专题16矩形(原卷版+解析)

专题16矩形目录TOC\o"1-1"\h\u必备知识点 1考点一利用矩形的性质求解 2考点二直角三角形斜边上的中线 5考点三矩形的判定 7知识导航知识导航必备知识点1矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2.矩形性质:(1)矩形的四个角都是直角；(2)矩形的对角线相等；(3)矩形具有平行四边形的所有性质；(4)矩形是轴对称图形，邻边不相等的矩形有两条对称轴；要点解析:(1)从边看：对边相等；(2)从角看：四个角都是直角；(3)从对角线看：对角线相等且互相平分；(4)对称性：是轴对称图形，邻边不相等的矩形有两条对称轴；(5)面积：矩形面积=长宽;矩形的面积=被对角线分成的四个等积的小三角形面积之和；3.矩形的判定:(1)定义判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；(2)对角线判定：对角线相等的平行四边形是矩形:或对角线相等且互相平分的四边形是矩形；(3)角判定：有三个角是直角的四边形是矩形；(4)矩形的判定与性质是互逆定理。判定矩形的常见思路如下:(5)用定义判定一个四边形是矩形必须满足两个条件：一是有一个角是直角，二是四边形是平行四边形，也就是说有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件它才是矩形。(6)用对角线相等的平行四边形是矩形判定一个四边形是矩形，必须满足两个条件：一是对角线相等；二是四边形是平行四边形，也就是说两条对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件它才是矩形。考点一利用矩形的性质求解1．如图，矩形的两条对角线相交于点，已知，，则矩形对角线的长为（

）A． B． C． D．2．如图，矩形的对角线AC和BD相交于O，，，则BD的长是（

）A．20 B．17 C．18 D．103．在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E是BC上一点，且与B、C不重合，若AE是整数，则AE等于（）A．3 B．4 C．5 D．64．已知的对角线与交于点，下列结论不正确的是（）A．当时，是菱形 B．当时，是菱形C．当时，是矩形 D．当时，是矩形5．一个长方形的三个顶点在平面直角坐标系中的坐标分别为，，，那么第四个顶点的坐标为（

）A． B． C． D．6．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，OA=3，OC=6，将△ABC沿对角线AC翻折，使点B落在点B′处，AB′与y轴交于点D，则点D的坐标为（）A．（0，-） B．（0，-） C．（0，-） D．（0，-）7．如图，四边形ABCD是长方形，AB=3，AD=4．已知A（﹣，﹣1），则点C的坐标是（）A．（﹣3，） B．（，﹣3） C．（3，） D．（，3）8．如图，将一个边长分别为4，8的矩形纸片折叠，使点C与点A重合，则折痕的长是（

）．A． B． C． D．9．如图，折叠长方形纸片的一边，使点落在边上的点处，已知，，则折痕的长为（

）．A． B． C． D．10．如图，长方形ABCD中，E是AB的中点，F是BC上的一点，且CF=BC，则长方形ABCD的面积是阴影部分面积的（

）倍．A．2 B．3 C．4 D．511．如图，长方形ABCD的长为6，宽为4，将长方形先向上平移2个单位，再向右平移2个单位得到长方形，则阴影部分面积是(

)A．12 B．10 C．8 D．612．若矩形一个内角的角平分线分长边为两部分，长分别为2和3．则该矩形的面积为（

）A．6 B．10 C．15 D．10或1513．如图,将长方形ABCD沿AE折叠,使点D落在BC边上的点F,若∠BAF=60°,则∠DAE=(

)A．35° B．30° C．15° D．60°14．如图，四边形ABCD是矩形，连接BD，，延长BC到E使CE=BD，连接AE，则的度数为（

）A． B． C． D．考点二直角三角形斜边上中线15．如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，于点E，连接OE，若，则（）A．20° B．30° C．40° D．50°16．如图，在中，于点F，于点E，M为的中点，，则的周长是（

