第04课时实数的基本概念(原卷版+解析)

第4课时实数的基本概念（解析版）核心考点考点1无理数1．（2022秋·山东烟台·七年级统考期末）在实数，，，0，，2.121121112…（每两个2之间依次多一个1）中，无理数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）在，，，，，，中，无理数有（）个A．2 B．3 C．4 D．53．（2022秋·河北石家庄·八年级校考期中）有下列说法：①无理数是无限小数，无限小数是无理数；②无理数包括正无理数、0和负无理数；③带根号的数都是无理数；④无理数是含有根号且被开方数不能被开尽的数；⑤是一个分数．其中不正确的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．（2022秋·浙江杭州·七年级校联考期中）在，3.14159，，0202202222022220……（它的位数无限且相邻两个“0”之间“2”的个数依次加1个）这4个数中，无理数的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（2022春·广东江门·七年级校联考期中）下列实数中，无理数是（）A． B． C． D．3.14考点2实数的概念理解6．（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）下列说法中错误的是（）A．有理数和无理数统称为实数B．实数和数轴上的点是一一对应的C．平方根是其本身的数只有0D．负数没有立方根7．（2022秋·浙江杭州·七年级杭州市惠兴中学校考期中）下列说法正确的有（

）①无限小数都是无理数；②无理数都是无限小数；③带根号的数都是无理数；④两个无理数的和还是无理数；⑤数轴上的点与实数一一对应．A．个 B．个 C．个 D．个8．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）_____和_____统称为实数．9．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）了解无理数与实数的概念（1）______小数叫做无理数；（2）有理数和_____统称为实数．10．（2022秋·福建三明·八年级统考期中）把下列各数填入相应的括号内：(1)无理数：{

…}；(2)负实数：{

…}；(3)整

数：{

…}；(4)分

数：{

…}；11．（2022春·安徽滁州·八年级校考阶段练习）一组实数按如下规律排列：，___，_____．(1)两条横线上的实数分别____；(2)第11、12个实数分别是_____．考点3实数的分类及性质12．（2022秋·辽宁大连·七年级统考期中）观察，，，这四个数，负分数的个数是（

）A．个 B．个 C．个 D．个13．（2022春·广东江门·七年级江门市第二中学校考阶段练习）下列实数：15，，，，0.10101中，无理数有（

）个．A．1 B．2 C．3 D．414．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期末）下列各数中是无理数的是（

）A． B． C． D．15．（2021秋·陕西榆林·八年级统考期中）的绝对值为（

）A． B． C． D．16．（2022秋·安徽马鞍山·七年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）已知为实数，则的值为（

）A．0 B．不可能是负数C．可以是负数 D．可以是正数也可以是负数17．（2022春·广东江门·七年级江门市福泉奥林匹克学校校考阶段练习）已知a，b为有理数，满足，则的值为________．18．（2022春·北京·七年级校考期末）若实数x满足，则x的取值范围为______．19．（2022秋·浙江丽水·七年级校联考期中）把下面的实数填在相应的大括号里：（★友情提示：将各数用逗号分开），，，，，，，，，（每两个1之间多一个0）整数集合{…}；分数集合{…}；无理数集合{…}.20．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）将下列数按要求分类，并将答案填入相应的括号内：，，，，0，，，，；负实数数集合{_________________}有理数集合{___________________}无理数集合{___________________}二、易错点易错点1：概念不清（错因刨析）对有理数和无理数的概念混淆不清，无理数就是无限不循环小数21．（2022秋·浙江温州·七年级校联考期中）把下列各数的序号分别填在相应的横线上：①5，②，③0.76，④0，⑤，⑥，⑦(1)整数：______________．(2)分数：______________．(3)无理数：______________．22．（2022秋·浙江衢州·七年级校联考期中）把下列各数填在相应的横线上：0，，，，，，，（两个1之间依次多1个2）．整数：____________________．负分数：__________________．无理数：__________________．易错点2：忽略0和负数（错因刨析）缺少分类思想，考虑问题不全面，仍停留在正数或非负数上考虑问题23.若一个实数的（1）倒数；（2）绝对值；（3）平方；（4）立方；（5）平方根；（6）算术平方根；（7）立方根等于它本身，则这个数分别是？三、拔尖角度角度1实数与数轴24．（2022春·甘肃定西·七年级统考阶段练习）已知数轴上，两点，且这两点间的距离为，若点在数轴上表示的数为，则点表示的数为______．25．（2022·全国·七年级假期作业）在数轴上，点M，N分别表示数m，n，则点M，N之间的距离为|m﹣n|．（1）若数轴上的点M，N分别对应的数为2﹣和﹣，则M，N间的距离为___，MN中点表示的数是___．（2）已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，且|a﹣c|＝|b﹣c|＝|d﹣a|＝1（a≠b），则线段BD的长度为___．角度2实数的大小比较26．（2022秋·浙江·七年级期中）已知，，…，均为正数，且满足，，则，的大小关系是()A． B． C． D．27．（2022秋·河南周口·八年级校联考阶段练习）已知表示取三个数中最小的那个数．例如：当时，，当时，则的值为（

