第04讲圆与圆的对称性（核心考点讲与练）-2022年暑假新九年级数学核心考点讲与练（苏科版）原卷版

第04讲圆与圆的对称性（核心考点讲与练）【基础知识】一．圆的认识（1）圆的定义定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．（2）与圆有关的概念弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．二．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．三．垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．四．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．五．点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d＝r①点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．【考点剖析】一．圆的认识（共5小题）1．（2022•兴化市模拟）如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为（）A．38° B．52° C．76° D．104°2．（2020秋•东丽区期末）已知⊙O的半径是6cm，则⊙O中最长的弦长是（）A．6cm B．12cm C．16cm D．20cm3．（2020秋•白云区校级期中）如图，在Rt△ABC中，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，∠BCD＝40°，则∠A＝．4．（2019秋•宜兴市期中）如图所示，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB＝2DE，∠AEC＝20°．求∠AOC的度数．5．（2021春•巨野县期末）已知⊙O的半径是6cm，则⊙O中最长的弦长是cm．二．垂径定理（共3小题）6．（2022•南沙区一模）如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一动点，那么OP长的取值范围是．7．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE＝5，CD＝6，求AE的长．8．（2022•南京一模）如图，在平面直角坐标系中，一个圆与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．已知A（6，0），B（﹣2，0），C（0，3），则点D的坐标为．三．垂径定理的应用（共3小题）9．（2020秋•伊通县期末）在直径为200cm的圆柱形油箱内装入一些油以后，截面如图（油面在圆心下）：若油面的宽AB＝160cm，则油的最大深度为．10．（2021秋•姜堰区期末）《九章算术》记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？翻译：现有圆柱形木材，埋在墙壁里（如图①），不知道其直径的大小，于是用锯子（沿横截面）锯它（如图②），当量得深度CE为1寸时，锯开的宽度AB为1尺，问木材的直径CD是寸．（1尺＝10寸）11．（2021•裕华区校级模拟）如图所示，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．（1）求该圆弧所在圆的半径；（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩的高度．四．圆心角、弧、弦的关系（共3小题）12．（2021秋•临邑县期末）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，若∠CAB＝25°，则∠ADC的度数为（）A．65° B．55° C．60° D．75°13．（2021秋•鼓楼区校级月考）下列说法中，不正确的是（）A．在同圆或等圆中，若两弧相等，则他们所对的弦相等 B．在同一个圆中，若弦长等于半径，则该弦所对的劣弧的度数为60° C．在同一个圆中，若两弧不等，则大弧所对的圆心角较大 D．若两弧的度数相等，则这两条弧是等弧14．（2022•玄武区一模）如图，在△ABC中，E是BC边上的点，以AE为直径的⊙O与AB，BC，AC分别交于点F，D，G，且D是FG的中点．（1）求证AB＝AC；（2）连接DF，当DF∥AC时，若AB＝10，BC＝12，求CE的长．五．点与圆的位置关系（共3小题）15．（2021秋•沭阳县期末）若⊙O的直径为10，点A到圆心O的距离为6，那么点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定16．（2022•常州模拟）如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（）A．A，B，C都不在 B．只有B C．只有A，C D．A，B，C17．（2021秋•赣榆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝25，BC＝4，点D是AB的中点，若以点D为圆心，r为半径作⊙D，使点B在⊙D内，点C在⊙D外，试求r的取值范围．【过关检测】一、单选题1．（2021·江苏泰州市·）的半径为，点到圆心的距离为，点与的位置关系是（）A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法确定2．（江苏泰州市·八年级期中）如图，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，⊙O的半径为（）A．5 B．4 C．3 D．23．（2020·射阳县第二初级中学）平面内，若⊙O的半径为3，OP＝2，则点P在（）A．⊙O内 B．⊙O上 C．⊙O外 D．以上都有可能4．（2020·江苏宿迁市·八年级期中）直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的（）A．三角形内 B．三角形外 C．斜边的中点 D．不能确定5．（2020·镇江市江南学校八年级月考）在平面直角坐标系内点A、点B的坐标是分别为（0,3）、（4,3），在坐标轴上找一点C，使是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（）A．5个 B．6个C．7个 D．8个6．（2020·苏州市吴江区盛泽第二中学）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（）A． B． C． D．7．（2020·江苏省苏州工业园区金鸡湖学校八年级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，1)、B(0，3)、C(0，1)、D(4，4)，点P为平面内一点且满足PC⊥PB，则线段PD的最大值为（）A．10 B．8 C．7 D．9二、填空题8．（2020·射阳县第二初级中学）下列说法①直径是弦；②圆心相同，半径相同的两个圆是同心圆；③两个半圆是等弧；④经过圆内一定点可以作无数条直径．正确的是______填序号．9．（2020·江苏苏州市·苏州草桥中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系内，以点为圆心，5为半径作圆，则该圆与轴分别交于点，则三角形的面积为________．10．（2021·江苏泰州市·）如图，的直径，弦，垂足为，，则的长为______．11．（2021·江苏盐城市·景山中学八年级期末）如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆心角的度数是__________．12．（2020·扬州市江都区国际学校八年级期中）如图是一个俱乐部的徽章.徽章的图案是一个金色的圆圈，中间是一个矩形，矩形中间又有一个蓝色的菱形，徽章的直径为10cm，则徽章内的菱形的边长为_____cm．13．（2020·苏州市吴江区盛泽第二中学）如图，AB为的直径，弦于点H，若，，则OH的长度为__．14．（2020·苏州市吴江区盛泽第二中学）已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为_____cm．15．（2017·江苏盐城市·东台市实验中学八年级月考）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动．在运动过程中，点B到原点的最大距离是________16．（2019·沭阳县修远中学八年级期末）已知以点C（a，b）为圆心，半径为r的圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2.例如：以A（2，3）为圆心，半径为2的圆的标准方程为（x－2）2＋（y－3）2＝4，则以原点为圆心，过点P（1，0）的圆的标准方程为____.17．（2019·江苏扬州市·八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，P是直线AB上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B/CP，连接B/A，B/A长度的最小值是m，B/A长度的最大值是n，则m+n的值等于______.18．（2021·江苏八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的坐标为__________．19．（2021·江苏盐城市·）如图，在矩形纸片ABCD中，边AB=12，AD=5，点P为DC边上的动点（点P不与点D，C重合，将纸片沿AP折叠，则CD′的最小值为___．三、解答题20．（2020·苏州市吴江区盛泽第二中学）已知四边形ABCD为菱形，点E、F、G、H分别为各边中点，判断E、F、G、H四点是否在同一个圆上，如果在同一圆上，找到圆心，并证明四点共圆；如果不在，说明理由．21．（2020·苏州市吴江区盛泽第二中学）如图，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，求弦BD的长22．（2020·苏州市吴江区盛泽第二中学）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，求线段AE的长．23．（2019·江苏扬州市·八年级期中）（1）发现：如图1，点A为一动点，点B和点C为两个定点，且BC=a，AB=b.（a>b）填空：当点A位于______时，线段AC的长取得最小值，且最小值为______(用含a，b的式子表示)（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE.①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最小值.③如图3所示，分别以AB，AC为边，作正方形ADEB和正方形ACFG，连接CD，BG.图中线段CD，BG的关系是____________，线段BG的最大值是__________.24．（2021·江苏盐城市·景山中学八年级期末）我们