）A．7 B．10 C．11 D．1417．如图，在中，是高，是中线，那么在结论①∠B=∠BAM，②∠B=∠MAH，③∠B=∠CAH中正确的是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③18．直角三角形斜边上的中线等于斜边的________．19．如图，在中，，、、分别为、、的中点，若，则_______．考点三矩形的判定20．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于O，请添加一个条件_____，可得平行四边形ABCD是矩形．21．如图所示，已知ABCD中，下列条件：①AC=BD；②AB=AD；③∠1=∠2；④AB⊥BC中，能说明ABCD是矩形的有______________（填写序号）22．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．（1）求证：AC=BE；（2）若∠AFC=2∠D，连接AC，BE．求证：四边形ABEC是矩形．23．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE交BC于点F，连接AC，BE；若∠AFC＝2∠D，AB＝2，BC＝4．（1）求证：四边形ABEC是矩形；（2）求BE的长．24．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连结AE，交BC于点F，∠AFC＝2∠D，连结AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．25．在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O，EF过点O，连接AF、CE．（1）求证：△BFO≌△DEO；（2）若AF⊥BC，试判断四边形AFCE的形状，并加以证明；（3）若在（2）的条件下再添加EF平分∠AEC，试判断四边形AFCE的形状，无需说明理由．26．如图，平行四边形ABCD中，AB＝6cm，BC＝10cm，∠B＝60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE、DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）当AE的长是多少时，四边形CEDF是矩形？专题16矩形目录TOC\o"1-1"\h\u必备知识点 1考点一利用矩形的性质求解 2考点二直角三角形斜边上的中线 14考点三矩形的判定 18知识导航知识导航必备知识点1矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2.矩形性质:(1)矩形的四个角都是直角；(2)矩形的对角线相等；(3)矩形具有平行四边形的所有性质；(4)矩形是轴对称图形，邻边不相等的矩形有两条对称轴；要点解析:(1)从边看：对边相等；(2)从角看：四个角都是直角；(3)从对角线看：对角线相等且互相平分；(4)对称性：是轴对称图形，邻边不相等的矩形有两条对称轴；(5)面积：矩形面积=长宽;矩形的面积=被对角线分成的四个等积的小三角形面积之和；3.矩形的判定:(1)定义判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；(2)对角线判定：对角线相等的平行四边形是矩形:或对角线相等且互相平分的四边形是矩形；(3)角判定：有三个角是直角的四边形是矩形；(4)矩形的判定与性质是互逆定理。判定矩形的常见思路如下:(5)用定义判定一个四边形是矩形必须满足两个条件：一是有一个角是直角，二是四边形是平行四边形，也就是说有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件它才是矩形。(6)用对角线相等的平行四边形是矩形判定一个四边形是矩形，必须满足两个条件：一是对角线相等；二是四边形是平行四边形，也就是说两条对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件它才是矩形。考点一数图形中平行四边形的个数1．如图，矩形的两条对角线相交于点，已知，，则矩形对角线的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据矩形的性质得到OA=OB=OD，结合得到，进一步得到BD=2AB．【详解】因为四边形为矩形，所以，，，所以，所以，因为所以因为，所以，故．故选C．【点睛】本题考查了矩形的性质和含的直角三角形的边角关系，本题也可用等边三角形的性质和矩形的性质进行求解．2．如图，矩形的对角线AC和BD相交于O，，，则BD的长是（

