2.6有理数的乘法与除法七年级数学上册讲义（苏科版）

有理数的乘法与除法知识点一、有理数乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；0与任何数相乘都得0；任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数；拓展：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0.一般地，在乘法运算中，若有带分数和小数，应先把带分数化为假分数，小数化为分数之后再计算，方便约分.例：计算【解答】【解析】原式 知识点二、有理数的乘法运算律乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即；乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即；乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即.例：简便计算【解答】5【解析】原式知识点三、倒数1. 倒数：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数.PS：单独的一个数不能称为倒数；0与任何数相乘都等于0，不可能等于1，所以0没有倒数.2. 求一个数的倒数的方法：（1）一个不为0的整数的倒数，是用这个数作分母，1作分子的分数；（2）求一个真分数的倒数，就是将这个分数的分子与分母交换一下位置；（3）求带分数的倒数，要先将带分数化成假分数，再交换分子与分母的位置；（4）求小数的倒数，先将小数化为分数，再求倒数.3. 化为倒数的两个数的符号是相同的，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数.例：写出下列各数的倒数（1）5；（2）－1；（3）；（4）0.3【解答】见解析【解析】（1）5的倒数是；（2）－1的倒数是－1；（3）的倒数是；（4）0.3的倒数是.知识点四、有理数除法法则除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数；两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不为0的数都等于0，0不能作为除数，无意义.一个非零的数除以它的本身等于1.两数相除要先确定商的符号，再确定绝对值，其中商的符号的确定方法与有理数乘法中积的符号确定方法相同.例：计算【解答】－3【解析】原式知识点五、有理数乘除混合运算有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的；要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算.例：计算【解答】【解析】原式巩固练习一．选择题1．|-2A．23 B．-23 C．32【分析】根据绝对值，倒数的定义进行计算即可．【解答】解：|-23|∵23∴23的倒数是3故选：C．【点评】本题考查绝对值，倒数，理解绝对值、倒数的定义是正确计算的前提．2．下列说法中，正确的是（）A．2与﹣2互为倒数 B．2与12互为相反数C．0的相反数是0 D．2的绝对值是﹣2【分析】根据倒数的定义判断A选项；根据相反数的定义判断B选项；根据0的相反数是0判断C选项；根据正数的绝对值等于它本身判断D选项．【解答】解：A选项，2与﹣2互为相反数，故该选项不符合题意；B选项，2与12C选项，0的相反数是0，故该选项符合题意；D选项，2的绝对值是2，故该选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了倒数，相反数，绝对值，掌握乘积为1的两个数互为倒数，只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．3．计算（﹣6）×（-1A．﹣3 B．3 C．﹣12 D．12【分析】根据有理数的乘法法则计算即可．【解答】解：原式＝+（6×1＝3．故选：B．【点评】本题考查了有理数的乘法，掌握两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数与0相乘都得0是解题的关键．4．若a为正数，b为负数，则（）A．a+b＞0 B．a+b＜0 C．ab＞0 D．ab＜0【分析】根据有理数的乘法法则判断C，D选项；根据有理数的加法法则判断A，B选项．【解答】解：∵a为正数，b为负数，∴ab＜0，故C选项不符合题意，D选项符合题意；a+b的符号无法判断，取决于绝对值较大的数的符号，故A，B选项不符合题意；故选：D．【点评】本题考查了有理数的乘法，有理数的加法，掌握两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘是解题的关键．5．下列结论正确的是（）A．互为相反数的两个数的商为﹣1 B．在数轴上与表示数4的点相距3个单位长度的点对应的数是7或1 C．当|x|＝﹣x，则x＜0 D．