期末考前基础练练练-概率初步(35题)(原卷版+解析)

期末考前基础练练练-概率初步一．随机事件（共4小题）1．如果投掷一枚质地均匀的骰子600次，那么下列说法正确的是（）A．可能100次1点朝上 B．投掷六次必有一次2点朝上 C．必有500次5点朝上 D．不可能有100次4点朝上2．下列事件为随机事件的是（）A．一个图形旋转后所得的图形与原图形全等 B．直径是圆中最长的弦 C．方程ax2+x＝0是关于x的一元二次方程 D．任意画一个三角形，其内角和为360°3．下列说法正确的是（）A．为了审核书稿中的错别字，选择抽样调查 B．为了了解春节联欢晚会的收视率，选择全面调查 C．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件 D．已知一组数据为1，2，3，4，5，则这组数据的中位数为34．下列事件中，属于必然事件的是（）A．射击运动员射击一次，命中10环 B．在一个只装有白球的袋中摸出红球 C．a是实数，|a|≥0 D．一个三角形的三个内角的和大于180°二．可能性的大小（共2小题）5．在一次比赛前，教练预言说：“这场比赛我们队有70%的机会获胜”，则下列说法中与“有70%的机会获胜”的意思接近的是（）A．他这个队赢的可能性较大 B．若这两个队打10场，他这个队会赢7场 C．若这两个队打100场，他这个队会赢70场 D．他这个队必赢6．把﹣12表示成两个互不相等的整数的积，其中两个整数是互为相反数，则这种表示方法的可能性有（）A．2种 B．4种 C．6种 D．8种三．概率的意义（共2小题）7．天气预报显示“上海明天下雨的概率为85%”．下列说法中，正确的是（）A．上海明天将有85%的时间下雨 B．上海明天将有85%的地区下雨 C．上海明天下雨的可能性很大 D．上海明天下雨的可能性很小8．下列说法正确的是（）A．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲2＝3，S乙2＝4，说明乙的跳远成绩比甲稳定 B．了解某市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查 C．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5 D．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生四．概率公式（共3小题）9．在五张完全相同的卡片上，分别画有正三角形、正五边形、平行四边形、菱形、圆，现从中随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是．10．袋中装有除颜色外完全相同的红球、白球、黑球，从中任意摸出一个，摸到红球的概率为0.2，摸到白球的概率为0.5，那么摸到黑球的概率是．11．在一个不透明的盒子中装有4个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则黄球的个数为．五．几何概率（共3小题）12．一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（）A． B． C． D．13．如图，在一块正三角形飞镖游戏板上画一个正六边形（图中阴影部分），假设飞镖投中游戏板上的每一点是等可能的（若投中边界或没有投中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，则飞镖投中阴影部分的概率为（）A． B． C． D．14．如图，一个小球在地板上滚动，并随机停在某块方砖上，如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（）A． B． C． D．六．列表法与树状图法（共8小题）15．如图，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，同时转动两个转盘，两个转盘停止后，指针（如果落在分隔线上，则重新转动，直至转到其中一块区域）都不落在“1”区域的概率是（）A． B． C． D．16．“学雷锋”活动月中，“飞翼”班将组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞从“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是（）A． B． C． D．17．小明想购买70元的玩具汽车，他妈妈口袋里有四张面值分别为10元，20元，50元，100元的纸币．（1）若从妈妈口袋里随机拿出1张纸币，则拿出的纸币是20元的概率为；（2）妈妈随机从口袋中拿出2张纸币去购买玩具汽车，请用画树状图或列表的方法求能买到玩具汽车的概率是多少？18．琳琳有4盒外包装完全相同的糖果，其中有2盒巧克力味的，1盒牛奶味的，1盒水果味的，她准备和好朋友分享糖果．（1）若琳琳随机打开1盒糖果，恰巧是牛奶味的概率是；（2）若琳琳从这4盒中随机挑选两盒打开，请用列表或画树状图法打开的两盒都是巧克力味的概率．19．中国共产党第十九届中央委员会第六次全体会议于2021年11月8日至11日在北京胜利召开．为加强学生对时事政治的学习了解，某校开展了全校学生学习时事政治活动并进行了知识竞赛初赛，最终选出八年级2人，九年级3人共5名同学参加决赛，评出一等奖两名，求这两名同学来自同一年级的概率．20．