）A． B． C． D．角度3无理数的估算28．（2022秋·江苏·八年级专题练习）阅读下面的文字，解答问题．对于实数a，我们规定：用符号[a]表示不大于a的最大整数；用{a}表示a减去[a]所得的差．例如：[]＝1，[2.2]＝2，{}＝﹣1，{2.2}＝2.2﹣2＝0.2．（1）仿照以上方法计算：[]＝{5﹣}＝；（2）若[]＝1，写出所有满足题意的整数x的值：．（3）已知y0是一个不大于280的非负数，且满足{}＝0．我们规定：y1＝[]，y2＝[]，y3＝[]，…，以此类推，直到yn第一次等于1时停止计算．当y0是符合条件的所有数中的最大数时，此时y0＝，n＝．29．（2022·全国·七年级假期作业）高斯记号[x]表示不超过x的最大整数，即若有整数n满足n≤x＜n+1，则[x]＝n．如：[1.56]＝1，[﹣3.25]＝﹣4．（1）求[79]的值等于；（2）若b是整数，求证：[a+b]＝[a]+b；（3）若[﹣8+n]+[+3﹣n]＝[]，且m，n都为整数，求m的最小值和最大值．角度4无理数整数部分的有关计算30．（2020春·湖北武汉·七年级校联考阶段练习）对于一个实数m（m≥0），规定其整数部分为a，小数部分为b，如：当m＝3时，则a＝3，b＝0；当m＝4.5时，则a＝4，b＝0.5．（1）当m=π时，b＝；当m＝时，a＝；（2）当m＝9−时，求a－b的值；（3）若a－b＝，则m＝．31．（2022秋·江苏·八年级专题练习）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题：(1)的小数部分是________，的小数部分是________．(2)若a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根．(3)若，其中x是整数，且，求的值．第4课时实数的基本概念（解析版）核心考点考点1无理数1．（2022秋·山东烟台·七年级统考期末）在实数，，，0，，2.121121112…（每两个2之间依次多一个1）中，无理数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个思路引领：根据无理数的定义判断即可．解：无理数有：，，，2.121121112…（每两个2之间依次多一个1），共4个，故选：D．总结提升：本题考查了无理数的定义，能熟记无限不循环小数叫无理数是解此题的关键．2．（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）在，，，，，，中，无理数有（）个A．2 B．3 C．4 D．5思路引领：根据实数分类：有理数、无理数；无理数定义：无线不循环小数是无理数，逐项判定即可得到答案．解：在，，，，，，中，无理数有，，共3个，故选：B．总结提升：本题考查实数分类及无理数定义，熟记无理数定义是解决问题的关键．3．（2022秋·河北石家庄·八年级校考期中）有下列说法：①无理数是无限小数，无限小数是无理数；②无理数包括正无理数、0和负无理数；③带根号的数都是无理数；④无理数是含有根号且被开方数不能被开尽的数；⑤是一个分数．其中不正确的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个思路引领：实数分为有理数和无理数，无理数是无限不循环的小数，常见的无理数有带根号但开不尽方的数，，等有规律但不循环的小数．解：无限不循环小数是无理数，故①错误；正无理数包括正无理数和负无理数，0是有理数，故②错误；开不尽方的带根号的数才是无理数，故③错误；无理数包含了含有根号且被开方数不能被开尽的数，但是还包含了其他的无限不循环小数，故④错误；是无理数，而分数属于有理数，故⑤错误；错误的有①②③④⑤．故选：D总结提升：本题考查了无理数的概念和实数的分类，解决本题的关键是准确理解相关的基础概念．4．（2022秋·浙江杭州·七年级校联考期中）在，3.14159，，0202202222022220……（它的位数无限且相邻两个“0”之间“2”的个数依次加1个）这4个数中，无理数的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个思路引领：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．解：，是整数，属于有理数；3.14159是有限小数，属于有理数；是分数，属于有理数；无理数有（它的位数无限且相邻两个“0”之间“2”的个数依次加1个），共1个．故选：A．总结提升：本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多1个等形式．5．（2022春·广东江门·七年级校联考期中）下列实数中，无理数是（）A． B． C． D．3.14思路引领：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．A．，是整数，属于有理数；B．是分数，属于有理数；C．是无理数；D．3.14属于有理数．故选：C．总结提升：本题考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．考点2实数的概念理解6．（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）下列说法中错误的是（）A．有理数和无理数统称为实数B．实数和数轴上的点是一一对应的C．平方根是其本身的数只有0D．负数没有立方根思路引领：根据实数的定义：有理数和无理数统称为实数；实数和数轴的关系；平方根的定义：如果一个数的平方等于，即，那么这个数就是的平方根；立方根的定义：如果一个数的立方等于，即，那么这个数就是的立方根；据此判断即可；解：A、有理数和无理数统称为实数，说法正确，不符合题意；B、实数和数轴上的点是一一对应的，说法正确，不符合题意；C、平方根是其本身的数只有0，说法正确，不符合题意；D、负数的立方根还是负数，原说法错误，符合题意；故选：D．总结提升：本题考查了实数的定义，实数与数轴的关系，平方根和立方根的定义，熟记相关定义并理解是解本题的关键．7．（2022秋·浙江杭州·七年级杭州市惠兴中学校考期中）下列说法正确的有（