带有负号的数一定是负数【分析】根据相反数判断A选项；根据绝对值判断B选项；根据0的绝对值是0判断C选项；根据特殊值判断D选项．【解答】解：A选项，0的相反数是0，0÷0没有意义，故该选项不符合题意；B选项，在数轴上与表示数4的点相距3个单位长度的点对应的数是7或1，故该选项符合题意；C选项，当|x|＝﹣x，则x≤0，故该选项不符合题意；D选项，﹣（﹣2）＝2，故该选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了数轴，绝对值，相反数，有理数的除法，正数和负数，掌握在数轴上与表示数4的点的右侧3个单位长度的点对应的数是7，左侧3个单位长度的点对应的数是1是解题的关键．6．在下列说法：①如果a＞b，则有|a|＞|b|；②若干个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，则乘积一定是负数；③一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数；④若m+n＝0，则m、n互为相反数．其中正确的个数有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】根据绝对值、有理数的乘法、相反数解决此题．【解答】解：①如果a＞b，如1＞﹣2，|1|＝1，|﹣2|＝2，但|1|＜|﹣2|，那么|a|＞|b|不一定成立，故①不正确．②若干个不为0的有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，则乘积一定是负数，故②不正确．③根据绝对值的定义，当a≥0，则|a|＝a，即0或正数的绝对值等于本身，故③不正确．④根据等式的性质，m+n＝0，则m＝﹣n，那么m与n互为相反数，故④正确．综上：正确的有④，共1个．故选：D．【点评】本题主要考查绝对值、有理数的乘法、相反数，熟练掌握绝对值、有理数的乘法、相反数是解决本题的关键．7．有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，下列式子：①a＜0＜b；②|a|＜|b|；③ab＞0；④b﹣a＞a+b；⑤|a﹣b|+a＝b．其中正确的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】先由数轴得a＜0＜b，且|a|＞|b|，再逐个序号判断即可．【解答】解：由数轴可得：a＜0＜b，且|a|＞|b|①由a＜0＜b，正确；②由|a|＞|b|可知|a|＜|b|不正确；③由a，b异号，可知ab＜0，不正确；④b﹣a＞0，b+a＜0，∴b﹣a＞b+a，故④正确；⑤|a﹣b|+a＝b﹣a+a＝b，故⑤正确；综上，有②④⑤正确．故选：B．【点评】本题考查了借助数轴进行的有理数的相关运算，明确相关运算法则并数形结合，是解题的关键．8．我们把2÷2÷2记作2③，（﹣4）÷（﹣4）记作（﹣4）②，那么计算9×（﹣3）④的结果为（）A．1 B．3 C．13 D．【分析】根据新定义列出算式9×[（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）]，再根据有理数的乘除运算法则计算可得．【解答】解：9×（﹣3）④＝9×[（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）]＝9×＝1，故选：A．【点评】本题主要考查有理数的除法，解题的关键是理解并掌握新定义及有理数乘除运算法则．二．填空题9．有10个同学参加聚会，每个人送其他人一张名片，则共有90张名片被送出．【分析】根据每人都送出9张名片进行计算即可．【解答】解：由题意得（10﹣1）×10＝9×10＝90（张），故答案为：90．【点评】此题考查了运用有理数乘法解决实际问题的能力，关键是能准确理解问题中的数量关系并列式计算．10．若|m﹣1|+|n+3|＝0，则m的相反数是﹣1，n的倒数是-13【分析】先根据非负数的性质列出方程求出m、n的值，再根据相反数、倒数的定义解答即可．【解答】解：由题意得，m﹣1＝0，n+3＝0，解得，m＝1，n＝﹣3，则m的相反数是﹣1，n的倒数是-1故答案为：﹣1，-1【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．11．两个不相等的有理数a，b，若a+b＝0，则ab的值是﹣1【分析】根据a+b＝0，得到a＝﹣b，代入代数式求值即可得出答案．【解答】解：∵a+b＝0，∴a＝﹣b，∴ab=故答案为：﹣1．【点评】本题考查了有理数的除法，根据a+b＝0，得到a＝﹣b是解题的关键．12．﹣112的绝对值是112，相反数是112，倒数是【分析】依据绝对值、相反数、倒数的定义解答即可．【解答】解：﹣112﹣112的绝对值是112；相反数是112故答案为：112，112，【点评】本题主要考查的是倒数、相反数、绝对值的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．13．计算：|﹣3|×（-23）＝﹣2【分析】根据绝对值和有理数的乘法法则即可得出答案．