程A的解为；方程B的解为；方程C的解为；方程D的解为或．故选D．【总结】本题主要考查一元一次方程的解法．4.当a______，n=______时，方程是一元一次方程．【难度】★★【答案】，．【解析】由一元一次方程的概念，可得：且，解得：，．【总结】本题主要考查对一元一次方程的概念的理解．5.检验下列各数是不是方程的解．（1）；（2）．【难度】★★【答案】（1）不是；（2）是．【解析】（1）当时，左边=，右边=，所以不是原方程的解；当时，左边=，右边==左边，所以是原方程的解．【总结】本题主要考查方程的解的概念．6.根据条件，设未知数，列方程．（1）学校举办科技节，航模组16人，小明加入车模组后，航模组的人数比车模组人数的多5人，求原车模组人数；（2）小智和小方交流暑假活动，小智说：“我参加了夏令营，外出五天，这五天的日期之和为40，你知道我是几号出去的吗？”请你帮小方解决这个问题．【难度】★★【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设原车模组有x人，由题意得；设小智x号出去的，由题意得：．【总结】本题主要考查根据题意列出方程，主要是找到题目中的等量关系．7.解方程：（1）；（2）；（3）．【难度】★★【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）去大括号，得：，去中括号，得：，去小括号，得：，解得：，所以是方程的解；（2）去括号，得：，合并，得：，解得：，所以是方程的解；（3）小数化整数，得：，合并，得：，去分母，得：，解得：，所以是方程的解．【总结】本题主要考查解一元一次方程．8.若x=2是方程的解，求方程的解．【难度】★★【答案】．【解析】因为x=2是方程的解，所以，解得：，所以可变行为，即，解得：．【总结】本题主要考查对方程的解的概念的理解及运用．9.小智今年的年龄是妈妈的，两年前母子的年龄相差24岁，那么四年后母子的年龄和为多少？【难度】★★【答案】56岁．【解析】设今年小智的年龄为x岁，则妈妈的年龄为3x岁，根据题意，可得：，解得：x=12，所以4年后母子年龄和为：12+3×12+4×2=56岁．【总结】本题主要考查列方程解应用题，注意母子的年龄差是永远不变的．10.方程和方程的解相同，求a的值．【难度】★★★【答案】a的值为3．【解析】由方程，得：，解得：；将代入中，得：，去括号，得：，化简，得：解得：．【总结】本题综合性较强，要理解两个方程的解相同的真正含义，从而求出字母的值．11．（2019·上海市复旦实验中学七年级期中）阅读下列材料:让我们来规定一种运算：。例如：按照这种运算的规定，请解答下列各个问题：（1）________，当x=______时，（2）求x，y的值，使（写出解题过程）【答案】（1）3x2；；（2）y=2，x=8．【分析】(1)根据题中的新定义化简所求，计算即可得到结果；根据题中的新定义化简所求方程，求出方程的解即可得到x的值；

(2)利用题中的新定义化简所求式子，计算即可确定出x与y的值．【详解】（1）原式=3x2×1=3x2；方程变形得：2x（1x）=0，

去括号得：2x1+x=0，移项合并得：3x=1，解得：x=；故答案为：.

（2）根据题意得：，

由②得：x=0.5y+7③，将③代入①得：0.75y+10.538y=7，

移项合并得：7.25y=14.5，解得：y=2，将y=2代入③得：x=8．【点睛】此题考查解一元一次方程，解题关键在于掌握其步骤：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．12．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）少先队从夏令营到学校，先下山再走平路，一队员骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度走平路，到学校共用了55分钟，回来时，通过平路的速度不变，但以每小时6千米的速度上山，回到营地共花去了70分钟的时间，问夏令营到学校多少千米？（列方程计算）【答案】夏令营到学校有9千米【分析】设走平路用了x小时，则下山用了（x）小时，上山用了（x）小时，根据“上山、下山的路程相等”列方程并解答即可.【详解】解：设走平地要X小时，则下山用了（－x）小时，上山用了（x)小时，由题意得：9X+12（－x）=9X+6（x)，解得：x=，则总路程＝9×（）+12（－）＝6+118=9(km)

，答：夏令营到学校有9千米.13．（2018·上海市民办新竹园中学月考）新个税法于2018年1月1日起施行，2018年10月1日起施行最新“起征点：5000元”和税率，《中华共和国个人所得税》中的个人所得税税率如下：级数全月应纳税所得额税率（％）1不超过3000元的部分32超过3000元至12000元的部分103超过12000元至25000元的部分20其中“全月应纳税所得额”是指从工资、薪金收入中减去5000元后的金额。（本题只讨论上表内容）（1）若某一月份扣除税后拿了8000，他交了多少税？（2）若某一月份纳税额为m元（m>0），他的税前收入是多少？【答案】（1）他交了100元税；（2）当0＜m≤90时，税前收入＝（元）；当90＜m≤990时，税前收入＝10m+7100；当990