如图，转盘A的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B的五个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，4，5，转动转盘A，B各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在扇形交线上时重新转动转盘）．（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；（2）求两个数字的积为偶数的概率．21．疫情期间，某市积极开展“停课不停学”线上教学活动，某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为：A．效果良好；B．效果较好；C．效果一般；D．效果不理想）并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：（1）此次调查中，共抽查了名学生；（2）补全条形统计图，扇形统计图中“效果一般”对应的圆心角为°；（3）某班4人学习小组，甲、乙2人认为效果良好，丙认为效果较好，丁认为效果一般．从学习小组中随机抽取2人，则“1人认为效果良好，1人认为效果较好”的概率是多少？（要求列表或画树状图求概率）22．学完统计知识后，小明对同学们最近一周的睡眠情况进行随机抽样调查，得到他们每日平均睡眠时长t（单位：小时）的一组数据，将所得数据分为四组（A：t＜8；B：8≤t＜9；C：9≤t＜10；D：t≥10），并绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）小明一共抽样调查了名同学；在扇形统计图中，表示D组的扇形圆心角的度数为；（2）将条形统计图补充完整；（3）小明所在学校共有1400名学生，估计该校最近一周大约有多少名学生睡眠时长不足8小时？（4）A组的四名学生是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人了解最近一周睡眠时长不足8小时的原因，试求恰好选中1名男生和1名女生的概率．七．游戏公平性（共6小题）23．学完《概率初步》后，小诚和小明两个好朋友利用课外活动时间自制A、B两组卡片共5张，A组三张分别写有数字2，4，6，B组两张分别写有3，5．它们除了数字外没有任何区别．他俩提出了如下两个问题请你解答：（1）随机从A组抽取一张，求抽到数字为2的概率；（2）随机地分别从A组、B组各抽取一张，请你用列表或画树状图的方法表示所有等可能的结果；（3）如果他俩还制定这样一个游戏规则：若选出的两数之积为3的倍数，则小诚获胜；否则小明获胜．请问这样的游戏规则对小诚、小明双方公平吗？请说明理由．24．淘淘和明明玩骰子游戏，每人将一个各面分别标有1，2，3，4，5，6的正方体骰子掷一次，把两人掷得的点数相加，并约定：点数之和等于6，淘淘赢；点数之和等于7，明明赢；点数之和是其它数，两人不分胜负．（1）请你用“画树状图”或“列表”的方法分析说明此游戏是否公平．（2）请你基于（1）问中得到的数据，设计出一种公平的游戏规则．（列出一种即可）25．如图，甲、乙两人在玩转盘游戏时，准备了两个可以自由转动的转盘A，B，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每一个扇形内标上数字．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所指区域的数字之和为1时，甲获胜；数字之和为2时，乙获胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止．（1）用画树状图或列表法求乙获胜的概率；（2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？对谁有利？请判断并说明理由．26．小明、小芳做一个“配色”的游戏，如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色．同时转动两个转盘，如果转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色，或者转盘A转出了蓝色，转盘B转出了红色，则红色和蓝色在一起配成紫色，这种情况下小芳获胜；同样，蓝色和黄色在一起配成绿色，这种情况下小明获胜；在其他情况下不分胜负．（1）转动转盘A一次，请直接写出转到红色的概率；（2）此游戏的规则，对小明、小芳是否公平？请利用列表或画树状图的方法解释说明．27．甲、乙两同学用一副扑克牌中牌面数字分别是3、4、5、6的4张牌做抽数学游戏．游戏规则是：将这4张牌的正面全部朝下，洗匀，从中随机抽取一张，抽得的数作为十位上的数字，然后，将所抽的牌放回，正面全部朝下、洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数作为个位上的数字，这样就得到一个两位数．若这个两位数小于45，则甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏公平吗？请运用概率知识说明理由．（用列表法或画树状图分别求出两同学获胜的概率）28．在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，4，随机地一次摸取两张纸牌，请用列表或画树状图的方法解决下列问题．