）A．20 B．17 C．18 D．10【答案】D【解析】【分析】根据矩形的性质求出OB=OA，根据等边三角形的判定得出△AOB是等边三角形，求出BO，即可求出答案．【详解】解：∵∠BOC=120°，∴∠AOB=180°-∠BOC=60°，∵四边形ABCD是矩形，∴BO=OD，AO=CO，BD=AC，∴OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∵AB=5m，∴BO=AB=5m，∴BD=2BO=10m，故选：D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定和矩形的性质，能熟记矩形的性质是解此题的关键，注意：矩形的对角线互相平分且相等．3．在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E是BC上一点，且与B、C不重合，若AE是整数，则AE等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】【分析】由勾股定理可求AC的长，即可得AE的范围，则可求解．【详解】解：连接AC，∵在矩形ABCD中，AB=3，BC=4∴AC==5∴E是BC上一点，且与B、C不重合∴3＜AE＜5，且AE为整数∴AE=4故选B．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练运用矩形的性质是本题的关键．4．已知的对角线与交于点，下列结论不正确的是（）A．当时，是菱形 B．当时，是菱形C．当时，是矩形 D．当时，是矩形【答案】D【解析】【分析】利用矩形的判定,四边形的性质及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项.【详解】解:A,根据邻边相等的平行四边形是菱形可以得到该结论正确;B,根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以得到该选项正确;C,根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断该选项正确;D,不能得到一个角是直角,故错误,故选D.【点睛】本题主要考查矩形、菱形的判定及平行四边形的性质.5．一个长方形的三个顶点在平面直角坐标系中的坐标分别为，，，那么第四个顶点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据长方形对边平行且相等，利用横坐标与纵坐标和已知点的横坐标或纵坐标相同即可求出第四点坐标．【详解】在平面直角坐标系中的坐标分别为（-1，-1），（-1，2），两点的横坐标相同，这两点连线平行y轴，第四点与（3，-1）连线也平行y轴，则第四点的横坐标为3，由于在平面直角坐标系中的坐标分别为（-1，-1），（3，-1）纵坐标相同，此两点连线平行x轴，为此（-1，2），与第四点两线平行x轴，则第四点的纵坐标为2，所以第四点的坐标为（3，2），故选择：A．【点睛】本题考查长方形的第四点坐标问题，掌握长方形的性质，会利用平行x轴或y轴，两点的横坐标或纵坐标相等来解决问题是关键．6．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，OA=3，OC=6，将△ABC沿对角线AC翻折，使点B落在点B′处，AB′与y轴交于点D，则点D的坐标为（）A．（0，-） B．（0，-） C．（0，-） D．（0，-）【答案】B【解析】【详解】由折叠的性质可知，∠B′AC=∠BAC，∵四边形OABC为矩形，∴OC∥AB，∴∠BAC=∠DCA，∴∠B′AC=∠DCA，∴AD=CD，设OD=x，则DC=6-x，在Rt△AOD中，由勾股定理得，OA2+OD2=AD2，即9+x2=（6-x）2，解得：x=，∴点D的坐标为：（0，-），故选B．7．如图，四边形ABCD是长方形，AB=3，AD=4．已知A（﹣，﹣1），则点C的坐标是（）A．（﹣3，） B．（，﹣3） C．（3，） D．（，3）【答案】D【解析】【分析】由矩形的性质可知CD=AB=3，BC=AD=4，结合A点坐标即可求得C点坐标.【详解】∵四边形ABCD是长方形，∴CD=AB=3，BC=AD=4，∵点A（﹣，﹣1），∴点C的坐标为（﹣+3，﹣1+4），即点C的坐标为（，3），故选D．【点睛】本题考查了矩形的性质和坐标的平移，根据平移的性质解决问题是解答此题的关键．8．如图，将一个边长分别为4，8的矩形纸片折叠，使点C与点A重合，则折痕的长是（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由折叠前后的两图形全等，得到一些线段相等，连接后转化到一个直角三角形中，由勾股定理可求出线段AF的长，由折叠A与C重合，折痕EF垂直平分AC，进而即可求出EF的长．【详解】解：连接AC交EF于点O，连接FC，由折叠得：AF=FC，EF垂直平分AC，设AF=x，则DF=8﹣x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠B=90°，在Rt△CDF中，由勾股定理得：，即：，解得：x=5，在Rt△ABC中，由勾股定理得：，∴OA=CO=，在Rt△FOC中，，EF=2OF=，故选D．【点睛】本题考查折叠的性质、勾股定理、矩形的性质等知识，将所求线段转化到一个直角三角形中是解决问题的关键，利用勾股定理建立方程求解是常用的方法．9．如图，折叠长方形纸片的一边，使点落在边上的点处，已知，，则折痕的长为（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据折叠可得，AD=AF，然后根据勾股定理求出BF，易得CF，再由勾股定理即可求得．【详解】根据折叠可得，AD=AF=10，DE=EF在Rt△ABF中，根据勾股定理得，BF=6∴CF=4在Rt△CEF中，EF2=CE2+CF2即EF2=（8－EF）2+42解得EF=5cm故选D【点睛】本题考查勾股定理，掌握折叠的性质是解题关键．10．如图，长方形ABCD中，E是AB的中点，F是BC上的一点，且CF=BC，则长方形ABCD的面积是阴影部分面积的（

）倍．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【分析】设长方形ABCD的长为a，宽为b，则其面积为ab，再根据E是AB的中点，FC=a，用a、b表示出△BEF及△ABC的面积，进而可求出阴影部分的面积．【详解】设长方形ABCD的长为a，宽为b，则其面积为ab．在△ABC中，∵E是AB的中点，∴BE=b，又∵FC=a，∴BF=a，∴△EBF的面积为，但△ABC的面积=ab，∴阴影部分的面积=，∴长方形的面积是阴影部分面积的3倍．故选B．【点睛】本题考查的是长方形的性质及三角形的面积公式，分别设出长方形的长和宽，再用a、b表示出△BEF及△ABC的面积是解答此题的关键．11．如图，长方形ABCD的长为6，宽为4，将长方形先向上平移2个单位，再向右平移2个单位得到长方形，则阴影部分面积是(

