第09讲特殊平行四边形中的折叠问题

第9讲特殊四边形中的折叠问题专题训练类型一折叠与角度1．如图，长方形纸片ABCD，P为边AD的中点，将纸片沿BP，CP折叠，使点A落在E处，点D落在F处，若∠1＝40°，则∠BPC大小为（）A．105° B．110° C．115° D．120°【分析】由折叠的性质可得∠BPE＝∠APB，∠CPF＝∠DPC，再利用平角的定义可求得∠APE+∠DPF＝140°，从而可求得∠BPE+∠CPF的度数，即可求∠BPC的度数．【解答】解：由折叠可得：∠BPE＝∠APB＝∠APE，∠CPF＝∠DPC＝∠DPF，∵∠1＝40°，∠APE+∠1+∠DPF＝180°，∴∠APE+∠DPF＝140°，∴∠BPE+∠CPF＝（∠APE+∠DPF）＝70°，∴∠BPC＝∠1+∠BPE+∠CPF＝110°．故选：B．2．如图，长方形纸片ABCD，E为CD边上一点，将纸片沿BE折叠，点C落在点C'处，将纸片沿AE折叠，点D落在点D'处，且D'恰好在线段BE上．若∠AEC'＝α，则∠CEB＝（）A． B． C． D．【分析】由折叠的性质得∠AED＝∠AED'，∠CEB＝∠C'EB，再证2∠AED'＝180°﹣∠CEB，然后证3∠CEB＝180°﹣2α，即可得出结论．【解答】解：由折叠的性质得：∠AED＝∠AED'，∠CEB＝∠C'EB，∵∠AED'＝180°﹣∠CEB﹣∠AED，∠AED'＝∠AEC'+∠C'EB＝α+∠C'EB，∴∠AED'＝180°﹣∠CEB﹣∠AED'，∴2∠AED'＝180°﹣∠CEB，∴2（α+∠CEB）＝180°﹣∠CEB，∴3∠CEB＝180°﹣2α，∴∠CEB＝60°﹣α，故选：A．3．如图，将矩形纸片沿EF折叠，点C在线段BC上，∠AEC＝32°，则∠BFD等于（）A．28° B．32° C．34° D．36°【分析】根据矩形纸片沿EF折叠，可得∠A＝∠B＝∠D＝∠ECD＝90°，然后根据直角三角形两个锐角互余可得∠AEC＝∠DCB，再由对顶角相等，即可解决问题．【解答】解：∵矩形纸片沿EF折叠，∴∠A＝∠B＝∠D＝∠ECD＝90°，∴∠AEC+∠ACE＝∠ACE+∠DCB＝90°，∴∠AEC＝∠DCB，∴∠AEC＝∠BFD，∵∠AEC＝32°，∴∠BFD＝32°，故选：B．4．如图（1）是长方形纸带，∠DEF＝20°，将纸带沿EF折叠图（2），则∠FGD的度数是，再沿BF折叠成图（3），则图（3）中的∠CFE的度数是．【分析】根据图形的翻折变换依据平行线性质即可求解．【解答】解：根据折叠可知：∠FGD＝2∠FEG＝40°．∵AD∥BC∴∠EFG＝∠DEF＝20°∴∠CFE＝180°﹣20°﹣40°＝120°故答案为40°、120°．5．如图，在正方形纸片ABCD上，E是AD上一点（不与点A，D重合）．将纸片沿BE折叠，使点A落在点A处，延长EA'交CD于点F，则∠EBF＝（）A．40° B．45° C．50° D．不是定值【分析】由折叠可得∠ABE＝∠A'BE，由题意可证Rt△BCF≌Rt△BA'F，可得∠CBF＝∠FBA'，即可求∠EBF的值．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形∴AB＝BC，∠ABC＝90°∵折叠∴AB＝A'B，∠ABE＝∠A'BE∴A'B＝BC，且BF＝BF∴Rt△BCF≌Rt△BA'F（HL）∴∠A'BF＝∠CBF∵∠ABE+∠A'BE+∠A'BF+∠CBF＝90°∴∠EBF＝45°故选：B．6．如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，将△ABE沿AE折叠至△ABE处，BE与AC交于点F，若∠EFC＝69°，则∠CAE的大小为（）A．10° B．12° C．14° D．15°【分析】利用正方形的性质和轴对称的性质很容易求出∠CAE的大小．【解答】解：∵∠EFC＝69°，∠ACE＝45°，∴∠BEF＝69+45＝114°，由折叠的性质可知：∠BEA＝∠BEF＝57°，∴∠BAE＝90﹣57＝33°，∴∠EAC＝45﹣33＝12°．故选：B．7．如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B＝50°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为度．