（1）计算两张摸取纸牌上数字之和为5的概率；（2）甲、乙两人进行游戏，如果两次摸取纸牌上数字之和为奇数，则甲胜；如果两次摸取纸牌上数字之和为偶数，则乙胜．这是个公平的游戏吗？请说明理由．八．利用频率估计概率（共7小题）29．在一个不透明的袋子里装有除颜色外完全相同的若干个黑球和白球，小红摸出一个小球记录颜色后放回口袋，经过大量的摸球试验后发现摸到白球的频率稳定在0.2左右，那么摸出黑球的概率约为（）A． B． C． D．30．木箱里装有仅颜色不同的9张红色和若干张蓝色卡片，随机从木箱里摸出一张卡片后记下颜色后再放回，经过多次的重复实验，发现摸到红色卡片的频率稳定在0.6附近，则估计木箱中蓝色卡片有（）A．6张 B．8张 C．10张 D．4张31．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的小球共40个，除颜色不同外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在25%和45%，则口袋中白色球的个数可能是（）A．4 B．8 C．12 D．1632．在一个不透明的袋中装有20个红、黄、蓝三种颜色的球，除颜色外其他都相同，小明和小亮通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋中红球大约有（）A．12个 B．10个 C．8个 D．6个33．一年之计在于春，为保障春播任务顺利完成，科研人员对某玉米种子在相同条件下发芽情况进行试验，结果如表：每批粒数n500800100020003000发芽的频数m46376894819012851发芽的频率0.9260.960.9480.9510.950那么这种玉米发芽的概率是.（结果精确到0.01）34．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下：抽取件数（件）501001502005008001000合格频数4288131176445724901合格频率0.840.880.870.880.890.910.90根据上表，估计任抽一件衬衣是合格品的概率是0.9．（保留小数点后两位）35．在一个不透明的袋子中，有除颜色外完全相同的6个白球和若干个红球．通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.4，由此可估计袋中红球的个数为．期末考前基础练练练-概率初步一．随机事件（共4小题）1．如果投掷一枚质地均匀的骰子600次，那么下列说法正确的是（）A．可能100次1点朝上 B．投掷六次必有一次2点朝上 C．必有500次5点朝上 D．不可能有100次4点朝上【分析】因为如果投掷一枚质地均匀的骰子，所以不管抛多少次，哪一面朝上是随机出现的，出现的几率是相同的，据此逐项判断，【解答】解：A、可能有100正面向上，说法正确，符合题意；B、投掷六次必有一次2点朝上，说法错误，不符合题意；C、必有500次5点朝上，说法错误，不符合题意；D、不可能有100次4点朝上，说法错误，不符合题意．故选：A．【点评】本题考查随机事件，正确记忆概率的公式是解题关键．2．下列事件为随机事件的是（）A．一个图形旋转后所得的图形与原图形全等 B．直径是圆中最长的弦 C．方程ax2+x＝0是关于x的一元二次方程 D．任意画一个三角形，其内角和为360°【分析】根据平移的性质、圆的概念、一元二次方程的概念、三角形内角和定理判断即可．【解答】解：A，一个图形旋转后所得的图形与原来的图形全等，是必然事件；B、直径是圆中最长的弦，是必然事件；C、当a≠0时，方程ax2+x＝0是一元二次方程，当a＝0时，不是一元二次方程，∴方程ax2+x＝0是一元二次方程，是随机事件；D、任意画一个三角形，其内角和是360°，是不可能事件；故选：C．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，正确记忆相关概念是解题关键．3．下列说法正确的是（）A．为了审核书稿中的错别字，选择抽样调查 B．为了了解春节联欢晚会的收视率，选择全面调查 C．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件 D．已知一组数据为1，2，3，4，5，则这组数据的中位数为3【分析】根据抽查、普查的意义对选项A、B做出判断；通过求中位数对D做出判断，利用必然事件的意义对C做出判断．【解答】解：书稿中不能有错别字，因此应采取普查的方式，不能进行抽样调查，因此选项A不正确；了解春节联欢晚会的收视率，可以选择抽查的方式，普查有时没有必要且不易做到，因此选项B不正确；经过有交通信号灯的路口，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯，是随机事件，因此选项C不正确；通过计算这组数据的中位数为3，所以D选项是正确的．故选：D．【点评】本题考查必然事件、随机事件的含义，理解随机事件发生可能性的大小，普查和抽查的区别与联系，是正确判断的关键．4．下列事件中，属于必然事件的是（）A．射击运动员射击一次，命中10环 B．在一个只装有白球的袋中摸出红球 C．a是实数，|a|≥0 D．一个三角形的三个内角的和大于180°【分析】根据绝对值的非负性，随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．