）①无限小数都是无理数；②无理数都是无限小数；③带根号的数都是无理数；④两个无理数的和还是无理数；⑤数轴上的点与实数一一对应．A．个 B．个 C．个 D．个思路引领：利用有理数，无理数，数轴的相关概念对每个选项进行逐一判断即可得出结论．解：无限的不循环小数是无理数，的结论不正确；无理数是无限的不循环小数，都是无限小数，的结论正确；带根号且开不尽放

方的数都是无理数，的结论不正确；，两个无理数的和不一定是无理数，的结论不正确；数轴上的点与实数一一对应，的结论正确；综上，正确的结论有：，故选：A．总结提升：本题主要考查了实数的概念，实数的运算，数轴的相关性质，利用有理数，无理数，数轴的相关概念对每个选项进行逐一判断是解题的关键．8．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）_____和_____统称为实数．思路引领：根据实数的定义：有理数和无理数，统称为实数，进行作答即可．解：根据实数的定义：有理数和无理数，统称为实数，故答案为：有理数，无理数．总结提升：本题考查实数的定义．熟练掌握有理数和无理数，统称为实数是解题的关键．9．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）了解无理数与实数的概念（1）______小数叫做无理数；（2）有理数和_____统称为实数．思路引领：根据无理数与实数的概念进行填空．解：（1）无限不循环小数叫做无理数；（2）有理数和无理数统称为实数．总结提升：本题考查了无理数与实数的概念．10．（2022秋·福建三明·八年级统考期中）把下列各数填入相应的括号内：(1)无理数：{

…}；(2)负实数：{

…}；(3)整

数：{

…}；(4)分

数：{

…}；思路引领：（1）根据无理数是无限不循环的小数判断即可；（2）根据负实数包括负有理数和负无理数判断即可；（3）根据整数包括正整数、0、负整数判断即可；（4）根据分数包括正分数和负分数判断即可．（1）解：无理数：；（2）负实数：；（3）整

数：；（4）分

数：．总结提升：本题考查了实数的有关定义，解题的关键是掌握相关定义．11．（2022春·安徽滁州·八年级校考阶段练习）一组实数按如下规律排列：，___，_____．(1)两条横线上的实数分别____；(2)第11、12个实数分别是_____．思路引领：（1）观察实数发现的系数分别为1，1，2，3，5，8……，从第三个数起，后一个数等于前面两个数的和，据此即可求解；（2）按照（1）中的方法即可求解．（1）观察实数发现的系数分别为1，1，2，3，5，8……，从第三个数起，后一个数等于前面两个数的和，∴横线上的实数，的系数为5+8=13，8+13=21，所以横线上的实数分别为，（2）由（1）可知第8个数为，∴第9个数为，第10个数为，第11个数为，第12个数为，故答案为：，．总结提升：本题考查了实数的规律问题，观察数字中的系数，找到规律是解题的关键．考点3实数的分类及性质12．（2022秋·辽宁大连·七年级统考期中）观察，，，这四个数，负分数的个数是（

）A．个 B．个 C．个 D．个思路引领：负数指的是在正数前面加一个负号，分数是有理数，由此即可求解．解：负分数的有：，注意：是一个负无理数，不是分数．故选：．总结提升：本题主要考查对负分数的理解，掌握实数的分类，正负数的理解是解题的关键．13．（2022春·广东江门·七年级江门市第二中学校考阶段练习）下列实数：15，，，，0.10101中，无理数有（