【分析】由平行四边形的性质得出∠D＝∠B＝50°，由折叠的性质得：∠D′＝∠D＝50°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，由三角形的外角性质求出∠AEF＝70°，与三角形内角和定理求出∠AED′＝110°，即可得出∠FED′的大小．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B＝50°，由折叠的性质得：∠D′＝∠D＝50°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，∴∠AEF＝∠D+∠DAE＝50°+20°＝70°，∠AED′＝180°﹣∠EAD′﹣∠D′＝110°，∴∠FED′＝110°﹣70°＝40°；故答案为：40．8．如图，菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，点P是AB边的中点，折叠纸片，使点C落在直线DP上的C处，折痕为经过点D的线段DE．则∠DEC的度数为．【分析】连接BD，由菱形的性质及∠A＝60°，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP＝30°，∠ADC＝120°，∠C＝60°，进而求出∠PDC＝90°，由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．【解答】解：连接BD，如图所示：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∠C＝∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∵P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°，∴∠PDC＝90°，∴由折叠的性质得：∠CDE＝∠PDE＝45°，在△DEC中，∠DEC＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°．故答案为：75°．类型二折叠与长度1．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A． B． C． D．【分析】过E作EG⊥CF于G，根据折叠可知△CEF是等腰三角形，可证明△ABE∽△EGC，根据相似三角形的性质即可求解．【解答】解：如图所示，过E作EG⊥CF于G，∵将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，点E为BC的中点，∴EB＝EF＝EC，∴△CEF是等腰三角形，∴G是CF中点，EG平分∠CEF，且AE平分∠BEF，∴2∠AEF+2∠GEF＝180°，∴∠AEF+∠GEF＝90°，即AE⊥EG，∴∠BAE+∠BEA＝∠BEA+∠GEC＝90°，∴∠BAE＝∠GEC，∵∠B＝∠EGC＝90°，∴△ABE∽△EGC，根据题意，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，即，∴在Rt△ABE中，，∴，即，∴，∵CF＝2CG，∴．故选：D．2．如图，矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，AD＝16，AB＝8，则C′E的长为（）A．12 B．10 C．8 D．6【分析】根据折叠和矩形的性质，可以得出三角形BDE是等腰三角形，Rt△AEB≌Rt△C′ED，所以C′E＝AE，在直角三角形DEC′中，利用勾股定理可求出ED的长，进而得到答案．【解答】解：由折叠得，DC＝DC′＝AB＝8，∠CBD＝∠C′BD，∵ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠CBD＝∠ADB＝∠C′BD，∴ED＝EB，∴Rt△AEB≌Rt△C′ED（HL），∴C′E＝AE，设BE＝ED＝x，则EC＝16﹣x，在Rt△DEC′中，由勾股定理得，82+（16﹣x）2＝x2，解得，x＝10，∴C′E＝AE＝16﹣10＝6．故选：D．3．如图，在矩形ABCD中，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，延长EF交AD边于点M，若AB＝6，BE＝2，则MF的长为（）A． B．8 C．6 D．