【解答】解：A、射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，故A不符合题意；B、在一个只装有白球的袋中摸出红球，是不可能事件，故B不符合题意；C、a为实数，|a|≥0，是必然事件，故C符合题意；D、一个三角形的三个内角的和大于180°，是不可能事件，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了绝对值，绝对值的非负性，随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．二．可能性的大小（共2小题）5．在一次比赛前，教练预言说：“这场比赛我们队有70%的机会获胜”，则下列说法中与“有70%的机会获胜”的意思接近的是（）A．他这个队赢的可能性较大 B．若这两个队打10场，他这个队会赢7场 C．若这两个队打100场，他这个队会赢70场 D．他这个队必赢【分析】概率值只是反映了事件发生的机会的大小，不是会一定发生．不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于0并且小于1．【解答】解：A、根据概率的意义，正确；B、概率仅仅反映了这一事件发生的可能性的大小，若这两个队打10场，他这个队可能会赢7场，但不会是肯定的，所以错误；C、和B一样，所以错误；D、根据概率的意义，错误．故选：A．【点评】本题考查概率的意义，正确理解概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小是解题关键．6．把﹣12表示成两个互不相等的整数的积，其中两个整数是互为相反数，则这种表示方法的可能性有（）A．2种 B．4种 C．6种 D．8种【分析】根据﹣12的分解质因数和有理数的乘法运算法则列出算式即可得解．【解答】解：﹣1×12＝﹣12，﹣2×6＝﹣12，﹣3×4＝﹣12，1×（﹣12）＝﹣12，2×（﹣6）＝﹣12，3×（﹣4）＝﹣12．共6种．故选：C．【点评】本题考查了有理数的乘法及可能性的大小的知识，分解质因数，比较简单．三．概率的意义（共2小题）7．天气预报显示“上海明天下雨的概率为85%”．下列说法中，正确的是（）A．上海明天将有85%的时间下雨 B．上海明天将有85%的地区下雨 C．上海明天下雨的可能性很大 D．上海明天下雨的可能性很小【分析】根据概率是反映事件发生机会的大小，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生即可得出答案．【解答】解：上海明天下雨的概率为85%，表示上海明天下雨的可能性很大，但是不是将有85%的地区下雨，不是85%的时间下雨，也不是明天肯定下雨．故选：C．【点评】此题考查了概率的意义，解题的关键是掌握概率反映的只是这一事件发生的可能性的大小，概率大也不一定发生．8．下列说法正确的是（）A．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲2＝3，S乙2＝4，说明乙的跳远成绩比甲稳定 B．了解某市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查 C．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5 D．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生【分析】根据方差、中位数、众数、概率的意义以及全面调查与抽样调查分别对每一项进行分想，即可得出答案．【解答】解：A、甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲2＝3，S乙2＝4，说明甲的跳远成绩比乙稳定，故本选项错误，不符合题意；B、了解某市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合抽样调查，故本选项错误，不符合题意；C、一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是＝2.5，故本选项正确，符合题意；D、可能性是1%的事件在一次试验中也可能发生，只是发生的可能性很小，故本选项错误，不符合题意；故选：C．【点评】此题考查了方差、中位数、众数、概率的意义以及全面调查与抽样调查，熟记定义与公式是解题的关键．四．概率公式（共3小题）9．在五张完全相同的卡片上，分别画有正三角形、正五边形、平行四边形、菱形、圆，现从中随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是．【分析】由五张完全相同的卡片上分别画有等边三角形、正五边形、平行四边形、菱形、圆，其中是中心对称图形的有平行四边形、菱形、圆，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵在等边三角形、平行四边形、正方形、菱形、圆中，是中心对称图形的有平行四边形、正方形、菱形、圆，∴现从中任意抽取一张，卡片上所画的图形是中心对称图形的概率为：；故答案为：．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．10．袋中装有除颜色外完全相同的红球、白球、黑球，从中任意摸出一个，摸到红球的概率为0.2，摸到白球的概率为0.5，那么摸到黑球的概率是．【分析】让1减去摸出红球和白球的概率即为所求的概率．【解答】解：根据概率公式摸出黑球的概率是1﹣﹣＝，故答案为：．【点评】考查了概率公式的知识，用到的知识点为：各个部分的概率之和为1．