)A．12 B．10 C．8 D．6【答案】C【解析】【分析】利用平移的性质得到AB∥A′B′，BC∥B′C′，则A′B′⊥BC，延长A′B′交BC于F，AD交A′B′于E，CD交B′C′于G，根据平移的性质得到FB′=2，AE=2，易得四边形ABFE、四边形BEDG都为矩形，然后计算出DE和B′E后可得到阴影部分面积．【详解】解：∵长方形ABCD先向上平移2个单位，再向右平移2个单位得到长方形A′B′C′D′，∴AB∥A′B′，BC∥B′C′，∴A′B′⊥BC，延长A′B′交BC于F，AD交A′B′于E，CD交B′C′于G，∴FB′=2，AE=2，易得四边形ABFE、四边形BEDG都为矩形，∴DE=AD-AE=6-2=4，B′E=EF-B′F=AB-B′F=4-2=2，∴阴影部分面积=4×2=8．故选C．【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．12．若矩形一个内角的角平分线分长边为两部分，长分别为2和3．则该矩形的面积为（

）A．6 B．10 C．15 D．10或15【答案】D【解析】【分析】利用角平分线得到∠ABE=∠CBE，矩形对边平行得到∠AEB=∠CBE．那么可得到∠ABE=∠AEB，可得到AB=AE．那么根据AE的不同情况得到矩形各边长，进而求得面积．【详解】如图：∵矩形ABCD中，BE是角平分线．∴∠ABE=∠EBC．∵AD∥BC．∴∠AEB=∠EBC．∴∠AEB=∠ABE．∴AB=AE．平分线把矩形的一边分成3和2．当AE=2时：则AB=CD=2，AD=CB=5，则矩形的面积是：10；当AE=3时：AB=CD=3，AD=CB=5，则面积是：15．∴该矩形的面积为10或15，故选D【点睛】本题主要运用了矩形性质和等角对等边知识，正确地分情况讨论是解题的关键．13．如图,将长方形ABCD沿AE折叠,使点D落在BC边上的点F,若∠BAF=60°,则∠DAE=(

)A．35° B．30° C．15° D．60°【答案】C【解析】【分析】利用翻折变换的性质得出∠DAE=∠EAF，进而求出∠DAE的度数．【详解】∵将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，∴∠DAE=∠EAF，∵∠BAF=60°，∴∠DAE=∠EAF=∠DAF=×(90°−60°)=15°.故选C.【点睛】此题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，解题关键在于得出∠DAE=∠EAF.14．如图，四边形ABCD是矩形，连接BD，，延长BC到E使CE=BD，连接AE，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】如图，连接AC．只要证明CE=CA，推出∠E=∠CAE，求出∠ACE即可解决问题．【详解】如图，连接AC．∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD．∵EC=BD，∴AC=CE，∴∠AEB=∠CAE，易证∠ACB=∠ADB=30°．∵∠ACB=∠AEB+∠CAE，∴∠AEB=∠CAE=15°．故选A．【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定和性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等腰三角形解决问题．考点二直角三角形斜边上中线15．如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，于点E，连接OE，若，则（）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】A【解析】【分析】根据直角三角形的斜边中线性质可得OE=OB=OD，根据菱形性质可得∠DBE=∠ABC=70°，从而得到∠OEB度数，再依据∠OED=90°-∠OEB即可．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴O为BD中点，∠DBE=∠ABC=70°，∵DE⊥BC，∴在Rt△BDE中，OE=OB=OD，∴∠OEB=∠OBE=70°，∴∠OED=90°-70°=20°，故选A．【点睛】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质，解决这类问题的方法是四边形转化为三角形．16．如图，在中，于点F，于点E，M为的中点，，则的周长是（