【分析】作MN⊥BC于点N，由折叠得EF＝BE＝2，AF＝AB＝6，∠AFE＝∠B＝90°．再用”AAS“证明△AFM≌△MNE得ME＝AM，在直角三角形AMF中使用勾股定理建立方程求解即可．【解答】解：如图，作MN⊥BC于点N，由折叠可得：△ABE≌△AFE．∴EF＝BE＝2，AF＝AB＝6，∠AFE＝∠B＝90°，∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠AME＝∠CEM，又MN⊥BC，∴MN＝AB＝AF＝6，∠MNE＝∠AFM＝90°，在△AFM和△MNE中，，∴△AFM≌△MNE（AAS）．∴AM＝ME，设MF＝x，则AM＝ME＝x+2，在直角三角形AMF中，由勾股定理有：AM2＝AF2+MF2，即（x+2）2＝36+x2，解得：x＝8．故MF＝8．故选：B．4．如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E，那么点D的坐标为（）A． B． C． D．【分析】如图，过D作DF⊥AF于F，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性质得到OE＝DE，OA＝CD＝1，设OE＝x，那么CE＝3﹣x，DE＝x，利用勾股定理即可求出OE的长度，而利用已知条件可以证明△AEO∽△ADF，而AD＝AB＝3，接着利用相似三角形的性质即可求出DF、AF的长度，也就求出了D的坐标．【解答】解：如图，过D作DF⊥AF于F，∵点B的坐标为（1，3），∴AO＝1，AB＝3，根据折叠可知：CD＝OA，而∠D＝∠AOE＝90°，∠DEC＝∠AEO，∴△CDE≌△AOE（AAS），∴OE＝DE，OA＝CD＝1，设OE＝x，那么CE＝3﹣x，DE＝x，∴在Rt△DCE中，CE2＝DE2+CD2，∴（3﹣x）2＝x2+12，∴x＝，又DF⊥AF，∴DF∥EO，∴△AEO∽△ADF，而AD＝AB＝3，∴AE＝CE＝3﹣＝，∴，即，∴DF＝，AF＝，∴OF＝﹣1＝，∴D的坐标为（﹣，）．故选：A．5．如图，在矩形ABCD中，在AD上取点E，连接BE，在BE上取点F，连接AF．将△ABF沿AF翻折，使得点B刚好落在CD边的G处，若∠GFB＝90°，AB＝10，AD＝6，FG的长是（）A．3 B．5 C．2 D．2【分析】连接BG，延长AF交BG于H，由△ABF沿AF翻折，使得点B刚好落在CD边的G处，可得AG＝AB＝10，FG＝FB，BH＝GH，∠GFH＝∠BFH，∠FHG＝∠FHB＝90°，可知DG＝＝8，CG＝CD﹣DG＝2，即得BG＝＝2，BH＝GH＝BG＝，根据∠GFB＝90°，得△GFH是等腰直角三角形，故FG＝GH＝×＝2．【解答】解：连接BG，延长AF交BG于H，如图：∵将△ABF沿AF翻折，使得点B刚好落在CD边的G处，∴AG＝AB＝10，FG＝FB，BH＝GH，∠GFH＝∠BFH，∠FHG＝∠FHB＝90°，∵AD＝6，∠D＝90°，∴DG＝＝＝8，∴CG＝CD﹣DG＝10﹣8＝2，∵∠C＝90°，BC＝AD＝6，∴BG＝＝＝2，∴BH＝GH＝BG＝，∵∠GFB＝90°，∴∠GFH＝∠BFH＝45°，∴△GFH是等腰直角三角形，∴FG＝GH＝×＝2，故选：C．6．如图，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连接BE．若BE平分∠ABC，且AB＝5，BE＝4，则AE＝（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】利用平行线的性质以及角平分线的性质得出∠EAB+∠EBA＝90°，再结合勾股定理得出答案．【解答】解：∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠EBA，∵AD∥BC，∴∠DAB+∠CBA＝180°，∵∠DAE＝∠BAE，∴∠EAB+∠EBA＝90°，∴∠AEB＝90°，∴AB2＝AE2+BE2，∴AE＝＝3．故选：B．7．如图，点F是矩形ABCD边CD上一点，将矩形沿AF折叠，点D正好落在BC边上的点E处，若AB＝6，BC＝10，则EF的长为（）A．2 B．3 C． D．