11．在一个不透明的盒子中装有4个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则黄球的个数为．【分析】根据白球个数除以小球总数进而得出得到白球的概率，进而得出答案．【解答】解：∵在一个不透明的盒子中装有4个白球，从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，设黄球有x个，根据题意得出：∴＝，解得：x＝10．故答案为：10．【点评】此题主要考查了概率公式的应用，熟练利用概率公式是解题关键．五．几何概率（共3小题）12．一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（）A． B． C． D．【分析】根据几何概率的求法：最终停留在黑色的方砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值．【解答】解：观察这个图可知：黑色区域（5块）的面积占总面积（9块）的，则它最终停留在黑砖上的概率是．故选：C．【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．13．如图，在一块正三角形飞镖游戏板上画一个正六边形（图中阴影部分），假设飞镖投中游戏板上的每一点是等可能的（若投中边界或没有投中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，则飞镖投中阴影部分的概率为（）A． B． C． D．【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【解答】解：如图，根据等边三角形和正六边形的性质，可知图中所有小三角形的面积都相等，∴任意投掷飞镖一次，飞镖投中阴影部分的概率为＝．故选：D．【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．14．如图，一个小球在地板上滚动，并随机停在某块方砖上，如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（）A． B． C． D．【分析】用黑砖的面积除以总面积即可得出答案．【解答】解：由图知，若设方砖的边长为a，则地板的总面积为3a×4a＝12a2，黑砖的面积为×2a×3a＝3a2，∴小球最终停留在黑砖上的概率是＝，故选：C．【点评】本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．六．列表法与树状图法（共8小题）15．如图，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，同时转动两个转盘，两个转盘停止后，指针（如果落在分隔线上，则重新转动，直至转到其中一块区域）都不落在“1”区域的概率是（）A． B． C． D．【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果，再找出指针都不落在“1”区域的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：画树状图为：共有6种等可能的结果，其中指针都不落在“1”区域的结果数为2，所以指针都不落在“1”区域的概率＝＝．故选：A．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．16．“学雷锋”活动月中，“飞翼”班将组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞从“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是（）A． B． C． D．【分析】画树状图（用A、B、C分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆）展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一场馆的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：（用A、B、C分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆），共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场馆的结果数为3，所以两人恰好选择同一场馆的概率＝＝．故选：B．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．掌握概率公式是解题的关键．17．小明想购买70元的玩具汽车，他妈妈口袋里有四张面值分别为10元，20元，50元，100元的纸币．（1）若从妈妈口袋里随机拿出1张纸币，则拿出的纸币是20元的概率为；（2）妈妈随机从口袋中拿出2张纸币去购买玩具汽车，请用画树状图或列表的方法求能买到玩具汽车的概率是多少？【分析】（1）妈妈口袋里有四张纸币，其中20元的有1张，据此解答．（2）列表得出所有等可能情况，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）∵妈妈口袋里有四张纸币，其中20元的有1张，∴妈妈拿出的纸币是20元的概率为；（2）依题意列表得：10205010010（10，20）（10，50）（10，100）20（20，10）（20，50）（20，100）50（50，10）（50，20）（50，100）100（100，10）（100，20）（100，50）由上表可得，共有12种等可能的结果，能买到玩具汽车的有8种，所以能买到玩具汽车的概率＝＝．