）个．A．1 B．2 C．3 D．4思路引领：分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．解：15是整数，属于有理数；是整数，属于有理数；0.10101是有限小数，属于有理数；无理数有：，，共2个，故选：B．总结提升：此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．14．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期末）下列各数中是无理数的是（

）A． B． C． D．思路引领：根据无理数是无限不循环小数，由定义即可求解．解：，是有理数，是有理数，是无理数．故选：．总结提升：本题主要考查实数的分类，掌握无理数的定义是解题的关键．15．（2021秋·陕西榆林·八年级统考期中）的绝对值为（

）A． B． C． D．思路引领：根据绝对值的性质解答．解：的绝对值是，故选：A．总结提升：本题主要考查了绝对值的性质，掌握一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0是解答本题的关键．16．（2022秋·安徽马鞍山·七年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）已知为实数，则的值为（

）A．0 B．不可能是负数C．可以是负数 D．可以是正数也可以是负数思路引领：通过分类讨论去绝对值，即可判断结果．当时，；当时，；当时，．综上所述，的值不可能是负数．故选：B．总结提升：本题主要考查了实数的绝对值，a是实数时，正数、0、负数三种情况都要考虑到，用到了分类讨论的方法．17．（2022春·广东江门·七年级江门市福泉奥林匹克学校校考阶段练习）已知a，b为有理数，满足，则的值为________．思路引领：先将等式分为有理部分与无理部分，根据它们的和为零，利用有理部分与无理部分系数为零建构方程组，解方程组即可．解：，∴，∵a，b为有理数，∴，也为有理数，∵无理数，∴，解方程组得．∴．故答案为：7．总结提升：本题考查有理数与无理数和为零的性质，二元一次方程组，熟悉有理数的和差积商都是有理数，有理数与无理数和差为无理数，有理数与无理数的积可能为有理数0，其它均为无理数，有理数与无理数的商可能为0，其它均为无理数．18．（2022春·北京·七年级校考期末）若实数x满足，则x的取值范围为______．思路引领：根据绝对值的意义即可求解．解：∵∴故答案为：总结提升：本题考查了实数的性质，掌握绝对值的意义是解题的关键．19．（2022秋·浙江丽水·七年级校联考期中）把下面的实数填在相应的大括号里：（★友情提示：将各数用逗号分开），，，，，，，，，（每两个1之间多一个0）整数集合{…}；分数集合{…}；无理数集合{…}.思路引领：根据实数的分类，逐一判断即可解答．解：（1），（2），（3）．总结提升：本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键．20．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）将下列数按要求分类，并将答案填入相应的括号内：，，，，0，，，，；负实数数集合{_________________}有理数集合{___________________}无理数集合{___________________}思路引领：运用实数的概念进行逐一辨别、分类．解：负实数集合{，，，…}，有理数集合{，，2.3，0，，…}，无理数集合{，，，，…}，总结提升：此题考查了运用实数的概念进行分类的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．二、易错点易错点1：概念不清（错因刨析）对有理数和无理数的概念混淆不清，无理数就是无限不循环小数21．（2022秋·浙江温州·七年级校联考期中）把下列各数的序号分别填在相应的横线上：①5，②，③0.76，④0，⑤，⑥，⑦(1)整数：______________．(2)分数：______________．(3)无理数：______________．思路引领：（1）根据整数的意义，即可解答；（2）根据分数的意义，即可解答；（3）根据无理数的意义，即可解答．（1）整数：①5，④0，⑥；（2）分数：③0.76，⑦；（3）无理数：②，⑤；故答案为：（1）①④⑥；（2）③⑦；（3）②⑤．总结提升：本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键．22．（2022秋·浙江衢州·七年级校联考期中）把下列各数填在相应的横线上：0，，，，，，，（两个1之间依次多1个2）．整数：____________________．负分数：__________________．无理数：__________________．思路引领：根据无理数、整数、分数的定义进行解答即可．解：；整数：0，，，+9；负分数：，；无理数：，（两个1之间依次多1个2）．故答案为：0，，，+9；，；，．总结提升：本题主要考查了实数的分类，解题的关键是熟练掌握无理数、整数、分数的定义．易错点2：忽略0和负数（错因刨析）缺少分类思想，考虑问题不全面，仍停留在正数或非负数上考虑问题23.若一个实数的（1）倒数；（2）绝对值；（3）平方；（4）立方；（5）平方根；（6）算术平方根；（7）立方根等于它本身，则这个数分别是？解：（1）1和-1（2）非负数（3）1和0（4）1、-1和0（5）0（6）0和1（7）1、-1和0三、拔尖角度角度1实数与数轴24．（2022春·甘肃定西·七年级统考阶段练习）已知数轴上，两点，且这两点间的距离为，若点在数轴上表示的数为，则点表示的数为______．思路引领：设点表示的数为，由、两点之间的距离为，根据两点间的距离公式列出方程，解方程即可．解：设点表示的数为，由题意，得，则，或，所以或．故答案为：或．总结提升：本题考查了实数与数轴，掌握数轴上两点间的距离计算公式是解题的关键．25．（2022·全国·七年级假期作业）在数轴上，点M，N分别表示数m，n，则点M，N之间的距离为|m﹣n|．（1）若数轴上的点M，N分别对应的数为2﹣和﹣，则M，N间的距离为___，MN中点表示的数是___．（2）已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，且|a﹣c|＝|b﹣c|＝|d﹣a|＝1（a≠b），则线段BD的长度为___．思路引领：（1）直接根据定义，代入数字求解即可得到两点间的距离；根据两点之间的距离得出其一半的长度，然后结合其中一个端点表示的数求解即可得中点表示的数；（2）先根据|a﹣c|＝|b﹣c|与a≠b推出C为AB的中点，然后根据题意分类讨论求解即可．解：（1）由题意，M，N间的距离为；∵，∴，由题意知，在数轴上，M点在N点右侧，∴MN的中点表示的数为；（2）∵且，∴数轴上点A、B与点C不重合，且到点C的距离相等，都为1，∴点C为AB的中点，，∵，∴，即：数轴上点A和点D的距离为，讨论如下：1>若点A位于点B左边：①若点D在点A左边，如图所示：此时，；②若点D在点A右边，如图所示：此时，；2>若点A位于点B右边：①若点D在点A左边，如图所示：此时，；②若点D在点A右边，如图所示：此时，；综上，线段BD的长度为或，故答案为：2；；或．总结提升：本题考查数轴上两点间的距离，以及与线段中点相关的计算问题，理解数轴上点的特征以及两点间的距离表示方法，灵活根据题意分类讨论是解题关键．角度2实数的大小比较26．（2022秋·浙江·七年级期中）已知，，…，均为正数，且满足，，则，的大小关系是()A． B． C． D．思路引领：设，，然后求出MN的值，再与0进行比较即可.解：根据题意，设，，∴，∴；；∴==；∴；故选：B.总结提升：本题考查了比较实数的大小，以及数字规律性问题，解题的关键是熟练掌握作差法比较大小.27．（2022秋·河南周口·八年级校联考阶段练习）已知表示取三个数中最小的那个数．例如：当时，，当时，则的值为（