）A．7 B．10 C．11 D．14【答案】C【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EM＝FM＝BC，再根据三角形的周长的定义列式计算即可得解．【详解】∵，M为的中点，∴，∴的周长故选C．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．17．如图，在中，是高，是中线，那么在结论①∠B=∠BAM，②∠B=∠MAH，③∠B=∠CAH中正确的是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】C【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质得出∠B＝∠BAM，根据已知条件判断∠B＝∠MAH不一定成立；根据三角形的内角和定理及余角的性质得出∠B＝∠CAH．【详解】①∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AH是高，AM是中线，∴AM＝BM，∴∠B＝∠BAM，①正确；②∵∠B＝∠BAM，不能判定AM平分∠BAH，∴∠B＝∠MAH不一定成立，②错误；③∵∠BAC＝90°，AH是高，∴∠B＋∠BAH＝90°，∠CAH＋∠BAH＝90°，∴∠B＝∠CAH，③正确．故选：C．【点睛】本题主要考查对直角三角形斜边上的中线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能根据这些性质进行推理是解此题的关键．18．直角三角形斜边上的中线等于斜边的________．【答案】一半【解析】符号语言：Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，OA＝OC，∴BO＝AC．19．如图，在中，，、、分别为、、的中点，若，则_______．【答案】5【解析】【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得AC的长度，再根据题意判断DE为中位线，根据中位线的性质即可求出DE的长度．【详解】∵在中，，、、分别为、、的中点，，则根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得AC＝10．根据题意判断DE为中位线，根据三角形中位线的性质，得DE∥AC且DE=AC，可得DE=5．故答案为DE=5【点睛】本题掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半及中位线的性质是解答本题的关键．考点三矩形的判定20．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于O，请添加一个条件_____，可得平行四边形ABCD是矩形．【答案】AC＝BD或∠ABC＝90°【解析】【分析】矩形是特殊的平行四边形，矩形有而平行四边形不具有的性质是：矩形的对角线相等，矩形的四个内角是直角；可针对这些特点来添加条件．【详解】解：若使▱ABCD变为矩形，可添加的条件是：AC＝BD；(对角线相等的平行四边形是矩形)，∠ABC＝90°等(有一个角是直角的平行四边形是矩形)，故答案为任意写出一个正确答案即可，如：AC＝BD或∠ABC＝90°．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与矩形的判定，熟练掌握矩形是特殊的平行四边形是解题关键．21．如图所示，已知ABCD中，下列条件：①AC=BD；②AB=AD；③∠1=∠2；④AB⊥BC中，能说明ABCD是矩形的有______________（填写序号）【答案】①④【解析】【详解】矩形的判定方法由：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形，由此可得能使平行四边形ABCD是矩形的条件是①和④.22．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．（1）求证：AC=BE；（2）若∠AFC=2∠D，连接AC，BE．求证：四边形ABEC是矩形．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB=CD，然后根据CE=DC，得到AB=EC，AB∥EC，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断即可；（2）由四边形ABEC是平行四边形，通过角的关系得出FA=FE=FB=FC，AE=BC，得证．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵CE=DC，∴AB=EC，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形，∴AC=BE；（2）∵四边形ABEC是平行四边形，∴FA=FE，FB=FC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D，又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠ABC，∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，∴∠ABC=∠BAF，∴FA=FB，∴FA=FE=FB=FC，∴AE=BC，∴四边形ABEC是矩形．【点睛】此题考查的知识点是平行四边形的判定与性质及矩形的判定，关键是由平行四边形的性质通过角的关系证矩形．23．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE交BC于点F，连接AC，BE；若∠AFC＝2∠D，AB＝2，BC＝4．（1）求证：四边形ABEC是矩形；（2）求BE的长．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，进而得到，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABEC是平行四边形，然后根据等边对等角证明，进而得到，即可证明平行四边形ABEC是矩形；（2）根据矩形的性质得到，然后在应用勾股定理即可求得BE．【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，，∴，∴，∴四边形ABEC是平行四边形，∴，，∵∴，∴，∴，∴平行四边形ABEC是矩形．（2）四边形ABEC是矩形，∴，，∴．故答案为．【点睛】此题考查的知识点是平行四边形的判定与性质及矩形的判定，关键是由平行四边形的性质通过角的关系证矩形．24．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连结AE，交BC于点F，∠AFC＝2∠D，连结AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．【答案】见解析【解析】【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB=CD，然后根据CE=DC，得到AB=EC，AB∥EC，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证得四边形ABEC是平行四边形；通过角的关系得出FA=FE=FB=FC，AE=BC，得证．【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵CE=DC，∴AB=EC，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形，∴FA=FE，FB=FC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D，又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠ABC，∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，∴∠ABC=∠BAF，∴FA=FB，∴FA=FE=FB=FC，∴AE=BC，∴四边形ABEC是矩形．【点睛】此题考查的知识点是平行四边形的判定与性质及矩形的判定，熟练掌握和运用平行四边形的判定性质及矩形的判定是解题的关键．25．在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O，EF过点O，连接AF、CE．（1）求证：△BFO≌△DEO；（2）若AF⊥BC，试判断四边形AFCE的形状，并加以证明；（3）若在（2）的条件下再添加EF平分∠AEC，试判断四边形AFCE的形状，无需说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）四边形AFCE是矩形，证明见解析；（3）四边形AFCE是正方形.【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得出OB＝OD，OA＝OC，AD∥BC，得出∠OBF＝∠ODE，由ASA证明