【点评】本题主要考查了用列表法与树状图法求概率，掌握概率公式是解题的关键．18．琳琳有4盒外包装完全相同的糖果，其中有2盒巧克力味的，1盒牛奶味的，1盒水果味的，她准备和好朋友分享糖果．（1）若琳琳随机打开1盒糖果，恰巧是牛奶味的概率是；（2）若琳琳从这4盒中随机挑选两盒打开，请用列表或画树状图法打开的两盒都是巧克力味的概率．【分析】（1）直接利用概率公式计算；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出两盒都是巧克力味的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：（1）琳琳随机打开1盒糖果，恰巧是牛奶味的概率＝；故答案为：；（2）画树状图为：（用A、B、C分别表示巧克力味的、牛奶味的、水果味的糖果），共有12种等可能的结果，其中两盒都是巧克力味的结果数为2，所以打开的两盒都是巧克力味的概率＝＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．19．中国共产党第十九届中央委员会第六次全体会议于2021年11月8日至11日在北京胜利召开．为加强学生对时事政治的学习了解，某校开展了全校学生学习时事政治活动并进行了知识竞赛初赛，最终选出八年级2人，九年级3人共5名同学参加决赛，评出一等奖两名，求这两名同学来自同一年级的概率．【分析】画树状图展示所有20种等可能的结果，再找出这两名同学来自同一年级的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：画树状图为：共有20种等可能的结果，其中这两名同学来自同一年级的结果数为8，所以这两名同学来自同一年级的概率＝＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．20．如图，转盘A的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B的五个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，4，5，转动转盘A，B各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在扇形交线上时重新转动转盘）．（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；（2）求两个数字的积为偶数的概率．【分析】（1）先根据题意画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果；（2）由树状图得出两个数字的积为偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）画树状图得：则共有15种等可能的结果；（2）共有15种等可能的结果，其中两个数字的积为偶数的结果有9种情况，∴两个数字的积为偶数的概率是：＝．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．掌握概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键．21．疫情期间，某市积极开展“停课不停学”线上教学活动，某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为：A．效果良好；B．效果较好；C．效果一般；D．效果不理想）并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：（1）此次调查中，共抽查了名学生；（2）补全条形统计图，扇形统计图中“效果一般”对应的圆心角为°；（3）某班4人学习小组，甲、乙2人认为效果良好，丙认为效果较好，丁认为效果一般．从学习小组中随机抽取2人，则“1人认为效果良好，1人认为效果较好”的概率是多少？（要求列表或画树状图求概率）【分析】（1）从统计图可知，“A效果很好”的有80人，占调查人数的40%，可求出调查人数；（2）求出“C效果一般”的人数即所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数，补全条形统计图；（3）用列表法列举出所有可能出现的结果，从中找出“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的结果数，进而求出概率．【解答】解：（1）80÷40%＝200（名），故答案为：200．（2）200﹣80﹣60﹣20＝40（名），360°×＝72°，补全条形统计图如图所示：故答案为：72．（3）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有12种可能出现的结果，其中“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的有4种，∴P（1人认为效果很好，1人认为效果较好）＝＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法，掌握求随机事件的概率，理解统计图中的数量关系，列出所有可能出现的结果情况是解决问题的关键．