）A． B． C． D．思路引领：本题分别计算的x值，找到满足条件的x值即可．解：当时，，，不合题意；当时，，当时，，不合题意；当时，，，符合题意；当时，，，不合题意，故选：C．总结提升：本题主要考查了实数大小比较，算术平方根及其最值问题，解决此题时，注意分类思想的运用．角度3无理数的估算28．（2022秋·江苏·八年级专题练习）阅读下面的文字，解答问题．对于实数a，我们规定：用符号[a]表示不大于a的最大整数；用{a}表示a减去[a]所得的差．例如：[]＝1，[2.2]＝2，{}＝﹣1，{2.2}＝2.2﹣2＝0.2．（1）仿照以上方法计算：[]＝{5﹣}＝；（2）若[]＝1，写出所有满足题意的整数x的值：．（3）已知y0是一个不大于280的非负数，且满足{}＝0．我们规定：y1＝[]，y2＝[]，y3＝[]，…，以此类推，直到yn第一次等于1时停止计算．当y0是符合条件的所有数中的最大数时，此时y0＝，n＝．思路引领：（1）依照定义进行计算即可；（2）由题可知，，则可得满足题意的整数的的值为1、2、3；（3）由，可知，是某个整数的平方，又是符合条件的所有数中最大的数，则，再依次进行计算．解：（1）由定义可得，，，．故答案为：2；．（2），，即，整数的值为1、2、3．故答案为：1、2、3．（3），即，可设，且是自然数，是符合条件的所有数中的最大数，，，，，，即．故答案为：256，4．总结提升：本题属于新定义类问题，主要考查估算无理数大小，无理数的整数部分和小数部分，理解定义内容是解题关键．29．（2022·全国·七年级假期作业）高斯记