4【分析】由折叠的性质得出AE＝AD＝10，EF＝DF，根据勾股定理求出BE＝8，设EF＝x，则CF＝6﹣x，得出x2＝22+（6﹣x）2，解方程即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝10，DC＝AB＝6，∠B＝∠C＝90°；由翻折变换的性质得：AE＝AD＝10，EF＝DF，∵BE2＝AE2﹣AB2，∴BE＝＝8，∴CE＝2，设EF＝x，则CF＝6﹣x；在Rt△EFC中，∵EF2＝CE2+CF2∴x2＝22+（6﹣x）2，解得：x＝，即EF＝．故选：C．8．如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，点D的对应点为D′，若D′落在∠ABC的平分线上时，DE的长为（）A．3或4 B．或 C．或 D．或【分析】连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P，先利用勾股定理求出MD′，再分两种情况利用勾股定理求出DE．【解答】解：如图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，∴MD′＝PD′，设MD′＝x，则PD′＝BM＝x，∴AM＝AB﹣BM＝7﹣x，又折叠图形可得AD＝AD′＝5，∴x2+（7﹣x）2＝25，解得x＝3或4，即MD′＝3或4．在Rt△END′中，设ED′＝a，①当MD′＝3时，AM＝7﹣3＝4，D′N＝5﹣3＝2，EN＝4﹣a，∴a2＝22+（4﹣a）2，解得a＝，即DE＝，②当MD′＝4时，AM＝7﹣4＝3，D′N＝5﹣4＝1，EN＝3﹣a，∴a2＝12+（3﹣a）2，解得a＝，即DE＝．故选：B．9．如图，已知在矩形ABCD中，M是AD边中点，将矩形分别沿MN、MC折叠，A、D两点刚好落在点E处，已知AN＝3，MN＝5，设BN＝x，则x的值为（）A． B． C． D．【分析】求出AM＝4，由折叠的性质得出AN＝NE＝3，CE＝CD，由勾股定理得出x2+82＝（x+6）2，解方程即可得解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AB＝CD，AD＝BC，∵AN＝3，MN＝5，∴AM＝＝＝4，∵M是AD边中点，∴AM＝DM＝4，BC＝8，∵将矩形分别沿MN、MC折叠，A、D两点刚好落在点E处，∴AN＝NE＝3，CE＝CD，∵BN2+BC2＝CN2，∴x2+82＝（x+6）2，解得x＝．故选：B．10．如图，将矩形ABCD的四个角向内折叠铺平，恰好拼成一个无缝隙无重叠的矩形EFGH，若EH＝5，EF＝12，则矩形ABCD的面积是（）A．13 B． C．60 D．120【分析】由折叠得：△AEH≌△MEH，△BEF≌△MEF，△CFG≌△NFG，△DGH≌△NGH，于是矩形ABCD的面积等于矩形EFGH的2倍，矩形EFGH的面积可以求出，【解答】解：如图，由折叠得：△AEH≌△MEH，△BEF≌△MEF，△CFG≌△NFG，△DGH≌△NGH，∴S矩形ABCD＝2S矩形EFGH＝2×EF•EH＝2×5×12＝120，故选：D．11．（2020•雁江区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝10，E、F分别在边BC，AD上，BE＝DF．将△ABE，△CDF分别沿着AE，CF翻折后得到△AGE，△CHF．若AG分别平分∠EAD，则GH长为（）A．3 B．4 C．5 D．7【分析】如图作GM⊥AD于M交BC于N，作HT⊥BC于T．想办法求出BN，CT即可解决问题．【解答】解：如图作GM⊥AD于M交BC于N，作HT⊥BC于T．由题意：∠BAD＝90°，∠BAE＝∠EAG＝∠GAM，∴∠GAM＝∠BAE＝∠EAG＝30°，∵AB＝AG＝2，∴AM＝AG•cos30°＝3，同法可得CT＝3，易知四边形ABNM，四边形GHTN是矩形，∴BN＝AM＝3，GH＝TN＝BC﹣BN﹣CT＝10﹣6＝4，故选：B．12．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在AB，AD上，沿EF折叠菱形，使点A落在BC边上的点G处，且EG⊥BD于点M，若AB＝a（取＝1.4，＝1.7），则BE等于（）A． B． C． D．【分析】连接AC，在Rt△ABO中，求出AO的长度，进而求出AC的长度，然后根据EG⊥BD，AC⊥BD，可得EG∥AC，进而可以解决问题．