【解答】解：原式＝3×（-2＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查了绝对值和有理数的乘法法则，掌握两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘是解题的关键．14．若x＝5，|y|＝3，且xy＜0，则代数式x﹣2y＝11．【分析】根据题目的已知条件求出a，b的值，然后代入代数式即可．【解答】解：∵|y|＝3，∴y＝±3，∵xy＜0，∴x，y异号，∵x＝5，∴y＝﹣3，∴x﹣2y＝5﹣2×（﹣3）＝5+6＝11，故答案为：11．【点评】本题考查了有理数的乘法，绝对值，根据题目的已知条件求出a，b的值是解题的关键．15．若两个数的积为﹣1，我们称它们互为负倒数，则0.125的负倒数是﹣8．【分析】根据互为负倒数的定义可知，用﹣1÷0.125即可得到0.125的负倒数．【解答】解：0.125的负倒数为：﹣1÷0.125＝﹣8．故答案为﹣8．【点评】本题考查了求一个数的负倒数的方法，正确理解互为负倒数的定义是解题的关键．16．已知有理数a，b满足ab≤0，a+b＞0，7a+2b+1＝﹣|b﹣a|，则（2a+b+13）（a﹣b）的值为0【分析】根据ab≤0，a+b＞0，得到a，b异号或其中一个为0，另一个为正数，然后分四种情况分别讨论即可得出答案．【解答】解：∵ab≤0，a+b＞0，∴a，b异号或其中一个为0，另一个为正数，若a＞0，b＜0，∵a+b＞0，∴7a+2b+1＝5a+2a+2b+1＝5a+2（a+b）+1＞0，∵﹣|b﹣a|≤0，∴这种情况不存在；若a＜0，b＞0，则b﹣a＞0，∵7a+2b+1＝﹣|b﹣a|，∴7a+2b+1＝﹣（b﹣a），∴6a+3b+1＝0，∴2a+b+13∴原式＝0；若a＝0，b＞0，∵7a+2b+1＝2b+1＞0，﹣|b﹣a|＝﹣b＜0，∴这种情况不存在；若a＞0，b＝0，∵7a+2b+1＝7a+1＞0，﹣|b﹣a|＝﹣a＜0，∴这种情况不存在；故答案为：0．【点评】本题考查了绝对值，有理数的乘法，有理数的加减法，考查分类讨论的数学思想，掌握绝对值具有非负性是解题的关键．三．解答题17．简便计算（1）（﹣48）×0.125+48×（2）（59-3【分析】（1）利用乘法的分配律先提取48，再进行计算即可得出答案；（2）运用乘法分配律进行计算即可．【解答】解：（1）（﹣48）×0.125+48×＝48×（-1＝0；（2）（59-3＝﹣20+27﹣2＝5．【点评】此题考查了有理数的乘法，用到的知识点是乘法的分配律，解题的关键是运用乘法分配律进行计算．18．求值题已知|x|＝2，|y|＝5，且xy＜0，求2x﹣3y的值．【分析】利用绝对值的意义，有理数的乘法法则进行计算，即可得出结果．【解答】解：∵|x|＝2，|y|＝5，∴x＝±2，y＝±5，∵xy＜0，∴x＝2，y＝﹣5或x＝﹣2，y＝5，当x＝2，y＝﹣5时，2x﹣3y＝2×2﹣3×（﹣5）＝4+15＝19，当x＝﹣2，y＝5时，2x﹣3y＝2×（﹣2）﹣3×5＝﹣4﹣15＝﹣19，综上所述，2x﹣3y的值为19或﹣19．【点评】本题考查了有理数的乘法及绝对值，掌握绝对值的意义，有理数的乘法法则是解决问题的关键．19．列式计算：（1）已知3与一个数的差为﹣5，求这个数．（2）一个数与23的积为-【分析】（1）根据被减数、减数、差的关系列算式计算即可；（2）根据一个因数＝积÷另一个因数列算式计算即可．【解答】解：（1）根据题意得：3﹣（﹣5）＝3+5＝8；（2）-43【点评】本题主要考查的是有理数的乘法和减法，掌握法则是解题的关键．20．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2．（1）直接写出a+b，cd，m的值；（2）求m+cd+a+b【分析】（1）根据互为相反数的和为0，互为倒数的积为1，绝对值的意义，即可解答；（2）分两种情况讨论，即可解答．【解答】解：（1）∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，∴a+b＝0，cd＝1，m＝±2．（2）当m＝2时，m+cd+a+bm=2+1+0当m＝﹣2时，m+cd+a+bm=-2+1+0【点评】本题考查了倒数、相反数、绝对值，解决本题的关键是熟记倒数、相反数、绝对值的意义．21．如图，数轴上点A，B，C，D表示的数分别为a，b，c，d，相邻两点间的距离均为2个单位长度．（1）若a与c互为相反数，求a+b+c+d的值；（2）若这四个数中最小数与最大数的积等于7，求a的值．【分析】（1）根据a与c互为相反数，知道点B是原点，根据相邻两点间的距离均为2个单位长度得到a，b，c，d的值，代入代数式求值即可；（2）根据这四个数中最小数与最大数的积等于7，得到ad＝7，从而a（a+6）＝7，解一元二次方程即可得出答案．【解答】解：（1）∵a与c互为相反数，∴b＝0，a＝﹣2，c＝2，d＝4，∴a+b+c+d＝﹣2+0+2+4＝4；（2）∵这四个数中最小数与最大数的积等于7，∴ad＝7，∴a（a+6）＝7，∴a2+6a﹣7＝0，∴（a+7）（a﹣1）＝0，∴a+7＝0或a﹣1＝0，∴a＝﹣7或1．