22．学完统计知识后，小明对同学们最近一周的睡眠情况进行随机抽样调查，得到他们每日平均睡眠时长t（单位：小时）的一组数据，将所得数据分为四组（A：t＜8；B：8≤t＜9；C：9≤t＜10；D：t≥10），并绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）小明一共抽样调查了名同学；在扇形统计图中，表示D组的扇形圆心角的度数为；（2）将条形统计图补充完整；（3）小明所在学校共有1400名学生，估计该校最近一周大约有多少名学生睡眠时长不足8小时？（4）A组的四名学生是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人了解最近一周睡眠时长不足8小时的原因，试求恰好选中1名男生和1名女生的概率．【分析】（1）由B组人数及其所占百分比求出总人数，用360°乘以D组人数所占比例即可；（2）根据四组总人数为40人求出C组人数，从而补全图形；（3）用总人数乘以样本中A组人数所占比例；（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好选中1男1女的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）本次调查的学生人数为22÷55%＝40（名），表示D组的扇形圆心角的度数为360°×＝18°，故答案为：40、18°；（2）C组人数为40﹣（4+22+2）＝12（名），补全图形如下：（3）估计该校最近一周睡眠时长不足8小时的人数约为1400×＝140（名）；（4）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1男1女的结果数为8，所以恰好选中1男1女的概率为＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．掌握概率公式是解题的关键．七．游戏公平性（共6小题）23．学完《概率初步》后，小诚和小明两个好朋友利用课外活动时间自制A、B两组卡片共5张，A组三张分别写有数字2，4，6，B组两张分别写有3，5．它们除了数字外没有任何区别．他俩提出了如下两个问题请你解答：（1）随机从A组抽取一张，求抽到数字为2的概率；（2）随机地分别从A组、B组各抽取一张，请你用列表或画树状图的方法表示所有等可能的结果；（3）如果他俩还制定这样一个游戏规则：若选出的两数之积为3的倍数，则小诚获胜；否则小明获胜．请问这样的游戏规则对小诚、小明双方公平吗？请说明理由．【分析】（1）A组共有3张卡片，其中2有1张，据此解答．（2）根据题意画出树状图即可；（3）根据（1）计算出各自获胜的概率即可得出结论．【解答】解：（1）∵A组共有3张卡片，其中2有1张，∴P（抽到数字为2）＝．（2）画树状图如下：∴有六种等可能的结果；（3）不公平，理由如下：由（1）知，2×3＝6是3的倍数；2×5＝10不是3的倍数；4×3＝12是3的倍数；4×5＝20不是3的倍数；6×3＝18是3的倍数；6×5＝30是3的倍数；故小诚获胜的概率为＝，小明获胜的概率是，∴这样的游戏规则对小诚、小明双方不公平．【点评】本题主要考查游戏的公平性，根据概率得出游戏的公平性是解题的关键．24．淘淘和明明玩骰子游戏，每人将一个各面分别标有1，2，3，4，5，6的正方体骰子掷一次，把两人掷得的点数相加，并约定：点数之和等于6，淘淘赢；点数之和等于7，明明赢；点数之和是其它数，两人不分胜负．（1）请你用“画树状图”或“列表”的方法分析说明此游戏是否公平．（2）请你基于（1）问中得到的数据，设计出一种公平的游戏规则．（列出一种即可）【分析】（1）用列举法列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式求出淘淘和明明赢的概率，然后进行比较，即可得出答案；（2）根据概率公式进行设计，设计出两个人的概率相等即可．【解答】解：（1）根据题意列表如下：和123456123456723456783456789456789105678910116789101112由表或图可知，点数之和共有36种可能的结果，其中6出现5次，7出现6次，故P（和为6）＝，P（和为7）＝．∵P（和为6）＜P（和为7），∴游戏不公平；（2）掷出两个骰子的点数之和为6时，淘淘赢；掷出两个骰子点数之和为8时，明明赢（答案不唯一）．【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．25．如图，甲、乙两人在玩转盘游戏时，准备了两个可以自由转动的转盘A，B，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每一个扇形内标上数字．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所指区域的数字之和为1时，甲获胜；数字之和为2时，乙获胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止．（1）用画树状图或列表法求乙获胜的概率；（2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？对谁有利？请判断并说明理由．【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出乙获胜的概率即可；（2）根据概率公式求出甲乙获胜的概率，比较即可．