【解答】解：如图，连接AC，交BD于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC＝2AO，∵∠BAD＝60°，∴∠BAO＝30°，∴AO＝AB＝a，∴AC＝2AO＝a，∵沿EF折叠菱形，使点A落在BC边上的点G处，∴EG＝AE，∵EG⊥BD，AC⊥BD，∴EG∥AC，∴＝，∵EG＝AE，∴＝，解得AE＝a≈a，∴BE＝AB﹣AE＝a．故选：A．13．如图所示，矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长为（）A．cm B．cm C．cm D．8cm【分析】设AF＝xcm，则DF＝（8﹣x）cm，利用矩形纸片ABCD中，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，由勾股定理求AF即可．【解答】解：设AF＝xcm，则DF＝（8﹣x）cm，∵矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，∴DF＝D′F，在Rt△AD′F中，∵AF2＝AD′2+D′F2，∴x2＝62+（8﹣x）2，解得：x＝．故选：B．14．如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【分析】根据折叠的性质，只要求出DN就可以求出NE，在直角△CEN中，若设CN＝x，则DN＝NE＝8﹣x，CE＝4cm，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出CN的长．【解答】解：设CN＝xcm，则DN＝（8﹣x）cm，由折叠的性质知EN＝DN＝（8﹣x）cm，而EC＝BC＝4cm，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2＝EC2+CN2，即（8﹣x）2＝16+x2，整理得16x＝48，所以x＝3．故选：A．15．如图，正方形ABCD的面积为12，点E在边AD上，且AE＝2，连接BE将△BAE沿BE折叠，点A对应点为F，延长BF交CD于点G，点M，N分别是BG，BE的中点，则MN的长为（）A． B． C． D．【分析】连接EG，根据正方形的面积求出边长，求出tan∠ABE的值，进而得到∠ABE＝30°，利用折叠和正方形的性质，推出∠CBG＝30°，利用BC÷cos30°，求出BG的长，进而求出FG的长，勾股定理求出EG的长，利用三角形的中位线定理，即可得解．【解答】解：∵正方形ABCD的面积为12，∴正方形的边长为，在Rt△BAE中，，AE＝2，∴，∴∠ABE＝30°，∵△BAE沿BE折叠，点A对应点为F，∴，∠EFB＝∠A＝90°，∴∠GBC＝90°﹣∠ABE﹣∠EBG＝30°，在Rt△BCG中，，∠GBC＝30°，∴，∴，连接EG，在Rt△EFG中：，∵点M，N分别是BG，BE的中点，∴MN是△BEG的中位线，∴；故选：A．16．如图，正方形ABCD的边长为4，E是边CD的中点，F是边AD上一动点，连接BF，将△ABF沿BF翻折得到△GBF，连接GE．当GE的长最小时，DF的长为（）A． B． C． D．【分析】根据正方形的性质和勾股定理可得BE的长，再由翻折知BG＝BA＝4，得点G在以B为圆心，4为半径的圆弧上运动，可知当点G、E、B三点共线时，GE最小，此时利用勾股定理列方程即可得到DF的长．【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4，∴∠C＝∠A＝90°，BC＝CD＝4，∵点E是边CD的中点，∴CE＝DE＝2，∴BE＝＝＝2，∵将△ABF沿BF翻折得到△FBG，∴BG＝BA＝4，∴点G在以B为圆心，4为半径的圆弧上运动，∴如图所示，当点G、E、B三点共线时，GE最小，∴GE的最小值＝BE﹣BG＝﹣4．设DF＝x，则AF＝GF＝4﹣x，∵∠D＝∠FGE＝90°，∴DE2+DF2＝EF2＝FG2+EG2，即22+x2＝（4﹣x）2+（）2，解得x＝，∴DF的长为，故选：D．类型三折叠与综合1．如图，在▱ABCD中，点E是BC边上的动点，已知AB＝4，BC＝5，∠BAD＝135°，现将△ABE沿AE折叠，点B'是点B的对应点，设CE的长为x．若点B'落在△ADE内（包括边界），则x的取值范围是．【分析】点B′恰好落在AD边上时，四边形ABEB′是边长为4的菱形，求出CE＝1；点B′恰好落在DE边上时，作AH⊥DE于H．解直角三角形求出AH、HB′、DH，再证明DA＝DE＝5，求出EB′即可解决问题．