【点评】本题考查了数轴，相反数，根据这四个数中最小数与最大数的积等于7列出方程是解题的关键．22．某班级共有学生36人，报名参加课外活动班，规定一人只能报一项．如果报名参加乒乓球课外活动班的同学占全班人数的13，报名参加羽毛球课外活动班的同学占全班人数的2【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．【解答】解：根据题意得：36×13＝12﹣8＝4（人），则参加乒乓球课外活动班的同学比参加羽毛球课外活动班的同学多4人．【点评】此题考查了有理数的乘法，列出正确的算式是解本题的关键．23．有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求取出卡片，完成下列各题：（1）从中取出2张卡片，使卡片上的2个数乘积最大，则最大值是多少？（2）从中取出2张卡片，使卡片上的2个数相除的商最小，则最小值是多少？（3）从中取出2张卡片，使卡片上的2个数分别作为底数和指数，进行一次乘方运算，并且运算结果最大，则最大值是多少？【分析】（1）要使两数的乘积最大，两数必须是同号，然后进行计算；（2）要使两数的商最小，两数必须是异号，然后进行计算；（3）要使两数分别作为底数和指数，进行一次乘方运算，并且运算结果最大，那么指数必须是正数，然后进行计算．【解答】解：（1）（﹣3）×（﹣5）＝15，答：最大值是15；（2）（﹣5）÷3=-答：最小值是-5（3）（﹣5）4＝625，答：最大值是625．【点评】本题考查了有理数的乘法和有理数的除法，学生必须熟练掌握．24．学习了有理数的乘法后，老师给同学们出了这样一道题目：计算：492425×（﹣小明的解法：原式=-小军的解法：原式=(49（1）对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？（2）小强认为还有更好的方法：把492425看作(（3）请你用最合适的方法计算：956×（﹣【分析】（1）小军的方法计算简便；（2）原式＝（50-125）×（﹣（3）原式＝（10-16）×（﹣【解答】解：（1）小军的解法较好；（2）492425×（﹣＝（50-125）×（﹣＝50×（﹣5）-125×＝﹣250+＝﹣24945（3）956×（﹣＝（10-16）×（﹣＝10×（﹣3）-16×＝﹣30+＝﹣2912【点评】本题考查实数的运算，根据所给方法，灵活运用乘法分配律进行计算是解题的关键．25．已知非零有理数a，b，c满足ab＞0，bc＞0．（1）求|ab|ab（2）若a+b+c＜0，求|a|a【分析】（1）根据ab＞0，bc＞0可得a＞0，b＞0，c＞0或a＜0，b＜0，c＜0，所以ac＞0，化简即可；（2）若a+b+c＜0，则a＜0，b＜0，c＜0，abc＜0，根据绝对值的性质化简即可．【解答】解：（1）∵ab＞0，bc＞0，∴a＞0，b＞0，c＞0或a＜0，b＜0，c＜0，∴ac＞0，∴|ab|ab+ac|ac|+|bc|bc=（2）∵a+b+c＜0，∴a＜0，b＜0，c＜0，abc＜0，∴|a|a+b|b|+|c|c+|abc|abc【点评】本题考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法．能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键．26．对于一个位数为偶数的多位数，如果在其中间位插入一位数k（0≤k≤9，且k为整数）就得到一个新数，我们把这个新数称为原来的一个晋级数，如234711中间插入数字2可得它的一个晋级数2342711．请阅读以上材料，解决下列问题：（1）若一个数是1245的晋级数，且这个晋级数各数位上的数字之和能被5整除，则这个数可能是12345或12845；（2）若一个两位数的晋级数是这个两位数的9倍，请求出所有满足条件的晋级数．【分析】（1）根据晋级数各个数字之和能被5整除，且0≤k≤9，k为整数，可以得到k的正整数值，进而得出答案；（2）设出两位数的十位数字a和个位数字b，根据这个两位数的晋级数是这个两位数的9倍，得出5a+5k＝4b，再依据0＜a≤9，0≤b≤9，0≤k≤9的整数，分别进行讨论解答即可．【解答】解：（1）设1245的晋级数为12k45，由题意得，各位数字之和能被5整除，即12+k能被5整除，又0≤k≤9，且k为整数，因此k＝3或k＝8，故答案为：12345或12845．（2）设这个两位数的十位数字为a，个位数字为b，因此这个两位数为10a+b，它的晋级数为100a+10k+b，由题意得：100a+10k+b＝9（10a+b），即：5a+5k＝4b，又∵0＜a≤9，0≤b≤9，0≤k≤9①k＝0时，5a＝4b，a、b为正整数，0＜a≤9，0≤b≤9，∴a＝4，b＝5；这个两位数为45，它的晋级数为：405；②k＝1时，5a+5＝4b，a、b为正整数，0＜a≤9，0≤b≤9，∴a＝3，b＝5；这个两位数为35，它的晋级数为：315；③k＝2时，5a+10＝4b，a、b为正整数，0＜a≤9，0≤b≤9，∴a＝2，b＝5；这个两位数为25，它的晋级数为：225