【解答】解：（1）列表：由列表法可知：会产生12种结果，它们出现的机会相等，其中和为2的有2种结果，∴P（乙获胜）＝＝；（2）不公平，理由：∵P（乙获胜）＝，P（甲获胜）＝＝．∴P（乙获胜）≠P（甲获胜），∴游戏不公平．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．26．小明、小芳做一个“配色”的游戏，如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色．同时转动两个转盘，如果转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色，或者转盘A转出了蓝色，转盘B转出了红色，则红色和蓝色在一起配成紫色，这种情况下小芳获胜；同样，蓝色和黄色在一起配成绿色，这种情况下小明获胜；在其他情况下不分胜负．（1）转动转盘A一次，请直接写出转到红色的概率；（2）此游戏的规则，对小明、小芳是否公平？请利用列表或画树状图的方法解释说明．【分析】（1）根据题意，用列表法将所有可能出现的结果，即可得答案；（2）由（1）的表格，分析可能得到紫色、绿色的概率，得到结论不公平．【解答】解：（1）用列表法将所有可能出现的结果表示如下：所有可能出现的结果共有12种，转到红色的概率为，红（红，红）（蓝，红）（黄，红）蓝（红，蓝）（蓝，蓝）（黄，蓝）红（红，红）（蓝，红）（黄，红）黄（红，黄）（蓝，黄）（黄，黄）红蓝黄（2）不公平．上面等可能出现的12种结果中，有3种情况可能得到紫色，故配成紫色的概率是，即小明获胜的概率是；但只有2种情况才可能得到绿色，配成绿色的概率是，即小强获胜的概率是．而＞，故小芳获胜的可能性大，这个“配色”游戏对双方是不公平的．【点评】本题考查的是游戏公平性的判断，正确计算出各自的概率是解题关键．27．甲、乙两同学用一副扑克牌中牌面数字分别是3、4、5、6的4张牌做抽数学游戏．游戏规则是：将这4张牌的正面全部朝下，洗匀，从中随机抽取一张，抽得的数作为十位上的数字，然后，将所抽的牌放回，正面全部朝下、洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数作为个位上的数字，这样就得到一个两位数．若这个两位数小于45，则甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏公平吗？请运用概率知识说明理由．（用列表法或画树状图分别求出两同学获胜的概率）【分析】游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．【解答】第二次第一次3456333343536443444546553545556663646566不公平，由图可知：甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，所以游戏不公平．【点评】本题考查游戏的公平性，正确计算出各自的概率是解题关键．28．在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，4，随机地一次摸取两张纸牌，请用列表或画树状图的方法解决下列问题．（1）计算两张摸取纸牌上数字之和为5的概率；（2）甲、乙两人进行游戏，如果两次摸取纸牌上数字之和为奇数，则甲胜；如果两次摸取纸牌上数字之和为偶数，则乙胜．这是个公平的游戏吗？请说明理由．【分析】（1）先列表展示所有可能的结果数为16，再找出两次摸取纸牌上数字之和为5的结果数，然后根据概率的概念计算即可；（2）从表中找出两次摸出纸牌上数字之和为奇数的结果数和两次摸出纸牌上数字之和为偶数的结果数，分别计算这两个事件的概率，然后判断游戏的公平性．【解答】解：根据题意，列表如下：123413452356.34574567由上表可以看出，摸取一张纸牌然后放回，再随机摸取出纸牌，可能结果有12种，它们出现的可能性相等．（1）两张摸取纸牌上数字之和为5（记为事件A）有4个，P（A）＝＝；（2）这个游戏不公平，理由如下：∵两次摸出纸牌上数字之和为奇数（记为事件B）有8个，P（B）＝＝，两次摸出纸牌上数字之和为偶数（记为事件C）有4个，P（C）＝＝，∴两次摸出纸牌上数字之和为奇数和为偶数的概率不相同，所以这个游戏不公平．【点评】本题考查了关于游戏公平性的问题：先利用图表或树形图展示所有可能的结果数，然后计算出两个事件的概率，若它们的概率相等，则游戏公平；若它们的概率不相等，则游戏不公平．八．利用频率估计概率（共7小题）29．在一个不透明的袋子里装有除颜色外完全相同的若干个黑球和白球，小红摸出一个小球记录颜色后放回口袋，经过大量的摸球试验后发现摸到白球的频率稳定在0.2左右，那么摸出黑球的概率约为（）A． B． C． D．【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．【解答】解：因为通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.2，所以摸到白球的概率为0.2，所以摸出黑球的概率约为．故选：A．【点评】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．30．木箱里装有仅颜色不同的9张红色和若干张蓝色卡片，随机从木箱里摸出一张卡片后记下颜色后再放回，经过多次的重复实验，发现摸到红色卡片的频率稳定在0.6附近，则估计木箱中