【解答】解：点B′恰好落在AD边上时，四边形ABEB′是边长为4的菱形，∴EC＝BC﹣BE＝5﹣4＝1．点B′恰好落在DE边上时，作AH⊥DE于H．如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝135°，AD＝BC＝5，AD∥BC，∴∠B＝45°，由折叠的性质得：∠AB'H＝∠B＝45°，AB'＝AB＝4，∠AEB＝∠AED，在Rt△AHB′中，∵∠AB′H＝45°，AB′＝4，∴HB′＝AH＝AB'＝2，在Rt△ADH中，DH＝＝＝，∴B'D＝DH﹣HB'＝﹣2，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB＝∠AED，∴DA＝DE＝5，∴EB′＝BE＝DE﹣B'D＝5﹣（﹣2）＝5﹣+2，∴CE＝BC﹣BE＝5﹣（5﹣+2）＝﹣2，∴若点B′落在△ADE内（包括边界），则x的取值范围是1≤x≤﹣2，故答案为：1≤x≤﹣2．2．如图，把矩形纸片ABCD沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么下列说法错误的是（）A．EB＝ED B．折叠后∠ABE和∠CBD一定相等 C．AE＝EC D．△EBA和△EDC一定是全等三角形【分析】由折叠的性质和平行线的性质可得∠ADB＝∠CBD，可得BE＝DE，可证AE＝CE，由“SAS”可证△ABE≌△CDE，即可求解．【解答】解：如图，∵把矩形纸片ABC'D沿对角线折叠，∴∠CBD＝∠DBC'，CD＝C'D＝AB，BC＝BC'，∵AD∥BC'，∴∠ADB＝∠DBC'，∴∠ADB＝∠CBD，∴BE＝DE，∴AE＝CE，在△ABE和△CDE中，，∴△ABE≌△CDE（SAS），∴选项A、C、D都不符合题意，故选：B．3．如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边CD上，且BG＝CG，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠EAG＝45°；③CE＝2DE；④AG∥CF；⑤S△FGC＝．其中正确结论的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】依据HL即可判定Rt△ABG≌Rt△AFG；依据∠BAG＝∠FAG，∠DAE＝∠FAE，即可得到∠EAG＝∠BAD；依据勾股定理列方程，即可得到DE＝4，CE＝8，进而得出CE＝2DE；依据三角形外角性质，即可得到∠AGB＝∠GCF，即可得到AG∥CF；根据GF＝6，EF＝4，△GFC和△FCE等高，即可得到S△GFC＝×S△GCE＝．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝12，∠B＝∠GCE＝∠D＝90°，由折叠的性质得：AF＝AD，∠AFE＝∠D＝90°，∴∠AFG＝90°＝∠B，AB＝AF，在Rt△ABG和Rt△AFG中，，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），故①正确；∴∠BAG＝∠FAG，由折叠可得，∠DAE＝∠FAE，∴∠EAG＝∠BAD＝45°，故②正确；由题意得：EF＝DE，BG＝CG＝6＝GF，设DE＝EF＝x，则CE＝12﹣x．在直角△ECG中，根据勾股定理，得CE2+CG2＝GE2，即（12﹣x）2+62＝（x+6）2，解得：x＝4，∴DE＝4，CE＝8，∴CE＝2DE，故③正确；∵CG＝BG，BG＝GF，∴CG＝GF，∴∠GFC＝∠GCF．又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠AGB＝∠AGF，∵∠AGB+∠AGF＝2∠AGB＝∠GFC+∠GCF＝2∠GCF，∴∠AGB＝∠GCF，∴AG∥CF，故④正确；∵S△GCE＝GC•CE＝×6×8＝24，∵GF＝6，EF＝4，△GFC和△FCE等高，∴S△GFC：S△FCE＝3：2，∴S△GFC＝×24＝，故⑤正确．故选：D．4．如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②线段BF的取值范围为3≤BF≤4；③EC平分∠DCH；④当点H与点A重合时，EF＝2以上结论中，你认为正确的有．（填序号）【分析】①先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF＝FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；②点H与点A重合时，设BF＝x，表示出AF＝FC＝8﹣x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF＝CD，求出BF＝4，然后写出BF的取值范围，判断出②正确；③根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH＝∠ECH，然后求出只有∠DCE＝30°时EC平分∠DCH，判断出③错误；④过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④正确．【解答】解：①∵FH与EG，EH与CF都是原来矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，∴FH∥CG，EH∥CF，∴四边形CFHE是平行四边形，由翻折的性质得，CF＝FH，∴四边形CFHE是菱形，故①正确；②点H与点A重合时，设BF＝x，则AF＝FC＝8﹣x，在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，点G与点D重合时，CF＝CD＝4，∴BF＝4，∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，故②正确；③∴∠BCH＝∠ECH，∴只有∠DCE＝30°时EC平分∠DCH，故③错误；过点F作FM⊥AD于M，则ME＝（8﹣3）﹣3＝2，由勾股定理得，EF＝＝2，故④正确．综上所述，结论正确的有①②④．故答案为：①②④．5．如图，正方形ABCD的边长AB＝12，翻折AD到GN分别交CD于点M，交BC于点N，BN＝5，连接AN．（1）求△AEN的面积；（2）试判断EF与AN的关系，并说明理由．【分析】（1）由折叠的性质得NE＝AE，设NE＝AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝12﹣x，在Rt△EBN中，由勾股定理得出方程，得出AE＝，由三角形面积公式即可得出答案；（2）作FH⊥AB于H，则FH＝AD＝AB，∠EFH+∠FEH＝90°，由折叠的性质得出EF⊥AN，证明△EFH≌△NAB（ASA），得出EF＝AN即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，由折叠的性质得：NE＝AE，设NE＝AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝12﹣x，在Rt△EBN中，由勾股定理得：52+（12﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴AE＝，∴△AEN的面积＝AE×BN＝××5＝；（2）EF⊥AN，EF＝AN，理由如下：作FH⊥AB于H，如图所示：则FH＝AD＝AB，∠EFH+∠FEH＝90°，由折叠的性质得：EF⊥AN，∴∠NAB+∠FEH＝90°，∴∠EFH＝∠NAB，在△EFH和△NAB中，，∴△EFH≌△NAB（ASA），∴EF＝AN．6．如图，长方形ABCD中，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝16，AB＝CD＝34．点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，求DE的长．【分析】根据题意可知，分两种情况，然后画出相应的图形，再根据题目中的条件，计算出DE的长即可．【解答】解：∵△ADE与△AD′E关于直线AE对称，∴△AD′E≌△ADE，∴∠D＝∠AD′E＝90°．∵∠AD′B＝90°，∴B、D′、E三点共线．又∵△ABD′∽△BEC，∴∠BAD′＝∠EBC，∠D′＝∠BCE，∵AD′＝BC，∴ABD′≌△BEC（ASA），∴AB＝BE＝34．∵BD′＝＝＝30，∴DE＝D′E＝34﹣30＝4；如图．∵∠CBE+∠ABD″＝∠ABD″+∠BAD″＝90°，∴∠BAD″＝∠CBE．在△ABD″和△BEC中，，∴△ABD″≌△BEC（ASA），∴BE＝AB＝34，∴DE＝D″E＝34+30＝64．综上所述：DE＝4或64．综上可得DE的长为4或64．7．将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（0，2），点E，F分别在边AB，BC上．沿着OE折叠该纸片，使得点A落在OC边上，对应点为A'，如图①．再沿OF折叠，这时点E恰好与点C重合，如图②．（Ⅰ）求点C的坐标；（Ⅱ）将该矩形纸片展开，再折叠该矩形纸片，使点O与点F重合，折痕与AB相交于点P，展开矩形纸片，如图③．①求∠OPF的大小；②点M，N分别为OF，OE上的动点，当PM+MN取得最小值时，求点N的坐标（直接写出结果即可）．【分析】（Ⅰ）先由折叠的性质得OA'＝OA＝2，OC＝OE，再证四边形OA'EA是正方形，得OA'＝A'E＝2，然后由勾股定理得OE＝2，即可求解；（Ⅱ）①连接EF，由（I）得：OA＝2，OC＝AB＝2，∠OAP＝∠PBF＝90°，∠AOE＝∠AEO＝45°，OA＝AE＝2，再证△EBF是等腰直角三角形，得BE＝BF＝AB﹣AE＝2﹣2，设AP＝x，则PB＝2﹣x，然后由勾股定理得出方程，解得：x＝2﹣2，最后证Rt△POA≌Rt△FPB（HL），得∠POA＝∠FPB，进而得出结论；②作点N关于OF的对称点N′，过点N作NG⊥x轴于G，连接MN′，则△OGN为等腰直角三角形，当P、M、N′三点共线时，PM+MN有最小值，此时∠PN′O＝∠AON′＝∠OAP＝90°，再求出OG＝NG＝ON＝2﹣，即可解决问题．【解答】解：（Ⅰ）∵点A（0，2），∴OA＝2，由折叠的性质得：OA'＝OA＝2，OC＝OE，∵四边形OABC是矩形，∴四边形OA'EA是正方形，∴OA'＝A'E＝2，在Rt△OA'E中，由勾股定理得：OE＝＝＝2，∴点C的坐标为：（2，0）；（Ⅱ）①连接EF，如图③所示：由（I）得：OA＝2，OC＝AB＝2，∠OAP＝∠PBF＝90°，∠AOE＝∠AEO＝45°，OA＝AE＝2，由折叠的性质得：∠OEF＝∠OCF＝90°，∴∠BEF＝180°﹣45°﹣90°＝45°，∴△EBF是等腰直角三角形，∴BE＝BF＝AB﹣AE＝2﹣2，设AP＝x，则PB＝2﹣x，由折叠的性质得：PO＝PF，即PO2＝PF2，在Rt△OAP中，由勾股定理得：PO2＝OA2+AP2，在Rt△PBF中，由勾股定理得：PF2＝PB2+BF2，∴22+x2＝（2﹣x）2+（2﹣2）2，解得：x＝2﹣2，∴AP＝BF，在Rt△POA和Rt△FPB中，，∴Rt△POA≌Rt△FPB（HL），∴∠POA＝∠FPB，∵∠POA+∠APO＝90°，∴∠FPB+∠APO＝90°，∴∠OPF＝180°﹣（∠FPB+∠APO）＝90°；②由①知，AP＝2﹣2，∠EOC＝45°，作点N关于OF的对称点N′，过点N作NG⊥x轴于G，连接MN′，如图④所示：则△OGN为等腰直角三角形，当P、M、N′三点共线时，PM+MN有最小值，此时∠PN′O＝∠AON′＝∠OAP＝90°，∴四边形APN′O为矩形，∴ON＝ON′＝AP＝2﹣2，∴OG＝NG＝ON＝×（2﹣2）＝2﹣，∴N（2﹣，2﹣）．8．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝12cm，点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒（0＜t＜6），过点D作DF⊥BC于点F．（1）试用含t的式子表示AE、AD的长；（2）如图①，在D、E运动的过程中，四边形AEFD是平行四边形，请说明理由；（3）连接DE，当t为何值时，△DEF为直角三角形？（4）如图②，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，试问当t为何值时，四边形AEA′D为菱形？并判断此时点A是否在BC上？请说明理由．【分析】（1）根据题意直接表示出来即可；（2）由“在直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半”求得DF＝t，又AE＝t，则DF＝AE；而由垂直得到AB∥DF，即“四边形AEFD的对边平行且相等”，由此得四边形AEFD是平行四边形；（3）①显然∠DFE＜90°；②如图（1），当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，此时AE＝AD，根据题意，列出关于t的方程，通过解方程来求t的值；③如图（2），当∠DEF